2023-2024學年西南大學附中高二數(shù)學下期期中考試卷（滿分：150分；考試時間：120分鐘）一、單選題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．若隨機變量服從正態(tài)分布，，則實數(shù)等于（

）A． B．0 C．1 D．22．已知函數(shù)的定義域內(nèi)R，則實數(shù)m的取值范圍是（

）A．B．C．D．3．為了研究某班學生的腳長x（單位：厘米）和身高y（單位：厘米）的關(guān)系，從該班隨機抽取10名學生，根據(jù)測量數(shù)據(jù)的散點圖可以看出y與x之間有線性相關(guān)關(guān)系，設其經(jīng)驗回歸方程為.已知，，，該班某學生的腳長為24，據(jù)此估計其身高為（

）A．162 B．166 C．170 D．1744．將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，則甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的概率為（）A． B． C． D．5．已知函數(shù)滿足，且的導函數(shù)，則的解集為A． B． C． D．6．若某射擊手每次射擊擊中目標的概率為（），每次射擊的結(jié)果相互獨立.在他連續(xù)8次射擊中，“恰有3次擊中目標”的概率是“恰有5次擊中目標”的概率的，則的值為（

）A． B． C． D．7．定義；各位數(shù)字之和為9的四位數(shù)叫“好運數(shù)”，比如1008，2205，則所有“好運數(shù)”的個數(shù)為（

）A．165 B．162 C．156 D．1448．已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，與均為偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．二、多項選擇題；本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對得部分分，有選錯的得0分.9．下列說法中，正確的是（

）A．一組數(shù)據(jù)10，11，11，12，13，14，16，18，20，22的第40百分位數(shù)為12B．某人解答5個問題，答對題數(shù)為X，若，則C．在的展開式中，各項系數(shù)和與所有項二項式系數(shù)和相等D．已知一系列樣本點（，2，3…）的經(jīng)驗回歸方程為，若樣本點與的殘差相等，則10．已知函數(shù)，則（

）A．有兩個極值點，B．有三個零點C．點是的對稱中心D．在區(qū)間上有最大值，則a的取值范圍為11．現(xiàn)有紅、黃、綠三個不透明盒子，其中紅色盒子內(nèi)裝有兩個紅球、一個黃球和一個綠球；黃色盒子內(nèi)裝有兩個紅球，兩個綠球；綠色盒子內(nèi)裝有兩個紅球，兩個黃球.小明第一次先從紅色盒子內(nèi)隨機抽取一個球，將取出的球放入與球同色的盒子中；第二次從該放入球的盒子中隨機抽取一個球.記抽到紅球獲得塊月餅、黃球獲得塊月餅、綠球獲得塊月餅，小明所獲得月餅為兩次抽球所獲得月餅的總和，則下列說法正確的是（

