教案2006-2007學年第1學期課程名稱：數(shù)學分析3課程編號：4081103：數(shù)學科學學院、數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、05級任課教師：姜子文數(shù)學科學學院山東師范大學《數(shù)學分析3》教案-------------------------------------------------------------------------------------課程簡介《數(shù)學分析》課程是高等師范院校和綜合性大學數(shù)學類專業(yè)——數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè)、信息與計算科學專業(yè)本、專科的一門重要基礎課，是進一步學習復變函數(shù)論、微分方程、微分幾何、概率論、實變分析與泛函分析等后繼課程的階梯，是考取數(shù)學類碩士研究生的必考基礎課之一。本課程內(nèi)容包括極限論、函數(shù)微分學、函數(shù)積分學、無窮級數(shù)等方面的系統(tǒng)知識，用現(xiàn)代數(shù)學工具——極限的思想與方法研究函數(shù)的分析特性——連續(xù)性、可微性、可積性。本課程所講授的這些內(nèi)容和方法是現(xiàn)代應用數(shù)學的基礎，是數(shù)學類專業(yè)學生必須具備的最基礎的基本訓練，是實現(xiàn)數(shù)學類專業(yè)培養(yǎng)目標的重要基礎課?！稊?shù)學分析》課程在大學低年級開設，它集科學性、嚴密性與連貫性于一體，系統(tǒng)性與邏輯性強，是連接初等數(shù)學與高等數(shù)學的橋梁，也是區(qū)分初等數(shù)學與高等數(shù)學的標志。對于剛上大學的大學生來說，在從初等數(shù)學（用非極限方法研究常量數(shù)學）到高等數(shù)學（用極限方法研究變量數(shù)學）的轉(zhuǎn)變過程中，本課程的學習起著關鍵的作用。通過本課程的學習，學生可以對近代應用數(shù)學的發(fā)展有一個初步的了解，進而提高學習數(shù)學的興趣，提高應用所學數(shù)學知識解決實際問題的能力與意識。通過本課程的講授，可以引導學生了解當前數(shù)學領域的最新發(fā)展狀況，培養(yǎng)學生探索新知識的意識和能力。《數(shù)學分析》課程授課時間為三個學期，各學期課程名稱分別為：《數(shù)學分析(1)》、《數(shù)學分析(2)》、《數(shù)學分析(3)》。其中《數(shù)學分析(1)》主要包括如下內(nèi)容：函數(shù)；數(shù)列極限；函數(shù)極限；函數(shù)連續(xù)性；實數(shù)連續(xù)性的基本定理；導數(shù)與微分。授課學期：第一學期；授課總時數(shù)：108學時；學分：6學分。《數(shù)學分析(2)》主要包括如下的內(nèi)容：不定積分；定積分；定積分的應用；級數(shù)理論。授課學期：第二學期；授課總時數(shù)：108學時；學分：6學分。《數(shù)學分析(3)》主要包括如下的內(nèi)容：多元函數(shù)偏導數(shù)，多元函數(shù)可微性，多元函數(shù)Taylor公式，多元函數(shù)極值，多元函數(shù)定積分、面積分、線積分及格林公式，高斯公式，斯托克斯公式。授課學期：第三學期；授課總時數(shù)：98學時；學分：6學分?，F(xiàn)用教材：《數(shù)學分析》課程現(xiàn)在所用教材為面向21世紀課程教材和國家九五重點教材——華東師范大學主編的《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版）。同步參考教材：《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），吳良森等編著；《數(shù)學分析學習指南》（自編）（上、下及下下冊）；《數(shù)學分析研究》，馬順業(yè)編著；《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），劉玉璉等等編著等教材或教學參考書?！稊?shù)學分析3》教案-------------------------------------------------------------------------------------教學大綱1、說明數(shù)學分析（3）的教學內(nèi)容為多元函數(shù)的極限與連續(xù)、多元函數(shù)的微分學、隱函數(shù)定理及其應用、含參量正常積分、曲線積分、重積分、曲面積分等七章內(nèi)容。通過教學，可使學生了解到多元函數(shù)與一元函數(shù)的差異與聯(lián)系，理解到積分學多方面的應用。另外，由于學期的差異所造成的原因，本學期的數(shù)學分析3這門課程還將講述傅立葉（Fourier）級數(shù)這一章內(nèi)容。本課程授課學期：第三學期；授課總時數(shù)：108學時；學分：6學分。2、課程內(nèi)容及課時分配一、傅立葉（Fourier）級數(shù)（11學時）三角級數(shù)，三角函數(shù)系的正交性，傅立葉級數(shù)，貝塞爾（Bessel）不等式，黎曼——勒貝格（Riemann-lebesgue）定理，傅立葉級數(shù)的部分和公式，按段光滑且以2π為周期的函數(shù)展開為傅立葉級數(shù)的收斂定理，奇函數(shù)與偶函數(shù)的傅立葉級數(shù)，以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)，一致收斂性定理，傅立葉級數(shù)的逐項積分與逐項微分，維爾斯特拉斯的函數(shù)逼近定理*。二、多元函數(shù)的極限與連續(xù)（13學時）平面點集概念（鄰域、內(nèi)點、界點、開集、閉集、開域、閉域等），平面點集的基本定理一區(qū)域套定理、聚點定理、有限覆蓋定理。二元函數(shù)概念。二重極限，累次極限，二元函數(shù)連續(xù)性，復合函數(shù)的連續(xù)性定理，有界閉域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)。n維空間與n元函數(shù)（距離、三角形不等式、極限、連續(xù)性等）*。注：建議用映射觀點定義多元函數(shù)。三、多元函數(shù)的微分學（19學時）偏導數(shù)及其幾何意義，全微分概念，全微分的幾何意義，全微分存在的充分條件，全微分在近似計算中的應用，方向?qū)?shù)與梯度，復合函數(shù)的偏導數(shù)與全微分，一階微分形式的不變性，高階導數(shù)及其與順序無關性，高階微分，二元函數(shù)的泰勒定理，二元函數(shù)極值。注：在極值舉例中可介紹“最小二乘法”。四、隱函數(shù)定理及其應用（13學時）隱函數(shù)概念，隱函數(shù)定理，隱函數(shù)求導。隱函數(shù)組概念，隱函數(shù)組定理，隱函數(shù)組求導，反函數(shù)組與坐標變換，函數(shù)行列式，函數(shù)相關*。幾何應用，條件極值與拉格朗日乘數(shù)法。注：建議用映射觀點闡述函數(shù)組、反函數(shù)組與坐標變換的概念。五、含參量積分（13學時）含參量積分概念，連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換。含參量反常積分的收斂與一致收斂，一致收斂的柯西準則，維爾斯特拉斯判別法、連續(xù)性、可積性與可微性，積分順序的交換*。Γ函數(shù)與B函數(shù)。六、曲線積分（10學時）第一型和第二型曲線積分概念與計算，格林（Green）公式，曲線積分與路徑無關條件。七、重積分（16學時）平面圖形面積，二重積分定義與存在性，二重積分性質(zhì)，二重積分計算（化為累次積分），二重積分的換元法（極坐標變換與一般變換）。