2024年皖豫名校高三數(shù)學(xué)5月模擬聯(lián)考試卷試卷滿分150分，考試用時(shí)120分鐘2024.05一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．已知某市高三共有20000名學(xué)生參加二模考試，統(tǒng)計(jì)發(fā)現(xiàn)他們的數(shù)學(xué)分?jǐn)?shù)近似服從正態(tài)分布，據(jù)此估計(jì)，該市二?？荚嚁?shù)學(xué)分?jǐn)?shù)介于75到115之間的人數(shù)為（

）參考數(shù)據(jù)：若，則.A．13272 B．16372 C．16800 D．195182．若復(fù)數(shù)滿足，則（

）A． B． C． D．3．在橢圓的4個(gè)頂點(diǎn)和2個(gè)焦點(diǎn)中，若存在不共線的三點(diǎn)恰為某個(gè)正方形的兩個(gè)頂點(diǎn)和中心，則橢圓的離心率為（

）A． B． C． D．4．記數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（

）A．590 B．602 C．630 D．6505．已知正方體的棱長(zhǎng)為1，若從該正方體的8個(gè)頂點(diǎn)中任取4個(gè)，則這4個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成體積為的四面體的概率為（

）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，則（

）A．8 B．10 C．12 D．147．已知圓臺(tái)的上?下底面面積分別為，其外接球球心滿足，則圓臺(tái)的外接球體積與圓臺(tái)的體積之比為（

）A． B． C． D．8．已知實(shí)數(shù)滿足，則（

）A．B．C． D．二?多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9．已知函數(shù)，則（

）A．B．的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)10．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，平面為等腰三角形，為棱上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，則（

）A．平面B．直線與平面所成角的正弦值為C．D．點(diǎn)到平面的距離為11．已知拋物線和的焦點(diǎn)分別為，動(dòng)直線與交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，其中，且當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．的方程為B．已知點(diǎn)，則的最小值為3C．D．若，則與的面積相等三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12．已知集合，若的所有元素之和為12，則實(shí)數(shù).13．已知圓的圓心為點(diǎn)，直線與圓交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，且，若，則.14．已知，其中，且，則.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.15．某校為了給高三學(xué)生舉辦“18歲成人禮”活動(dòng)，由團(tuán)委草擬了活動(dòng)方案，并以問(wèn)卷的形式調(diào)查了部分同學(xué)對(duì)活動(dòng)方案的評(píng)分（滿分100分），所得評(píng)分統(tǒng)計(jì)如圖所示.(1)以頻率估計(jì)概率，若在所有的學(xué)生中隨機(jī)抽取3人，記評(píng)分在的人數(shù)為，求的數(shù)學(xué)期望和方差.(2)為了解評(píng)分是否與性別有關(guān)，隨機(jī)抽取了部分問(wèn)卷，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如下表所示，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)？男生女生評(píng)分3035評(píng)分2015(3)若將（2）中表格的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍，則依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論是否一致？直接給出結(jié)論即可，不必書(shū)寫(xiě)計(jì)算過(guò)程.參考數(shù)據(jù)：0.10.050.012.7063.8416.63516．如圖，在三棱錐中，分別為棱的中點(diǎn).

(1)證明：平面平面；(2)若點(diǎn)到底面的距離等于，且，求二面角的正弦值.17．已知函數(shù)，且曲線在點(diǎn)處的切線方程為.(1)求的極值；(2)若實(shí)數(shù)滿足，記，求實(shí)數(shù)的最小值.18．已知雙曲線的離心率為2，動(dòng)直線與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，且當(dāng)時(shí)，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.(1)求的方程；(2)若點(diǎn)到的距離為的左?右頂點(diǎn)分別為，記直線的斜率分別為，求的最小值19．定義1：若數(shù)列滿足①，②，則稱為“兩點(diǎn)數(shù)列”；定義2：對(duì)于給定的數(shù)列，若數(shù)列滿足①，②，則稱為的“生成數(shù)列”.已知為“兩點(diǎn)數(shù)列”，為的“生成數(shù)列”.(1)若，求的前項(xiàng)和；(2)設(shè)為常數(shù)列，為等比數(shù)列，從充分性和必要性上判斷是的什么條件；(3)求的最大值，并寫(xiě)出使得取到最大值的的一個(gè)通項(xiàng)公式.1．C【分析】由正態(tài)分布曲線的性質(zhì)即可列式求解.【詳解】依題意，故所求人數(shù)為.故選：C.2．D【分析】先求得z，然后求得|z|.【詳解】依題意，，故，故.故選：D3．C【分析】分析這三個(gè)點(diǎn)一定構(gòu)成等腰直角三角形，所以只可能是兩種特殊情形，由于結(jié)果都是滿足，所以只可求出一個(gè)離心率.【詳解】根據(jù)題意，只需要這三個(gè)點(diǎn)構(gòu)成等腰直角三角形，所以這三個(gè)點(diǎn)只可能是“短軸的兩個(gè)端點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)”或“兩個(gè)焦點(diǎn)和短軸的一個(gè)端點(diǎn)”，可設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為，短半軸長(zhǎng)為，半焦距為，這兩種情況都滿足，所以，即橢圓的離心率為，故選：C.4．A【分析】根據(jù)作差得到，再計(jì)算出，即可得到，再利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得.【詳解】因?yàn)?，所以，兩式相減可得.由，，解得，所以，滿足上式，故，所以.故選：A5．A【分析】本題考查排列組合與古典概型概率計(jì)算.【詳解】設(shè)正方體為，則滿足體積為的四個(gè)頂點(diǎn)只有“”和“”兩種情況滿足，故所求概率.故選：A6．B【分析】利用的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，可知向左平移個(gè)單位為偶函數(shù)，再利用恒成立,知對(duì)應(yīng)待定系數(shù)相等，即可解決問(wèn)題.【詳解】依題意，為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，由可知，解得，所以.故選：B7．B【分析】根據(jù)相切結(jié)合勾股定理可得，即可求解，由圓臺(tái)和球的體積公式即可求解.【詳解】設(shè)圓臺(tái)的高為，外接球半徑為，作出軸截面如圖：的上?下底面面積分別為，則圓，的半徑分別為2，6，則，解得，故所求體積之比為故選：B

