2020-2021學(xué)年駐馬店市高二上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷（文科）

一、單選題（本大題共10小題，共50.0分）

若a<6<0,則下列不等式關(guān)系中不能成立的是（）A.B.|a|>\b\C.5>

iD.a2>b2

b

1.從拋物線P=4x圖象上一點(diǎn)P引拋物線準(zhǔn)線的垂線,垂足為M,且=3,設(shè)拋物線焦點(diǎn)為F,

則AMPF周長為（）

A.6+3&B.5+2V3C.8D.6+2V3

2.設(shè)函數(shù)/（久）的導(dǎo)函數(shù)是廣（久），若/（久）=/'?）?cosx—sinx,則/仁）=（）

A.-

2

3.已知命題pi：3x0&R,Xg—2x0+1<0;p2：Vx6[1,2],x—1>0,則下列命題中為假命題的

是()

A.("力A(%)B.Plv(%2)c.("力vp2D.PlAp2

4.在△ABC中，內(nèi)角4,B,C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足as譏BcosC+cs譏BcosA=1b,

則NB=()

A57rr*兀-兀c57r

A.z或下B.-C.-D.—

66366

X—y—1<0

5.已知無，y滿足約束條件,2x-y+1》0,則z=|尤+y的最大值為()

.%+y-2<0

6.已知數(shù)列｛斯｝為等差數(shù)列，｛%｝為等比數(shù)列,且滿足的003+121013=兀，b6-b9=2,則

B.-1D.V3

如圖所示，旋轉(zhuǎn)一次的圓盤（指針不落在邊界），指針落在圓盤中3分處的

概率為a,落在圓盤中2分處的概率為b,落在圓盤中0分處的概率為c,

（a,瓦ce（O,l））,己知旋轉(zhuǎn)一次圓盤得分的數(shù)學(xué)期望為1分，則"蠢的最小值為（）

D.-

3

8.已知雙曲線C：器一3=l（a>0,b>0）的漸近線經(jīng)過圓E：久2+,2_2%+4y=0的圓心，則

雙曲線C的離心率為（）

A.V5B.匹C.2D.V2

2

9.已知函數(shù)/（乂）=/+￡1/+（￡1+6）乂+1有極大值和極小值，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.—1<a<2B.—3<a<6

C.a<-3或a>6D.a<-1或a>2

二、多選題（本大題共2小題，共10.0分）

10.已知｛廝｝為等差數(shù)列，其前n項和Sn，a7+a8<0,則下列結(jié)論一定正確的是（）

A.若的>0,則公差d<0B.若的<0,則57最小

三、單空題（本大題共4小題，共20.0分）

12.已知等差數(shù)列｛5｝的前13項之和為等，則tan（a6+a7+口8）等于.

13.若曲線y=/+。％+b在點(diǎn)（0,力）處的切線方程是久一y+1=o,則a-b=

14.在△ABC中，已知/=半b=l,△ABC的外接圓半徑為1,則又說=；

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若直線y=2%與橢圓器+左=l(a>b>0)在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P,

且以0P為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點(diǎn)F,則橢圓的離心率是

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分)

16.已知p：|1-|<2,q：(x-1+m)(x-1-m)<0(m>0),若q是p充分不必要條件，求

實(shí)數(shù)6的取值范圍.

17.已知有限數(shù)列｛即｝，從數(shù)列｛即｝中選取第1項、第12項、……、第九項G<i2<-<品)，順次

排列構(gòu)成數(shù)列｛耿｝,其中瓦^ak,l<k<m,則稱新數(shù)列｛尻｝為｛5｝的長度為小的子列.規(guī)定：

數(shù)列｛即｝的任意一項都是｛即｝的長度為1的子列.若數(shù)列｛即｝的每一子列的所有項的和都不相同,

則稱數(shù)列為完全數(shù)列.

設(shè)數(shù)列｛心｝滿足廝=兀，1<n<25,neN*.

