第02講實(shí)數(shù)的運(yùn)算（核心考點(diǎn)講與練）一、用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù)1.實(shí)數(shù)的絕對值、相反數(shù)（1）一個實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離叫做這個數(shù)的絕對值．實(shí)數(shù)的絕對值記作．（2）絕對值相等、符號相反的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)；零的相反數(shù)是零．非零實(shí)數(shù)的相反數(shù)是．2、兩個實(shí)數(shù)的大小比較兩個實(shí)數(shù)也可以比較大小，其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣．負(fù)數(shù)小于零；零小于正數(shù)．兩個正數(shù)，絕對值大的數(shù)較大；兩個負(fù)數(shù)，絕對值大的數(shù)較小．從數(shù)軸上看，右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)所表示的數(shù)大．比較兩數(shù)大小是中學(xué)數(shù)學(xué)中的基本類型和基本技能，以下介紹幾種常用的方法：1．近似值法：借用兩個數(shù)的不足和過剩近似值來判別兩個數(shù)大小的方法；2．平方法：將兩個數(shù)平方，再來判定兩個數(shù)大小的方法；3．求差法：先求兩個數(shù)的差，用差與0作比較來判定兩個數(shù)大小的方法．4．求商法：先求兩個數(shù)的商，用商與1作比較判定兩個數(shù)大小的方法．5．求倒數(shù)法：先求兩個數(shù)的倒數(shù)，用倒數(shù)的大小來判定兩個數(shù)大小的方法．即對于符號相同的，兩數(shù)，若，則；若，則．3、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)分別為a、b，那么A、B兩點(diǎn)之間的距離為．實(shí)數(shù)的運(yùn)算在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，可以進(jìn)行加減乘除乘方等運(yùn)算，而且有理數(shù)的運(yùn)算法則和運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．實(shí)數(shù)混合運(yùn)算的運(yùn)算順序與有理數(shù)運(yùn)算順序基本相同，先乘方、開方、再乘除，最后算加減，同級按從左到右順序進(jìn)行，有括號先算括號里的．實(shí)數(shù)運(yùn)算的結(jié)果是唯一的．實(shí)數(shù)運(yùn)算常用到的公式有：第一組：；；第二組：；．考點(diǎn)一：實(shí)數(shù)與數(shù)軸【例題1】（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝2，y＝﹣2；（2）在數(shù)軸上，若點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)x，y，①在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置；②數(shù)軸上，若點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為1.5，則點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)為：﹣0.5或﹣3.5．【分析】（1）根據(jù)若干個非負(fù)數(shù)的和為0，則這些非負(fù)數(shù)均為0，即可求得答案；（2）①在數(shù)軸上描出點(diǎn)A，B即可；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于對應(yīng)的兩個實(shí)數(shù)差的絕對值，列方程求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2≥0，≥0，∴（x﹣2）2＝0，＝0，∴x＝2，y＝﹣2，故答案為：2，﹣2；（2）①點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置如圖所示：②設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)為m，由題意得：|m﹣（﹣2）|＝1.5，解得：m＝﹣0.5或﹣3.5；故答案為：﹣0.5或﹣3.5．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸和數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對值方程等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離等相關(guān)知識．【變式訓(xùn)練1】（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、D依次表示四個實(shí)數(shù)：、、、0．（1）在數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置；（2）求AD兩點(diǎn)之間的距離．【分析】（1）根據(jù)A、B、C、D表示的數(shù)描出大致位置即可；（2）AD兩點(diǎn)之間的距離即是A、D表示的數(shù)的差之絕對值．【解答】解：（1）數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置如圖：（2）AD兩點(diǎn)之間的距離為：|0﹣（﹣）|＝．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)的近似值描出其在數(shù)軸上的大致位置．【變式訓(xùn)練2】．（2021春?