第十六講一一特殊的平行四邊形

考向一矩形的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2020?廣東廣州市?中考真題）如圖，矩形ABC。的對角線AC,80交于點。，AB=6,BC=8,過

點。作OE_LAC,交AD于點、E，過點E作EF上BD，垂足為尸，則OE+防的值為（）

【答案】C

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC=BD=10,由矩形的性質(zhì)得出AO=5,證明&2E?△"）（?得到OE的長,

再證明GEF?ADBA可得到EF的長，從而可得到結(jié)論.

【詳解】?.?四邊形ABCD是矩形，.?.AC=3O，ZABC=/BCD=ZADC=NBAD=90°

?.?AB=6,BC=8.-.AD=BC=8,DC=AB=6

：.AC=y]AB2+BC2=10'3￡>=10，.?.0A=gAC=5,

-OE1AC，:.ZAOE=90°:.ZAOE=ZADC，

.AOAEEO

又NC4O=ND4C，..△AOE?AWC，.—,

~AD~~ACCD

5AEEO25“15v7

=—=—,AE=—,OE=——,DE=—,同理可證，ADEFfDBA，

8106444

7

DEEF”…21152124…

:,---=---，4FF,:.EF=—,：.OE+EF=1—=—，故選：C.

BDBA=—204205

1Uo

【點睛】本題主要考查了矩形的性質(zhì)和相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)是解答此題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東濟南市?中考真題）如圖，在矩形紙片A8C。中，AD=W,AB=8,將AB沿AE翻折，使點B

落在3'處,AE為折痕;再將EC沿EF翻折，使點C恰好落在線段E9上的點C處，EF為折痕,連接AC'.若

CF—3,貝I]tanNB'AC—

1

【答案】7

【分析】連接A凡設(shè)CE=x,用x表示AE、EF,再證明/AEF=90。，由勾股定理得通過A尸進行等量代換

列出方程便可求得x,再進一步求出8'C,便可求得結(jié)果.

【詳解】解：連接AE設(shè)CE=x,則C，E=CE=x,BE=B'E=10-x,

?四邊形ABC。是矩形，，AB=C￡>=8,A￡>=BC=10,NB=NC=ND=90。,

：.AE^=AB2+BE2=S2+(10-X)2=164-20X+/,￡產(chǎn)=(7￡2+。產(chǎn)=/+32=/+9,

由折疊知，ZAEB=ZAEB',ZCEF=ZC'EF,

'：ZAEB+ZAEB'+ZCEF+ZC'EF=\SO°,：.ZAEF=ZAEB'+ZC'EF=90°

：.AF2=AE2+EF2=164-20X+X2+X2+9=2X2-20x+173,

?.'A/=AD2+DF2=102+(8-3)2=[25,A2X2-20x+173=125,解得，x=4或6,

當(dāng)x=6時，EC=EC'=6,BE=B'E=3-6=2,EOB'E,不合題意，應(yīng)舍去，

：.CE=C'E=4,：.B'C'=B'E-C'E=(10-4)-4=2,

8'C'21i

?；NB'=NB=90°,A9=A8=8,：.tanZB'AC=-----=一=一.故答案為：一.

A'B'844

【點睛】本題考查r矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)，勾股定理，掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?貴州畢節(jié)市?中考真題）如圖，在矩形A8CD中，對角線AC，8□相交于點。，點E，F(xiàn)分別

2

是AO,AO的中點，連接砂，若AB=6cm,BC=8cm,則￡尸的長是（）

A.2.2cmB.2.3cmC.2.4cmD.2.5cm

【答案】D

【分析】由勾股定理求出BD的長，根據(jù)矩形的性質(zhì)求出OD的長，最后根據(jù)三角形中位線定理得出EF的

長即可.

【詳解】：四邊形ABCD是矩形，Z.ZABC=90a,AC=BD,OA=OC=OD=OB,

AB=6cm.BC=8cm..，.AC=J24g2+蹂2=??+8?=10aw，BD=10cm,，OD=BD=5cm,

,:點、E，F(xiàn)分別是AO，AD的中點，EFuloOnlxSuZSa”.故選：D.

22

【點睛】本題考查矩形的性質(zhì)、三角形的中位線定理等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識.