(I)判斷下面數(shù)列的兩個子列是否為完全數(shù)列，并說明由；

數(shù)列(1)：3,5,1,9,11；數(shù)列(2)：2,4,8,16.

(口)數(shù)列｛5｝的子列｛在｝長度為小，且｛尻｝為完全數(shù)列，證明：爪的最大值為6；

11111

(ni)數(shù)列｛%｝的子列｛須｝長度爪=5,且｛瓦:｝為完全數(shù)列，求良+豆+工+區(qū)+工的最大值.

18.設(shè)函數(shù)，奠礴=富普融/皆勘如富，曲線朋=,負(fù)崎過點(diǎn)P(l,0),且在P點(diǎn)處的切斜線率為2.

(1)求陋，物的值；

(2)證明：橫感鋼豈筑戌-￡

19.設(shè)A4BC的內(nèi)角4,B,C所對的邊分別為a、b、c,已知btarM=(2c—b)tcm8.

(1)求角4的大小；

(2)若△4BC的面積為3百，b+c=5V2,求a的值.

22

20.已知橢圓C；器+、=1(爪>0)與無軸交于兩點(diǎn)A2,與y軸的一個交點(diǎn)為8,△<84血的面

積為2.

(I)求橢圓C的方程及離心率;

(口)在y軸右側(cè)且平行于y軸的直線I與橢圓交于不同的兩點(diǎn)B，P2,直線&Pi與直線42P2交于點(diǎn)P?以

原點(diǎn)。為圓心，以力道為半徑的圓與x軸交于兩點(diǎn)M,N(點(diǎn)M在點(diǎn)N的左側(cè))，求|PM|-|PN|的值.

21.已知函數(shù)/(x)=(2—a)(x-1)—2"x,aE.R.

(I)若。=1,求曲線y=/(x)在點(diǎn)(1)(1))處的切線方程;

(E)若不等式/(%)>0在區(qū)間(0,》上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

參考答案及解析

1.答案：A

解析：

本題主要考查不等關(guān)系與不等式的性質(zhì).直接利用性質(zhì)判斷即可.

解：4項,留吧1啜0,

所以4>：腦1if-&ii**，

故A項錯誤，符合題意.

B項，甘嗯3嚼。，

故B項正確，不符合題意；

C項，劊嗯3嚼。，

所以一冬洪—迪冬戲，

所以[B]>]*|，

故C項正確，不符合題意；

D項，因為[

所以卜蠅學(xué)的卜姨即沙菖鵡

故。項正確，不符合題意；

故選A.

2.答案：D

解析：

本題主要考查了拋物線的應(yīng)用.解題的關(guān)鍵是靈活利用了拋物線的定義.屬于基礎(chǔ)題.

先設(shè)處P點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而求得拋物線的準(zhǔn)線方程，運(yùn)用定義，進(jìn)而求得P點(diǎn)橫坐標(biāo)，代入拋物線方程求

得P的縱坐標(biāo)，進(jìn)而得到三角形周長.

解:設(shè)POo,y°)，則I,九)

依題意可知拋物線準(zhǔn)線久=-1,焦點(diǎn)F為(1,0),

由拋物線的定義可得，\PM\=\PF\=3,

則沏+1=3

即尤0=3-1=2,

|y0|=2y/2,即有M(—l,±2近)，

.'.AMPF的周長為|PF|+\PM\+\FM\=6+V4T8=6+2遍.

故選D

3.答案：A

解析：

本題主要考查了導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.

對函數(shù)/(乃的解析式求導(dǎo)，得到其導(dǎo)函數(shù)，把％=以弋入導(dǎo)函數(shù)中，列出關(guān)于尸?)的方程，進(jìn)而得到

/‘?)的值,再求出/‘€)即可.

解：f(x)=/'€)-cosx-sinx,

則/''(久)——f'§)sinx—cosx,

1G)=-f(5sin2-C0SP

"G)=o,

???/'(%)=—cosx,

故選：A.

