專題10統(tǒng)計(jì)案例【重難點(diǎn)知識(shí)點(diǎn)網(wǎng)絡(luò)】：一、相關(guān)關(guān)系與回歸分析回歸分析是對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法；判斷相關(guān)性的常用統(tǒng)計(jì)圖是：散點(diǎn)圖；統(tǒng)計(jì)量有相關(guān)系數(shù)與相關(guān)指數(shù).(1)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左下角到右上角的區(qū)域，對(duì)于兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系，我們將它稱為正相關(guān).(2)在散點(diǎn)圖中，點(diǎn)散布在從左上角到右下角的區(qū)域，兩個(gè)變量的這種相關(guān)關(guān)系稱為負(fù)相關(guān).(3)如果散點(diǎn)圖中點(diǎn)的分布從整體上看大致在一條直線附近，稱兩個(gè)變量具有線性相關(guān)關(guān)系.二、線性回歸方程(1)最小二乘法：使得樣本數(shù)據(jù)的點(diǎn)到回歸直線的距離的平方和最小的方法叫做最小二乘法.(2)回歸方程：兩個(gè)具有線性相關(guān)關(guān)系的變量的一組數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))__，則eq\o(b,\s\up6(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))(yi－\o(y,\s\up6(－))),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))(xi－\o(x,\s\up6(－)))2)＝eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xiyi－n\o(x,\s\up6(－))\o(y,\s\up6(－)),\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))xeq\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up6(－))2)，eq\o(a,\s\up6(^))＝eq\o(y,\s\up6(－))－eq\o(b,\s\up6(^))eq\o(x,\s\up6(－)).其中，eq\o(b,\s\up6(^))是回歸方程的斜率，eq\o(a,\s\up6(^))是在y軸上的截距，回歸直線一定過樣本點(diǎn)的中心(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).三、回歸分析(1)定義：對(duì)具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的一種常用方法.(2)樣本點(diǎn)的中心：對(duì)于一組具有線性相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，其中(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－)))稱為樣本點(diǎn)的中心.(3)相關(guān)系數(shù)當(dāng)r>0時(shí)，表明兩個(gè)變量正相關(guān)；當(dāng)r<0時(shí)，表明兩個(gè)變量負(fù)相關(guān).r的絕對(duì)值越接近于1，表明兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng).r的絕對(duì)值越接近于0，表明兩個(gè)變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系.通常|r|大于0.75時(shí)，認(rèn)為兩個(gè)變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)性.(4)相關(guān)指數(shù)：R2＝1－eq\f(\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(^))i）2,\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))（yi－\o(y,\s\up6(－))）2).其中eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do6(i＝1))(yi－eq\o(y,\s\up6(^))i)2是殘差平方和，其值越小，則R2越大(接近1)，模型的擬合效果越好.四、獨(dú)立性檢驗(yàn)(1)利用隨機(jī)變量K2來判斷“兩個(gè)分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性檢驗(yàn).(2)列聯(lián)表：列出的兩個(gè)分類變量的頻數(shù)表，稱為列聯(lián)表.假設(shè)有兩個(gè)分類變量X和Y，它們的可能取值分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(2×2列聯(lián)表)為y1y2總計(jì)x1aba＋bx2cdc＋d總計(jì)a＋cb＋da＋b＋c＋d則隨機(jī)變量K2＝eq\f(n(ad－bc)2,(a＋b)(a＋c)(b＋d)(＋d))，其中n＝a＋b＋c＋d為樣本容量.【知識(shí)必備】1.求解回歸方程的關(guān)鍵是確定回歸系數(shù)eq\o(a,\s\up6(^))，eq\o(b,\s\up6(^))，應(yīng)充分利用回歸直線過樣本中心點(diǎn)(eq\o(x,\s\up6(－))，eq\o(y,\s\up6(－))).2.根據(jù)K2的值可以判斷兩個(gè)分類變量有關(guān)的可信程度，若K2越大，則兩分類變量有關(guān)的把握越大.3.根據(jù)回歸方程計(jì)算的eq\o(y,\s\up6(^))值，僅是一個(gè)預(yù)報(bào)值，不是真實(shí)發(fā)生的值.【重難點(diǎn)題型突破】：一、相關(guān)關(guān)系判斷例1、（2021·浙江杭州市·高二課時(shí)練習(xí)）對(duì)四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，獲得以下散點(diǎn)圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖，結(jié)合相關(guān)系數(shù)的概念，逐圖判定，即可求解.