三重積分定義與計算，三重積分的換元法（柱坐標變換、球坐標變換與一般變換）。重積分應用（體積，曲面面積，重心，轉(zhuǎn)動慣量等）。n重積分*。無界區(qū)域上反常二重積分的收斂性概念，無界函數(shù)的反常二重積分。注1：用微元法講重積分應用。注1：在講授無界區(qū)域上非正常二重積分時，介紹SKIPIF1<0的計算。八、曲面積分（13學時）曲面的側(cè)，第一型和第二型曲面積分概念與計算，奧斯特羅格拉斯基一高斯公式，斯托克斯（Stokes）公式。場論初步（場的概念、梯度場、散度場、旋度場、管量場與有勢場）。楔積、微分形式、外微分與一般斯托克斯公式*。注1：本單元最后的*號部分僅作形式的處理。注2：為了與數(shù)學分析其它分支聯(lián)系的更緊密，我們建議主要介紹康托爾的基本序列說，對戴德金德分割說僅介紹其大意。《數(shù)學分析3》教案授課時間2006.9.12第1次課授課章節(jié)第十五章第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社20XX年版吳良森等編著《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社20XX年版馬順業(yè)編著《數(shù)學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：1.明確認識三角級數(shù)的產(chǎn)生及有關概念；2.理解以為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù)的有關概念、定義和收斂定理.教學重點，難點：重點:將一個函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；難點:Fourier級數(shù)的收斂性的判別.教學內(nèi)容：一、傅立葉級數(shù)1．三角級數(shù)三角級數(shù)的定義形如SKIPIF1<0的函數(shù)項級數(shù)稱為三角級數(shù)，它是由三角函數(shù)列（也稱為三角函數(shù)系）SKIPIF1<0所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù).注：是由三角函數(shù)列（或三角函數(shù)系）SKIPIF1<0所產(chǎn)生的函數(shù)項級數(shù)一般形式SKIPIF1<0，之所以表示為為SKIPIF1<0，是為了討論該級數(shù)一致收斂時系數(shù)SKIPIF1<0與其和函數(shù)之間關系表述方便.《數(shù)學分析3》教案三角級數(shù)的應用背景在自然界中周期現(xiàn)象是很多的，如單擺運動、無線電波等，都可以用周期函數(shù)——正、余弦函數(shù)來表示，這是因為周期現(xiàn)象的數(shù)學描述就是周期函數(shù).但是較復雜的周期現(xiàn)象如熱傳導、電流傳播、機械振動等不僅需要正、余弦函數(shù)表示，而且需要很多以至于無窮多個正、余弦函數(shù)疊加來表示，這在數(shù)學上就是將周期函數(shù)展開成無窮多個正、余弦函數(shù)之和的問題.因此要研究由三角函數(shù)列所產(chǎn)生的級數(shù)即三角級數(shù)，特別必須研究由一個函數(shù)做出的三角級數(shù)即傅立葉級數(shù).2．正交函數(shù)系定義設函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0定義于區(qū)間SKIPIF1<0上.若有SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則稱函數(shù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0定義于區(qū)間SKIPIF1<0上是正交的.若定義于區(qū)間SKIPIF1<0上的函數(shù)列SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），且SKIPIF1<0，則稱函數(shù)列SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上具有正交性，或稱函數(shù)列SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上是正交函數(shù)系.例如，三角函數(shù)系SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的正交函數(shù)系.事實上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.容易看出，三角函數(shù)系SKIPIF1<0中所有函數(shù)具有共同周期SKIPIF1<0，故容易驗證若三角級數(shù)SKIPIF1<0收斂，則它的和函數(shù)一定是一個以SKIPIF1<0為周期的函數(shù).3．三角級數(shù)收斂定理及其性質(zhì)定理15.1若級數(shù)SKIPIF1<0收斂，則三角級數(shù)SKIPIF1<0在整個數(shù)軸上絕對收斂且一致收斂.證明：利用優(yōu)級數(shù)判別法.性質(zhì)：定理15.2若在整個數(shù)軸上SKIPIF1<0且等式右邊級數(shù)一致收斂，則則有如下關系式：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.證明：利用一致收斂函數(shù)項級數(shù)的逐項可積性、第十三章第一節(jié)習題4、三角函數(shù)系的正交性即可.二、以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)1．傅立葉級數(shù)的定義設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0上以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上可積，稱形如SKIPIF1<0的函數(shù)項級數(shù)為SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)(或SKIPIF1<0的傅立葉展開式)，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù)，記為SKIPIF1<0.注：1）在未討論收斂性，即證明SKIPIF1<0一致收斂到SKIPIF1<0之前，不能將“~”改為“=”；此處“~”也不包含“等價”之意，而僅僅表示SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)，或者說SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)是SKIPIF1<0.2)求SKIPIF1<0上SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)，只需求出傅立葉系數(shù).例1設SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)，其在SKIPIF1<0上可表示為SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0的傅立葉展開式.三、收斂定理1．按段光滑的定義設函數(shù)SKIPIF1<0定義于區(qū)間SKIPIF1<0上.若函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上至多有有限個第一類間斷點，其導函數(shù)在SKIPIF1<0上除了至多有限個點外都存在且連續(xù)，在這有限個點上導函數(shù)的左、右極限存在，則稱SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑.（注：導函數(shù)的間斷點只能是第二類間斷點.）《數(shù)學分析3》教案注：區(qū)間SKIPIF1<0上的按段光滑函數(shù)SKIPIF1<0具有性質(zhì)：（1）SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積.（2）SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上沒一點都存在左右極限SKIPIF1<0，且有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（3）補充定義SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上那些至多有限個不存在點上的值后（仍記為SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積.2．收斂定理定理15.3以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑，則在每一點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù)SKIPIF1<0收斂于SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左、右極限的算術平均值，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù).(證明放到以后進行)推論若函數(shù)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的連續(xù)函數(shù)，且在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑，則SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)在SKIPIF1<0上收斂于SKIPIF1<0.注：3）計算SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù)的積分也可以沿別的長度為SKIPIF1<0的區(qū)間來積.如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0例2設SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)，其在SKIPIF1<0上等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù).注：4)在具體討論函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式時，通常只給出SKIPIF1<0在長為SKIPIF1<0的區(qū)間上的解析表達式，例如在SKIPIF1<0上的解析表達式，此時我們應對SKIPIF1<0作解析延拓，即定義SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使其以SKIPIF1<0為周期，它有下述性質(zhì)：a)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；b)SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為周期.因此SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)就是指SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù).例3把函數(shù)SKIPIF1<0展開為Fourier級數(shù).《數(shù)學分析3》教案解參閱例1,有SKIPIF1<0例4展開函數(shù)SKIPIF1<0.解SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上連續(xù)且按段光滑,又SKIPIF1<0，因此有SKIPIF1<0.(倘令SKIPIF1<0,就有SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0)例5在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)把函數(shù)SKIPIF1<0展開成Fourier級數(shù).練習1（2）（i）解法一(直接展開)SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)連續(xù)且按段光滑,因此有SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.《數(shù)學分析3》教案由于SKIPIF1<0,SKIPIF1<0該展開式在SKIPIF1<0上成立.(在該展開式中,取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0;取SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.)解法二(間接展開:對例3中SKIPIF1<0的展開式作積分運算)由例3,在區(qū)間SKIPIF1<0內(nèi)有SKIPIF1<0.對該式兩端積分,由Fourier級數(shù)可逐項積分,有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.為求得SKIPIF1<0,上式兩端在SKIPIF1<0上積分,有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0因此,SKIPIF1<0SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.注：若題目中給定的函數(shù)只是在長度為SKIPIF1<0的區(qū)間上，解題時一定要先延拓，再按收斂定理判斷傅立葉級數(shù)是否收斂，然后進行展開.做到一定程度以后，可以不用延拓，直接先判斷函數(shù)是否按段光滑，即傅立葉級數(shù)是否收斂，然后進行展開.《數(shù)學分析3》教案復習思考題、作業(yè)題：1（1），2（2），3（1），7（1），8下次課預習要點15.2以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)的傅立葉級數(shù)實施情況及教學效果分析完成教學內(nèi)容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數(shù)學分析3》教案授課時間2006.9.14第2次課授課章節(jié)第十五章第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社20XX年版吳良森等編著《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社20XX年版馬順業(yè)編著《數(shù)學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開的基本方法．(2)掌握通過對函數(shù)做奇延拓或偶延拓并展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù)的基本方法．教學重點，難點：重點:將一個以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)展開成Fourier級數(shù)；難點:理解將一個函數(shù)展開為正弦級數(shù)或余弦級數(shù).