4.答案：A

解析：解：命題pi：3x0ER,XQ—2XQ+1<0;

當(dāng)%o=l時，等號成立，

故命題Pi為真命題.

2

p2：VxG[1,2],%—1>0,

則命題P2為真命題.

故：(~MA("2)為假命題?

故選：A.

直接利用真值表求出命題的真假.

本題考查的知識要點(diǎn)：真值表的應(yīng)用，命題真假的判斷，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬

于基礎(chǔ)題型.

5.答案：A

解析：

本題主要考查了正弦定理，兩角和的正弦函數(shù)公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

由正弦定理化簡已知等式可得sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=^sinB,又sinBW0,解得sinB=

結(jié)合范圍0VBV冗,即可求得B的值.

解：asinBcosC+csinBcosA=1b,

??.由正弦定理可得：sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=|sinB,

又sinBW0,

???sinAcosC+sinCcosA=解得：sin(Z+C)=sinB=

V0<B<7T,

...解得：B=N或..

o6

故選：A.

6.答案：C

解析：解：由約束條件作出可行域如圖，

目標(biāo)函數(shù)z=1%+y,即為y=-1%+z,作出直線y=-：x,

由圖可知，當(dāng)直線y=-1%平移至C處時，z取得最大值，

聯(lián)立昌工?-=。°，解得嗚》

則目標(biāo)函數(shù)Z的最大值為Z=?X：+?=

ZDDO

故選：C.

由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)

代入目標(biāo)函數(shù)得答案.

本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題.

7.答案：D

解析：解:因為數(shù)列｛/J為等差數(shù)列，｛4｝為等比數(shù)列,且滿足：a1003+a1013=n,b6-b9=2,

所以+。2015=。1003+a1013=兀，

by?Z)g—力6°bg=2,

所以tan°i+a2oi5—tan^-=tan-=V3.

771八l+b7b81+23

故選：D.

利用等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，可得的+。2015=^1003+。1013=江，力7，力8=力6，既=2,于是

可得誓薩=?從而可得答案.

■L十。7。8$

本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)，考查特殊角的正切，求得豈鬻=5是關(guān)鍵，考查運(yùn)算求解

能力，屬于中檔題.

8.答案：A

解析：解：由題意可得數(shù)學(xué)期望為3a+26+0xc=l,

2121

%+需=（￡+五）加+2出

24ba204ba32

=6+3+T+b-T+2—?一=—

ab3

當(dāng)且僅當(dāng)冷抑a/b=［時取等號,

*，?~+白的最小值為

a3b3

故選：A.

由數(shù)學(xué)期望可得3a+2b=l,可得々+/=S+白)(3a+26)=6+|+竺+g由基本不等式可得.

a3b3by''3ab

本題考查基本不等式，涉及數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.

9.答案：A

解析：解：根據(jù)題意，雙曲線C：1一4=l(a>0,6>0),

a2b2-v'

其焦點(diǎn)在工軸上，則其漸近線方程為y=±：x,

圓E：/+丫2一2%+4y=0的圓心為(1,-2),若雙曲線的漸近線經(jīng)過圓E的圓心，

則雙曲線的一條漸近線方程為y=-2x,

則有2=2,即匕=2a,

a

則=a2+b2=5a2,即c=ma,

則雙曲線的離心率e=(=有；

故選：力.

根據(jù)題意，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可得雙曲線的漸近線方程為y=±(x,求出圓E的圓心，分析可得雙

曲線的一條漸近線方程為y=-2乂，則有3=2,即6=2a,由雙曲線的幾何性質(zhì)可得c=逐心由離

心率公式計算可得答案.

本題考查雙曲線的幾何性質(zhì)以及圓的一般方程，注意先求出雙曲線的漸近線方程.