【詳解】由給出的四組數(shù)據(jù)的散點(diǎn)圖可以看出，題圖1和題圖3是正相關(guān)，相關(guān)系數(shù)大于0，題圖2和題圖4是負(fù)相關(guān)，相關(guān)系數(shù)小于0，題圖1和題圖2的點(diǎn)相對(duì)更加集中，所以相關(guān)性更強(qiáng)，所以接近于1，接近于，由此可得．故選：A．【變式訓(xùn)練1-1】、（2021·合肥市第六中學(xué)高三其他模擬（文））年的“金九銀十”變成“銅九鐵十”，全國(guó)各地房?jī)r(jià)“跳水”嚴(yán)重，但某地二手房交易卻“逆市”而行.下圖是該地某小區(qū)年月至年月間，當(dāng)月在售二手房均價(jià)（單位：萬元/平方米）的散點(diǎn)圖.（圖中月份代碼分別對(duì)應(yīng)年月年月）根據(jù)散點(diǎn)圖選擇和兩個(gè)模型進(jìn)行擬合，經(jīng)過數(shù)據(jù)處理得到的兩個(gè)回歸方程分別為和，并得到以下一些統(tǒng)計(jì)量的值：注：是樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)，是樣本數(shù)據(jù)中的平均數(shù)，則下列說法不一定成立的是（）A．當(dāng)月在售二手房均價(jià)與月份代碼呈正相關(guān)關(guān)系B．根據(jù)可以預(yù)測(cè)年月在售二手房均價(jià)約為萬元/平方米C．曲線與的圖形經(jīng)過點(diǎn)D．回歸曲線的擬合效果好于的擬合效果【答案】C【分析】根據(jù)散點(diǎn)圖的分布可判斷A選項(xiàng)的正誤；將代入回歸方程可判斷B選項(xiàng)的正誤；根據(jù)非線性回歸曲線不一定經(jīng)過可判斷C選項(xiàng)的正誤；根據(jù)回歸模型的擬合效果與的大小關(guān)系可判斷D選項(xiàng)的正誤.【詳解】對(duì)于A，散點(diǎn)從左下到右上分布，所以當(dāng)月在售二手房均價(jià)與月份代碼呈正相關(guān)關(guān)系，故A正確；對(duì)于B，令，由，所以可以預(yù)測(cè)年月在售二手房均價(jià)約為萬元/平方米，故B正確；對(duì)于C，非線性回歸曲線不一定經(jīng)過，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，越大，擬合效果越好，故D正確.故選：C.【變式訓(xùn)練1-2】、（多選題）（2021·重慶西南大學(xué)附中高二期末）對(duì)兩個(gè)變量y和x進(jìn)行回歸分析，得到一組樣本數(shù)據(jù)：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，則下列說法中正確的是（）A．由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心B．殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好C．用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越小，說明模型的擬合效果越好D．若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=﹣0.9362，則變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系【答案】ABD【分析】A.根據(jù)回歸分析判斷；B.根據(jù)殘差的意義判斷；C.根據(jù)相關(guān)指數(shù)R2的意義判斷；D.根據(jù)相關(guān)系數(shù)的意義判斷.【詳解】A.由樣本數(shù)據(jù)得到的回歸方程必過樣本中心，故正確；B.殘差平方和越小的模型，擬合的效果越好，故正確；C.用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果，R2越大，說明模型的擬合效果越好，故錯(cuò)誤；D.若變量y和x之間的相關(guān)系數(shù)為r=﹣0.9362，r的絕對(duì)值接近于1，則變量y和x之間具有線性相關(guān)關(guān)系，故正確；故選：ABD二、線性回歸方程分析例2、（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)）為研究某種細(xì)菌在特定環(huán)境下，隨時(shí)間變化的繁殖情況，得到如下實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)：天數(shù)（天）3456繁殖個(gè)數(shù)（千個(gè)）2.534.5由最小二乘法得與的線性回歸方程為，則當(dāng)時(shí)，繁殖個(gè)數(shù)的預(yù)測(cè)值為A．4.9 B．5.25C．5.95 D．6.15【答案】B【分析】根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，求得樣本中心為，代入回歸直線方程，求得，得到回歸直線的方程為，即可作出預(yù)測(cè)，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，可得，即樣本中心為，代入回歸直線方程，即，解得，即回歸直線的方程為，當(dāng)時(shí)，，故選B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了回歸直線方程的應(yīng)用，其中解答中熟記回歸直線方程的特征，求得回歸直線的方程是解答的關(guān)鍵，著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于基礎(chǔ)題．【變式訓(xùn)練2-1】、為了解兒子身高與其父親身高的關(guān)系，隨機(jī)抽取5對(duì)父子的身高數(shù)據(jù)如表所示：父親身高x(cm)174176176176178兒子身高y(cm)175175176177177則y對(duì)x的線性回歸方程為()A.eq\o(y,\s\up6(^))＝x－1 B.eq\o(y,\s\up6(^))＝x＋1C.eq\o(y,\s\up6(^))＝88＋eq\f(1,2)x D.eq\o(y,\s\up6(^))＝176【答案】C[設(shè)y對(duì)x的線性回歸方程為eq\o(y,\s\up6(^))＝eq\o(b,\s\up6(^))x＋eq\o(a,\s\up6(^))，eq\x\to(x)＝176，eq\x\to(y)＝176，檢驗(yàn)得y＝88＋eq\f(x,2)過點(diǎn)(eq\x\to(x)，eq\x\to(y))．]