2.（2020?內(nèi)蒙古中考真題）如圖，在R/AABC中，ZACB=90°,。是A3的中點，BELCD,交CD

的延長線于點E.若AC=2,3c=2正，則鹿的長為（）

A.巫B.逅C.V3D.V2

32

【答案】A

【分析】根據(jù)題意將BD,BC算出來，再利用勾股定理列出方程組解出即可.

【詳解】???AC=2,BC=2^,，A8=j22+（20『=2瓜

BE2+DE2=3

?.?D是AB的中點,.?.AD=CD=BD=6.由題意可得:《,,廣、2

BE2+（DE+y/3j=8

=8-3,解得DE=@.BE=2^做選A.

兩式相減得：DE+

33

3

【點睛】本題考查直角三角形中點性質(zhì)和勾股定理，關(guān)鍵在于找出等式列出方程組.

考向二矩形的判定

典例引領(lǐng)

1.（2020?湖北中考真題）已知口48CO中，下列條件：①AB=3C；②AC=BD；③ACL8D；④AC

平分NR4D，其中能說明口ABCD是矩形的是（）

A.①B.②C.③D.④

【答案】B

【分析】根據(jù)矩形的判定進行分析即可.

【詳解】A.AB^BC,鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故A錯誤；

B.AC=BD,對角線相等的平行四邊形是矩形，故B正確；

C.ACVBD，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故C錯誤；

D.AC平分NR4D,對角線平分其每一組對角的平行四邊形是菱形，故D錯誤.故選：B.

【點睛】本題考查了矩形的判定，熟知矩形從邊，角，對角線三個方向的判定是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?北京中考真題）如圖，菱形ABCD的對角線AC,BD相交于點O,E是AD的中點，點F,G在

AB上，EF±AB,OG〃EF.（1）求證：四邊形OEFG是矩形；（2）若AD=10,EF=4,求OE和BG的長.

【分析】（1）先證明E。是ADAB的中位線，再結(jié)合已知條件OG〃EF,得到四邊形OEFG是平行四邊形，再

由條件EFLAB,得到四邊形OEFG是矩形；

⑵先求出AE=5,由勾股定理進而得到AF=3,再由中位線定理得到OE==AB==AD=5,得至FG=5,最

22

后BG=AB-AF-FG=2.

【詳解】解：（1）證明:?.?四邊形ABCD為菱形，，點O為BD的中點，

?點E為AD中點，，OE為4ABD的中位線，，OE〃FG,

4

?；OG〃EF,...四邊形OEFG為平行四邊形...EFLAB,.?.平行四邊形OEFG為矩形.

(2):?點E為AD的中點，AD=10,.-^￡=-4￡)=5

2

2222

VZEFA=90°,EF=4,.?.在RsAEF中，AF=7AE-EF=75-4=3-

?四邊形ABCD為菱形，/.AB=AD=10,.\OE=—AB=5,

2

?四邊形OEFG為矩形，；.FG=OE=5,；.BG=AB-AF-FG=10-3-5=2.故答案為：OE=5,BG=2.

【點睛】本題考查了矩形的性質(zhì)和判定，菱形的性質(zhì)、勾股定理等知識點，特殊四邊形的性質(zhì)和判定屬于

中考?？碱}型，需要重點掌握.

變式拓展

1.(2020?山東聊城?中考真題)如圖，在RtZXABC中，AB=2,ZC=30°,將RtzXABC繞點A旋轉(zhuǎn)

得到RtAAB'C,使點3的對應(yīng)點"落在AC上，在8C’上取點。，使B'O=2,那么點。到BC的距

離等于().

A.2E+lB.@+1C.73-1D.百+1

I3)3

【答案】D

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和30°角的直角三角形的性質(zhì)可得A8'的長，進而可得B'C的長，過點。作DM

_L8C于點M,過點3'作8'EJ.BC于點E，干點尸，如圖，則四邊形？石聞歹是矩形，解Rt

△EEC可得B'E的長，即為FM的長，根據(jù)三角形的內(nèi)角和易得NB'DN=NC=30°,然后解RtZkB'D/

可求出。尸的長，進一步即可求出結(jié)果.

【解析】解：在中，：AB=2，ZC=30°,：.AC=2AB=4,

?.?將RtaABC繞點A旋轉(zhuǎn)得到RtAAB'C',使點B的對應(yīng)點B'落在AC上，

：.AB'=AB=2,

過點。作DMJ_8c丁點M,過點作于點E，B'FLDW于點F，交AC于點M如圖，則四

5

邊形彼是矩形，，短W=

在為△BEC中，=B/C-sin30°=2x—=1,.'.FM=l,

2

'；ZDB'N=NCMN=90°,NB'ND=NMNC,：.ZB'DN=ZC=30°,

,

在Rt46'r>/中，￡>F=J8D-cos30°=2x—=V3,ADMFM+DF+

2

即點。到BC的距離等于6+1.故選：D.

