專(zhuān)題檢測(cè)（十二）空間位置關(guān)系的判斷與證明一、選擇題1．已知E，F(xiàn)，G，H是空間四點(diǎn)，命題甲：E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，命題乙：直線(xiàn)EF和GH不相交，則甲是乙成立的()A．必要不充分條件 B．充分不必要條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件解析：選B若E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)不共面，則直線(xiàn)EF和GH肯定不相交，但直線(xiàn)EF和GH不相交，E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)可以共面，例如EF∥GH，故甲是乙成立的充分不必要條件．2．關(guān)于直線(xiàn)a，b及平面α，β，下列命題中正確的是()A．若a∥α，α∩β＝b，則a∥bB．若α⊥β，m∥α，則m⊥βC．若a⊥α，a∥β，則α⊥βD．若a∥α，b⊥a，則b⊥α解析：選CA是錯(cuò)誤的，因?yàn)閍不一定在平面β內(nèi)，所以a，b有可能是異面直線(xiàn)；B是錯(cuò)誤的，若α⊥β，m∥α，則m與β可能平行，可能相交，也可能線(xiàn)在面內(nèi)，故B錯(cuò)誤；C是正確的，由直線(xiàn)與平面垂直的判斷定理能得到C正確；D是錯(cuò)誤的，直線(xiàn)與平面垂直，需直線(xiàn)與平面中的兩條相交直線(xiàn)垂直．3．已知空間兩條不同的直線(xiàn)m，n和兩個(gè)不同的平面α，β，則下列命題中正確的是()A．若m∥α，n∥β，α∥β，則m∥nB．若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m∥nC．若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m⊥nD．若m⊥α，n⊥β，α⊥β，則m⊥n解析：選D若m∥α，n∥β，α∥β，則m與n平行或異面，即A錯(cuò)誤；若m∥α，n⊥β，α⊥β，則m與n相交或平行或異面，即B錯(cuò)誤；若m⊥α，n∥β，α⊥β，則m與n相交、平行或異面，即C錯(cuò)誤，故選D.4.如圖，在三棱錐P-ABC中，不能證明AP⊥BC的條件是()A．AP⊥PB，AP⊥PCB．AP⊥PB，BC⊥PBC．平面BPC⊥平面APC，BC⊥PCD．AP⊥平面PBC解析：選BA中，因?yàn)锳P⊥PB，AP⊥PC，PB∩PC＝P，所以AP⊥平面PBC.又BC?平面PBC，所以AP⊥BC，故A正確；C中，因?yàn)槠矫鍮PC⊥平面APC，平面BPC∩平面APC＝PC，BC⊥PC，所以BC⊥平面APC.又AP?平面APC，所以AP⊥BC，故C正確；D中，由A知D正確；B中條件不能判斷出AP⊥BC，故選B.5．如圖，以等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高AD為折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的兩個(gè)平面后，某學(xué)生得出下列四個(gè)結(jié)論：①BD⊥AC；②△BAC是等邊三角形；③三棱錐D-ABC是正三棱錐；④平面ADC⊥平面ABC.其中正確的結(jié)論是()A．①②④ B．①②③C．②③④ D．①③④解析：選B由題意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正確；AD為等腰直角三角形ABC的斜邊BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等邊三角形，②正確；易知DA＝DB＝DC，結(jié)合②知③正確；由①知④不正確．故選B.6．(2018·全國(guó)卷Ⅰ)已知正方體的棱長(zhǎng)為1，每條棱所在直線(xiàn)與平面α所成的角都相等，則α截此正方體所得截面面積的最大值為()A.eq\f(3\r(3),4) B.eq\f(2\r(3),3)C.eq\f(3\r(2),4) D.eq\f(\r(3),2)解析：選A如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，平面AB1D1與棱A1A，A1B1，A1D1所成的角都相等，又正方體的其余棱都分別與A1A，A1B1，A1D1平行，故正方體ABCD-A1B1C1D1的每條棱所在直線(xiàn)與平面AB1D1所成的角都相等．如圖所示，取棱AB，BB1，B1C1，C1D1，D1D，DA的中點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，M，N，則正六邊形EFGHMN所在平面與平面AB1D1平行且面積最大，此截面面積為S正六邊形EFGHMN＝6×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)×eq\f(\r(2),2)×sin60＝eq\f(3\r(3),4).故選A.二、填空題7．(2018·天津六校聯(lián)考)設(shè)a，b為不重合的兩條直線(xiàn)，α，β為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：①若a∥α且b∥α，則a∥b；②若a⊥α且a⊥β，則α∥β；③若α⊥β，則一定存在平面γ，使得γ⊥α，γ⊥β；④若α⊥β，則一定存在直線(xiàn)l，使得l⊥α，l∥β.其中真命題的序號(hào)是________．解析：①中a與b也可能相交或異面，故不正確．