閔行區(qū)期末）點(diǎn)A和點(diǎn)B是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，那么A、B兩點(diǎn)間的距離為﹣1．【分析】如圖，根據(jù)數(shù)軸的上的點(diǎn)表示的數(shù)的意義，由A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，得OA＝，OB＝1，那么AB＝OA﹣OB＝．【解答】解：如圖，∵A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為1，∴OA＝，OB＝1．∴AB＝OA﹣OB＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)軸的上的點(diǎn)表示的數(shù)的意義，熟練掌握數(shù)軸的上的點(diǎn)表示的數(shù)的意義是解決本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】．（2019?寶山區(qū)校級自主招生）如圖，數(shù)軸上從左到右依次有A，B，C，D四個點(diǎn)，它們對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別為a，b，c，d，如果存在實(shí)數(shù)λ，滿足：對線段AB和CD上的任意一點(diǎn)，其對應(yīng)的數(shù)為x，實(shí)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)N仍然在線段AB或CD上，則稱（a，b，c，d，λ）為“完美數(shù)組”．例如：（1，2，3，6，6）就是一組“完美數(shù)組”，已知|AB|＝1，|BC|＝5，|CD|＝4，求此時所有的“完美數(shù)組”，寫出你的結(jié)論和推算過程．【分析】設(shè)A表示的數(shù)是x，則B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，分三種情況討論：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；【解答】解：設(shè)A表示的數(shù)是x，則B表示x+1，C表示x+6，D表示x+10，由“完美數(shù)組”的定義，可知有如下情況：①x（x+10）＝（x+1）（x+6）；∴x＝2，∴“完美數(shù)組”是（2，3，8，12，24）；②x（x+6）＝（x+1）（x+10）；∴x＝﹣2∴“完美數(shù)組”是（﹣2，﹣1，4，8，﹣8）；③x（x+1）＝（x+6）（x+10）；∴x＝﹣4，∴“完美數(shù)組”是（﹣4，﹣3，2，6，12）；【點(diǎn)評】本題考查新定義，數(shù)軸與整式的運(yùn)算；熟練掌握多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，單項(xiàng)式與多項(xiàng)式的運(yùn)算法則，能夠通過題意將點(diǎn)與“完美數(shù)組”的關(guān)系轉(zhuǎn)化為整式的運(yùn)算是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】．（2018春?青浦區(qū)期中）已知點(diǎn)A是6的算術(shù)平方根，點(diǎn)B的立方是，在數(shù)軸上描出點(diǎn)A和點(diǎn)B，并求出A與B兩點(diǎn)的距離．【分析】求出A點(diǎn)、B點(diǎn)表示的數(shù)，再求出AB的距離即可．【解答】解：∵點(diǎn)A是6的算術(shù)平方根∴點(diǎn)A所對應(yīng)的數(shù)為，∵點(diǎn)B的立方是，∴點(diǎn)B所對應(yīng)的數(shù)為﹣，因此AB之間的距離為：||+|﹣|＝．答：A與B兩點(diǎn)的距離為．【點(diǎn)評】考查算術(shù)平方根，有理數(shù)的計算等知識，正確的理解和掌握算術(shù)平方根和有理數(shù)的計算是正確解答的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】．（2017春?浦東新區(qū)校級月考）數(shù)軸上與1，對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B，點(diǎn)B，點(diǎn)A的距離與點(diǎn)A，點(diǎn)C（點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)）之間的距離相等，設(shè)點(diǎn)C表示的數(shù)為x，求代數(shù)式|x﹣2|的值．【分析】由AB＝AC，求出x的值，再代入|x﹣2|，計算即可．【解答】解：∵AB＝AC，∴﹣1＝1﹣x，∴x＝2﹣，∴|x﹣2|＝|2﹣﹣2|＝．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，兩點(diǎn)間的距離公式，絕對值，正確求出x的值是解題的關(guān)鍵．考點(diǎn)二：實(shí)數(shù)大小比較【例題2】（2021?陜西模擬）比較大?。海迹痉治觥繉蓴?shù)進(jìn)行平方，然后比較大小即可．【解答】解：（3）2＝18，（2）2＝20，∵18＜20，∴3＜2．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的大小比較，注意運(yùn)用平方法比較兩個正數(shù)的大?。畬儆诨A(chǔ)題．【變式訓(xùn)練1】（2019秋?松江區(qū)期末）從甲地到乙地有A，B兩條路線，這兩條路線經(jīng)過的路程相比較（）A．路線A遠(yuǎn) B．路線B遠(yuǎn) C．同樣遠(yuǎn) D．無法確定【分析】根據(jù)圖示，設(shè)甲地到乙地的直線距離是d，根據(jù)圓的周長的求法，分別求出A，B兩條路線的長度各是多少，判斷出這兩條路線經(jīng)過的路程的遠(yuǎn)近即可．【解答】解：設(shè)甲地到乙地的直線距離是d，則A路線經(jīng)過的路程是，∵B路線經(jīng)過的三個半圓的直徑之和是d，∴B路線經(jīng)過的路程是，∴這兩條路線經(jīng)過的路程相比較：同樣遠(yuǎn)．