8．A【分析】求出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性，比較出，構(gòu)造函數(shù)，比較出，即可求解.【詳解】依題意，則.令，故，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，故，則.令，則，故當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，則，則.綜上所述：.故選：A9．ABD【分析】利用正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】易知的最小正周期為，所以也是的周期，則，故A正確；令，解得：，當(dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；當(dāng)時(shí)，，則函數(shù)在上先增后減，故錯(cuò)誤；令，故，在一直角坐標(biāo)系中分別作出和的大致圖像（如圖），觀察可知，二者有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)在上有2個(gè)零點(diǎn)，故D正確.

故選：ABD10．BC【分析】連接，若平面，證得，得到，與題設(shè)矛盾，可判定A錯(cuò)誤；過(guò)點(diǎn)作，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，得到直線與平面所成的角為，可判定B正確；將平面翻折至與平面共面，連接，結(jié)合，可判定C正確；根據(jù)，求得高，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A中，連接，交于點(diǎn)，連接，如圖所示，若平面，因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫?，所以，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以，又因?yàn)闉槔馍峡拷娜确贮c(diǎn)，所以矛盾，所以A錯(cuò)誤；對(duì)于B中，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，因?yàn)槠矫?，且平面，所以，又因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，因?yàn)椋移矫?，所以平面，則直線與平面所成的角為，由題可知，所以B正確；對(duì)于C中，將平面翻折至與平面共面，且點(diǎn)在直線的兩側(cè)，連接，則，所以C正確；對(duì)于D中，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則3，解得，所以D錯(cuò)誤.故選：BC.11．ACD【分析】對(duì)于A，設(shè)，聯(lián)立拋物線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理求出即可判斷；對(duì)于B，結(jié)合拋物線定義、三角形三邊關(guān)系即可判斷；對(duì)于C，設(shè)，分別聯(lián)立拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理即可判斷；對(duì)于D，由C選項(xiàng)分析可得，結(jié)合以及韋達(dá)定理即可得出兩個(gè)三角形的高相等，顯然三角形同底，由此即可判斷.【詳解】當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，設(shè)，聯(lián)立，可得，，故，解得，則，故A正確；過(guò)點(diǎn)向的準(zhǔn)線引垂線，垂足分別為，點(diǎn)到的準(zhǔn)線的距離，由拋物線定義可知，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為與拋物線的交點(diǎn)，故錯(cuò)誤；設(shè)，由，可得，，由，可得，，故，同理可得，故正確；，故，注意到，可得，所以，從而與的面積相等，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：判斷D選項(xiàng)的關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.12．【分析】分類(lèi)討論是否為，進(jìn)而可得集合B，結(jié)合題意分析求解.【詳解】由題意可知：且，當(dāng)，則；當(dāng)，則；當(dāng)，則；若，則，此時(shí)的所有元素之和為6，不符合題意，舍去；若，則，此時(shí)的所有元素之和為4，不符合題意，舍去；若且，則，故，解得或（舍去）；綜上所述：.故答案為：.13．【分析】設(shè)弦的中點(diǎn)為，得到，化簡(jiǎn)，即可求解.【詳解】由圓，可得圓心，半徑為，設(shè)弦的中點(diǎn)為，因?yàn)?，，所以，且，所以，解?故答案為：.