②垂直于同一直線(xiàn)的兩平面平行，正確．③中存在γ，使得γ與α，β都垂直，正確．④中只需直線(xiàn)l⊥α且l?β就可以，正確．答案：②③④8．若P為矩形ABCD所在平面外一點(diǎn)，矩形對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)為O，M為PB的中點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①OM∥平面PCD；②OM∥平面PBC；③OM∥平面PDA；④OM∥平面PBA.其中正確的個(gè)數(shù)是________．解析：由已知可得OM∥PD，∴OM∥平面PCD且OM∥平面PAD.故正確的只有①③.答案：①③9.如圖，∠ACB＝90，DA⊥平面ABC，AE⊥DB交DB于E，AF⊥DC交DC于F，且AD＝AB＝2，則三棱錐D-AEF體積的最大值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)镈A⊥平面ABC，所以DA⊥BC，又BC⊥AC，DA∩AC＝A，所以BC⊥平面ADC，所以BC⊥AF.又AF⊥CD，BC∩CD＝C，所以AF⊥平面DCB，所以AF⊥EF，AF⊥DB.又DB⊥AE，AE∩AF＝A，所以DB⊥平面AEF，所以DE為三棱錐D-AEF的高．因?yàn)锳E為等腰直角三角形ABD斜邊上的高，所以AE＝eq\r(2)，設(shè)AF＝a，F(xiàn)E＝b，則△AEF的面積S＝eq\f(1,2)ab≤eq\f(1,2)×eq\f(a2＋b2,2)＝eq\f(1,2)×eq\f(2,2)＝eq\f(1,2)(當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時(shí)等號(hào)成立)，所以(VD-AEF)max＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)＝eq\f(\r(2),6).答案：eq\f(\r(2),6)三、解答題10.(2018·長(zhǎng)春質(zhì)檢)如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為菱形，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點(diǎn)．(1)證明：PB∥平面ACE；(2)設(shè)PA＝1，AD＝eq\r(3)，PC＝PD，求三棱錐P-ACE的體積．解：(1)證明：連接BD交AC于點(diǎn)O，連接OE.在△PBD中，PE＝DE，BO＝DO，所以PB∥OE.又OE?平面ACE，PB?平面ACE，所以PB∥平面ACE.(2)由題意得AC＝AD，所以VP-ACE＝eq\f(1,2)VP-ACD＝eq\f(1,4)VP-ABCD＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)S?ABCD·PA＝eq\f(1,4)×eq\f(1,3)×2×eq\f(\r(3),4)×(eq\r(3))2×1＝eq\f(\r(3),8).11.如圖，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝3，BC＝2，D是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)是CC1上一點(diǎn)．(1)當(dāng)CF＝2時(shí)，證明：B1F⊥平面ADF(2)若FD⊥B1D，求三棱錐B1-ADF的體積．解：(1)證明：因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.在直三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)锽B1⊥底面ABC，AD?底面ABC，所以AD⊥B1B因?yàn)锽C∩B1B＝B，所以AD⊥平面B1BCC1.因?yàn)锽1F?平面B1BCC1，所以AD⊥B1在矩形B1BCC1中，因?yàn)镃1F＝CD＝1，B1C1＝所以Rt△DCF≌Rt△FC1B1，所以∠CFD＝∠C1B1F，所以∠B1FD＝90所以B1F⊥FD因?yàn)锳D∩FD＝D，所以B1F⊥平面ADF(2)由(1)知AD⊥平面B1DF，CD＝1，AD＝2eq\r(2)，在Rt△B1BD中，BD＝CD＝1，BB1＝3，所以B1D＝eq\r(BD2＋BB\o\al(2,1))＝eq\r(10).因?yàn)镕D⊥B1D，所以Rt△CDF∽R(shí)t△BB1D，所以eq\f(DF,B1D)＝eq\f(CD,BB1)，即DF＝eq\f(1,3)×eq\r(10)＝eq\f(\r(10),3)，所以VB1-ADF＝VA-B1DF＝eq\f(1,3)S△B1DF×AD＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(10),3)×eq\r(10)×2eq\r(2)＝eq\f(10\r(2),9).12．(2018·石家莊摸底)如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB＝PD＝DA＝2PE，CD＝3PE，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)．(1)求證：BF∥平面ADP；(2)已知O是BD的中點(diǎn)，求證：BD⊥平面AOF.證明：(1)取PD的中點(diǎn)為G，連接FG，AG，∵F是CE的中點(diǎn)，∴FG是梯形CDPE的中位線(xiàn)，∵CD＝3PE，∴FG＝2PE，F(xiàn)G∥CD，∵CD∥AB，AB＝2PE，∴AB∥FG，AB＝FG，即四邊形ABFG是平行四邊形，∴BF∥