——第七章圖形的變化第三節(jié)圖形的對稱、平移、旋轉與位似基礎過關1.(2018綿陽)下列圖形是中心對稱圖形的是()2.(2018重慶A卷)下列圖形中一定是軸對稱圖形的是()3.(2018廣州)如圖所示的五角星是軸對稱圖形，它的對稱軸共有()A.1條B.3條C.5條D.無數(shù)條第3題圖第4題圖4.(2018濟寧)如圖，在平面直角坐標系中，點A、C在x軸上，點C的坐標為(－1，0)，AC＝2.將Rt△ABC先繞點C順時針旋轉90°，再向右平移3個單位長度，則變換后點A的對應點坐標是()A.(2，2)B.(1，2)C.(－1，2)D.(2，－1)5.(2018天津)如圖，將一個三角形紙片ABC沿過點B的直線折疊，使點C落在AB邊上的點E處，折痕為BD，則下列結論一定正確的是()A.AD＝BDB.AE＝ACC.ED＋EB＝DBD.AE＋CB＝AB6.(2018撫順)已知點A的坐標為(1，3)，點B的坐標為(2，1)，將線段AB沿某一方向平移后，點A的對應點的坐標為(－2，1)．則點B的對應點的坐標為()A.(5，3)B.(－1，－2)C.(－1，－1)D.(0，－1)7.(2018西工大附中模擬)在平面直角坐標系中，已知點A(－4，2)，B(－6，－4)，以原點O為位似中心，相似比為eq\f(1,2)，把△ABO縮小，則點A的對應點A′的坐標是()A.(－2，1)B.(－2，1)或(2，－1)C.(－8，4)D.(－8，4)或(8，－4)8.(2018麗水)如圖，將△ABC繞點C順時針旋轉90°得到△EDC，若點A，D，E在同一條直線上，∠ACB＝20°，則∠ADC的度數(shù)是()A.55°B.60°C.65°D.70°第8題圖第9題圖第10題圖9.如圖，將矩形ABCD沿GH折疊，點C落在點Q處，點D落在AB邊上的點E處，若∠AGE＝32°，則∠GHC等于()A.112°B.110°C.108°D.106°10.(2018內江)如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點A在第一象限，點B、C的坐標分別為(2，1)、(6，1)，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線AB交y軸于點P，若△ABC與△A′B′C′關于點P成中心對稱，則點A′的坐標為()A.(－4，－5)B.(－5，－4)C.(－3，－4)D.(－4，－3)11.(2018甘肅省卷)如圖，點E是正方形ABCD的邊DC上一點，把△ADE繞點A順時針旋轉90°到△ABF的位置，若四邊形AECF的面積為25，DE＝2，則AE的長為()A.5B.eq\r(23)C.7D.eq\r(29)第11題圖第12題圖第13題圖第14題圖12.(2018山西)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，將△ABC繞點C按逆時針方向旋轉得到△A′B′C，此時點A′恰好在AB邊上，則點B′與點B之間的距離為()A.12B.6C.6eq\r(2)D.6eq\r(3)13.(2018西安交大附中模擬)在邊長為2eq\r(2)的菱形ABCD中，∠C＝45°，DE為BC邊上的高，將△DCE沿DE所在的直線翻折得△DC′E，C′D與AB邊相交于點F，則C′F的長為()A.2eq\r(2)B.2eq\r(2)－2C.4－2eq\r(2)D.2－eq\r(2)14.(2018宜賓)如圖，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A′B′C′的位置，已知△ABC的面積為9，陰影部分三角形的面積為4.若AA′＝1，則A′D等于()A.2B.3C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)15.(2018青海省卷)如圖，四邊形ABCD與四邊形EFGH位似，其位似中心為點O，且eq\f(OE,EA)＝eq\f(4,3)，則eq\f(FG,BC)＝________.16.如圖，已知△AOB中，OA在y軸上，OB在x軸上，且OA＝2，OB＝4，將△AOB沿著某直線CD折疊后點B與點A重合，折痕CD與x軸交于點C，則點C的坐標是________．