【點睛】本題考查了解直角三角形、矩形的判定和性質(zhì)以及旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)等知識，正確作出輔助線、熟練學(xué)

握解直角三角形的知識是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東聊城?中考真題）如圖，已知平行四邊形4BC。中，E是BC的中點，連接AE并延長，交OC

的延長線于點尸，且AF=A￡>,連接BF,求證：四邊形4BFC是矩形.

【答案】見解析

【分析】先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)得到兩角一邊對應(yīng)相等，再根據(jù)三角形全等的判定定理

與性質(zhì)可得AB=C產(chǎn)，然后根據(jù)平行四邊形的判定可得四邊形ABFC是平行四邊形，又根據(jù)等量代換可得

BC=AF,最后根據(jù)矩形的判定（對角線相等的平行四邊形是矩形）可得四邊形ABFC是矩形.

【解析】?/四邊形ABCD是平行四邊形AB//CD,AB=CO,A￡>=BC

：.NBAE=ZCFE,ZABE=ZFCE

：E為BC的中點,EB=EC：.7ABEsVFCE（A4S）,AB=CF

■：AB//CF四邊形ABFC是平行四邊形

6

-.AF=AD：.BC=AF二平行四邊形ABFC是矩形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)、三角形全等的判定定理與性質(zhì)、矩形的判定等知識點，熟

練運用各判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

考向三菱形的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2020?江蘇無錫市?中考真題）如圖，在菱形ABC。中，々=50。，點E在C￡＞上，若=則

ZBAE=.

【分析】先根據(jù)菱形性質(zhì)求出NBCD,ZACE,再根據(jù)AE=AC求出NAEC,最后根據(jù)兩直線平行，同旁

內(nèi)角互補解題即可.

【詳解】解：四邊形ABCD是菱形，NB=50。，；.AB〃CD,

/.ZBCD=180o-ZB=130°,ZACE=—ZBCD=65°,

2

AE=AC，ZACE=ZAEC=65",.,.ZBAE=1800-ZAEC=115°.

【點睛】本題考查了菱形性質(zhì)，等腰三角形性質(zhì)，解題方法較多，根據(jù)菱形性質(zhì)求解/ACE是解題關(guān)鍵.

2.（2020?廣西中考真題）如圖，在菱形ABCD中，點E,尸分別是邊AD,AB的中點.

（I）求證：AABE烏（2）若BE=6，NC=60°,求菱形A8CO的面積.

【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)，由S4S證明AABEaADF即可；

（2）證是等邊三角形，得出求出AQ即可.

【詳解】（1）證明：?.?四邊形ABCD是菱形，.?.AB=AD,?.?點E,I分別是邊4）,的中點，.M尸=AE,

7

AB=AD

在AABE和△ADE中，＜NA=NA,/.^ABE^ADF(SAS)；

AE=AF

(2)解：連接BQ,如圖：

?.,四邊形ABC。是菱形，/A=/C=60。，是等邊三角形,

,點E是邊AO的中點，：.BE1AD,：.ZABE=30°,

tanZABE=tan30°=——：.AE=^-BE=l,AB=2AE=2,：.AD=AB=2,

BE3

二菱形ABC。的面積=ADXBE=2XG=2y/3.

【點睛】本題考查的是菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的面積的計算，掌握以上知識是解題

的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?遼寧葫蘆島市?中考真題）一張菱形紙片ABC。的邊長為6cm,高AE等于邊長的一半，將菱形

紙片沿直線MN折疊，使點A與點B重合，直線MN交直線C￡＞于點F，則DF的長為cm.

【答案】36+3或3有-3

【分析】先根據(jù)題目中描述畫出兩種可能的圖形，再結(jié)合勾股定理即可得解.

【詳解】解：由題干描述可作出兩種可能的圖形.①MN交DC的延長線于點F,如下圖所示

8

,高AE等于邊長的一半AE=54O=3在RtZXADE中，DE=QAlf-=3上

又：沿MN折疊后，A與B重合EF=-AB^3：.DF=DE+EF=3也+3

2

②MN交DC的延長線于點F,如下圖所示

同理可得AE=3，DE=36，EF=3此時，DF=DE-EF=3力-3

故答案為：3G+3或36-3.