故選：C．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確圓的周長的求法．【變式訓(xùn)練2】（2021秋?浦東新區(qū)校級月考）比較大?。海迹ㄌ睢埃尽薄埃健薄埃肌保痉治觥渴紫壤闷椒讲罟竭M(jìn)行二次根式分母有理化計算，然后通過比較它們的倒數(shù)進(jìn)行比較大小即可．【解答】解：＝＝﹣，＝＝﹣，∵﹣＞﹣，∴＜．故答案為：＜．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，解答此題的關(guān)鍵是通過比較它們的倒數(shù)進(jìn)行比較大?。咀兪接?xùn)練3】（2021?雁塔區(qū)校級模擬）比較大小：﹣2＞﹣3（填“＜”或“＝”或“＞”）【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)比較大小的法則進(jìn)行解答即可．【解答】解：因?yàn)閨﹣2|＝2≈2.828＜|﹣3|＝3，所以：﹣2＞﹣3，故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查的是實(shí)數(shù)的大小比較，熟知負(fù)數(shù)比較大小的法則是解答此題的關(guān)鍵．考點(diǎn)三：估算無理數(shù)的大小【例題3】（2021春?黃浦區(qū)期末）已知面積為10的正方形的邊長為x，那么x的取值范圍是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】根據(jù)正方形的面積公式，求得正方形的邊長，再進(jìn)一步根據(jù)數(shù)的平方進(jìn)行估算．【解答】解：根據(jù)題意，得正方形的邊長是．∵9＜10＜16，∴3＜＜4．故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了正方形的面積公式和無理數(shù)的估算方法，熟悉1﹣20的整數(shù)的平方．【變式訓(xùn)練1】（2021春?涪城區(qū)校級期中）已知a，b分別是6﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．2【分析】根據(jù)3＜＜4，可得﹣的大小，根據(jù)6﹣，可得a、b的值，根據(jù)實(shí)數(shù)的減法，可得答案．【解答】解：3＜＜4，﹣4＜﹣3，6﹣4，a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)3＜＜4，可得﹣的大小是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（2020?安徽模擬）設(shè)a為正整數(shù)，且a＜＜a+1，則a的值為（）A．5 B．6 C．7 D．8【分析】根據(jù)題意得出接近的有理數(shù)，即可得出答案．【解答】解：∵，∴，∵a為正整數(shù)，且a＜＜a+1，∴a＝6．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了估算無理數(shù)的大小，正確得出接近無理數(shù)的整數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置及無理數(shù)的估算進(jìn)行判斷．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為a，由題意可得：﹣3＜a＜﹣2，∵﹣3.7＜﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣＜，∴選項(xiàng)A符合題意，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，理解實(shí)數(shù)的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【分析】先計算出（2）2的值為24，把24夾逼在兩個相鄰正整數(shù)的平方之間，再寫出2的范圍即可．【解答】解：（2）2＝22×（）2＝4×6＝24，∵16＜24＜25，∴4＜2＜5．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，求出（2）2是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練5】（2021春?浦東新區(qū)校級期末）數(shù)軸上表示數(shù)和的兩點(diǎn)之間的距離為．【分析】數(shù)軸上，兩個點(diǎn)表示的數(shù)的差的絕對值，即為兩點(diǎn)之間的距離．【解答】解：﹣（﹣5）＝+5＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，無理數(shù)的加減法，表示出兩點(diǎn)間的距離是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練6】（2021春?上海期中）對于實(shí)數(shù)a，我們規(guī)定用{}表示不小于的最小整數(shù)，稱{}為a的根整數(shù)，如{}＝4．（1）計算：{}＝3．（2）現(xiàn)對a進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，直到結(jié)果是2為止，例如對12進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，第一次{}＝4，再進(jìn)行第二次求根整數(shù){}＝2，表示對12連續(xù)求根整數(shù)2次可得結(jié)果為2，請問對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，3次后結(jié)果為2．（3）若{}＝2，寫出滿足題意的m的整數(shù)值：2，3，4．