分層限時跟蹤練(五十七)(限時40分鐘)eq\f([基礎(chǔ)練],扣教材練雙基)一、選擇題1．(2015·合肥模擬)正弦函數(shù)是奇函數(shù)，f(x)＝sin(x2＋1)是正弦函數(shù)，因此f(x)＝sin(x2＋1)是奇函數(shù)，以上推理()A．結(jié)論正確 B．大前提不正確C．小前提不正確 D．全不正確【解析】因為f(x)＝sin(x2＋1)不是正弦函數(shù)，所以小前提不正確．【答案】C2．[x]表示不超過x的最大整數(shù)，例如：[π]＝3.S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋[eq\r(11)]＋[eq\r(12)]＋[eq\r(13)]＋[eq\r(14)]＋[eq\r(15)]＝21，…，依此規(guī)律，那么S10等于()A．210B．230C．220D．240【解析】∵[x]表示不超過x的最大整數(shù)，∴S1＝[eq\r(1)]＋[eq\r(2)]＋[eq\r(3)]＝1×3＝3，S2＝[eq\r(4)]＋[eq\r(5)]＋[eq\r(6)]＋[eq\r(7)]＋[eq\r(8)]＝2×5＝10，S3＝[eq\r(9)]＋[eq\r(10)]＋…＋[eq\r(15)]＝3×7＝21…，Sn＝[eq\r(n2)]＋[eq\r(n2＋1)]＋[eq\r(n2＋2)]＋…＋[eq\r(n2＋2n)]＝n(2n＋1)，∴S10＝10×21＝210.【答案】A3．在平面幾何中有如下結(jié)論：正三角形ABC的內(nèi)切圓面積為S1，外接圓面積為S2，則eq\f(S1,S2)＝eq\f(1,4)，推廣到空間可以得到類似結(jié)論：已知正四面體P-ABC的內(nèi)切球體積為V1，外接球體積為V2，則eq\f(V1,V2)＝()A.eq\f(1,8) B.eq\f(1,9)C.eq\f(1,64) D.eq\f(1,27)【解析】正四面體的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為1∶3，故eq\f(V1,V2)＝eq\f(1,27).【答案】D4.(2015·上海模擬)如圖11-2-3所示，有一個六邊形的點(diǎn)陣，它的中心是1個點(diǎn)(算第1層)，第2層每邊有2個點(diǎn)，第3層每邊有3個點(diǎn)，…，依此類推，如果一個六邊形點(diǎn)陣共有169個點(diǎn)，那么它的層數(shù)為()圖11-2-3A．6 B．7C．8 D．9【解析】由題意知，第1層的點(diǎn)數(shù)為1，第2層的點(diǎn)數(shù)為6，第3層的點(diǎn)數(shù)為2×6，第4層的點(diǎn)數(shù)為3×6，第5層的點(diǎn)數(shù)為4×6，…，第n(n≥2，n∈N*)層的點(diǎn)數(shù)為6(n－1)．設(shè)一個點(diǎn)陣有n(n≥2，n∈N*)層，則共有的點(diǎn)數(shù)為1＋6＋6×2＋…＋6(n－1)＝1＋eq\f(6＋6n－1,2)×(n－1)＝3n2－3n＋1，由題意得3n2－3n＋1＝169，即(n＋7)·(n－8)＝0，所以n＝8，故共有8層．【答案】C5．我們知道，在邊長為a的正三角形內(nèi)任一點(diǎn)到三邊的距離之和為定值eq\f(\r(3),2)a，類比上述結(jié)論，在邊長為a的正四面體內(nèi)任一點(diǎn)到其四個面的距離之和為定值()A.eq\f(\r(6),3)a B.eq\f(\r(6),4)aC.eq\f(\r(3),3)a D.eq\f(\r(3),4)a【解析】正四面體內(nèi)任一點(diǎn)與四個面組成四個三棱錐，它們的體積之和為正四面體的體積，設(shè)點(diǎn)到四個面的距離分別為h1，h2，h3，h4，每個面的面積為eq\f(\r(3),4)a2，正四面體的體積為eq\f(\r(2),12)a3，則有eq\f(1,3)×eq\f(\r(3),4)a2(h1＋h2＋h3＋h4)＝eq\f(\r(2),12)a3，得h1＋h2＋h3＋h4＝eq\f(\r(6),3)a.【答案】A二、填空題6．(2015·棗莊模擬)在△ABC中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)成立；在凸四邊形ABCD中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)成立；在凸五邊形ABCDE中，不等式eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)成立，…，依此類推，在凸n邊形A1A2…An中，不等式eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥____________成立．