【點睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、勾股定理等相關(guān)知識點，根據(jù)題意作出兩種圖形是解題

關(guān)鍵.

2.（2020?甘肅金昌市?中考真題）如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，根據(jù)實際需要可以

調(diào)節(jié)AE間的距離，若AE間的距離調(diào)節(jié)到60。加，菱形的邊長AB=2（）5，則ND43的度數(shù)是（）

A.90°B.100°C.120°D.150°

【答案】C

【分析】如圖（見解析），先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得AB=5C,AD〃5C,再根據(jù)全等的性質(zhì)可得

AC=^AE=20cm,然后根據(jù)等邊三角形的判定與性質(zhì)可得NB=60。，最后根據(jù)平行線的性質(zhì)即可得.

【詳解】如圖，連接AC四邊形ABCD是菱形AB=BC=20cm,AD//BC

?.?如圖所示的木制活動衣帽架是由三個全等的菱形構(gòu)成，A￡=60cm

/.AC=-AE=20cmAB=BC=AC:.^ABC是等邊三角形；.ZB=60°

3

?rAD//BCZDAB=180°-NB=180°—60°=120°故選：C.

【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識點，理解題意，熟練掌

9

握菱形的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

考向四菱形的判定

典例引領(lǐng)

1.（2020?江蘇南通市?中考真題）下列條件中，能判定DABC。是菱形的是（）

A.AC=BDB.ABLBCC.AD=BDD.AC±BD

【答案】D

【分析】根據(jù)菱形的判定條件即可得到結(jié)果；

【詳解】解：???四邊形A8CO是平行四邊形，，當(dāng)時，四邊形A8C。是菱形；故選：D.

【點睛】本題主要考查了菱形的判定，準確理解條件是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?山東濱州市?中考真題）如圖，過DABCD對角線AC與BD的交點E作兩條互相垂直的直線，分別

交邊AB、BC.CD、DA于點P、M、Q、N.（1）求證：APBEGAQDE；（2）順次連接點P、M、Q、N,

求證：四邊形PMQN是菱形.

【答案】（1）見解析；（2）見解析

【分析】（1）由ASA證aPBE絲ZkQDE即可；（2）由全等三角形的性質(zhì)得出EP=EQ,同理aBME絲Z\DNE

（ASA）,得出EM=EN,證出四邊形PMQN是平行四邊形，由對角線PQ_LMN,即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）證明：:四邊形ABCD是平行四邊形,；.EB=ED,AB/7CD,/.ZEBP=ZEDQ,

NEBP=NEDQ

在4PBE和△QDE中，＜EB=ED,.?.△PBE絲ZxQDE（ASA）；

ZBEP=ZDEQ

（2）證明：如圖所示：

io

■D

E

VAPBE^AQDE,；.EP=EQ,同理：Z\BME絲ZkDNE（ASA）,；.EM=EN,

四邊形PMQN是平行四邊形，；PQ_LMN,.,.四邊形PMQN是菱形.

【點睛】本題考查了平行四邊形的判定與性質(zhì)，菱形的判定，全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握菱形的

判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

變式拓展

1.（2020?內(nèi)蒙古通遼市?中考真題）如圖，是AA5c的中線，四邊形APCE是平行四邊形，增加下列

條件，能判斷cAOCE是菱形的是（）

AE

HI）C

A.ABAC=90°B.ZZME=90°C.AB=ACD.AB=AE

【答案】A

【分析】根據(jù)菱形的判定方法逐一分析即可.

【詳解］解：A、若NR4C=90°,則AD=BD=CD=AE,?.?四邊形ADCE是平行四邊形，則此時四邊形ADCE

為菱形，故選項正確；

B、若ND4E=90°,則四邊形ADCE是矩形，故選項錯誤；

C、若A3=AC,則NADC=90。，則四邊形ADCE是矩形，故選項錯誤：

D、若AB=AE,而AB>AD,則AEHAD,無法判斷四邊形ADCE為菱形，故選項錯誤.故選A.

【點睛】本題考查了菱形的判定，還涉及到平行四邊形的性質(zhì)，矩形的判定，等腰三角形的性質(zhì)，解題的

關(guān)鍵是掌握判定定理.