【分析】（1）新定義可得結(jié)果；（2）根據(jù)定義對100進(jìn)行連續(xù)求根整數(shù)，可得3次之后結(jié)果為2；（3）根據(jù)定義可知x≤4，可得滿足題意的x的整數(shù)值；【解答】解：（1），所以不小于的最小整數(shù)是3；（2），，，所以為3次；（3），則，所以滿足題意的m的整數(shù)值有2，3，4．故答案為：（1）3；（2）3；（3）2，3，4．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的閱讀能力和猜想能力，同時也考查了一個數(shù)的平方數(shù)的計算能力．【變式訓(xùn)練7】（2020秋?浦東新區(qū)期中）已知：a＝，b＝．（1）求a+b和ab的值；（2）求a2+b2和a4+b4的值；（3）求a8的整數(shù)部分．【分析】（1）根據(jù)實(shí)數(shù)的加減運(yùn)算法則以及平方差公式計算即可；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論以及完全平方公式計算即可；（3）根據(jù)（2）的結(jié)論以及完全平方公式求出a8+b8的值，再根據(jù)無理數(shù)的估算求出b的取值范圍，即可得出a8的整數(shù)部分．【解答】解：（1）a+b＝；；（2）∵a+b＝，ab＝1，∴；a4+b4＝（a2+b2）2﹣2a2b2＝32﹣2＝7；（3）a8+b8＝（a4+b4）2﹣2a4b4＝72﹣2＝47，∵，∴，即＜b＜1，∴0＜b8＜1，∴a8的整數(shù)部分是46．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算以及無理數(shù)的估算，熟練掌握完全平方公式是解答本題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練8】（2019秋?寶山區(qū)校級月考）已知的整數(shù)部分為a，小數(shù)部分為b，求﹣2a的值．【分析】先由3＜＜4知a＝3，b＝﹣3，再代入計算可得．【解答】解：∵＜＜，∴3＜＜4，則a＝3，b＝﹣3，∴原式＝﹣2×3＝﹣6＝2（+3）﹣6＝2．【點(diǎn)評】本題主要考查估算無理數(shù)的大小，估算無理數(shù)大小要用逼近法，也考查了分式的加減法與分母有理化．【變式訓(xùn)練9】（2019秋?徐匯區(qū)校級月考）已知a、b為有理數(shù)，x、y分別表示的整數(shù)部分和小數(shù)部分，且滿足axy+by2＝1，求a+b的值．【分析】運(yùn)用估算的方法，先確定x，y的值，再代入xy+by2＝1中求出a、b的值．【解答】解：∵2＜5﹣＜3，∴x＝2，y＝3﹣；∵axy+by2＝1，∴a?2?（3﹣）+b（3﹣）2＝1，即（﹣2a﹣6b）+（6a+16b﹣1）＝0．∵a、b為有理數(shù)，∴，解得：，∴a+b＝1．【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的大小的估算．解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分即可解決問題．考點(diǎn)四：實(shí)數(shù)的運(yùn)算【例題4】（2021?沙坪壩區(qū)校級模擬）計算：﹣|﹣3|＝﹣5．【分析】首先計算開方和絕對值，然后計算減法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：﹣|﹣3|＝﹣2﹣3＝﹣5．故答案為：﹣5．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【變式訓(xùn)練1】（2021春?閔行區(qū)校級月考）計算：+（）﹣1﹣﹣（﹣2）0．【分析】首先計算零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、開方，然后從左向右依次計算，求出算式的值是多少即可．【解答】解：+（）﹣1﹣﹣（﹣2）0＝4+2﹣3﹣1＝2．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．【變式訓(xùn)練2】（2021春?靜安區(qū)校級期末）計算：．【分析】直接利用立方根以及二次根式的性質(zhì)、分母有理化、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝1+2+2+﹣×2＝1+2+2+﹣＝5．【點(diǎn)評】此題主要考查了立方根以及二次根式的性質(zhì)、分母有理化、零指數(shù)冪的性質(zhì)，正確分母有理化是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練3】（2021春?普陀區(qū)期中）計算：．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝﹣3+1＝﹣2．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練4】（2019春?溫江區(qū)期中）閱讀理解題：定義：如果一個數(shù)的平方等于﹣1，記為i2＝﹣1，這個數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么和我們所學(xué)的實(shí)數(shù)對應(yīng)起來就叫做復(fù)數(shù)，表示為a+bi（a，b為實(shí)數(shù)），a叫這個復(fù)數(shù)的實(shí)部，b叫做這個復(fù)數(shù)的虛部，它的加，減，乘法運(yùn)算與整式的加，減，乘法運(yùn)算類似．例如計算：（2+i）+（3﹣4i）＝5﹣3i．（1）填空：i3＝﹣i，i4＝1．（2）計算：①（2+i）（2﹣i）；②（2+i）2；（3）若兩個復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下面問題：已知：（x+y）+3i＝（1﹣x）﹣yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求x，y的值．【分析】（1）根據(jù)閱讀材料中的方法計算即可求出值；（2）各式利用平方差公式，以及完全平方公式計算即可求出值；（3）根據(jù)實(shí)數(shù)部分與虛數(shù)部分相等列出方程，求出方程的解即可得到x與y的值．