肇慶市重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)押題試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．方程的實(shí)數(shù)根叫作函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，如果函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為，那么滿足（）A． B． C． D．2．上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1），充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計(jì)），夏至（或冬至）日光（當(dāng)日正午太陽光線）與春秋分日光（當(dāng)日正午太陽光線）的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應(yīng)的年代如下表：黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息，通過計(jì)算黃赤交角，可估計(jì)該骨笛的大致年代是()A．公元前2000年到公元元年 B．公元前4000年到公元前2000年C．公元前6000年到公元前4000年 D．早于公元前6000年3．已知復(fù)數(shù)，其中，，是虛數(shù)單位，則（）A． B． C． D．4．博覽會安排了分別標(biāo)有序號為“1號”“2號”“3號”的三輛車，等可能隨機(jī)順序前往酒店接嘉賓．某嘉賓突發(fā)奇想，設(shè)計(jì)兩種乘車方案．方案一：不乘坐第一輛車，若第二輛車的車序號大于第一輛車的車序號，就乘坐此車，否則乘坐第三輛車；方案二：直接乘坐第一輛車．記方案一與方案二坐到“3號”車的概率分別為P1，P2，則（）A．P1?P2＝ B．P1＝P2＝ C．P1+P2＝ D．P1＜P25．設(shè)，滿足約束條件，則的最大值是（）A． B． C． D．6．在平面直角坐標(biāo)系中，經(jīng)過點(diǎn)，漸近線方程為的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．7．已知（i為虛數(shù)單位，），則ab等于（）A．2 B．-2 C． D．8．已知直線：與橢圓交于、兩點(diǎn)，與圓：交于、兩點(diǎn).若存在，使得，則橢圓的離心率的取值范圍為（）A． B． C． D．9．下圖中的圖案是我國古代建筑中的一種裝飾圖案，形若銅錢，寓意富貴吉祥．在圓內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)取自陰影區(qū)域內(nèi)（陰影部分由四條四分之一圓弧圍成）的概率是（）A． B． C． D．10．在中，，，，為的外心，若，，，則（）A． B． C． D．11．將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍（縱坐標(biāo)不變），再向右平移個(gè)單位長度，則所得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為（）A． B． C． D．12．某大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院的薛教授在2019年人工智能方向招收了6名研究生.薛教授欲從人工智能領(lǐng)域的語音識別、人臉識別，數(shù)據(jù)分析、機(jī)器學(xué)習(xí)、服務(wù)器開發(fā)五個(gè)方向展開研究，且每個(gè)方向均有研究生學(xué)習(xí)，其中劉澤同學(xué)學(xué)習(xí)人臉識別，則這6名研究生不同的分配方向共有（）A．480種 B．360種 C．240種 D．120種二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知，則__________．14．已知關(guān)于的不等式對于任意恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_________．15．已知函數(shù)，對于任意都有，則的值為______________.16．設(shè)是定義在上的函數(shù)，且，對任意，若經(jīng)過點(diǎn)的一次函數(shù)與軸的交點(diǎn)為，且互不相等，則稱為關(guān)于函數(shù)的平均數(shù)，記為.當(dāng)_________時(shí)，為的幾何平均數(shù).（只需寫出一個(gè)符合要求的函數(shù)即可）三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）自湖北武漢爆發(fā)新型冠狀病毒惑染的肺炎疫情以來，武漢醫(yī)護(hù)人員和醫(yī)療、生活物資嚴(yán)重缺乏，全國各地紛紛馳援.截至1月30日12時(shí)，湖北省累計(jì)接收捐贈物資615.43萬件，包括醫(yī)用防護(hù)服2.6萬套N95口軍47.9萬個(gè)，醫(yī)用一次性口罩172.87萬個(gè)，護(hù)目鏡3.93萬個(gè)等.中某運(yùn)輸隊(duì)接到給武漢運(yùn)送物資的任務(wù)，該運(yùn)輸隊(duì)有8輛載重為6t的A型卡車，6輛載重為10t的B型卡車，10名駕駛員，要求此運(yùn)輸隊(duì)每天至少運(yùn)送720t物資.已知每輛卡車每天往返的次數(shù)：A型卡車16次，B型卡車12次；每輛卡車每天往返的成本：A型卡車240元，B型卡車378元.求每天派出A型卡車與B型卡車各多少輛，運(yùn)輸隊(duì)所花的成本最低？18．（12分）已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，直線與拋物線交于另一點(diǎn).（1）設(shè)直線，的斜率分別為，，求證：常數(shù)；（2）①設(shè)的內(nèi)切圓圓心為的半徑為，試用表示點(diǎn)的橫坐標(biāo)；②當(dāng)?shù)膬?nèi)切圓的面積為時(shí)，求直線的方程.19．（12分）在直角坐標(biāo)系xOy中，直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)）.以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，圓C的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出圓C的直角坐標(biāo)方程；（2）設(shè)直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，，求的值.20．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)，其中，是的一個(gè)極值點(diǎn)，且.（1）討論的單調(diào)性（2）求實(shí)數(shù)和a的值（3）證明21．（12分）如圖（1）五邊形中，,將沿折到的位置，得到四棱錐，如圖（2），點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，且平面.（1）求證：平面平面；（2）若直線與所成角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值.22．（10分）已知函數(shù).（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）設(shè)函數(shù)的極值點(diǎn)為，當(dāng)變化時(shí)，點(diǎn)構(gòu)成曲線，證明：過原點(diǎn)的任意直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn).

