四川省資陽市樂至縣良安中學2023-2024學年高三最后一模數(shù)學試題考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．過雙曲線左焦點的直線交的左支于兩點，直線（是坐標原點）交的右支于點，若，且，則的離心率是（）A． B． C． D．2．函數(shù)的圖象大致是（）A． B．C． D．3．已知某超市2018年12個月的收入與支出數(shù)據(jù)的折線圖如圖所示：根據(jù)該折線圖可知，下列說法錯誤的是（）A．該超市2018年的12個月中的7月份的收益最高B．該超市2018年的12個月中的4月份的收益最低C．該超市2018年1-6月份的總收益低于2018年7-12月份的總收益D．該超市2018年7-12月份的總收益比2018年1-6月份的總收益增長了90萬元4．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)，則在復平面內(nèi)對應的點位于()A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限5．已知圓與拋物線的準線相切，則的值為（）A．1 B．2 C． D．46．若為虛數(shù)單位，則復數(shù)在復平面上對應的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．已知盒中有3個紅球，3個黃球，3個白球，且每種顏色的三個球均按，，編號，現(xiàn)從中摸出3個球（除顏色與編號外球沒有區(qū)別），則恰好不同時包含字母，，的概率為（）A． B． C． D．8．中，角的對邊分別為，若，，，則的面積為（）A． B． C． D．9．已知復數(shù)和復數(shù)，則為A． B． C． D．10．已知全集，則集合的子集個數(shù)為（）A． B． C． D．11．設a，b，c為正數(shù)，則“”是“”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不修要條件12．已知，，分別為內(nèi)角，，的對邊，，，的面積為，則（）A． B．4 C．5 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設f（x）＝etx（t＞0），過點P（t，0）且平行于y軸的直線與曲線C：y＝f（x）的交點為Q，曲線C過點Q的切線交x軸于點R，若S（1，f（1）），則△PRS的面積的最小值是_____．14．在中，內(nèi)角的對邊長分別為，已知，且，則_________．15．展開式中的系數(shù)為_______________．16．數(shù)列滿足，則，_____.若存在n∈N*使得成立，則實數(shù)λ的最小值為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知△ABC三內(nèi)角A、B、C所對邊的長分別為a，b，c，且3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C．（1）求cosC的值；（2）若a＝3，c，求△ABC的面積．18．（12分）已知等差數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和，.（1）求數(shù)列{an}的通項an；（2）設bn＝an?3n，求數(shù)列{bn}的前n項和Tn.19．（12分）在四棱錐中，底面是平行四邊形，底面．（1）證明：；（2）求二面角的正弦值．20．（12分）某學生為了測試煤氣灶燒水如何節(jié)省煤氣的問題設計了一個實驗，并獲得了煤氣開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與燒開一壺水所用時間y的一組數(shù)據(jù)，且作了一定的數(shù)據(jù)處理（如表），得到了散點圖（如圖）.表中，.（1）根據(jù)散點圖判斷，與哪一個更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型？（不必說明理由）（2）根據(jù)判斷結(jié)果和表中數(shù)據(jù)，建立y關于x的回歸方程；（3）若旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x與單位時間內(nèi)煤氣輸出量t成正比，那么x為多少時，燒開一壺水最省煤氣？附：對于一組數(shù)據(jù)，，，…，，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，.21．（12分）已知函數(shù)，.（Ⅰ）判斷函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)，并證明；（Ⅱ）函數(shù)在區(qū)間上的極值點從小到大分別為，，證明：22．（10分）橢圓：（）的離心率為，它的四個頂點構(gòu)成的四邊形面積為.（1）求橢圓的方程；（2）設是直線上任意一點，過點作圓的兩條切線，切點分別為，，求證：直線恒過一個定點.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、D【解析】

如圖，設雙曲線的右焦點為，連接并延長交右支于，連接，設，利用雙曲線的幾何性質(zhì)可以得到，，結(jié)合、可求離心率.【詳解】如圖，設雙曲線的右焦點為，連接，連接并延長交右支于.因為，故四邊形為平行四邊形，故.又雙曲線為中心對稱圖形，故.設，則，故，故.因為為直角三角形，故，解得.在中，有，所以.故選：D.【點睛】本題考查雙曲線離心率，注意利用雙曲線的對稱性（中心對稱、軸對稱）以及雙曲線的定義來構(gòu)造關于的方程，本題屬于難題.2、C【解析】

根據(jù)函數(shù)奇偶性可排除AB選項；結(jié)合特殊值，即可排除D選項.【詳解】∵，，∴函數(shù)為奇函數(shù)，∴排除選項A，B；又∵當時，，故選：C.【點睛】本題考查了依據(jù)函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象，注意奇偶性及特殊值的用法，屬于基礎題.3、D【解析】