【解答】解：（1）i3＝﹣i，i4＝1；故答案為：﹣i；1；（2）①原式＝4﹣i2＝4+1＝5；②原式＝4+4i+i2＝3+4i；（3）由已知等式得：x+y＝1﹣x，﹣y＝3，解得：x＝2，y＝﹣3．【點(diǎn)評】此題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則是解本題的關(guān)鍵．如圖，一輛小車從點(diǎn)A沿數(shù)軸向右直爬2個單位到達(dá)點(diǎn)B，點(diǎn)A表示，設(shè)點(diǎn)B所表示的數(shù)為m（1）求的值；（2）求的值.【難度】★★★【答案】（1）；（2）．【解析】（1）點(diǎn)B表示的數(shù)比點(diǎn)A表示的數(shù)大2，所以點(diǎn)B表示的數(shù)是；（2）原式．【總結(jié)】本題主要考察實(shí)數(shù)運(yùn)算以及實(shí)數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)已知得出m的值是解題關(guān)鍵．已知、互為相反數(shù)，、互為倒數(shù)，的絕對值是2，求的值．【難度】★★★【答案】5或．【解析】由題意值：a+b=0，cd=1，m=2或-2，所以原式或原式．【總結(jié)】本題主要考查倒數(shù)，相反數(shù)和絕對值的概念及性質(zhì)，注意分類討論．計算：（1）；（2）．【難度】★★★【答案】（1）；（2）0．【解析】（1）原式；（2）原式=．【總結(jié)】本題考察實(shí)數(shù)的運(yùn)算，數(shù)值絕對值的性質(zhì)及數(shù)的開方法則，0指數(shù)冪的運(yùn)算法則是本題關(guān)鍵．計算：（1）；（2）；（3）．【難度】★★★【答案】（1）；（2）；（3）．【解析】（1）原式=；（2）原式=；（3）原式=．【總結(jié)】本題考查實(shí)數(shù)計算，熟練運(yùn)用公式和簡便方法是本題關(guān)鍵．已知，求的算術(shù)平方根．【難度】★★★【答案】．【解析】由已知得，所以，所以的算術(shù)平方根為．【總結(jié)】由已知條件求代數(shù)的值，一定要找到已知條件與要求結(jié)果之間的聯(lián)系．已知，求的值．【難度】★★★【答案】．【解析】原式=，原式=．【總結(jié)】有關(guān)代數(shù)式求值的問題，解題技巧一般有以下幾種，利用有關(guān)概念，利用整體思想方法，利用分類討論方法，利用數(shù)形結(jié)合的思想方法，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，利用新定義等．分層提分分層提分題組A基礎(chǔ)過關(guān)練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?靜安區(qū)期末）如圖，數(shù)軸上點(diǎn)P表示的數(shù)可能是（）A．﹣ B． C．﹣3.7 D．﹣【分析】根據(jù)數(shù)軸上點(diǎn)的位置及無理數(shù)的估算進(jìn)行判斷．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為a，由題意可得：﹣3＜a＜﹣2，∵﹣3.7＜﹣3＜﹣＜﹣2＜﹣＜，∴選項(xiàng)A符合題意，故選：A．【點(diǎn)評】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸，理解實(shí)數(shù)的大小比較，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．2．（2021?奉賢區(qū)三模）點(diǎn)A是數(shù)軸上的任意一點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是整數(shù) B．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是分?jǐn)?shù) C．點(diǎn)A表示的數(shù)一定是有理數(shù) D．點(diǎn)A表示的數(shù)可能是無理數(shù)【分析】根據(jù)數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，可得答案．【解答】解：數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對性應(yīng)，故A錯誤；數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，故B錯誤；根據(jù)互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等，故C錯誤；數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)，所以點(diǎn)A有可能是無理數(shù)，故D正確；故選：D．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸，注意數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對應(yīng)．3．（2021?浦東新區(qū)模擬）無理數(shù)的值在（）A．2和3之間 B．3和4之間 C．4和5之間 D．5和6之間【分析】先計算出（2）2的值為24，把24夾逼在兩個相鄰正整數(shù)的平方之間，再寫出2的范圍即可．【解答】解：（2）2＝22×（）2＝4×6＝24，∵16＜24＜25，∴4＜2＜5．故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了無理數(shù)的估算，無理數(shù)的估算常用夾逼法，求出（2）2是解題的關(guān)鍵．4．（2021春?涪城區(qū)校級期中）已知a，b分別是6﹣的整數(shù)部分和小數(shù)部分，那么2a﹣b的值是（）A．3﹣ B．4﹣ C． D．