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】

由題設(shè)中所給的定義，方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，根據(jù)零點(diǎn)存在定理即可求出的大致范圍【詳解】解：由題意方程的實(shí)數(shù)根叫做函數(shù)的“新駐點(diǎn)”，對于函數(shù)，由于，，設(shè)，該函數(shù)在為增函數(shù)，，，在上有零點(diǎn)，故函數(shù)的“新駐點(diǎn)”為，那么故選：．【點(diǎn)睛】本題是一個(gè)新定義的題，理解定義，分別建立方程解出存在范圍是解題的關(guān)鍵，本題考查了推理判斷的能力，屬于基礎(chǔ)題..2、D【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，即可得到正確選項(xiàng)．【詳解】解：由題意，可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為，春秋分日光與垂直線夾角為，則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角，將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：則，，．，估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問題的能力，運(yùn)用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學(xué)建模思想，以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬中檔題．3、D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點(diǎn)：1、復(fù)數(shù)的運(yùn)算；2、復(fù)數(shù)的模.4、C【解析】

將三輛車的出車可能順序一一列出，找出符合條件的即可.【詳解】三輛車的出車順序可能為：123、132、213、231、312、321方案一坐車可能：132、213、231，所以，P1＝；方案二坐車可能：312、321，所以，P1＝；所以P1+P2＝故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率的求法，常用列舉法得到各種情況下基本事件的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】

作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出不等式組的可行域，如圖陰影部分，作直線：在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí)，取得最大值.由得：，故選：D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，屬于基礎(chǔ)題.6、B【解析】

根據(jù)所求雙曲線的漸近線方程為，可設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．再把點(diǎn)代入，求得k的值，可得要求的雙曲線的方程．【詳解】∵雙曲線的漸近線方程為設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為k．又在雙曲線上，則k=16-2=14,即雙曲線的方程為∴雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查用待定系數(shù)法求雙曲線的方程，雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．7、A【解析】

利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算化簡，再由復(fù)數(shù)相等的條件列式求解．【詳解】，，得，．．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查復(fù)數(shù)相等的條件，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，是基礎(chǔ)題．8、A【解析】

由題意可知直線過定點(diǎn)即為圓心，由此得到坐標(biāo)的關(guān)系，再根據(jù)點(diǎn)差法得到直線的斜率與坐標(biāo)的關(guān)系，由此化簡并求解出離心率的取值范圍.【詳解】設(shè)，且線過定點(diǎn)即為的圓心，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，所以，所以，所以，所以，所以，所?故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓與圓的綜合應(yīng)用，著重考查了橢圓離心率求解以及點(diǎn)差法的運(yùn)用，難度一般.通過運(yùn)用點(diǎn)差法達(dá)到“設(shè)而不求”的目的，大大簡化運(yùn)算.9、C【解析】令圓的半徑為1，則，故選C．10、B【解析】