教學內(nèi)容：一.以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)的Fourier級數(shù):設函數(shù)SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為周期,在區(qū)間SKIPIF1<0上(R)可積.作代換SKIPIF1<0,則函數(shù)SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為周期.由SKIPIF1<0是線性函數(shù),SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上(R)可積.函數(shù)SKIPIF1<0的Fourier系數(shù)為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0《數(shù)學分析3》教案還原為自變量SKIPIF1<0,注意到SKIPIF1<0,就有SKIPIF1<0SKIPIF1<0其中SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,當函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑時,SKIPIF1<0可展開為Fourier級數(shù).注三角函數(shù)系SKIPIF1<0是區(qū)間SKIPIF1<0上的正交函數(shù)系.例1

把函數(shù)SKIPIF1<0展開成Fourier級數(shù).P72例1二.正弦級數(shù)和余弦級數(shù):1.

區(qū)間SKIPIF1<0上偶函數(shù)和奇函數(shù)的Fourier級數(shù):設函數(shù)SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為周期的偶函數(shù)，或是定義于SKIPIF1<0上的偶函數(shù)，則SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)為SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.同理，設函數(shù)SKIPIF1<0以SKIPIF1<0為周期的奇函數(shù)，或是定義于SKIPIF1<0上的齊函數(shù)，則SKIPIF1<0的傅立葉級數(shù)為SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.《數(shù)學分析3》教案特別，SKIPIF1<0時有SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.2.

奇展開和偶展開:在實際應用中，有時需把定義在SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）上的函數(shù)SKIPIF1<0展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù).可先把定義在SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）上的函數(shù)作偶式延拓或作齊式延拓到SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）上，然后求延拓后函數(shù)的傅立葉級數(shù).也可不必做延拓，直接按公式SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0或SKIPIF1<0～SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0直接計算出SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù)和傅立葉級數(shù).把定義在SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）上的函數(shù)SKIPIF1<0展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù)通常稱為偶展開和奇展開.例2

設SKIPIF1<0.求SKIPIF1<0的Fourier級數(shù)展開式.P74例2例3

把定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)SKIPIF1<0（其中之一SKIPIF1<0)展開成正弦級數(shù).例4

把函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)展開成:1）正弦級數(shù);2）余弦級數(shù).P76例4

《數(shù)學分析3》教案復習思考題、作業(yè)題：1（1）、（2），2，4，5，6.下次課預習要點15.3收斂定理的證明實施情況及教學效果分析完成教學內(nèi)容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數(shù)學分析3》教案授課時間2006.9.19第3次課授課章節(jié)第十五章第三節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社20XX年版吳良森等編著《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社20XX年版馬順業(yè)編著《數(shù)學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：(1)掌握貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理；了解收斂定理的證明要點．(2)理解收斂定理的證明．教學重點，難點：重點:貝塞爾不等式，黎曼-勒貝格定理、預備定理2.難點:收斂定理的證明.教學內(nèi)容：定理15.3（Dini定理）以SKIPIF1<0為周期的函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑，則在每一點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù)SKIPIF1<0收斂于SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的左、右極限的算術平均值，即SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù).證明思路:設SKIPIF1<0SKIPIF1<0，對每一點SKIPIF1<0SKIPIF1<0，我們要證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0.即證明《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0SKIPIF1<0.方法是把該極限表達式化為積分,利用Riemann—Lebesgue定理證明相應積分的極限為零.施證方案:1.

寫出SKIPIF1<0的簡縮形式.稱這一簡縮形式為SKIPIF1<0的積分形式,或稱為Dirichlet積分,即SKIPIF1<0.利用該表示式,式SKIPIF1<0可化為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0,于是把問題歸結(jié)為證明SKIPIF1<0SKIPIF1<0,和SKIPIF1<0SKIPIF1<0.《數(shù)學分析3》教案這兩式的證明是相同的,只證第一式.