用收入減去支出，求得每月收益，然后對選項逐一分析，由此判斷出說法錯誤的選項.【詳解】用收入減去支出，求得每月收益（萬元），如下表所示：月份123456789101112收益203020103030604030305030所以月收益最高，A選項說法正確；月收益最低，B選項說法正確；月總收益萬元，月總收益萬元，所以前個月收益低于后六個月收益，C選項說法正確，后個月收益比前個月收益增長萬元，所以D選項說法錯誤.故選D.【點睛】本小題主要考查圖表分析，考查收益的計算方法，屬于基礎題.4、B【解析】

首先根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值將復數(shù)化為，求出，再利用復數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】，，則在復平面內(nèi)對應的點的坐標為，位于第二象限.故選：B【點睛】本題考查了復數(shù)的幾何意義、共軛復數(shù)的概念、特殊角的三角函數(shù)值，屬于基礎題.5、B【解析】

因為圓與拋物線的準線相切，則圓心為（3,0），半徑為4，根據(jù)相切可知，圓心到直線的距離等于半徑，可知的值為2，選B.【詳解】請在此輸入詳解！6、D【解析】

根據(jù)復數(shù)的運算，化簡得到，再結(jié)合復數(shù)的表示，即可求解，得到答案．【詳解】由題意，根據(jù)復數(shù)的運算，可得，所對應的點為位于第四象限.故選D.【點睛】本題主要考查了復數(shù)的運算，以及復數(shù)的幾何意義，其中解答中熟記復數(shù)的運算法則，準確化簡復數(shù)為代數(shù)形式是解答的關鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎題．7、B【解析】

首先求出基本事件總數(shù)，則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”，記事件“恰好不同時包含字母，，”為，利用對立事件的概率公式計算可得；【詳解】解：從9個球中摸出3個球，則基本事件總數(shù)為（個），則事件“恰好不同時包含字母，，”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母，，”記事件“恰好不同時包含字母，，”為，則.故選：B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式，考查了排列組合的知識，解答的關鍵在于正確理解題意，屬于基礎題．8、A【解析】

先求出，由正弦定理求得，然后由面積公式計算．【詳解】由題意，．由得，．故選：A．【點睛】本題考查求三角形面積，考查正弦定理，同角間的三角函數(shù)關系，兩角和的正弦公式與誘導公式，解題時要根據(jù)已知求值要求確定解題思路，確定選用公式順序，以便正確快速求解．9、C【解析】

利用復數(shù)的三角形式的乘法運算法則即可得出．【詳解】z1z2＝（cos23°+isin23°）?（cos37°+isin37°）＝cos60°+isin60°＝．故答案為C．【點睛】熟練掌握復數(shù)的三角形式的乘法運算法則是解題的關鍵，復數(shù)問題高考必考，常見考點有：點坐標和復數(shù)的對應關系，點的象限和復數(shù)的對應關系，復數(shù)的加減乘除運算，復數(shù)的模長的計算.10、C【解析】

先求B.再求，求得則子集個數(shù)可求【詳解】由題=,則集合,故其子集個數(shù)為故選C【點睛】此題考查了交、并、補集的混合運算及子集個數(shù)，熟練掌握各自的定義是解本題的關鍵，是基礎題11、B【解析】

根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合充分條件和必要條件的定義進行判斷即可．【詳解】解：，，為正數(shù)，當，，時，滿足，但不成立，即充分性不成立，若，則，即，即，即，成立，即必要性成立，則“”是“”的必要不充分條件，故選：．【點睛】本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，結(jié)合不等式的性質(zhì)是解決本題的關鍵．12、D【解析】

由正弦定理可知,從而可求出.通過可求出，結(jié)合余弦定理即可求出的值.【詳解】解：，即，即.，則.，解得.，故選:D.【點睛】本題考查了正弦定理，考查了余弦定理，考查了三角形的面積公式，考查同角三角函數(shù)的基本關系.本題的關鍵是通過正弦定理結(jié)合已知條件，得到角的正弦值余弦值.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

計算R（t，0），PR＝t﹣（t），△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性得到最值.【詳解】∵PQ∥y軸，P（t，0），∴Q（t，f（t））即Q（t，），又f（x）＝etx（t＞0）的導數(shù)f′（x）＝tetx，∴過Q的切線斜率k＝t，設R（r，0），則k，∴r＝t，即R（t，0），PR＝t﹣（t），又S（1，f（1））即S（1，et），∴△PRS的面積為S，導數(shù)S′，由S′＝0得t＝1，當t＞1時，S′＞0，當0＜t＜1時，S′＜0，∴t＝1為極小值點，也為最小值點，∴△PRS的面積的最小值為．故答案為：．【點睛】本題考查了利用導數(shù)求面積的最值問題，意在考查學生的計算能力和應用能力.14、4【解析】∵∴根據(jù)正弦定理與余弦定理可得：，即∵∴∵∴故答案為415、【解析】