）A．在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到綠球的概率是B．第二次抽到紅球的概率是C．如果第二次抽到紅球，那么它來自黃色盒子的概率為D．小明獲得塊月餅的概率是三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12．從名男生和名女生中，選出名代表，要求名代表中既有男生又有女生的選法有種.13．的展開式中項的系數(shù)為.14．已知關(guān)于x的不等式在上有解.則實數(shù)k的取值范圍為.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15．已知等差數(shù)列的前項和為，且，.(1)求數(shù)列的通項公式以及前項和；(2)若，求數(shù)列的前項和.16．某校在高二年級實行選課走班教學，學校為學生提供了多種課程，其中數(shù)學學科提供4種不同層次的課程，分別稱為數(shù)學1、數(shù)學2、數(shù)學3、數(shù)學4，每個學生只能從4種數(shù)學課程中選擇一種學習，該校高二年級1800名學生的數(shù)學選課人數(shù)統(tǒng)計如表：課程數(shù)學1數(shù)學2數(shù)學3數(shù)學4合計選課人數(shù)3605405403601800用分層抽樣的方法從這1800名學生中插取10人進行分析.(1)選出的10名學生中，選擇數(shù)學1、數(shù)學2、數(shù)學3、數(shù)學4的各有幾人？從選出的10名學生中隨機抽取3人，求這3人中至少有2人選擇數(shù)學2的概率；(2)從選出的10名學生中隨機抽取3人，記這3人中選擇數(shù)學2的人數(shù)為，選擇數(shù)學1的人數(shù)為，設隨機變量，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望.17．已知橢圓E：（），經(jīng)過點，離心率為，圓O以橢圓的短軸為直徑.(1)求橢圓E的標準方程和圓O的方程；(2)設P為橢圓的左頂點，過點P作兩條相互垂直的直線，，設直線與橢圓E的另一個交點為Q，直線交圓O于A，B兩點，求面積的最大值.18．已知函數(shù).(1)若，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若函數(shù)在上單調(diào)遞減，求的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個極值點，，求證：.19．閱讀知識卡片，結(jié)合所學知識完成以下問題：知識卡片1：一般地，如果兩數(shù)在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，用分點將區(qū)間等分成個小區(qū)間，在每個小區(qū)間上任取一點（，2，…，n），作和式（其中為小區(qū)間長度），當時，上述和式無限接近某個常數(shù)，這個常數(shù)叫做函數(shù)在區(qū)間上的定積分，記作，即.這里，與分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間叫做積分區(qū)間，函數(shù)叫做被積函數(shù)，x叫做積分變量，叫做被積式.從幾何上看，如果在區(qū)間上函數(shù)的圖象連續(xù)不斷且恒有，那么定積分表示由直線，，和曲線所圍成的區(qū)域（稱為曲邊梯形）的面積.知識卡片2：一般地，如果在區(qū)間上的圖象連續(xù)不斷，并且，那么.這個結(jié)論叫做微積分基本定理，又叫做牛頓——萊布尼茨公式.例如，如圖所示，對于函數(shù)（），從幾何上看，定積分的值為由直線，，和曲線所圍成的區(qū)域即曲邊梯形的面積，根據(jù)微積分基本定理可得.(1)求下列定積分：①；②；③；④.(2)已知，計算：①；②(3)當，時，有如下表達式：.計算：1．B【分析】根據(jù)正態(tài)分布的對稱性計算．【詳解】由題意，解得．故選：B．2．D【分析】根據(jù)函數(shù)的解析式可得分母不為0，等價于函數(shù)的圖象與軸沒有交點，利用導數(shù)求的最值可得出實數(shù)m的取值范圍．【詳解】函數(shù)的定義域內(nèi)R，則恒成立，令，則，時，；時，，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，時，，則有，得，所以實數(shù)m的取值范圍是.故選：D3．B【分析】根據(jù)樣本中心落在回歸方程上，由已知條件求得，進而求得回歸方程，令，則可以估計該學生的身高.【詳解】根據(jù)題意，得，，，由在上，得，即，故，令，得，即該學生身高約為166cm.故選：B.4．D【分析】先求出將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人共有多少種分法，再求出甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的分法數(shù)，根據(jù)古典概型的概率公式，即可求得答案.【詳解】將甲、乙、丙等7名志愿者分到三個地區(qū)，每個地區(qū)至少分配2人，則有3人分到一個地區(qū)，分配方法共有種，其中甲、乙、丙分到同一個地區(qū)的分配方法有，故所求的概率為，故選：D5．