2.為證上述第一式,先利用三角公式SKIPIF1<0建立所謂Dirichlet積分SKIPIF1<0,利用該式把SKIPIF1<0表示為積分,即把SKIPIF1<0表示為Dirichlet積分SKIPIF1<0SKIPIF1<0.于是又把上述1中所指的第一式左端化為SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3.利用所謂Riemann—Lebesgue定理證明上述極限為零.為此,先證明Bessel不等式(P78預備定理1),再建立Riemann—Lebesgue定理.4.把上式化為應用Riemann—Lebesgue定理的形式,即令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,《數(shù)學分析3》教案則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.為使最后這一極限等于零,由Riemann—Lebesgue定理,只要函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積.因此希望SKIPIF1<0存在.由函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上按段光滑,可以驗證SKIPIF1<0存在.預備定理及其推論:為實施以上證明方案,我們先建立以下預備定理和其推論.預備定理1(Bessel不等式)若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積,則有Bessel不等式SKIPIF1<0SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的傅立葉系數(shù).

證P78.推論1(Riemann—Lebesgue定理)若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積,則有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.證P79.推論2若函數(shù)SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上可積,則有SKIPIF1<0,SKIPIF1<0.證P79.

預備定理2若函數(shù)SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為周期的周期函數(shù),且在區(qū)間SKIPIF1<0上可積,則函數(shù)SKIPIF1<0的Fourier級數(shù)部分和SKIPIF1<0有積分表示式《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0.當SKIPIF1<0時,被積函數(shù)中的不定式由極限SKIPIF1<0來確定.Dirichlet積分:SKIPIF1<0.證由三角公式SKIPIF1<0,SKIPIF1<0SKIPIF1<0.

Dini定理的證明:P81—82.

《數(shù)學分析3》教案復習思考題、作業(yè)題：1Fourier級數(shù)與三角級數(shù)的區(qū)別與聯(lián)系.2設可積函數(shù)的Fourier級數(shù)在區(qū)間上一致收斂于,則成立Parseval等式.下次課預習要點16.1平面點集與多元函數(shù)實施情況及教學效果分析完成教學內(nèi)容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數(shù)學分析3》教案授課時間2006.9.21第4次課授課章節(jié)第十六章第一節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社20XX年版吳良森等編著《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社20XX年版馬順業(yè)編著《數(shù)學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：1了解平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義2了解SKIPIF1<0的完備性教學重點，難點：重點：平面中的鄰域，開集，閉集，開域，閉域的定義難點：掌握SKIPIF1<0的完備性定理教學內(nèi)容：§1平面點集與多元函數(shù)在前面各章中，我們所討論的函數(shù)都只限于一個自變量的函數(shù)，簡稱一元函數(shù).但是在更多的問題中所遇到的是多個自變量的函數(shù).例如，矩形的面積SKIPIF1<0，描述了面積SKIPIF1<0和長SKIPIF1<0、寬SKIPIF1<0這兩個變量之間的函數(shù)關系.又如，燒熱的鐵塊中每一點的溫度SKIPIF1<0與該點的位置之間有著確定的函數(shù)關系，即當鐵塊中點的位置用坐標SKIPIF1<0表示時，溫度SKIPIF1<0由SKIPIF1<0這三個變量所確定.如果進一步考慮上述鐵塊的冷卻過程，那么溫度SKIPIF1<0還與時間SKIPIF1<0有關，即SKIPIF1<0的值由SKIPIF1<0這四個變量所確定.這種兩個、三個或四個自變量的函數(shù)，分別稱為二元、三元或四元函數(shù)，一般統(tǒng)稱為多元函數(shù).多元函數(shù)是一元函數(shù)的推廣，因此它保留著一元函數(shù)的許多性質(zhì)，但也由于自變量由一個增加到多了，產(chǎn)生了某些新的內(nèi)容，讀者對這些內(nèi)容尤其要加以注意.對于多元函數(shù)，我們將著重討論二元函數(shù).在掌握了二元函數(shù)的有關理論與研究方法之后，我們可以把它推廣到一般的多元函數(shù)中去.一元函數(shù)的定義域是實數(shù)軸上的點集；二元函數(shù)的定義域?qū)⑹亲鴺似矫嫔系狞c集.因此，在討論二元函數(shù)之前，有必要了解有關平面點集的一些基本概念.一平面點集由平面解析幾何知道，當在平面上確定了一個坐標系（今后如不特別指出，都假定是直角坐標系）《數(shù)學分析3》教案之后，所有有序?qū)崝?shù)對SKIPIF1<0與平面上所有的點之間建立了一一對應.因此，今后將把“數(shù)對”與“平面上的點”這兩種說法看作是完全等同的.