第15題圖第16題圖第17題圖第18題圖17.(2018江西)如圖，在矩形ABCD中，AD＝3，將矩形ABCD繞點A逆時針旋轉，得到矩形AEFG，點B的對應點E落在CD上，且DE＝EF，則AB的長為________．18.(2018西安高新一中模擬)如圖，在△ABC中，AD⊥BC，BC＝6，AD＝3，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位后，得到△A′B′C′，連接A′C，則△A′B′C的面積為________．19.如圖所示，正方形ABCD的邊長為4，E是邊BC上的一點，且BE＝1，P是對角線AC上的一動點，連接PB、PE，當點P在AC上運動時，△PBE周長的最小值是________．第19題圖第20題圖20.如圖，已知正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為4cm，1cm，若將正方形AEFG繞點A旋轉，則在旋轉過程中，點C、F之間的最小距離為________cm.21.在平面直角坐標系中，△ABC三個頂點的坐標分別為A(2，3)，B(1，1)，C(5，1)．(1)把△ABC平移后，其中點A移到點A1(4，5)，畫出平移后得到的△A1B1C1；(2)把△A1B1C1繞點A1按逆時針方向旋轉90°，畫出旋轉后的△A1B2C2.22.(2018阜新)如圖，△ABC在平面直角坐標系內，頂點的坐標分別為A(－4，4)，B(－2，5)，C(－2，1)．(1)平移△ABC，使點C移到點C1(－2，－4)，畫出平移后的△A1B1C1，并寫出點A1，B1的坐標；(2)將△ABC繞點(0，3)旋轉180°，得到△A2B2C2，畫出旋轉后的△A2B2C2；(3)求(2)中的點C旋轉到點C2時，點C經(jīng)過的路徑長(結果保留π)．滿分沖關(2018西工大附中模擬)如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，點E在AD上，且AE＝4，連接EC，將矩形ABCD沿直線BE翻折，點A恰好落在EC上的點A′處，則tan∠DEC等于()A.eq\f(4,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(3,5)D.eq\f(4,5)第1題圖第2題圖第3題圖第4題圖2.(2018隨州)如圖，在平面直角坐標系xOy中，菱形OABC的邊長為2，點A在第一象限，點C在x軸正半軸上，∠AOC＝60°，若將菱形OABC繞點O順時針旋轉75°，得到四邊形OA′B′C′，則點B的對應點B′的坐標為________．3.(2018濰坊)如圖，正方形ABCD的邊長為1，點A與原點重合，點B在y軸的正半軸上，點D在x軸的負半軸上，將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉30°至正方形AB′C′D′的位置，B′C′與CD相交于點M，則點M的坐標為________．4.如圖，矩形OABC的頂點坐標為A(6，0)、C(0，4)，點D為OC的中點，點E、F在OA上，且點E在點F的左側，EF＝2.當四邊形BDEF的周長最小時，點F的坐標為________．5.(2018齊齊哈爾)綜合與實踐折紙是一項有趣的活動，同學們小時候都玩過折紙，可能折過小動物、小花、飛機、小船等，折紙活動也伴隨著我們初中數(shù)學的學習．在折紙過程中，我們可以通過研究圖形的性質和運動、確定圖形位置等，進一步發(fā)展空間觀念，在經(jīng)歷借助圖形思考問題的過程中，我們會初步建立幾何直觀．折紙往往從矩形紙片開始，今天，就讓我們帶著數(shù)學的眼光來玩一玩折紙，看看折疊矩形的對角線之后能得到哪些數(shù)學結論．實踐操作如圖①，將矩形紙片ABCD沿對角線AC翻折，使點B′落在矩形ABCD所在平面內，B′C和AD相交于點E，連接B′D.第5題圖解決問題(1)在圖①中，①B′D和AC的位置關系為________________；②將△AEC剪下后展開，得到的圖形是__________；(2)若圖①中的矩形變?yōu)槠叫兴倪呅螘r(AB≠BC)，如圖②所示，結論①和結論②是否成立？