10.答案:C

解析：

本題主要考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，熟悉導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的方法是解答本題的關(guān)鍵，是高考中常見的題型,

屬于基礎(chǔ)題.

解：由于/'(%)—x3+ax2+(a+6)x+1,有/'‘(%)=3x2+2ax+(a+6).

若f(x)有極大值和極小值,則小=4a2-12(a+6)>0,

從而有a>6或a<-3,

故選C.

11.答案：AD

解析：解：4、當(dāng)%>0時，因為a7+=2a1+13d<0,所以d<0,故A正確.

B、當(dāng)?shù)?lt;0,d<0時，滿足a7+a8<0,Sn無最小值，故2錯誤.

C、當(dāng)a1>0,d<0,且滿足a7+<0時，a8<0,此時S15=15。8，當(dāng)?shù)?lt;0，d>0,且滿足

a7+a8<OH1t,48的符號無法確定，故C錯誤.

￡>、S]4=7((17+。8)<0,故。正確.

故選：AD.

由題意利用等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，得出結(jié)論.

本題主要考查等差數(shù)列的求和公式以及等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

12.答案:ABC

解析：解：對于4因為當(dāng)M在&D上運(yùn)動時，AQl平面2/1CD,

于是力Di1CM,所以4對；

對于8,因為點(diǎn)M存在無數(shù)個位置滿足到直線4。和點(diǎn)。1的距離相等,

即拋物線段，因為G久1平面4415。，

所以GDilMDi，即為M到直線GA距離，所以B對；

對于C,三棱錐B-GMD的體積等于三棱錐M-BCiD的體積，

當(dāng)M運(yùn)動到4時其體積最大，體積為1-g所以C對；

OD

V2廣

對于D,因為CO〃CiDi〃A/i/M%4i=6為異面直線BiM與CD所成的角，汝加=生吧>五=①>

A1B1~12

漁，所以6>30。，所以D錯.

3

故選：ABC.

根據(jù)直線和平面位置關(guān)系，尋找滿足條件的點(diǎn)M即可判斷4BC；尋找成角最小者大于30。判斷0.

本題以命題的真假判斷為載體，考查了空間直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.

13.答案：一1

解析：試題分析：根據(jù)等差數(shù)列小｝的前13項之和空空應(yīng)=13a7=學(xué)，求得。7=則tanQ+

244

a7+a8)=tan(3a7),運(yùn)算求得結(jié)果.

由題意可得曳竽應(yīng)=13a7=等，i=p

3TC

則tan(Q6+與+為)=tan(3a7)=tan—=—1,

故答案為：-1.

14.答案：0

解析：解：,曲線y=/+。％+b在點(diǎn)(0/)處的切線方程是％-y+1=0,

.??切線的斜率為1,切點(diǎn)為(0,1),可得b=l.

又???yr=2x+a,?,.2x0+a=1,解得a=1.

???a—b=0.

故答案為：0.

根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出函數(shù)y在％=0處的導(dǎo)數(shù)，從而求出切線的斜率，建立等量關(guān)系求出。，再根

據(jù)點(diǎn)(0,b)在切線久-y+1=0上求出b即可.

熟練掌握導(dǎo)數(shù)的幾何意義和切線方程是解題的關(guān)鍵.

15.答案：立

2

解析：解：由正弦定理可得：a=2Rs譏4=2xlxsing=b,sinB=±=^-=1,

32R2X12

_TT

由a=V5>1=6,可得B為銳角，從而解得：B=O

故解得：c=TI-A-B=71-^-^^.

DOZ

則SUBC=|ctbsinC=|xV3x1xsin

故答案為：坦.

2

由正弦定理可求a=2RsinA=百，s出B=白=；,由大邊對大角a=b>1=6，可得B為銳角，

從而解得B,C,利用三角形面積公式即可得解.

本題主要考查了正弦定理，大邊對大角，三角形面積公式等知識的應(yīng)用，屬于基本知識的考查.