這種確定了坐標系的平面,成為坐標平面.坐標平面上滿足某種條件SKIPIF1<0的點的集合，稱為平面點集,并記作SKIPIF1<0例如全平面上的點所組成的點集是SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面上以原點為中心，SKIPIF1<0為半徑的圓內(nèi)所有的點的集合是SKIPIF1<0SKIPIF1<0而集合SKIPIF1<0SKIPIF1<0則為一矩形及其內(nèi)部所有點的全體，為書寫上的方便，也常把它記作SKIPIF1<0.平面點集SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別稱為為以點SKIPIF1<0為中心的SKIPIF1<0圓鄰域與SKIPIF1<0方鄰域（圖16-1）.由于點SKIPIF1<0的任一圓鄰域可以包含在點SKIPIF1<0的某一方鄰域之內(nèi)（反之亦然），因此，通常用“點SKIPIF1<0的SKIPIF1<0鄰域”或“點SKIPIF1<0的鄰域”泛指這兩種形狀的鄰域，并以記號SKIPIF1<0或SKIPIF1<0來表示，點SKIPIF1<0的空心鄰域是指SKIPIF1<0或SKIPIF1<0并用記號SKIPIF1<0或SKIPIF1<0來表示.下面利用鄰域來描述點和點集之間的關系.任意一點SKIPIF1<0與任意一個點集SKIPIF1<0之間必有以下三種關系之一：(i)內(nèi)點—若存在點SKIPIF1<0的某鄰域SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，則稱點SKIPIF1<0是點集SKIPIF1<0的內(nèi)點；SKIPIF1<0的全體內(nèi)點構成的集合成為SKIPIF1<0的內(nèi)部，記作SKIPIF1<0.(ii)外點—若存在點SKIPIF1<0的某鄰域SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0,則稱SKIPIF1<0是點集SKIPIF1<0的外點.(iii)界點—若在點SKIPIF1<0的任何鄰域內(nèi)既含有屬于SKIPIF1<0的點，又含有不屬于SKIPIF1<0的點，則稱SKIPIF1<0是集合SKIPIF1<0的界點.即對任何正數(shù)SKIPIF1<0，恒有《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是SKIPIF1<0關于全平面的余集,SKIPIF1<0的全體界點構成SKIPIF1<0的邊界，記作SKIPIF1<0.SKIPIF1<0的內(nèi)點必定屬于SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的外點必定不屬于SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的界點可能屬于SKIPIF1<0，也可能不屬于SKIPIF1<0.點SKIPIF1<0與點集SKIPIF1<0的上述關系是按“點SKIPIF1<0在SKIPIF1<0內(nèi)或在SKIPIF1<0外”來區(qū)分的.此外，還可按在點SKIPIF1<0的近旁是否密集著SKIPIF1<0中無窮多個點而構成另一類關系：(i)聚點—若在點SKIPIF1<0的任何空心鄰域SKIPIF1<0內(nèi)都含有SKIPIF1<0中的點，則稱SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的聚點，聚點本身可能屬于SKIPIF1<0，也可能不屬于SKIPIF1<0.(ii)孤立點—若點SKIPIF1<0，但不是SKIPIF1<0的聚點，即存在某一正數(shù)SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0，則稱點SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的孤立點.顯然，孤立點一定是界點；內(nèi)點和非孤立的界點一定是聚點；既不是聚點，又不是孤立點，則必為外點.例1設平面點集SKIPIF1<0.SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0的一切點都是SKIPIF1<0的內(nèi)點；滿足SKIPIF1<0的一切點是SKIPIF1<0的界點，它們都屬于SKIPIF1<0；滿足SKIPIF1<0的一切點也是SKIPIF1<0的界點，但它們都不屬于SKIPIF1<0；點集SKIPIF1<0連同它外圓邊界上的一切點都是SKIPIF1<0的聚點.根據(jù)點集中所屬點的特征，我們再來定義一些重要的平面點集.開集—若平面點集所屬的每一點都是SKIPIF1<0的內(nèi)點（即SKIPIF1<0），則稱SKIPIF1<0為開集.閉集—若平面點集SKIPIF1<0的所有聚點都屬于SKIPIF1<0，則稱SKIPIF1<0為閉集.若點集SKIPIF1<0沒有聚點，這時也稱SKIPIF1<0為閉集.在前面列舉的平面點集中，(2)所表示的點集SKIPIF1<0是開集；(3)所表示的點集SKIPIF1<0是閉集；(4)所表示的點集SKIPIF1<0既非開集，有非閉集；而且(1)所表示的點集SKIPIF1<0既是開集又是閉集.此外，還約定SKIPIF1<0既是開集又是閉集.可以證明，在一切平面點集中，只有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0是既開又閉的點集.開域—若非空開集SKIPIF1<0具有連通性，即SKIPIF1<0中任意兩點之間都可用一條完全含于SKIPIF1<0的有限折線（由有限條直線段連接而成的折線）相連接，則稱SKIPIF1<0為開域（或稱連通開集）.閉域—開域連同其邊界所成的點集稱為閉域.區(qū)域—開域、閉域、或者開域連同其邊界點所成的點集，統(tǒng)稱為區(qū)域.在上述諸例中，(2)是開域，(3)是閉域，(1)既是開域又是閉域.又如SKIPIF1<0SKIPIF1<0雖然是開集，但因SKIPIF1<0象限之間不具有連通性，所以它不是開域，也不是區(qū)域.有界點集—對于平面點集SKIPIF1<0，若存在某一正數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0是坐標原點（也可以是其他固定點），則稱SKIPIF1<0是有界點集.否則就是無界點集.