【解析】∵eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)≥eq\f(9,π)＝eq\f(32,π)，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)≥eq\f(16,2π)＝eq\f(42,2π)，eq\f(1,A)＋eq\f(1,B)＋eq\f(1,C)＋eq\f(1,D)＋eq\f(1,E)≥eq\f(25,3π)＝eq\f(52,3π)，…，∴eq\f(1,A1)＋eq\f(1,A2)＋…＋eq\f(1,An)≥eq\f(n2,n－2π)(n∈N*，n≥3)．【答案】eq\f(n2,n－2π)(n∈N*，n≥3)7．在平面幾何中：△ABC中∠C的平分線CE分AB所成的線段的比為eq\f(AC,BC)＝eq\f(AE,BE)(如圖11-2-4(1))．把這個結(jié)論類比到空間：在三棱錐A-BCD中(如圖11-2-4(2))，面DEC平分二面角A-CD-B且與AB相交于E，則類比得到的結(jié)論是______________．圖11-2-4【解析】由平面中線段的類比空間中面積的比可得eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD).【答案】eq\f(AE,EB)＝eq\f(S△ACD,S△BCD)8．(2015·陜西高考)觀察下列等式1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＝eq\f(1,3)＋eq\f(1,4)，1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)－eq\f(1,6)＝eq\f(1,4)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,6)，…，據(jù)此規(guī)律，第n個等式可為______________．【解析】等式的左邊的通項為eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)，前n項和為1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)；右邊的每個式子的第一項為eq\f(1,n＋1)，共有n項，故為eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…＋eq\f(1,n＋n).【答案】1－eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)－eq\f(1,4)＋…＋eq\f(1,2n－1)－eq\f(1,2n)＝eq\f(1,n＋1)＋eq\f(1,n＋2)＋…eq\f(1,2n)三、解答題9．觀察下表：1，2,3，4,5,6,7，8,9,10,11,12,13,14,15，…問：(1)此表第n行的最后一個數(shù)是多少？(2)此表第n行的各個數(shù)之和是多少？(3)2016是第幾行的第幾個數(shù)？【解】(1)∵第n＋1行的第1個數(shù)是2n，∴第n行的最后一個數(shù)是2n－1.(2)2n－1＋(2n－1＋1)＋(2n－1＋2)＋…＋(2n－1)＝eq\f(2n－1＋2n－1·2n－1,2)＝3·22n－3－2n－2.(3)∵210＝1024,211＝2048,1024＜2016＜2048，∴2016在第11行，該行第1個數(shù)是210＝1024，由2016－1024＋1＝993，知2016是第11行的第993個數(shù)．10．(2015·沈陽二模)已知橢圓具有性質(zhì)：若M、N是橢圓C上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．試對雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1寫出類似的性質(zhì)．【解】類似的性質(zhì)為：若M、N是雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩個點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線上任意一點(diǎn)，當(dāng)直線PM、PN的斜率都存在，并記為kPM、kPN時，那么kPM與kPN之積是與點(diǎn)P的位置無關(guān)的定值．證明：設(shè)點(diǎn)M、P的坐標(biāo)分別為(m，n)、(x，y)，則N(－m，－n)．因為點(diǎn)M(m，n)在已知雙曲線上，所以n2＝eq\f(b2,a2)m2－b2.同理，y2＝eq\f(b2,a2)x2－b2.則kPM·kPN＝eq\f(y－n,x－m)·eq\f(y＋n,x＋m)＝eq\f(y2－n2,x2－m2)＝eq\f(\f(b2,a2)x2－m2,x2－m2)＝eq\f(b2,a2)(定值)．eq\f([能力練],掃盲區(qū)提素能)1．(2015·南昌模擬)如圖11-2-5所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝a，CD＝b(a>b)．