【變式訓(xùn)練2-2】、（2014新課標(biāo)2）某地區(qū)2007年至2013年農(nóng)村居民家庭純收入y（單位：千元）的數(shù)據(jù)如下表：年份2007200820092010201120122013年份代號(hào)t1234567人均純收入y2.93.33.64.44.85.25.9（Ⅰ）求y關(guān)于t的線性回歸方程；（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回歸方程，分析2007年至2013年該地區(qū)農(nóng)村居民家庭人均純收入的變化情況，并預(yù)測(cè)該地區(qū)2015年農(nóng)村居民家庭人均純收入．附：回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：，【解析】（I）由所給數(shù)據(jù)計(jì)算得（1+2+3+4+5+6+7）=4，（2.9+3.3+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9）=4.3=9+4+1+0+1+4+9=28=，.所求回歸方程為.【變式訓(xùn)練2-3】、某公司為確定下一年度投入某種產(chǎn)品的宣傳費(fèi)，需了解年宣傳費(fèi)（單位：千元）對(duì)年銷售量（單位：t）和年利潤(rùn)（單位：千元）的影響，對(duì)近8年的年宣傳費(fèi)和年銷售量（=1，2，···，8）數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值．46.65636.8289.81.61469108.8表中，=．（Ⅰ）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與哪一個(gè)適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型？（給出判斷即可，不必說明理由）（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立關(guān)于的回歸方程；（Ⅲ）已知這種產(chǎn)品的年利率與、的關(guān)系為．根據(jù)（Ⅱ）的結(jié)果回答下列問題：（?。┠晷麄髻M(fèi)=49時(shí)，年銷售量及年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值是多少？（ⅱ）年宣傳費(fèi)為何值時(shí)，年利率的預(yù)報(bào)值最大？附：對(duì)于一組數(shù)據(jù)，，，，其回歸線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，．【解析】（Ⅰ）由散點(diǎn)圖可以判斷，適宜作為年銷售量關(guān)于年宣傳費(fèi)的回歸方程類型．（Ⅱ）令，先建立關(guān)于的線性回歸方程，由于．，所以關(guān)于的線性回歸方程為，因此關(guān)于的回歸方程為．（Ⅲ）（?。┯桑á颍┲?，當(dāng)時(shí)，年銷售量的預(yù)報(bào)值年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值．（ⅱ）根據(jù)（Ⅱ）得結(jié)果知，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值．所以當(dāng)，即時(shí)，取得最大值．故年宣傳費(fèi)為千元時(shí)，年利潤(rùn)的預(yù)報(bào)值最大．三、獨(dú)立性檢測(cè)例3、（2018年全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)）某工廠為提高生產(chǎn)效率，開展技術(shù)創(chuàng)新活動(dòng)，提出了完成某項(xiàng)生產(chǎn)任務(wù)的兩種新的生產(chǎn)方式．為比較兩種生產(chǎn)方式的效率，選取40名工人，將他們隨機(jī)分成兩組，每組20人，第一組工人用第一種生產(chǎn)方式，第二組工人用第二種生產(chǎn)方式．根據(jù)工人完成生產(chǎn)任務(wù)的工作時(shí)間（單位：min）繪制了如下莖葉圖：（1）根據(jù)莖葉圖判斷哪種生產(chǎn)方式的效率更高？并說明理由；（2）求40名工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)m，并將完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間超過m和不超過m的工人數(shù)填入下面的列聯(lián)表：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式第二種生產(chǎn)方式（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，能否有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異？附：，0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由見解析（2）80（3）能【解析】（1）第二種生產(chǎn)方式的效率更高.理由如下：（i）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至少80分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人中，有75%的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間至多79分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（ii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為85.5分鐘，用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間的中位數(shù)為73.5分鐘.因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iii）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間高于80分鐘；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)平均所需時(shí)間低于80分鐘，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.