16.答案：V2—1

解析：解：以。尸為直徑的圓恰好經(jīng)過右焦點(diǎn)F(c,0),

可得尸F(xiàn)l%軸，令％=C,可得y=±bjl一捺=±9，

設(shè)可得—=2c,

即為M—c2=b2=2ac,

由e=￡可得02+2e-1=0,

a

解得e=V2—1(負(fù)的舍去)，

故答案為：V2-1.

由題意可得PFlx軸，求得P的坐標(biāo)，由P在直線y=2x上，結(jié)合離心率公式，解方程可得所求值.

本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，以及圓的性質(zhì)，考查方程思想和運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

17.答案：解：由：|1—~~|<2,得一2<久W10,

■■■m>0,1+m>1—m

:由[x—(1+m)][x—(1—m)]<0,

得：1—m<x<l+m

因為q是p的充分不必要條件，

(1—m>—2

所以|l+niW10,.??0<mW3,

.m>0

故實(shí)數(shù)m的取值范圍是(0,3].

解析：先分別求得p,q所對應(yīng)的集合，再根據(jù)q是p的充分不必要條件，可求實(shí)數(shù)小的取值范圍.

本題以集合為載體，考查四種條件，解不等式，利用q是p的充分不必要條件，構(gòu)建不等式組是解題

的關(guān)鍵.

18.答案：解：(I)數(shù)歹！1(1)不是｛冊｝的完全數(shù)列；數(shù)歹！)(2)是｛時｝的完全數(shù)列.

理由如下：

數(shù)列(1)：3,5,7,9,11中，因為3+9=5+7=12,所以數(shù)歹鼠1)不是｛時｝的完全數(shù)列；

數(shù)列(2)：2,4,8,16中，所有項的和都不相等，數(shù)列(2)是｛即｝的完全數(shù)列.

(口)假設(shè)數(shù)列｛瓦｝長度為爪27,不妨設(shè)m=7,各項為瓦<b2<b3<■■■<b7.

考慮數(shù)列｛4｝的長度為2，3,...7的所有子列，一共有27-1-7=120個.

記數(shù)列｛尻｝的長度為2,3,…7的所有子列中，各個子列的所有項之和的最小值為a,最大值為從

所以a=瓦+匕2，4=&+與+25+24+23+22+21=&+歷+115.

所以其中必有兩個子列的所有項之和相同.

所以假設(shè)不成立.

再考慮長度為6的子列：12,18,21,23,24,25,滿足題意.

所以子列｛尻｝的最大長度為6.

（m）數(shù)列5｝的子列｛3長度w=5,且｛尻｝為完全數(shù)列，且各項為瓦<無<&<???<為.

所以，由題意得，這5項中任意i（lWiW5）項之和不小于2?-1.

即對于任意的1<i<5,有瓦+無+么+…+打22,一1,

即瓦++…+濟(jì)21+2+4+…+2^1.

對于任意的1<i<5,（瓦—1）+（歷一2+…+（仇-2?T）>0,

設(shè)&=仇一2i_1（i=1,2,3,4,5）,則數(shù)列｛1｝的前/項和3>0。=1,2,3,4,5）.

下面證明：怖+怖+戶1+打'

因為（1+#卜勺+怖+*+2+2）=（1_（）+?/）+?_e+*_意+段/）

_/_1+_2-2+匕3-4|匕4-8+匕5-16

匕12b24匕38匕416匕5'

=2+吐曳+吐絲+空巴+三3

%2匕24匕38匕416b5

=Ml京）+4（京一加+。3（表—京）+。4臉—盅）+。5?嘉20.

所以高+￡+*+2+*1+!+5+上=+當(dāng)且僅當(dāng)仇=2?-10=1,2,3,4,5）時,等號成立.

所以求++++++京++的最大值為2

。2。3。4。516

解析：（I）直接利用信息的應(yīng)用和定義的應(yīng)用整理出結(jié)果.

