8.6空間直線、平面的垂直

8.6.2直線與平面垂直第2課時(shí)

直線與平面垂直的性質(zhì)

回顧與引入

我們前面研究了直線與平面垂直的定義和判定定理，在判定定理中給出了直線與平面垂直的充分條件，也就就直線，平面具有怎樣的位置關(guān)系時(shí)直線與平面才能垂直.

思考1：接下來首先請(qǐng)大家回顧一下直線與平面垂直的定義和判定定理：1.與平面垂直的定義:

一般地，如果直線

l

與平面

α

內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直，記作l⊥α垂足平面α

的垂線直線l的垂面

其中直線l

叫做平面α

的垂線，

平面α

叫做直線l

的垂面．

直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P

叫做垂足.2.直線與平面垂直的判定定理:

一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．即簡(jiǎn)述：nmlαP

思考2：請(qǐng)大家回顧一下直線與平面平行，平面與平面平行的性質(zhì)所研究的問題.類似地，你認(rèn)為直線與平面垂直的性質(zhì)所要研究的問題是什么？

以a?α為前提，研究a、α與空間中的其它直線、平面具有怎樣的關(guān)系，并且主要研究其中的平行和垂直情況。思考3：根據(jù)上一節(jié)課的知識(shí)，你首先想到的是什么？

若一條直線垂直于一個(gè)平面，則這條直線垂直于平面內(nèi)

的任意直線.即線面垂直的定義所反映出來的性質(zhì)：返回知識(shí)探究

問題1：明確了直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題以后，大家對(duì)直線與平面垂直的性質(zhì)還有哪一些猜想？試類比于探究直線與平面平行性質(zhì)的思路和方法來探究一下？

問題1：明確了直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題以后，大家對(duì)直線與平面垂直的性質(zhì)還有哪一些猜想？試類比于探究直線與平面平行性質(zhì)的思路和方法來探究一下？

問題2：在以上這些性質(zhì)中，哪一條最能體現(xiàn)直線與平面垂直關(guān)系的本質(zhì)特征？第2條.

因?yàn)樵谶@條性質(zhì)中，反映了直線與平面的垂直關(guān)系與直線間的平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.直線與平面垂直的性質(zhì)定理直線與平面垂直的性質(zhì)定理1.內(nèi)容:垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．即

思考(1)：這個(gè)定理體現(xiàn)了直線、平面位置關(guān)系上怎樣的聯(lián)系？它可以用來解決什么樣的問題？

這個(gè)定理揭示了“平行”和“垂直”之間的內(nèi)在聯(lián)系，可以由兩條直線與同一平面垂直來判定這兩條直線相互平行.2.作用:判定直線與直線平行思考(2)：你認(rèn)要直接證明這個(gè)定理存在哪一些困難？返回已知:a⊥α,b⊥α.求證:a//b求證：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行證明：假設(shè)a與b不平行.記b∩α=O,過O作b′//a.則b,b′可確定平面

β.設(shè)β∩α＝c，則

a⊥c，b⊥c.∵

b′//a，由a⊥α,b⊥α得∴

b′⊥c.

這與“

在同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線垂垂直”矛盾．

即在平面

β

內(nèi)，過點(diǎn)O有兩條直線

b，b′與

c垂直

.

∴假設(shè)不成立，a//b.思考(3)：請(qǐng)你再總結(jié)一下反證法的一般過程？第1步，反設(shè).第2步，歸謬.第3步，否定假設(shè)，肯定原結(jié)論.假設(shè)結(jié)論不成立或結(jié)論的否定成立.利用假設(shè)推導(dǎo)出矛盾或錯(cuò)誤結(jié)論.反證法的一般步驟返回例1.如圖，直線

l//α.求證：直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.例析

思考(1):“直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等”可轉(zhuǎn)化為什么問題？

直線l上任意兩點(diǎn)到平面α的距離相等.

思考(2):

如何才能證明“直線l上任意兩點(diǎn)到平面α的距離相等”？

只需在直線l上任取兩點(diǎn)如A、B，過A、B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1，然后證明

AA1=BB1即可.思考(3):

如何才能證明“AA1=BB1”？由線面垂直的性質(zhì)定理易知AA1//BB1,又由題意知，AB//α,因此這個(gè)問題就轉(zhuǎn)化為我們前面所學(xué)的一個(gè)命題：“夾在一個(gè)平面和它的平行直線間的平行線段相等”.例1.如圖,直線

l//α.求證:直線l上各點(diǎn)到平面α的距離相等.

證明：

在直線l上任取兩點(diǎn)如A、B，過A、B作平面α的垂線，垂足分別為A1，B1.

由線面垂直的性質(zhì)定理得AA1//BB1.

設(shè)AA1和BB1確定的平面為β，則α∩β＝A1B1∵直線

A，B為直線l任意的兩點(diǎn)，∴直線

l上各點(diǎn)到平面α的距離相等．

思考(4):由此你能想到如何定義直線到平面的距離嗎？平面到平面的距離呢？直線到平面的距離

如果一條直線與一個(gè)平面平行，這條直線上任意一點(diǎn)到這個(gè)平面的距離都相等，我們把這個(gè)距離叫做這條直線到這個(gè)平面的距離.平面到平面的距離

如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都相等，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離.平面到平面的距離點(diǎn)到平面的距離直線到平面的距離

思考(5):直線到平面的距離嗎，平面到平面的距離，點(diǎn)到平面的距離可以怎樣轉(zhuǎn)化？

思考(6):在柱體，臺(tái)體中，哪個(gè)量反映兩個(gè)平行平面間的距離？柱體，臺(tái)體的高.例析練習(xí)3.如圖，EA和DC都垂直于平面ABC，且EA＝2DC，F(xiàn)是EB

的中點(diǎn)．求證：DF∥平面ABC．課堂小結(jié)1.直線與平面垂直的性質(zhì)要研究的問題是什么？我們是如何想到的？2.直線與與平面垂直的性質(zhì)定理是怎樣的？為什么我們要把這個(gè)性質(zhì)作為性質(zhì)定理？3.本節(jié)課中，我們又用到了反證法，你能總結(jié)一下反證法的思路嗎？其中要注意什么？如何構(gòu)建矛盾？4.在證明或求解一個(gè)用文字語言表述的命題或問題時(shí)大致的步驟是怎樣的？

第一步，根據(jù)題意作出圖形，并標(biāo)注出已知條件；

第二步，寫出“已知”，“求證”等，將條件和結(jié)論明確、簡(jiǎn)潔