14．【分析】由第一個(gè)已知條件得，結(jié)合二倍角公式進(jìn)一步得出，結(jié)合第二個(gè)已知條件可得關(guān)于的方程，由此即可求解.【詳解】依題意，，，所以，所以，而，因?yàn)椋?，則，則，即，則，解得，故.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：關(guān)鍵是得出，由此即可順利得解.15．(1)；(2)不能認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)；(3)不一致.【分析】（1）由題意可得，即可得的數(shù)學(xué)期望和方差；（2）求出的值，即可判斷；（3）將表中的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍后，求出的值，即可得結(jié)論.【詳解】（1）解：由頻率分布直方圖可知評(píng)分在的頻率為，所以.所以.（2）解：依題意，故依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，不能認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān).（3）解：將表中的人數(shù)數(shù)據(jù)都擴(kuò)大為原來(lái)的10倍后，.所以能認(rèn)為評(píng)分與性別有關(guān)，故所得結(jié)論與（2）中所得結(jié)論不一致.16．(1)證明見(jiàn)解析(2).【分析】（1）取棱的中點(diǎn)，連接，分別證得和和，利用線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，分別求得平面和的法向量和，結(jié)合向量的夾角公式，即可求解.【詳解】（1）證明：取棱的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，由直角三角形的性質(zhì)，可得，因?yàn)?，所以，可得，即，因?yàn)?，且平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，故平面平?（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，過(guò)點(diǎn)垂直與平面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，不妨設(shè)，則，所以，可得，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，所以，設(shè)為平面的法向量，則，取，可得，所以.所以，故二面角的正弦值為.

17．(1)極大值為0，極小值為.(2)4.【分析】（1）根據(jù)切線方程即可求得函數(shù)解析式，再由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間，即可求解極值.（2）由題得到的關(guān)系式，再構(gòu)造函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求得單調(diào)區(qū)間和最值，即可求得的最小值.【詳解】（1）依題意，則，①而，故，即②，聯(lián)立①②，解得.故，令，得或.故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故的極大值為，極小值為.（2）由得，故，且，令，則，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，，故，則，故實(shí)數(shù)的最小值為4.18．(1)(2).【分析】（1）設(shè)的半焦距為，由題意得到，聯(lián)立方程組得到，結(jié)合，列出方程求得的值，即可求解；（2）由點(diǎn)到的距離為1，得到，聯(lián)立方程組求得，求得，再由弦長(zhǎng)公式，求得，且，求得，再由（1）得到，進(jìn)而求得其最小值，得到答案.【詳解】（1）解：設(shè)的半焦距為，由題意知離心率，可得，聯(lián)立方程組，整理得，其中且，則，解得，所以雙曲線的方程為.（2）解：因?yàn)辄c(diǎn)到的距離為1，可得，則.聯(lián)立方程組，整理得，其中，且，因?yàn)橹本€與的左?右兩支分別交于點(diǎn)，可得，所以，又因?yàn)?，故，且，因?yàn)?，故，由?）可知，則，故，又由，故，即的最小值為.【點(diǎn)睛】方法策略：解答圓錐曲線的最值與范圍問(wèn)題的方法與策略：（1）幾何轉(zhuǎn)化代數(shù)法：若題目的條件和結(jié)論能明顯體現(xiàn)幾何特征和意義，則考慮利用圓錐曲線的定義、圖形、幾何性質(zhì)來(lái)解決；（2）函數(shù)取值法：若題目的條件和結(jié)論的幾何特征不明顯，則可以建立目標(biāo)函數(shù)，再求這個(gè)函數(shù)的最值（或值域），常用方法：（1）配方法；（2）基本不等式法；（3）單調(diào)性法；（4）三角換元法；（5）導(dǎo)數(shù)法等，要特別注意自變量的取值范圍；3、涉及直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題：通常設(shè)出直線方程，與圓錐曲線聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進(jìn)行轉(zhuǎn)化運(yùn)算求解，同時(shí)抓住直線與圓錐曲線的幾何特征應(yīng)用.19．(1)(2)是的充要條件.(3)的最大值為，【分析】（1）根據(jù)所給新定義，分n為奇偶討論，分別求出前n項(xiàng)和；（2）分別結(jié)合等比數(shù)列的定義，研究充分性、必要性即可得證；（3）分析的取值，可得的關(guān)系，得出，據(jù)此可求出的最大值.【詳解】（1）依題意故因?yàn)?，所以，?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，即的奇數(shù)項(xiàng)，偶數(shù)項(xiàng)分別成等比數(shù)列.故當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，.當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，.綜上所述，（2）充分性：因?yàn)?，所以，所以，又因?yàn)椋允且?為首項(xiàng)，1為公比的等比數(shù)列