2【分析】根據(jù)3＜＜4，可得﹣的大小，根據(jù)6﹣，可得a、b的值，根據(jù)實(shí)數(shù)的減法，可得答案．【解答】解：3＜＜4，﹣4＜﹣3，6﹣4，a＝2，b＝6﹣﹣2＝4﹣，2a﹣b＝2×2﹣（4﹣）＝，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，根據(jù)3＜＜4，可得﹣的大小是解題關(guān)鍵．5．（2020秋?泰興市期末）下列整數(shù)中，與最接近的是（）A．2 B．3 C．6 D．8【分析】求出2＜＜3，再得出選項(xiàng)即可．【解答】解：∵＜＜，∴2＜＜3，∵22＝4，32＝9，∴與最接近的是3，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能估算出的范圍是解此題的關(guān)鍵．6．（2021春?定州市期末）已知面積為8的正方形的邊長為x，那么下列對x的大小的估計正確的是（）A．1＜x＜3 B．2＜x＜3 C．3＜x＜4 D．4＜x＜5【分析】根據(jù)正方形的面積公式，求得正方形的邊長，再進(jìn)一步根據(jù)數(shù)的平方進(jìn)行估算．【解答】解：根據(jù)題意，得正方形的邊長是，∵4＜8＜9，∴2＜＜3，∴2＜x＜3．故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了正方形的面積公式和無理數(shù)的估算方法，熟悉1﹣20的整數(shù)的平方．二．填空題（共7小題）7．（2021秋?大埔縣期末）的整數(shù)部分是a，小數(shù)部分是b，計算a﹣2b的值是3﹣2．【分析】先估算的范圍，求出a、b的值，代入求出即可．【解答】解：∵1＜＜2，∴a＝1，b＝﹣1，∴a﹣2b＝1﹣2（﹣1）＝3﹣2．故答案為：3﹣2．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，能根據(jù)的范圍求出a、b的值是解此題的關(guān)鍵．8．（2021春?普陀區(qū)校級月考）若a表示任意實(shí)數(shù)，則＝2．【分析】直接利用二次根式有意義的條件得出a的值，進(jìn)而化簡得出答案．【解答】解：∵有意義，∴a＝0，∴原式＝+＝0+2＝2．故答案為：2．【點(diǎn)評】此題主要考查了二次根式有意義的條件以及二次根式的化簡，正確得出a的值是解題關(guān)鍵．9．（2021春?浦東新區(qū)期末）比較大?。憨?＞（填“＞”、“＝”或“＜”）．【分析】先比較出4與的大小，再根據(jù)兩個負(fù)數(shù)比較大小，絕對值大的反而小來比較大?。窘獯稹拷猓骸?6＜17，∴4＜，∴﹣4＞﹣，故答案為：＞．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)的比較大小，利用平方法比較大小是解題的關(guān)鍵．10．（2021春?靜安區(qū)期末）已知實(shí)數(shù)a≤0≤b，化簡：＝b﹣a．【分析】直接利用a，b的符號得出a﹣b＜0，再利用二次根式的性質(zhì)化簡即可．【解答】解：∵a≤0≤b，∴a﹣b＜0，∴＝|a﹣b|＝b﹣a．故答案為：b﹣a．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡二次根式是解題關(guān)鍵．11．（2021春?楊浦區(qū)期末）在數(shù)軸上，如果點(diǎn)A、點(diǎn)B所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是﹣1、，那么線段AB的長度是+1．【分析】在數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值．【解答】解：線段AB的長度＝﹣（﹣1）＝+1，故答案為：+1．【點(diǎn)評】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸，兩點(diǎn)之間的距離，解題的關(guān)鍵是根據(jù)在數(shù)軸上，兩點(diǎn)之間的距離等于這兩個數(shù)的差的絕對值列出式子．12．（2021春?浦東新區(qū)月考）計算：（﹣3）﹣1+×＝．【分析】先算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，二次根式的乘法，再算加法即可求解．【解答】解：（﹣3）﹣1+×＝﹣+4＝．故答案為：．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、二次根式等知識點(diǎn)的運(yùn)算．13．（2021春?青浦區(qū)期中）點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為，則點(diǎn)A所表示的數(shù)為．【分析】到原點(diǎn)距離為的點(diǎn)，一個在原點(diǎn)左側(cè)，一個在原點(diǎn)右側(cè)．【解答】解：點(diǎn)A到原點(diǎn)的距離為，則A表示或﹣，故答案為：±．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，題目較容易，但容易漏掉﹣．三．解答題（共6小題）14．（2021?曲阜市模擬）計算：（）﹣1+﹣|﹣2|﹣（π﹣2021）0．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)和絕對值的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝3+2﹣（2﹣）﹣1＝3+2﹣2+﹣1＝3．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．15．（2021春?浦東新區(qū)期末）計算：（2+）0+（﹣1）2021﹣（）﹣2．【分析】直接利用零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運(yùn)算法則分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝1﹣1﹣4＝﹣4．