（iv）由莖葉圖可知：用第一種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖8上的最多，關(guān)于莖8大致呈對(duì)稱分布；用第二種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布在莖7上的最多，關(guān)于莖7大致呈對(duì)稱分布，又用兩種生產(chǎn)方式的工人完成生產(chǎn)任務(wù)所需時(shí)間分布的區(qū)間相同，故可以認(rèn)為用第二種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間比用第一種生產(chǎn)方式完成生產(chǎn)任務(wù)所需的時(shí)間更少，因此第二種生產(chǎn)方式的效率更高.以上給出了4種理由，考生答出其中任意一種或其他合理理由均可得分.（2）由莖葉圖知.列聯(lián)表如下：超過m不超過m第一種生產(chǎn)方式155第二種生產(chǎn)方式515（3）由于，所以有99%的把握認(rèn)為兩種生產(chǎn)方式的效率有差異.【變式訓(xùn)練3-1】、(湖南長(zhǎng)沙雅禮中學(xué)、河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2019屆聯(lián)考)環(huán)境問題是當(dāng)今世界共同關(guān)注的問題，我國(guó)環(huán)?？偩指鶕?jù)空氣污染指數(shù)PM2.5濃度，制定了空氣質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)：空氣污染指數(shù)(0，50](50，100](100，150](150，200](200，300](300，＋∞)空氣質(zhì)量等級(jí)優(yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染某市政府為了打造美麗城市，節(jié)能減排，從2010年開始考察了連續(xù)六年11月份的空氣污染指數(shù)，繪制了頻率分布直方圖，經(jīng)過分析研究，決定從2016年11月1日起在空氣質(zhì)量重度污染和嚴(yán)重污染的日子對(duì)機(jī)動(dòng)車輛限號(hào)出行，即車牌尾號(hào)為單號(hào)的車輛單號(hào)出行，車牌尾號(hào)為雙號(hào)的車輛雙號(hào)出行(尾號(hào)是字母的，前13個(gè)視為單號(hào)，后13個(gè)視為雙號(hào)).王先生有一輛車，若11月份被限行的概率為0.05.(1)求頻率分布直方圖中m的值；(2)若按分層抽樣的方法，從空氣質(zhì)量良好與中度污染的天氣中抽取6天，再從這6天中隨機(jī)抽取2天，求至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率；(3)該市環(huán)保局為了調(diào)查汽車尾氣排放對(duì)空氣質(zhì)量的影響，對(duì)限行兩年來的11月份共60天的空氣質(zhì)量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，其結(jié)果如下表：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)良輕度污染中度污染重度污染嚴(yán)重污染天數(shù)112711731根據(jù)限行前6年180天與限行后60天的數(shù)據(jù)，計(jì)算并填寫2×2列聯(lián)表，并回答是否有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前限行后總計(jì)參考數(shù)據(jù)：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879參考公式：K2＝eq\f(n（ad－bc）2,（a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d）)，其中n＝a＋b＋c＋d.【解析】(1)因?yàn)橄扌蟹謫坞p號(hào)，王先生的車被限行的概率為0.05，所以空氣重度污染和嚴(yán)重污染的概率應(yīng)為0.05×2＝0.1，由頻率分布直方圖可知(0.004＋0.006＋0.005＋m)×50＋0.1＝1，解得m＝0.003.(2)因?yàn)榭諝赓|(zhì)量良好與中度污染的天氣的概率之比為0.3∶0.15＝2∶1，按分層抽樣的方法從中抽取6天，則空氣質(zhì)量良好的天氣被抽取的有4天，記作A1，A2，A3，A4，空氣中度污染的天氣被抽取的有2天，記作B1，B2，從這6天中隨機(jī)抽取2天，所包含的基本事件有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，A4)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共15個(gè)，記事件A為“至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染”，則事件A所包含的事件有(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A4，B1)，(A4，B2)，(B1，B2)，共9個(gè)，故P(A)＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)，即至少有一天空氣質(zhì)量是中度污染的概率為eq\f(3,5).(3)2×2列聯(lián)表如下：空氣質(zhì)量?jī)?yōu)、良空氣質(zhì)量污染總計(jì)限行前9090180限行后382260總計(jì)128112240由表中數(shù)據(jù)可得，K2＝eq\f(240×（90×22－90×38）2,180×60×128×112)≈3.214>2.706，所以有90%的把握認(rèn)為空氣質(zhì)量的優(yōu)良與汽車尾氣的排放有關(guān).【變式訓(xùn)練3-2】、（2019·全國(guó)高二專題練習(xí)（理））為推行“新課堂”教學(xué)法,某老師分別用傳統(tǒng)教學(xué)和“新課堂”兩種不同的教學(xué)方式在甲、乙兩個(gè)平行班進(jìn)行教學(xué)實(shí)驗(yàn),為了解教學(xué)效果,期中考試后,分別從兩個(gè)班級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),作出如圖所示的莖葉圖,若成績(jī)大于70分為“成績(jī)優(yōu)良”.(1)分別計(jì)算甲、乙兩班的樣本中,前10名成績(jī)的平均分,并據(jù)此判斷哪種教學(xué)方式的教學(xué)效果更佳;(2)由以上統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫下面2×