2.（2020?湖南郴州市?中考真題）如圖，在菱形ABCO中，將對角線AC分別向兩端延長到點E和尸，使

得AE=CF.連接DE,DF,BE,BF.求證：四邊形BEOE是菱形.

11

【答案】見解析

【分析】連接BD,由菱形ABCD的性質(zhì)得出OA=OC,OB=OD,AC1BD,得出OE=OF,證出四邊形BEDF

是平行四邊形，再由EFLBD,即可證出四邊形BEDF是菱形.

【詳解】證明：連接BD,交AC于O,如圖所示：

二?四邊形ABCD是菱形，，。八，）。OB=OD,AC±BD,

VAE=CF,...OEnOF,.?.四邊形BEDF是平行四邊形，

VEF1BD,二四邊形BEDF是菱形.

【點睛】本題考查了菱形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定和性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握菱形的判定與

性質(zhì).

考向五正方形的性質(zhì)

典例引領(lǐng)

1.（2020?浙江金華市?中考真題）如圖，四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖”，得到正方形ABCD與正方

形MG”.連結(jié)EG,BD相交于點O,BD與HC相交于點P.若GO=GP,則：正"""比"的值是（）

12

AD

展

B

A.1+V2B.2+V2C.5-V2D.缶

【答案】B

【分析】證明DBPG@DBCG（A&4）,得出PG=CG.設(shè)OG=PG=CG=X,則EG=2X,FG=&，由

勾股定理得出BC2=（4+2無）x?，則可得出答案.

【詳解】解：.??四邊形EFG”為正方形，\?EGH45?,ZFGH=90°,

QOG=GP,\?GOP?OPG67.5?,\?PBG22.5?,

又；NDBC=45°,\2GBC22.5?,\?PBG?GBC,

Q?BGP2BG90?,BG=BG，\DBPG@DBCG（ASA）,\PG=CG.

設(shè)OG=PG=CG=x,?;（）為EG,8。的交點，\￡G=2x,FG=舊，

???四個全等的直角三角形拼成“趙爽弦圖"，\BF=CG=x,\BG=x+Cx,

22222

\BC=BG-+CG=x（V2+I）+x=（4+2亞賢,/.‘正方""=G+'嚴卜=2+".故選：B.

S正方彩EfGH2x

【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，直角三角形的性質(zhì)等知識，熟

練掌握勾股定理的應(yīng)用是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?內(nèi)蒙古呼和浩特市?中考真題）如圖，正方形ABCD,G是BC邊上任意一點（不與B、C重合），

OEJ.AG于點E,B/〃。E,且交AG于點F.（1）求證：AF-BF=EF；（2）四邊形BEDE是否可

能是平行四邊形，如果可能請指出此時點G的位置，如不可能請說明理由.

【答案】（1）見解析；（2）不可能，理由見解析

【分析】（1）證明4ABF絲ADAE,從而得到AF=DE,AE=BF,可得結(jié)果：

（2）若要四邊形6EDE是平行四邊形，則DE=BF,則/BAF=45°,再證明NBAF*5。即可.

13

【詳解】解：（1）證明：?.?正方形ABC。，，AB=AD,ZBAF+ZDAE=90°,

VDEIAG,；.NDAE+NADE=90。，AZADE=ZBAF,

又,：BFIIDE,，/BFA=90°=/AED,.'.AABF^ADAE（AAS）,

/.AF=DE,AE=BF,/.AF-BFAF-AE^EF：

（2）不可能，理由是：如圖，若要四邊形BEDE是平行四邊形，

已知DE〃BF,則當(dāng)DE=BF時，四邊形BFDE為平行四邊形，

VDE=AF,；.BF=AF,即此時/BAF=45。，而點G不與B和C重合,

.?./BAFW45。，矛盾，二四邊形從DE不能是平行四邊形.

【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找到三

角形全等的條件.

變式拓展

1.（2020?廣西中考真題）如圖，在AA6c中，BC=U0,高40=60,正方形EFG”一邊在上,

點分別在A8,AC上，AO交班'于點N,則AN的長為（）

C.25D.30

【答案】B

【分析】證明△AEFsaABC,根據(jù)相似三角形對應(yīng)邊上的高線的比等于相似比即可求得.

EFAN

【詳解】解：：四邊形EFGH是正方形，，EF〃BC,.?.△AEFs^ABC,；.—=——.

BCAD

14

60_工x

設(shè)AN=x,則EF=FG=DN=60-x,；.---------=一解得：x=20所以，AN=20.故選：B.