【點(diǎn)評】此題主要考查了零指數(shù)冪的性質(zhì)以及負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、有理數(shù)的乘方運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．16．（2021春?浦東新區(qū)月考）計算：﹣12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2．【分析】本題涉及乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、三次根式化簡4個知識點(diǎn)．在計算時，需要針對每個知識點(diǎn)分別進(jìn)行計算，然后根據(jù)實(shí)數(shù)的運(yùn)算法則求得計算結(jié)果．【解答】解：﹣12021﹣+（π﹣3.14）0﹣（﹣）﹣2．＝﹣1﹣2+1﹣4＝﹣6．【點(diǎn)評】本題主要考查了實(shí)數(shù)的綜合運(yùn)算能力，是各地中考題中常見的計算題型．解決此類題目的關(guān)鍵是熟練掌握乘方、零指數(shù)冪、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、三次根式等知識點(diǎn)的運(yùn)算．17．（2021春?青浦區(qū)期中）數(shù)軸上A、B、C、D依次表示四個實(shí)數(shù)：、、、0．（1）在數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置；（2）求AD兩點(diǎn)之間的距離．【分析】（1）根據(jù)A、B、C、D表示的數(shù)描出大致位置即可；（2）AD兩點(diǎn)之間的距離即是A、D表示的數(shù)的差之絕對值．【解答】解：（1）數(shù)軸上描出點(diǎn)A、B、C、D的大致位置如圖：（2）AD兩點(diǎn)之間的距離為：|0﹣（﹣）|＝．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)，解題的關(guān)鍵是根據(jù)各數(shù)的近似值描出其在數(shù)軸上的大致位置．18．（2021春?上海期中）計算：．【分析】直接利用二次根式的性質(zhì)以及立方根的性質(zhì)分別化簡得出答案．【解答】解：原式＝＝．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．19．（2021春?奉賢區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)x、y滿足（x﹣2）2+＝0．（1）x＝2，y＝﹣2；（2）在數(shù)軸上，若點(diǎn)A、點(diǎn)B分別表示實(shí)數(shù)x，y，①在數(shù)軸上標(biāo)出點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置；②數(shù)軸上，若點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離為1.5，則點(diǎn)C所對應(yīng)的實(shí)數(shù)為：﹣0.5或﹣3.5．【分析】（1）根據(jù)若干個非負(fù)數(shù)的和為0，則這些非負(fù)數(shù)均為0，即可求得答案；（2）①在數(shù)軸上描出點(diǎn)A，B即可；②根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于對應(yīng)的兩個實(shí)數(shù)差的絕對值，列方程求解即可．【解答】解：（1）∵（x﹣2）2+＝0，（x﹣2）2≥0，≥0，∴（x﹣2）2＝0，＝0，∴x＝2，y＝﹣2，故答案為：2，﹣2；（2）①點(diǎn)A、點(diǎn)B的大致位置如圖所示：②設(shè)點(diǎn)C對應(yīng)的實(shí)數(shù)為m，由題意得：|m﹣（﹣2）|＝1.5，解得：m＝﹣0.5或﹣3.5；故答案為：﹣0.5或﹣3.5．【點(diǎn)評】本題考查了數(shù)軸和數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)的關(guān)系，非負(fù)數(shù)的性質(zhì)，算術(shù)平方根的性質(zhì)，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，絕對值方程等知識，解題關(guān)鍵是熟練掌握非負(fù)數(shù)的性質(zhì)和數(shù)軸上兩點(diǎn)之間距離等相關(guān)知識．題組B能力提升練一．選擇題（共6小題）1．（2021春?浦東新區(qū)期末）估計的值在（）A．3和4之間 B．5和6之間 C．7和8之間 D．14和15之間【分析】根據(jù)無理數(shù)的估算進(jìn)行計算求值．【解答】解：∵25＜29＜36，∴，∴5＜＜6，故選：B．【點(diǎn)評】本題考查無理數(shù)的估算，掌握算術(shù)平方根的概念準(zhǔn)確進(jìn)行計算是解題關(guān)鍵．2．（2019秋?虹口區(qū)期末）如圖1和2，兩個圓的半徑相等，O1、O2分別是兩圓的圓心，圖1中的陰影部分面積為S1，圖2中的陰影部分面積為S2，那么S1與S2之間的大小關(guān)系是（）A．S1＜S2 B．S1＝S2 C．S1＞S2 D．不能確定【分析】首先根據(jù)圖示，設(shè)兩個圓的半徑都是r，則圖1中正方形的邊長是2r，圖2中正方形的邊長是：＝r；然后根據(jù)：S1＝邊長是2r的正方形的面積﹣半徑是r的圓的面積，S2＝半徑是r的圓的面積﹣邊長是r的正方形的面積，比較出S1與S2之間的大小關(guān)系即可．【解答】解：設(shè)兩個圓的半徑都是r，則圖1中正方形的邊長是2r，圖2中正方形的邊長是：＝r，則S1＝2r×2r﹣πr2＝4r2﹣πr2，S2＝πr2﹣r×r＝πr2﹣2r2，S1﹣S2＝（4r2﹣πr2）﹣（πr2﹣2r2）＝6r2﹣2πr2＝（6﹣2π）r2，∵6﹣2π＜0，∴S1﹣S2＜0，∴S1＜S2．故選：A．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確正方形和圓的面積的求法．