把按照二項式定理展開，可得的展開式中的系數(shù)．【詳解】解：，故它的展開式中的系數(shù)為，故答案為：．【點睛】本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎題．16、【解析】

利用“退一作差法”求得數(shù)列的通項公式，將不等式分離常數(shù)，利用商比較法求得的最小值，由此求得的取值范圍，進而求得的最小值.【詳解】當時兩式相減得所以當時，滿足上式綜上所述存在使得成立的充要條件為存在使得，設，所以，即，所以單調(diào)遞增，的最小項，即有的最小值為.故答案為：(1).(2).【點睛】本小題主要考查根據(jù)遞推關系式求數(shù)列的通項公式，考查數(shù)列單調(diào)性的判斷方法，考查不等式成立的存在性問題的求解策略，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或．【解析】

（1）利用正弦定理對已知代數(shù)式化簡，根據(jù)余弦定理求解余弦值；（2）根據(jù)余弦定理求出b＝1或b＝3，結(jié)合面積公式求解.【詳解】（1）已知等式3sin2A+3sin2B＝4sinAsinB+3sin2C，利用正弦定理化簡得：3a2+3b2﹣3c2＝4ab，即a2+b2﹣c2ab，∴cosC；（2）把a＝3，c，代入3a2+3b2﹣3c2＝4ab得：b＝1或b＝3，∵cosC，C為三角形內(nèi)角，∴sinC，∴S△ABCabsinC3×bb，則△ABC的面積為或．【點睛】此題考查利用正余弦定理求解三角形，關鍵在于熟練掌握正弦定理進行邊角互化，利用余弦定理求解邊長，根據(jù)面積公式求解面積.18、（1）.（2）【解析】

（1）先設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），然后根據(jù)等差數(shù)列的通項公式及已知條件可列出關于d的方程，解出d的值，即可得到數(shù)列{an}的通項an；（2）先根據(jù)第（1）題的結(jié)果計算出數(shù)列{bn}的通項公式，然后運用錯位相減法計算前n項和Tn.【詳解】（1）由題意，設等差數(shù)列{an}的公差為d（d＞0），則a4a5＝（1+3d）（1+4d）＝11，整理，得12d2+7d﹣10＝0，解得d（舍去），或d，∴an＝1（n﹣1），n∈N*.（2）由（1）知，bn＝an?3n?3n＝（2n+1）?3n﹣1，∴Tn＝b1+b2+b3+…+bn＝3×1+5×31+7×32+…+（2n+1）?3n﹣1，∴3Tn＝3×31+5×32+…+（2n﹣1）?3n﹣1+（2n+1）?3n，兩式相減，可得：﹣2Tn＝3×1+2×31+2×32+…+2?3n﹣1﹣（2n+1）?3n＝3+2×（31+32+…+3n﹣1）﹣（2n+1）?3n＝3+2（2n+1）?3n＝﹣2n?3n，∴Tn＝n?3n.【點睛】本題主要考查等差數(shù)列基本量的計算，以及運用錯位相減法計算前n項和.考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，方程思想，錯位相減法的運用，以及邏輯思維能力和數(shù)學運算能力.屬于中檔題.19、（1）見解析（2）【解析】

（1）利用正弦定理求得，由此得到，結(jié)合證得平面，由此證得.（2）建立空間直角坐標系，利用平面和平面的法向量，計算出二面角的余弦值，再轉(zhuǎn)化為正弦值.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得：，，底面，平面，；（2）以為坐標原點建立如圖所示的空間直角坐標系，，設平面的法向量為，由可得：，令，則，設平面的法向量為，由可得:，令，則，設二面角的平面角為，由圖可知為鈍角，則，，故二面角的正弦值為.【點睛】本小題主要考查線線垂直的證明，考查空間向量法求二面角，考查空間想象能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.20、（1）更適宜（2）（3）x為2時，燒開一壺水最省煤氣【解析】

（1）根據(jù)散點圖是否按直線型分布作答；（2）根據(jù)回歸系數(shù)公式得出y關于的線性回歸方程，再得出y關于x的回歸方程；（3）利用基本不等式得出煤氣用量的最小值及其成立的條件.【詳解】（1）更適宜作燒水時間y關于開關旋鈕旋轉(zhuǎn)的弧度數(shù)x的回歸方程類型.（2）由公式可得：，，所以所求回歸方程為.（3）設，則