若成立，請?zhí)暨x其中的一個結論加以證明，若不成立，請說明理由；(3)小紅沿對角線折疊一張矩形紙片，發(fā)現(xiàn)所得圖形是軸對稱圖形，沿對稱軸再次折疊后，得到的仍是軸對稱圖形．則小紅折疊的矩形紙片的長寬之比為______________________；拓展應用(4)在圖②中，若∠B＝30°，AB＝4eq\r(3)，當△AB′D恰好為直角三角形時，BC的長度為______________．參考答案及解析第七章圖形的變化第三節(jié)圖形的對稱、平移、旋轉與位似基礎過關1.D【解析】選項逐項分析正誤A既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形×B既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形×C既不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形×D不是軸對稱圖形，但是中心對稱圖形√2.D【解析】A.40°的直角三角形不是對稱圖形；B.兩個角是直角的四邊形不一定是軸對稱圖形；C.平行四邊形是中心對稱圖形但不是軸對稱圖形；D.矩形是軸對稱圖形，有兩條對稱軸．3.C【解析】五角星的對稱軸是過中心和每個頂角的直線，共5條．故選C.4.A【解析】∵AC＝2，點C的坐標為(－1，0)，∴點A的坐標為(－3，0)，將Rt△ABC繞點C順時針旋轉90°，得到A′的坐標為(－1，2)，再將Rt△ABC向右平移3個單位可得A″的坐標為(2，2)，故選A.5.D【解析】∵BD為折痕，點C的對應點為點E，∴BE＝CB，∵點E在邊AB上，∴AE＋BE＝AB，∴AE＋CB＝AB.6.C【解析】由題意可知，點A到其對應點的變化為橫坐標向左平移了3個單位，縱坐標向下平移了2個單位，∴點B對應點的變化與其相同，即(－1，－1)．故選C.7.B8.C【解析】∵點A、D、E在同一條直線上，且旋轉角是90°，∴∠ACE＝90°，∵AC＝EC，∴△ACE是等腰直角三角形，∴∠E＝∠EAC＝45°，由旋轉性質可得∠DCE＝∠ACB＝20°，∴∠ADC＝∠DCE＋∠E＝20°＋45°＝65°.9.D【解析】∵∠AGE＝32°，∴∠EGD＝180°－32°＝148°，由折疊性質可知，∠EGH＝∠HGD＝74°，∵四邊形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∴∠GHC＝180°－∠HGD＝180°－74°＝106°.10.A【解析】如解圖，過點A作AM⊥y軸，過點A′作A′N⊥y軸，∵△ABC是等腰直角三角形，且點B(2，1)，C(6，1)，∴Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4，3))，∴直線AB的解析式為y＝x－1，∴Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－1))，由于△ABC與△A′B′C′關于點P對稱，∴PN＝PM＝4，A′N＝AM＝4，∴A′(－4，－5)．第10題解圖11.D【解析】由旋轉性質可知△ABF≌△ADE，∴S正方形ABCD＝S四邊形AECF＝25，解得AD＝5，∵DE＝2，由勾股定理得AE＝eq\r(AD2＋DE2)＝eq\r(52＋22)＝eq\r(29).12.D【解析】如解圖，連接BB′，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，AC＝6，∴BC＝AC·tanA＝6×eq\r(3)＝6eq\r(3)，由旋轉性質知，AC＝A′C，BC＝B′C，∴△AA′C是等邊三角形，則旋轉角∠BCB′＝∠ACA′＝60°，∴△BCB′是等邊三角形，則點B與點B′之間的距離等于BC的長，即為6eq\r(3).第12題解圖13.B【解析】∵在邊長為2eq\r(2)的菱形ABCD中，∠C＝45°，DE為BC邊上的高，∴DE＝EC＝2，由折疊易得△DCC′為等腰直角三角形，∴C′B＝2CE－BC＝4－2eq\r(2)，∵AD∥CB，∴∠FBC′＝∠A＝45°，又由折疊的性質知，∠C′＝∠C＝45°，∴△C′FB為等腰直角三角形，∴C′F＝2eq\r(2)－2.14.A【解析】如解圖，設A′B′、A′C′分別交BC于點E、F，∵△A′B′C′是由△ABC平移得到的，∴A′B′∥AB,A′C′∥AC，∴△A′ED∽△ABD，△A′FD∽△ACD，∴eq\f(ED,BD)＝eq\f(A′D,AD)，eq\f(DF,DC)＝eq\f(A′D,AD)，∴eq\f(ED,BD)＝eq\f(DF,DC)，∵BD＝DC，∴ED＝DF，∴A′D是△A′EF邊EF的中線．