12060

【點睛】本題考查了正方形以及相似三角形的應(yīng)用，注意數(shù)形結(jié)合的運用是解題關(guān)鍵.

2.（2020?山東濱州市?中考真題）如圖，點P是正方形ABCD內(nèi)一點，且點P到點A、B、C的距離分別為

26,0,4則正方形ABCD的面積為

【答案】4^+14

【分析】如圖，將4ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到ACBM,連接PM,過點B作BHLPM于H.首先證

明NPMC=90°,推出NCMB=NAPB=I35°,推出A,P,M共線，利用勾股定理求出AB?即可.

【詳解】解：如圖，將4ABP繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90。得到ACBM,連接PM,過點B作BHJ_PM于H.

VBP=BM=V2>ZPBM=90°,.,.PM=V2PB=2,

VPC=4,PA=CM=26,.\PC2=CM2+PM2,ZPMC-90°,

,.'ZBPM=ZBMP=45",/.ZCMB=ZAPB=135°,/.ZAPB+ZBPM=180°,AA,P,M共線，

VBH±PM,.\PH=HM,，BH=PH=HM=1,，AH=20+1,AAB2=AH2+BH2=(273+1)2+l2=14+473.

，正方形ABCD的面積為14+46.故答案為I4+46.

【點睛】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的

關(guān)鍵是學(xué)會利用旋轉(zhuǎn)法添加輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題.

考向六正方形的判定

15

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東濱州市?中考真題）下列命題是假命題的是（）

A.對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形.B.對角線互相垂直的矩形是正方形.

C.對角線相等的菱形是正方形.D.對角線互相垂直平分的四邊形是正方形.

【答案】D

【分析】根據(jù)正方形的各種判定方法逐項分析即可.

【詳解】解：對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形，正確；

對角線互相垂直的矩形是正方形，正確；對角線相等的菱形是正方形，正確；

對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形；可知選項D是錯誤的.故選：D.

【點睛】本題主要考查命題的真假判斷，正確的命題叫真命題，錯誤的命題叫做假命題.判斷命題的真假

關(guān)鍵是要熟悉課本中的性質(zhì)定理.

2.（2020?廣西玉林市?中考真題）如圖，四邊形ABCD中，對角線AC與BD交于點O,且

OA=OB=OC=OD=匚AB.（1）求證：四邊形ABCD是正方形；

2

（2）若H是AB上的一點（H與A,B不重合），連接DH,將線段DH繞點H順時針旋轉(zhuǎn)90度，得到線

段HE,過點E分別作BC及AB的延長線的垂線，垂足分別是F,G,設(shè)四邊形BGEF的面積為5,以HB,

BC為鄰邊的矩形面積為邑，且品=邑，當(dāng)AB=2時，求AH的長；

【答案】（1）證明見解析；⑵=

【分析】（D由題根據(jù)。4=08=0。=O?？傻脤蔷€相等且互相平分，可得四邊形ABCD是矩形，又

因為在A4OB中，利用勾股定理逆定理可得出AAOB為等腰直角三角形，可得

16

ZAOB=ZBOC=ZDOC=ZDOA=90°,所以ABOC也是等腰直角三角形，可得A8=3C,所以得

出四邊形ABCD是正方形；

（2）根據(jù)題意，易證得ADAHMAEGH,可得A￡）="G=/W=2,設(shè)AH=x,則

BH=AB—AH=2—x,BG=HG-BH=2-（2-x）=x,可得￡=/,則

S2=BHBC=2（2-X）=4-2X,令S,=S>即：J=4-2x，解方程即可得出AH的長.

【詳解】解：（1）依題意可得：???3=03,0。=。。，.?.四邊形ABCD為平行四邊形；

又OA=OB=OC=OD,AC=%>.??四邊形ABCD為矩形；

（萬Y（萬丫

又?.?在中，OA=OB，且三邊滿足。。—AB=AB2

AAOB42+1=IJ2ABJ+I2J

??.A4O8為等腰直角三角形；.1/03=45。，

?.?NCB4=90"?.N4CB=45o，；.AB=8C...?四邊形ABCD為正方形；即：四邊形ABC。為正方形.