圖11-2-5若EF∥AB，EF到CD與AB的距離之比為m∶n，則可推算出：EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n).用類比的方法，推想出下面問題的結(jié)果．在上面的梯形ABCD中，分別延長梯形的兩腰AD和BC交于O點(diǎn)，設(shè)△OAB，△ODC的面積分別為S1，S2，則△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是()A．S0＝eq\f(mS1＋nS2,m＋n) B．S0＝eq\f(nS1＋mS2,m＋n)C.eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n) D.eq\r(S0)＝eq\f(n\r(S1)＋m\r(S2),m＋n)【解析】在平面幾何中類比幾何性質(zhì)時，一般是由平面幾何中點(diǎn)的性質(zhì)類比推理線的性質(zhì)；由平面幾何中線段的性質(zhì)類比推理面積的性質(zhì)．故由EF＝eq\f(ma＋nb,m＋n)類比到關(guān)于△OEF的面積S0與S1，S2的關(guān)系是eq\r(S0)＝eq\f(m\r(S1)＋n\r(S2),m＋n).【答案】C2．(2015·杭州模擬)設(shè)f為實系數(shù)三次多項式函數(shù)．已知五個方程式的相異實根個數(shù)如下表所述：f(x)－20＝01f(x)＋10＝01f(x)－10＝03f(x)＋20＝01f(x)＝03關(guān)于f的極小值α，試問下列選項中正確的是()A．0<α<10 B．－20<α<－10C．－10<α<0 D．α不存在【解析】f(x)分別向上向下平移10個單位和20個單位分別得到f(x)＋10，f(x)＋20，f(x)－10，f(x)－20，由題意可近似畫出f(x)的草圖，由圖可知f(x)極小值α∈(－10,0)．【答案】C3．(2015·長沙一模)如圖11-2-6所示，小正六邊形沿著大正六邊形的邊按順時針方向滾動，小正六邊形的邊長是大正六邊形的邊長的一半．如果小正六邊形沿著大正六邊形的邊滾動一周后返回出發(fā)時的位置，在這個過程中，向量eq\o(OA,\s\up12(→))圍繞著點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)了θ角，其中O為小正六邊形的中心，則sineq\f(θ,6)＋coseq\f(θ,6)＝________.圖11-2-6【解析】從題圖可得，向量eq\o(OA,\s\up12(→))轉(zhuǎn)了6個60°的角，6個120°的角，∴θ＝6×60°＋6×120°＝1080°，所以sineq\f(θ,6)＋coseq\f(θ,6)＝sin180°＋cos180°＝－1.【答案】－14．已知“整數(shù)對”按如下規(guī)律排成一列：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，…，則第60個“整數(shù)對”是________．【解析】依題意，把“整數(shù)對”的和相同的分為一組，不難得知第n組中每個“整數(shù)對”的和均為n＋1，且第n組共有n個“整數(shù)對”，這樣的前n組一共有eq\f(nn＋1,2)個“整數(shù)對”，注意到eq\f(10×10＋1,2)<60<eq\f(11×11＋1,2)，因此第60個“整數(shù)對”處于第11組(每個“整數(shù)對”的和為12的組)的第5個位置，結(jié)合題意可知每個“整數(shù)對”的和12的組中的各對數(shù)依次為：(1,11)，(2,10)，(3,9)，(4,8)，(5,7)，…，因此第60個“整數(shù)對”是(5,7)．【答案】(5,7)5．(2015·陜西第二次質(zhì)量檢測)如圖11-2-7，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，AA1＝2，E為棱CC1的中點(diǎn)．圖11-2-7(1)求證：B1D⊥AE；(2)求證：AC∥平面B1DE.【證明】(1)如圖，連接BD，則BD∥B1D1.∵四邊形ABCD是正方形，∴AC⊥BD.∵CE⊥平面ABCD，∴CE⊥BD.又AC∩CE＝C，∴BD⊥平面ACE.∵AE?平面ACE，∴BD⊥AE，∴B1D1⊥AE.(2)取BB1的中點(diǎn)F，連接AF，CF，EF，則FC∥B1E，∴CF∥平面B1DE.∵E，F(xiàn)分別是CC1，BB1的中點(diǎn)，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))BC.又BCeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，∴EFeq\o(\s\do3(═),\s\up3(∥))AD，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF∥ED.∵AF?平面B1DE，ED?平面B1DE，∴AF∥平面B1DE.∵AF∩CF＝F，∴平面ACF∥平面B1DE.又A