上述(2)、(3)、(4)都是有界點集，(1)、(5)則是無界點集.《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0為有界點集的另一個等價說法是：存在矩形區(qū)域SKIPIF1<0.點集的有界性還可用點集的直徑來反映，所謂點集SKIPIF1<0的直徑，就是SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩點之間的距離，當SKIPIF1<0的坐標分別為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0時，則SKIPIF1<0于是，當且僅當SKIPIF1<0為有限值時SKIPIF1<0是有界點集.根據(jù)距離概念，讀者不難證明如下的三角形不等式，即對SKIPIF1<0上任何三點SKIPIF1<0和SKIPIF1<0，皆有SKIPIF1<0二SKIPIF1<0上的完備性定理反映實數(shù)系完備性的幾個等價定理，構成了一元函數(shù)極限理論的基礎.現(xiàn)在把這些定理推廣到SKIPIF1<0，它們同樣是二元函數(shù)極限理論的基礎.為此，先給出平面點列的收斂性概念.定義1設SKIPIF1<0為平面點列,SKIPIF1<0為一固定點.若對任給的正數(shù)SKIPIF1<0，存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得當SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，則稱點列SKIPIF1<0收斂于點SKIPIF1<0,記作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.在坐標平面中，以SKIPIF1<0與SKIPIF1<0分別表示SKIPIF1<0與SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0顯然等價于SKIPIF1<0.同樣地，當以SKIPIF1<0表示點SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之距離時SKIPIF1<0，也就等價于SKIPIF1<0.由于點列極限這兩種等價形式都是數(shù)列極限，因此立即得到下述關于平面點列的收斂原理.定理16.1(柯西準則)平面點列SKIPIF1<0收斂的充要條件是：任給正數(shù)SKIPIF1<0，存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得當SKIPIF1<0時，對一切正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0（6）證[必要性]設SKIPIF1<0，則由三角不等式SKIPIF1<0及點列收斂定義，對所給SKIPIF1<0，存在正整數(shù)SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0（也有SKIPIF1<0）時，恒有《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0，SKIPIF1<0應用三角形不等式，立刻得到（6）式.[充分性]當（6）式成立時，則同時有SKIPIF1<0SKIPIF1<0這說明數(shù)列SKIPIF1<0和SKIPIF1<0都滿足柯西收斂準則（定理2.10），所以它們都收斂.設SKIPIF1<0.從而由點列收斂概念推得SKIPIF1<0收斂于點SKIPIF1<0（本節(jié)習題5）.定理16.2(閉域套定理)設SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中的閉域列，它滿足；(i)SKIPIF1<0(ii)SKIPIF1<0則存在惟一的點SKIPIF1<0證任取點列SKIPIF1<0由于SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,從而有(圖16-2)SKIPIF1<0由定理16.1知道存在SKIPIF1<0,使得SKIPIF1<0.任意取定SKIPIF1<0，對任何正整數(shù)SKIPIF1<0有SKIPIF1<0再令SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0是閉域，從而必定是閉集(本節(jié)習題4).因此SKIPIF1<0作為SKIPIF1<0的聚點必定屬于SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0最后證明SKIPIF1<0的惟一性.若還有SKIPIF1<0則由SKIPIF1<0得到SKIPIF1<0即SKIPIF1<0閉域套定理顯然是SKIPIF1<0中閉區(qū)間套定理(定理7.1)的直接推廣.定理16.3(聚點定理)設SKIPIF1<0為有界無限點集，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中至少有一個聚點.證現(xiàn)用閉域套定理來證明.由于SKIPIF1<0是平面有界集合，因此存在一個閉正方形SKIPIF1<0包含它.連接正方形對邊中點，把SKIPIF1<0分成四個小的閉正方形，則在這四個小閉正方形中，至少有一個小閉正方形含有SKIPIF1<0中無限多個點.《數(shù)學分析3》教案記這個小閉正方形為SKIPIF1<0.再對正方形SKIPIF1<0如上法分成四個更小的閉正方形，其中又至少有一個小閉正方形含有SKIPIF1<0的無限多個點.如此下去得到一個閉正方形序列(圖16-3)：SKIPIF1<0容易看到這個閉正方形序列SKIPIF1<0的邊長隨著SKIPIF1<0趨向于無限而趨向于零.于是由閉域套定理，存在一點SKIPIF1<0現(xiàn)在證明SKIPIF1<0就是SKIPIF1<0的聚點.任取SKIPIF1<0的SKIPIF1<0鄰域SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0充分大之后，正方形的邊長可小于SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0.又由SKIPIF1<0的取法知道SKIPIF1<0中含有SKIPIF1<0的無限多個點，這就表明SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的聚點.