（n）根據(jù)定義的應(yīng)用求出子列的長度.

（田）利用信息的應(yīng)用和關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用求出最大值.

本題考查的知識要點(diǎn)：數(shù)列的信息題的應(yīng)用，關(guān)系式的恒等變換的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力

和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于中檔題型.

19.答案：（1）翻=一4描=覆；（2）詳見解析.

解析：試題分析：（1）由曲線彈=,觀城過點(diǎn)更（1,。），將點(diǎn)更坐標(biāo)代入解析式中，得關(guān)于礴盤的方程，

再利用/tD=&得關(guān)于螭撒的另一個方程，聯(lián)立求出魏題；（2）證明磷士教：磷，可構(gòu)造差函數(shù)

，微磁=題感一憊燎，證明就0M“，此題記或磷燃）圖=循-富-.一帶鼬!篇，然

后利用導(dǎo)數(shù)求密《感:的最大值.

前僚=@［于喇=幽

試題解析：⑴演黑礴=也如好，*由已知條件得i式二￡即相;」“「二解得謝=-肥=氮;

湍$《期二及"LlT翱jfTT耀=房.

⑵加黛的定義域為購盤由由。)知於域=富-一帶瓠相；，設(shè)煲城：="翼域:-簪富'-瀚：=

罷一害一一書3&砂則rW=_卜超，-=8*例，當(dāng)@Y/cn時，當(dāng)

:嘉時，息飛檄Y帆所以息嗖礴在例須上單調(diào)增加，在(1,+翻)上單調(diào)減少，?,?,顏磷心二番磔:=?，

故當(dāng)?shù)谮瘼鈺r，息《'礴唱順，即防儂加￡公霽-冥

考點(diǎn)：1、導(dǎo)數(shù)的幾何意義；2、利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值.

20.答案：解：(l)ZkABC中，btanA=(2c—b^tanB,

由正弦定理得sinB,附”=(2sinC-sinB)?三巴

cosAcosB

因為sinBW0,所以s譏/cosB=2sinCcosA-cosAsinB,

^sinAcosB+cosAsinB=2sinCcosA,

所以sin(/+B)=2sinCcosB,

即sinC=2sinCcosA；

又Ce所以sinCW0,所以cosZ=I；

又/e(0,7T),所以A=p

(2)因為△ABC的面積為：

S--bcsinA=-bcsin-=—bc=3A/3?

LABC2234

所以be=12；

又b+c=5V2,

所以爐+2bc+c2=50,

所以爐+c2=26；

由余弦定理得a?=b2+c2-2bccosA=26-12=14,

所以a=V14.

解析：(1)根據(jù)題意利用正弦定理與三角恒等變換，結(jié)合三角形內(nèi)角和定理，即可求出4的值;

(2)利用三角形的面積公式和余弦定理，即可求得a的值.

本題考查了解三角形的應(yīng)用問題，也考查了運(yùn)算求解能力，是中檔題.

21.答案:(共13分)

解：(I)因為TH>0,由橢圓方程知：a2—4m,b2-m,a=2y[m,b-

S^BA1A2=Ix2ab=2yjm?y/m=2m=2,所以TH=1.

所以橢圓C的方程為次+y2=i.

4

222

由a=2,b=1,a=b+cf得c=百，

所以橢圓C的離心率為苧.…(5分)

(II)設(shè)點(diǎn)P(久p,yp),Pi(x0,y0),P2(x0,—y0)(x0>0),

不妨設(shè)4(—2,0),4(2,0)，

設(shè)PMi：y=-^-(x+2),P2A2；y=^(x-2),

(y=(%+2),(xP—

由J)x+2V々日「%。'

由"言0(一產(chǎn)"當(dāng)

卜0=/，

即|。Ay

,7_配一_知_2yp

V0~2~2~Xp'

又F+據(jù)=1,得率+誓=1,

化簡得資—煽=l(xP>0).

因為&(-