首先根據(jù)題中條件和三角形中幾何關(guān)系求出，，即可求出的值.【詳解】如圖所示過做三角形三邊的垂線，垂足分別為，，，過分別做，的平行線，，由題知，則外接圓半徑，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，，由題可知，所以，，所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形外心的性質(zhì)，正弦定理，平面向量分解定理，屬于一般題.11、D【解析】

先化簡函數(shù)解析式,再根據(jù)函數(shù)的圖象變換規(guī)律,可得所求函數(shù)的解析式為,再由正弦函數(shù)的對稱性得解.【詳解】,

將函數(shù)圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的3倍,所得函數(shù)的解析式為,

再向右平移個(gè)單位長度,所得函數(shù)的解析式為,，可得函數(shù)圖象的一個(gè)對稱中心為，故選D.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)是高考考查的熱點(diǎn)之一，經(jīng)常考查定義域、值域、周期性、對稱性、奇偶性、單調(diào)性、最值等，其中公式運(yùn)用及其變形能力、運(yùn)算能力、方程思想等可以在這些問題中進(jìn)行體現(xiàn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要注意基礎(chǔ)知識的理解與落實(shí)．三角函數(shù)的性質(zhì)由函數(shù)的解析式確定，在解答三角函數(shù)性質(zhì)的綜合試題時(shí)要抓住函數(shù)解析式這個(gè)關(guān)鍵，在函數(shù)解析式較為復(fù)雜時(shí)要注意使用三角恒等變換公式把函數(shù)解析式化為一個(gè)角的一個(gè)三角函數(shù)形式，然后利用正弦（余弦）函數(shù)的性質(zhì)求解．12、B【解析】

將人臉識別方向的人數(shù)分成：有人、有人兩種情況進(jìn)行分類討論，結(jié)合捆綁計(jì)算出不同的分配方法數(shù).【詳解】當(dāng)人臉識別方向有2人時(shí)，有種，當(dāng)人臉識別方向有1人時(shí)，有種，∴共有360種.故選：B【點(diǎn)睛】本小題主要考查簡單排列組合問題，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】解：由題意可知：.14、【解析】

先將不等式對于任意恒成立,轉(zhuǎn)化為任意恒成立，設(shè)，求出在內(nèi)的最小值,即可求出的取值范圍.【詳解】解：由題可知，不等式對于任意恒成立，即，又因?yàn)椋?，對任意恒成立，設(shè)，其中，由不等式，可得：，則，當(dāng)時(shí)等號成立，又因?yàn)樵趦?nèi)有解，，則，即：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍：.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查不等式恒成立問題，利用分離參數(shù)法和構(gòu)造函數(shù)，通過求新函數(shù)的最值求出參數(shù)范圍，考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.15、【解析】

由條件得到函數(shù)的對稱性，從而得到結(jié)果【詳解】∵f＝f，∴x＝是函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)的一條對稱軸．∴f＝±2.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦型三角函數(shù)的對稱性，注意對稱軸必過最高點(diǎn)或最低點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

由定義可知三點(diǎn)共線，即，通過整理可得，繼而可求出正確答案.【詳解】解：根據(jù)題意，由定義可知：三點(diǎn)共線.故可得：，即，整理得：，故可以選擇等.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查了兩點(diǎn)的斜率公式，考查了推理能力，考查了運(yùn)算能力.本題關(guān)鍵是分析出三點(diǎn)共線.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、每天派出A型卡車輛，派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低【解析】

設(shè)每天派出A型卡車輛，則派出B型卡車輛，由題意列出約束條件，作出可行域，求出使目標(biāo)函數(shù)取最小值的整數(shù)解，即可得解.【詳解】設(shè)每天派出A型卡車輛，則派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本為元，由題意可知，，整理得，目標(biāo)函數(shù)，如圖所示，為不等式組表示的可行域，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，最小，解方程組，解得，，然而，故點(diǎn)不是最優(yōu)解.因此在可行域的整點(diǎn)中，點(diǎn)使得取最小值，即，故每天派出A型卡車輛，派出B型卡車輛，運(yùn)輸隊(duì)所花成本最低.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題中的最優(yōu)整數(shù)解問題，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解題關(guān)鍵在于列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標(biāo)函數(shù)，同時(shí)注意整點(diǎn)的選取，屬于中檔題.18、（1）證明見解析；（2）①；②.【解析】