推論有界無限點列SKIPIF1<0必存在收斂子列SKIPIF1<0.證明可仿照SKIPIF1<0中的相應命題(定理7.2推論)定理16.4(有限覆蓋定理)設SKIPIF1<0為一有界閉域，SKIPIF1<0為一開域族，它覆蓋了SKIPIF1<0(即SKIPIF1<0),則在SKIPIF1<0中必存在有限個開域SKIPIF1<0，它們同樣覆蓋了SKIPIF1<0(即SKIPIF1<0).本定理的證明與SKIPIF1<0中的有限覆蓋定理(定理7.3)相仿，在此從略.在更一般的情況下，可將定理16.4中的SKIPIF1<0改設為有界閉集，而SKIPIF1<0為一族開集，此時定理結(jié)論依然成立.《數(shù)學分析3》教案復習思考題、作業(yè)題：1(1)(3)(5)(7)，3下次課預習要點16.2二元函數(shù)的極限實施情況及教學效果分析完成教學內(nèi)容。通過本次教學，學生對本次課講授的知識基本掌握，反映良好。學院審核意見學院負責人簽字年月日《數(shù)學分析3》教案授課時間2006.9.26第5次課授課章節(jié)第十六章第一節(jié)第二節(jié)任課教師及職稱姜子文、教授教學方法與手段講授課時安排3華東師范大學主編《數(shù)學分析（上、下冊）》（第三版），高等教育出版社20XX年版吳良森等編著《數(shù)學分析學習指導書》（上、下冊），高等教育出版社20XX年版馬順業(yè)編著《數(shù)學分析研究》，山東大學出版社1996年版劉玉璉等編著《數(shù)學分析講義》（第三版）（上、下冊），高等教育出版社1982年版教學目的與要求：（1）掌握二元及多元函數(shù)的定義（2）掌握二元函數(shù)的極限的定義（3）熟悉判別極限存在性的基本方法．教學重點，難點：重點：二元函數(shù)的極限的定義難點：判別極限存在性的方法教學內(nèi)容：三二元函數(shù)函數(shù)(或映射)是兩個集合之間的一種確定的對應關系.實數(shù)集到實數(shù)集的映射是一元函數(shù)，現(xiàn)在定義二元函數(shù).定義2設平面點集SKIPIF1<0，若按照某種對應法則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中每一點SKIPIF1<0都有惟一確定的實數(shù)SKIPIF1<0與之對應，則稱SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的二元函數(shù)(或稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一個映射)，記作SKIPIF1<0SKIPIF1<0(7)且稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的定義域；SKIPIF1<0所對應的SKIPIF1<0為SKIPIF1<0在點SKIPIF1<0的函數(shù)值，記作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；全體函數(shù)值的集合為SKIPIF1<0的值域，記作SKIPIF1<0.通常還把SKIPIF1<0的坐標SKIPIF1<0與SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的自變量，而把SKIPIF1<0稱為因變量.在映射意義下，上述SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的象，SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0的原象.當把SKIPIF1<0和它對應的象《數(shù)學分析3》教案SKIPIF1<0一起組成三維數(shù)組SKIPIF1<0時，三維歐氏空間SKIPIF1<0中的點集SKIPIF1<0便是二元函數(shù)SKIPIF1<0的圖象.通常SKIPIF1<0的圖象是一空間曲面，SKIPIF1<0的定義域SKIPIF1<0便是該曲面在SKIPIF1<0平面上的投影.為方便起見，由(7)式所確定的二元函數(shù)也記作SKIPIF1<0或SKIPIF1<0且當它的定義域SKIPIF1<0不會被誤解的情況下，也簡單地說“函數(shù)SKIPIF1<0”或“函數(shù)SKIPIF1<0”.例2函數(shù)SKIPIF1<0的圖象是SKIPIF1<0中的一個平面，其定義域是SKIPIF1<0，值域是SKIPIF1<0.例3函數(shù)SKIPIF1<0的定義域是SKIPIF1<0平面上的單位圓域SKIPIF1<0，值域為區(qū)間SKIPIF1<0，它的圖象是以原點為中心的單位球面的上半部分(圖16-4).例4SKIPIF1<0是定義在整個SKIPIF1<0平面上的函數(shù)，它的圖象是過原點的雙曲拋物面(圖16-5).例5SKIPIF1<0是定義在SKIPIF1<0上的函數(shù)，值域是全體非負整數(shù)，它的圖形如圖16-6所示.若二元函數(shù)的值域是有界數(shù)集，則稱該函數(shù)為有界函數(shù)，如例3中函數(shù)；若值域是無界數(shù)集，則稱該函數(shù)為無界函數(shù)，如例2、4、5中的函數(shù).四SKIPIF1<0元函數(shù)所有SKIPIF1<0個有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0的全體稱為SKIPIF1<0維向量空間，簡稱SKIPIF1<0維空間，記作SKIPIF1<0.其中每個有序?qū)崝?shù)組SKIPIF1<0稱為SKIPIF1<0中的一個點；SKIPIF1<0個實數(shù)SKIPIF1<0是這個點的坐標.設SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中的點集，若有某個對應法則SKIPIF1<0，使SKIPIF1<0中每一點SKIPIF1<0，都有惟一的一個實數(shù)SKIPIF1<0與之對應，則稱SKIPIF1<0為定義在SKIPIF1<0上的SKIPIF1<0元函數(shù)(或稱SKIPIF1<0為SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的一個映射)，記作SKIPIF1<0SKIPIF1<0(8)也常把SKIPIF1<0