易證△A′EF∽△ABC，∴eq\f(S△ABC,S△A′EF)＝(eq\f(AD,A′D))2.設A′D＝x，則AD＝A′D＋AA′＝x＋1.∴eq\f(9,4)＝(eq\f(x＋1,x))2，∵x>0，∴eq\f(x＋1,x)＝eq\f(3,2)，解得x＝2.第14題解圖15.eq\f(4,7)【解析】∵四邊形ABCD與四邊形EFGH是位似圖形，且點O是位似中心，eq\f(OE,EA)＝eq\f(4,3)，∴eq\f(OE,OE＋EA)＝eq\f(4,4＋3)，即eq\f(OE,OA)＝eq\f(4,7)，∵EF∥AB，△OEF與△OAB是位似圖形，eq\f(OF,OB)＝eq\f(OE,OA)＝eq\f(4,7)，又∵FG∥BC，∴△OFG與△OBC是位似圖形，∴eq\f(FG,BC)＝eq\f(OF,OB)＝eq\f(4,7).16.(eq\f(3,2)，0)【解析】設C(a，0)，∴OC＝a，∵OA＝2，OB＝4，∴AC＝BC＝4－a，在Rt△AOC中，AC2＝OA2＋OC2，∴(4－a)2＝a2＋22，解得a＝eq\f(3,2)，∴點C的坐標為(eq\f(3,2)，0)．17.3eq\r(2)【解析】∵AD＝EF＝DE＝3，∠D＝90°，∴AE2＝AD2＋DE2＝18，∴AB＝AE＝eq\r(18)＝3eq\r(2).18.6【解析】∵AD⊥BC，BC＝6，AD＝3，將△ABC沿射線BC的方向平移2個單位，∴BB′＝2，∴B′C＝BC－BB′＝6－2＝4，△ABC的高AD＝△A′B′C′的高＝△A′B′C的高＝3，∴S△A′B′C＝eq\f(1,2)×4×3＝6.19.6【解析】根據(jù)正方形的性質可知點D和點B關于對角線AC對稱，則BP＝DP，如解圖，連接DE交AC于點P，此時△PBE的周長最小，∵CD＝4，CE＝4－1＝3，∴DE＝5，則△PBE周長的最小值為BP＋PE＋BE＝DE＋BE＝6.第19題解圖20.3eq\r(2)【解析】當點F在正方形ABCD的對角線AC上時，CF＝AC－AF；當點F不在正方形的對角線上時，由點A、C、F構成的三角形的三邊關系可知AC－AF＜CF＜AC＋AF.∴當點F在正方形ABCD的對角線AC上時，C、F兩點之間的距離最小，∵正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為4cm、1cm，∴AC＝4eq\r(2)cm，AF＝eq\r(2)cm，∴CF最?。紸C－AF＝4eq\r(2)－eq\r(2)＝3eq\r(2)cm.21.解：(1)畫出△A1B1C1如解圖；(2)畫出△A1B2C2如解圖．第21題解圖22.解：(1)如解圖所示，則△A1B1C1即為所求作的三角形，A1(－4，－1)，B1(－2，0)；(2)如解圖所示，△A2B2C2即為所求作的三角形．第22題解圖(3)∵點C經(jīng)過的路徑長即為以點(0，3)為圓心，2eq\r(2)為半徑的半圓弧長，∴點C經(jīng)過的路徑長為eq\f(1,2)×2πr＝2eq\r(2)π.滿分沖關1.A【解析】∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝CD＝8，∠A＝∠D＝90°，AD∥BC，AD＝BC，∴∠DEC＝∠A′CB，由折疊的性質，得A′B＝AB＝8，AE＝A′E＝4，∠BA′E＝∠A＝90°，∴A′B＝CD，∠BA′C＝∠D＝90°，在△A′BC和△DCE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠A′CB＝∠DEC,∠BA′C＝∠D,A′B＝CD))，∴△A′BC≌△DCE(AAS)，∴A′C＝DE，設A′C＝DE＝x，則BC＝AD＝DE＋AE＝x＋4，在Rt△A′BC中，A′B2＋A′C2＝BC2，即82＋x2＝(x＋4)2，解得x＝6，∴A′C＝DE＝6，∴tan∠DEC＝eq\f(CD,DE)＝eq\f(8,6)＝eq\f(4,3).2.