D【詳解】試題分析：令，則，所以函數(shù)在定義域上為單調(diào)遞減函數(shù)，因為，所以，即，根據(jù)函數(shù)在定義域上單調(diào)遞減，可知，故選D.考點：函數(shù)的單調(diào)性與導數(shù)的關(guān)系.【方法點晴】本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性與函數(shù)的導數(shù)之間的關(guān)系，其中解答中涉及到利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，利用導數(shù)研究函數(shù)的極值與最值等知識點的綜合考查，著重考查了學生分析問題和解答問題的能力，以及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應用，本題的解答中根據(jù)題設條件，構(gòu)造新函數(shù)，利用新函數(shù)的性質(zhì)是解答問題的關(guān)鍵，屬于中檔試題.6．D【分析】根據(jù)條件，利用次相互獨立重復試驗恰好發(fā)生次的概率公式，即可求出結(jié)果.【詳解】因為射擊手每次射擊擊中目標的概率為，且每次射擊的結(jié)果相互獨立，由題可得，即，解得或（舍），故選：D.7．A【分析】根據(jù)定義分類討論首位數(shù)字，結(jié)合計數(shù)原理計算即可.【詳解】因為各位數(shù)字之和為9的四位數(shù)叫好運數(shù)，所以按首位數(shù)字分別計算：當首位數(shù)字為9，則剩余三個數(shù)字分別為0，0，0，共有1個好運數(shù)；當首位數(shù)字為8，則剩余三個數(shù)字分別為1，0，0，共有3個好運數(shù)；當首位數(shù)字為7，則剩余三個數(shù)字分別為1，1，0或2，0，0，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為6，則剩余三個數(shù)字分別為3，0，0或2，1，0或1，1，1，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為5，則剩余三個數(shù)字分別為4，0，0或3，1，0或2，2，0或2，1，1，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為4，則剩余三個數(shù)字分別為5，0，0或4，1，0或3，2，0或3，1，1或2，2，1，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為3，則剩余三個數(shù)字分別為6，0，0或5，1，0或4，2，0或4，1，1或3，3，0或3，2，1或2，2，2，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為2，則剩余三個數(shù)字分別為7，0，0或6，1，0或5，2，0或5，1，1或4，3，0或4，2，1或3，3，1或3，2，2，共有個好運數(shù)；當首位數(shù)字為1，則剩余三個數(shù)字分別為8，0，0或7，1，0或6，2，0或6，1，1或5，3，0或5，2，1或4，4，0或4，3，1或4，2，2或3，3，2，共有個好運數(shù)；所以共有個好運數(shù).故選：A.8．A【分析】根據(jù)條件得到，，從而得出函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，再根據(jù)條件得到，即可求出結(jié)果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關(guān)于直線對稱，即，由題知，又是偶函數(shù)，所以，則，則，又，所以，得到，所以，又由，得到，所以①，②，由①②得到，所以函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，由①得到，又，所以，故，故選：A.9．BC【分析】計算第40百分位數(shù)判斷選項A；計算二項分布的方差判斷選項B；由二項展開式中各項系數(shù)和與所有項二項式系數(shù)和的計算判斷選項C；由殘差的計算驗證選項D.【詳解】對于A，這組數(shù)據(jù)共10個，，則第40百分位數(shù)為，A選項錯誤；對于B，若，則，B選項正確；對于C，在的展開式中，所有項二項式系數(shù)和為，令，各項系數(shù)和為，即各項系數(shù)和與所有項二項式系數(shù)和相等，C選項正確；對于D，樣本點與的殘差相等，則有，得，D選項錯誤.故選：BC.10．BCD【分析】求導，令導函數(shù)為0得到其極值點即可判斷A，求出其極值大小即可得到其零點個數(shù)，則判斷B，計算即可判斷C，作出函數(shù)圖象，則得到不等式組，解出即可判斷D.【詳解】對于A，令，解得，當時，，當，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以有兩個極值點，故A錯誤；對于B，由A知，即三次函數(shù)的極大值大于0，極小值小于0，從而有三個零點，故B正確；對于C，因為，則點是的對稱中心，故C正確；對于D，因為，結(jié)合函數(shù)圖象，所以，故D正確.