（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，聯(lián)立，利用直線的斜率公式和韋達(dá)定理表示出，化簡即可；（2）由（1）知點(diǎn)在軸上，故，設(shè)出直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)，因?yàn)閮?nèi)心到三角形各邊的距離相等且均為內(nèi)切圓半徑，列出方程組求解即可.【詳解】（1）設(shè)過的直線交拋物線于，，聯(lián)立方程組，得：.于是，有：，又，；（2）①由（1）知點(diǎn)在軸上，故，聯(lián)立的直線方程：.，又點(diǎn)在拋物線上，得，又，；②由題得，（解法一）所以直線的方程為（解法二）設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則.設(shè)直線的斜率為，則：直線的方程為：代入直線的直線方程，可得于是有：得，又由（1）可設(shè)內(nèi)切圓的圓心為則，即：，解得：所以，直線的方程為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線的性質(zhì)，直線與拋物線相關(guān)的綜合問題的求解，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解與邏輯推理能力.19、（1）；（2）20【解析】

（1）利用即可得到答案；（2）利用直線參數(shù)方程的幾何意義，.【詳解】解：（1）由，得圓C的直角坐標(biāo)方程為，即.（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓C的直角坐標(biāo)方程，得，即，設(shè)兩交點(diǎn)A，B所對應(yīng)的參數(shù)分別為，，從而，則.【點(diǎn)睛】本題考查了極坐標(biāo)方程與普通方程的互化、直線參數(shù)方程的幾何意義等知識，考查學(xué)生的計(jì)算能力，是一道容易題.20、（1）在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）；（3）證明見解析.【解析】

（1）求出，在定義域內(nèi)，再次求導(dǎo)，可得在區(qū)間上恒成立，從而可得結(jié)論；（2）由，可得，由可得，聯(lián)立解方程組可得結(jié)果；（3）由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，可證明，取，可得，而，利用裂項(xiàng)相消法，結(jié)合放縮法可得結(jié)果.【詳解】（1）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?，令，則有，由，可得，可知當(dāng)x變化時(shí)，的變化情況如下表：1-0+極小值，即，可得在區(qū)間單調(diào)遞增；（2）由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)?，且，由已知得，即，①由可得，，②?lián)立①②，消去a，可得，③令，則，由（1）知，，故，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，所以方程③有唯一解，代入①，可得，；（3）證明：由（1）知在區(qū)間單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí)，，，可得在區(qū)間單調(diào)遞增，因此，當(dāng)時(shí)，，即，亦即，這時(shí)，故可得，取，可得，而，故.【點(diǎn)睛】本題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性以及不等式的證明，屬于難題.不等式證明問題是近年高考命題的熱點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)證明不等主要方法有兩個(gè)，一是比較簡單的不等式證明，不等式兩邊作差構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出函數(shù)的最值即可；二是較為綜合的不等式證明，要觀察不等式特點(diǎn)，結(jié)合已解答的問題把要證的不等式變形，并運(yùn)用已證結(jié)論先行放縮，然后再化簡或者進(jìn)一步利用導(dǎo)數(shù)證明.21、（1）見解析（2）【解析】試題分析:（1）根據(jù)已知條件由線線垂直得出線面垂直,再根據(jù)面面垂直的判定定理證得成立;（2）通過已知條件求出各邊長度,建系如圖所示,求出平面的法向量,根據(jù)線面角公式代入坐標(biāo)求得結(jié)果.試題解析:（1）證明：取的中點(diǎn)，連接，則，又，所以，則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，∴平面，∴.由即及為的中點(diǎn)，可得為等邊三角形，∴，又，∴，∴，∴平面平面，∴平面平面.（2）解：，∴為直線與所成的角，由（1）可得，∴，∴，設(shè)，則，取的中點(diǎn)，連接，過作的平行線，可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，∴，所以，設(shè)為平面的法向量，則，即，取，則為平面的一個(gè)法向量，∵，則直線與平面所成角的正弦值為.點(diǎn)睛:判定直線和平面垂直的方法:①定義法．②利用判定定理：一條直線和一