(eq\r(6)，－eq\r(6))【解析】如解圖，連接OB，OB′，過點B作BE⊥x軸于點E，過點B′作B′D⊥x軸于點D，∵四邊形ABCO是菱形，∠AOC＝60°，OC＝BC＝2，∴∠BOD＝30°，∴∠BCE＝60°，則CE＝1，BE＝eq\r(3)，∴OE＝3，根據(jù)勾股定理可得OB＝eq\r(OE2＋BE2)＝2eq\r(3)，由旋轉的性質得OB′＝OB＝2eq\r(3)，∠BOB′＝75°，∴∠COB′＝∠BOB′－∠BOE＝45°，∴OD＝B′D，在Rt△ODB′中，根據(jù)勾股定理得OD2＋B′D2＝OB′2，即2OD2＝12，解得OD＝eq\r(6)，即B′D＝eq\r(6)，∵點B′在第四象限，∴點B′的坐標為(eq\r(6)，－eq\r(6))．第2題解圖3.(－1，eq\f(\r(3),3))【解析】如解圖，過點B′作B′E⊥AB于點E，連接AM，設點M坐標為(－1，m)，∵正方形AB′C′D′是由正方形ABCD逆時針旋轉30°得到的，∴AB′＝AD，AM＝AM，∠ADM＝∠AB′M，∴△AB′M≌△ADM，∴∠B′AM＝∠MAD＝∠DAD′＝30°，則B′C′所在直線的斜率k＝eq\f(\r(3),3)，設B′C′所在直線解析式為y＝eq\f(\r(3),3)x＋b，∵正方形ABCD的邊長為1，∴B′(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))，將(－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2))代入直線解析式，可得B′C′所在直線解析式為y＝eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，∴當x＝－1時，y＝eq\f(\r(3),3)，即m＝eq\f(\r(3),3)，故點M的坐標為(－1，eq\f(\r(3),3))．第3題解圖4.(eq\f(10,3)，0)【解析】如解圖，將點B向左平移2個單位長度得到B′(4，4)，作點D關于x軸的對稱點D′(0，－2)，連接B′D′，與x軸的交點為E，此時四邊形BDEF的周長最小，∵四邊形BDEF的周長為BD＋DE＋EF＋BF，BD與EF是定值，∴當BF＋DE最小時，四邊形BDEF的周長最小，∵BF＋ED＝B′E＋ED′＝B′D′，設直線B′D′的解析式為y＝kx＋b(k≠0)，將點B′(4，4)、D′(0，－2)分別代入B′D′的解析式中，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4k＋b＝4,b＝－2))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝\f(3,2),b＝－2))，∴直線B′D′的解析式為y＝eq\f(3,2)x－2，令y＝0，得x＝eq\f(4,3)，∴OE＝eq\f(4,3)，∵EF＝2，∴OF＝OE＋EF＝eq\f(4,3)＋2＝eq\f(10,3)，∴點F的坐標為(eq\f(10,3)，0)．第4題解圖5.解：(1)①B′D∥AC(或相互平行)；【解法提示】由折疊得∠B′CA＝∠BCA，由矩形ABCD知AD∥BC，∴∠BCA＝∠DAC，∴∠DAC＝∠B′CA，即∠EAC＝∠ECA，∴AE＝CE，又由題知AD＝BC＝B′C，∴AD－AE＝B′C－CE,即DE＝B′E，∵∠B′ED＝∠AEC，∴∠EB′D＝∠EDB′＝∠EAC＝∠ECA，∴B′D∥AC.②菱形；【解法提示】由(1)知AE＝CE，即△AEC是等腰三角形，∴剪開后得到四條邊相等的四邊形即菱形．(2)結論仍成立．若選擇結論①，證明：∵B′C＝AD，AE＝CE，∴B′E＝DE，∴∠CB′D＝∠ADB′，∵∠AEC＝∠B′ED，∠ACB′＝∠CAD，∴∠ADB′＝∠DAC，∴B′D∥AC；第5題解圖①若選擇結論②，證明：如解圖①所示，設點E的對應點為點F，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CF∥AE，∴∠DAC＝∠ACF，由折疊可得∠ACE＝∠ACF，∴∠DAC＝∠