故選：BCD.11．ACD【分析】記紅球為球，黃球為球，綠球為球，記事件分別表示第一次、第二次取到球，，選項A，根據(jù)條件，利用條件概率公式，即可求出結(jié)果；選項B，先求出，，，，再利用全概率公式即可求出結(jié)果；選項C，利用條件概率公式及選項B中結(jié)果，即可求出結(jié)果；選項D，分三種情況討論，分別求出對應概率，即可求出結(jié)果.【詳解】記紅球為球，黃球為球，綠球為球，記事件分別表示第一次、第二次取到球，，對于選項A，在第一次抽到綠球的條件下，第二次抽到綠球的概率是，所以選項A正確；對于選項B，因為，又，，，由全概率公式知，所以選項B錯誤，對于選項C，如果第二次抽到紅球，那么它來自黃色盒子的概率為，所以選項C正確，對于選項D，若小明獲得塊月餅可能的情況有三種：①第一次從紅色盒子內(nèi)抽到紅球，第二次從紅盒子內(nèi)抽到綠球，其概率為，②第一次從紅色盒子內(nèi)抽到綠球，第二次從綠盒子內(nèi)抽到紅球，其概率為，③第一次從紅色盒子內(nèi)抽到黃球，第二次從黃盒子內(nèi)抽到黃球，其概率為，所以小明獲得塊月餅的概率是，故選項D正確，故選：ACD.12．【分析】根據(jù)條件，利用分類、分步計數(shù)原理及組合，即可求出結(jié)果.【詳解】名代表中醫(yī)有名男生，名女生的選法有，名代表中醫(yī)有名男生，名女生的選法有，所以名代表中既有男生又有女生的選法有，故答案為：.13．【分析】由，寫出展開式的通項，利用通項計算可得.【詳解】因為，其中展開式的通項為（且），所以的展開式中含項為，所以展開式中項的系數(shù)為.故答案為：14．【分析】利用切線不等式得，題目轉(zhuǎn)化為在上有解，再分離參數(shù)得，最后設形函數(shù)，求導得到其最大值即可得到的范圍.【詳解】設，，則，當時，，此時單調(diào)遞減；當時，，此時單調(diào)遞增；則，則在上恒成立，即恒成立，即恒成立，則由切線不等式，當且僅當時取等，知，當且僅當時，取等，從而在上有解等價與在上有解，等價于在上有解，令，則當時，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，時，；時，，所以.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是利用切線不等式得到，當且僅當時等號成立，再利用分離參數(shù)得到，再設新函數(shù)，利用導數(shù)得到其最值即可.15．(1)，(2)【分析】（1）設等差數(shù)列的公差為，根據(jù)等差數(shù)列通項公式及求和公式得到關(guān)于與的方程組，解得與，即可求出通項公式與；（2）由（1）可得，利用錯位相減法計算可得.【詳解】（1）設等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以，所以；（2）由（1）可得，所以，則，所以，所以.16．(1)人，人，人，人；(2)分布列見解析，【分析】（1）按照分層抽樣規(guī)則求出各組的人數(shù)，再由古典概型的概率公式計算可得.（2）依題意的可能取值為，，，，，，求出所對應的概率，即可得到分布列與數(shù)學期望；【詳解】（1）依題意選擇數(shù)學的有人，選擇數(shù)學的有人，選擇數(shù)學的有人，選擇數(shù)學的有人，從人中選人共有種選法，有人選擇數(shù)學的選法共有種，有3人選擇數(shù)學的選法有種，所以至少有人選擇數(shù)學的概率．（2）依題意的可能取值為，，，，，，所以，，，，，，所以的分布列為：所以.17．(1)橢圓方程為，圓的方程為(2)【分析】（1）根據(jù)點在橢圓上，以及離心率公式即可列方程組求解，根據(jù)圓心和半徑即可求解圓的方程，（2）根據(jù)垂直關(guān)系可得兩直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓的方程，根據(jù)韋達定理可得，進而根據(jù)點到直線距離公式可得到直線的距離為，根據(jù)圓的弦長公式可得，即可根據(jù)三角形面積公式得表達式為，利用換元法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解最值.【詳解】（1）由題意可得，解得，所以橢圓方程為，圓的方程為（2）,由題意可知直線，均有斜率，且不為0，設直線方程為：，則:，聯(lián)立，設，則，進而可得，故,則點到直線的距離為，而，故令，則，所以，故當即時，面積取最大值，此時圓心到直線的距離，直線與圓有兩個不同的交點，滿足題意，故面積最大值為,【點睛】方法點睛：圓錐曲線中最值與范圍問題的常見求法：（1）幾何法，若題目的條件能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圖形性質(zhì)來解決；（2）代數(shù)法，若題目的條件能體現(xiàn)一種明確的函數(shù)關(guān)系，則可首先建立目標函數(shù)，再求這個函數(shù)的最值，如本題需先將的面積用k表示出來，然后再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解．18．(1)(2)(3)證明見解析【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，利用導數(shù)的幾何意義求出切線方程；（2）依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）先利用導數(shù)研究有兩個極值點的條件，得到的取值范圍，同時利用韋達定理得到兩極值點的和與積的值，然后得到兩極值的和關(guān)于的函數(shù)表達式，將要證不等式轉(zhuǎn)化為關(guān)于實數(shù)的等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)研究其單調(diào)性，結(jié)合零點存在定理研究最值，從而證明原不等式.【詳解】（1）當時，則，又，則，所以函數(shù)在處的切線方程為，即；（2）因為的定義域為，又，依題意在上恒成立，即在上恒成立，即在上