3．（2019春?普陀區(qū)期中）學(xué)校里有一個正方形的花壇，它的面積是30平方米，請你估計這個正方形的邊長約為（）A．3米和4米之間 B．4米和5米之間 C．5米和6米之間 D．6米和7米之間【分析】設(shè)這個正方形的邊長為a，根據(jù)正方形的面積公式列出算式，得出a的值，然后用“夾逼法”求出答案即可．【解答】解：設(shè)這個正方形的邊長為a，根據(jù)題意得：a2＝30，則a＝，∵25＜30＜36∴5＜＜6，∴這個正方形的邊長約在5米和6米之間；故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了無理數(shù)的估算大小，解題關(guān)鍵是確定無理數(shù)的整數(shù)部分．“夾逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．4．（2018春?嘉定區(qū)期中）已知實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上的位置如圖所示，則化簡|a﹣1|+1的結(jié)果為（）A．1.5 B．a(chǎn) C．2+a D．2﹣a【分析】根據(jù)數(shù)軸確定a的范圍，根據(jù)絕對值的意義化簡即可．【解答】解：由數(shù)軸可知，0＜a＜1，則|a﹣1|+1＝1﹣a+1＝2﹣a，故選：D．【點(diǎn)評】本題考查的是絕對值的意義，掌握絕對值的意義是解題的關(guān)鍵．5．（2016秋?鄞州區(qū)期末）我們規(guī)定：a*b＝，則下列等式中對于任意實(shí)數(shù)a、b、c都成立的是（）①a+（b*c）＝（a+b）*（a+c）②a*（b+c）＝（a+b）*c③a*（b+c）＝（a*b）+（a*c）④（a*b）+c＝+（b*2c）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②④【分析】根據(jù)*的含義，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算方法，判斷出對于任意實(shí)數(shù)a、b、c都成立的是哪個等式即可．【解答】解：∵a+（b*c）＝a+，（a+b）*（a+c）＝＝a+，∴選項(xiàng)①符合題意；∵a*（b+c）＝，（a+b）*c＝，∴選項(xiàng)②符合題意；∵a*（b+c）＝，（a*b）+（a*c）＝+＝a+，∴選項(xiàng)③不符合題意；∵（a*b）+c＝+c，+（b*2c）＝+＝+c，∴選項(xiàng)④符合題意，∴等式中對于任意實(shí)數(shù)a、b、c都成立的是：①②④．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了定義新運(yùn)算，以及實(shí)數(shù)的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：在進(jìn)行實(shí)數(shù)運(yùn)算時，和有理數(shù)運(yùn)算一樣，要從高級到低級，即先算乘方、開方，再算乘除，最后算加減，有括號的要先算括號里面的，同級運(yùn)算要按照從左到右的順序進(jìn)行．另外，有理數(shù)的運(yùn)算律在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍然適用．6．（2019?佛山模擬）如圖，已知數(shù)軸上的點(diǎn)A、B表示的實(shí)數(shù)分別為a，b，那么下列等式成立的是（）A．|a+b|＝a﹣b B．|a+b|＝﹣a﹣b C．|a+b|＝b﹣a D．|a+b|＝a+b【分析】根據(jù)圖示，可得：b＜0＜a，|b|＞|a|，據(jù)此判斷即可．【解答】解：∵b＜0＜a，|b|＞|a|，∴a+b＜0，∴|a+b|＝﹣a﹣b．故選：B．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的特征和應(yīng)用，以及絕對值的含義和求法，要熟練掌握．二．填空題（共5小題）7．（2021?榆陽區(qū)模擬）比較大?。海睛校ㄌ睢埃肌薄埃尽被颉埃健保痉治觥颗袛喑觥ⅵ信c4的大小關(guān)系，即可判斷出、π的大小關(guān)系．【解答】解：∵＞＝4，π＜4，∴＞π．故答案為：＞．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)大小比較的方法，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是判斷出、π與4的大小關(guān)系．8．（2021春?紅谷灘區(qū)校級期中）﹣2的小數(shù)部分是．【分析】由可知，根據(jù)和小數(shù)部分相同即可得到答案．【解答】解：∵，∴，∴的小數(shù)部分為，∵和小數(shù)部分相同，∴的小數(shù)部分為，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查了估算無理數(shù)的大小，掌握“無理數(shù)的小數(shù)部分等于無理數(shù)減去自己的整數(shù)部分”是解決問題的關(guān)鍵．9．（2021春?封開縣期末）比較大?。海迹痉治觥靠梢远纪?作比較可得結(jié)論．【解答】解：∵＜2，＞2，∴．故答案為：＜．【點(diǎn)評】本題主要考查了算術(shù)平方根，實(shí)數(shù)大小比較．兩個數(shù)都與2比大小是解題的關(guān)鍵．10．（2021春?上海期中）已知a，b是有理數(shù)，且2（a+1）+b＝3﹣2，則ab＝﹣1．【分析】直接利用已知去括號分別得出a，b的值，進(jìn)而得出答案．【解答】解：∵a，b是有理數(shù)，且2（a+1）+b＝3﹣2，∴2a+2+b＝3﹣2，故2a＝﹣2，2+b＝3，解得：a＝﹣1，b＝1，故ab＝﹣1．故答案為：﹣1．【點(diǎn)評】此題主要考查了實(shí)數(shù)運(yùn)算，正確化簡各數(shù)是解題關(guān)鍵．11．（2021春?松江區(qū)期中）數(shù)軸上點(diǎn)A、B所對應(yīng)的實(shí)數(shù)分別是