（2）由題可得：DH=HE,ADHE=90°.-.?ZAHB=180°./.ZDHA+Z.EHG=90°

又?」ZAHD+ZADH=90。二ZADH=ZEHG，

ZDAH=NEGH=90°

在AZM//與=..AZM/7三AEG〃（AAS）

DH=HE

設(shè)A//=x,則5//=AB-AH=2—x,BG=HG-BH=2-（2-x）=x

22

可得:S,=X,S2=BH-BC=2（2-x）=4-2x,令耳=S?，可得x=4-2x，

解得：玉=石—1，4=-石-1（舍去）,BPAH=>/5-l.

【點睛】本題考查正方形的判定以及與正方形相關(guān)的幾何證明.在證明正方形的時候必須先證明四邊形是矩

形或者菱形，然后得出正方形；如果題中涉及到邊之間的關(guān)系是變或0倍的關(guān)系，則利用勾股定理逆定

2

理驗證是否是等腰直角三角形；如果遇到直角比較多的地方，注意觀察題中是否有一線三垂直，要積累和

熟練應(yīng)用這個全等模型.

變式拓展

1.（2020?四川眉山市?中考真題）下列說法正確的是（）

A.一組對邊平行另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形B.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形

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C.對角線相等的四邊形是矩形D.對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形

【答案】B

【分析】利用平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方形的判定定理對各選項逐一判斷后即可

確定正確的選項.

【詳解】解：A、一組對邊平行，另一組對邊相等的四邊形是平行四邊形錯誤，如等腰梯形；

B、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，正確；

C、對角線相等的四邊形是矩形錯誤，如等腰梯形；

D、對角線互相垂直且相等的四邊形是正方形錯誤，如一般四邊形對角線也可以互相垂直且相等.

故選：B.

【點睛】本題考查了命題與定理，解題的關(guān)鍵是了解平行四邊形的判定、菱形的判定、矩形的判定及正方

形的判定定理，難度一般.

2.（2020?山東威海市?中考真題）如圖，在平行四邊形ABC。中，對角線AB=10,AD=6,

。為BO的中點，E為邊A8上一點，直線E。交C￡>于點F,連結(jié)￡>E,8尸.下列結(jié)論不成立的是（）

A.四邊形OE8F為平行四邊形B.若AE=3.6,則四邊形DEBE為矩形

C.若AE=5,則四邊形。石5尸為菱形D.若AE=4.8,則四邊形DEBE為正方形

【答案】D

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理進行逐一判斷即可得解.

［詳解］A.V四邊形ABCD是平行四邊形DC//AB：.ZFDO=ZEBO：。為8。的中點/.DO=BO

NFDO=ZEBO

在△F￡>0與4EBO中,。。=8。：.AFDO=Z.DF=BE

4DOF=ZBOE

又：DC//AB：.四邊形O仍/為平行四邊形，故A選項正確；

B.假設(shè)DELAB：AB=10,4￡>=6,BD=JAB'_AD?=8

1i2s__________

*e*SJBD=TADxBD=-x6x8=24DE-::"，=4.8,:DE-LABAE=AD2—DE2=3.6

Z2AD

則當(dāng)AE=3.6時，DE工AB二?四邊形。石8方為平行四邊形，四邊形OEBb為矩形，故B選項正確；

18

C.VAE=5,A3=1（），E是AB中點：BD±AD''.DE=AE=BE

：四邊形DEBF為平行四邊形...四邊形DEBF為菱形,故C選項正確；

D.當(dāng)AE=4.8時與AE=3.6時矛盾，則OE不垂直于A8,則四邊形OE昉不為矩形，則也不可能為正方

形，故。選項錯誤，故選：D.

【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)及判定定理，以及特殊平行四邊形的判定定理，熟練掌握相關(guān)

性質(zhì)及定理的幾何證明方法是解決本題的關(guān)鍵.

考向七中點四邊形

典例引領(lǐng)

1.（2020?山東荷澤?中考真題）如果順次連接四邊形的各邊中點得到的四邊形是矩形，那么原來四邊形的對

角線一定滿足的條件是（）

A.互相平分B.相等C.互相垂直D.互相垂直平分

【答案】C

【分析】由于順次連接四邊形各邊中點得到的四邊形是平行四邊形，再由矩形的判定可知，依次連接對角

線互相垂直的四邊形各邊的中點所得四邊形是矩形.

根據(jù)題意畫出圖形如下：答：AC與BD的位置關(guān)系是互相垂直.

證明：?.,四邊形EFGH是矩形，.,./FEHngO。，

又?.?點E、F、分別是AD、AB、各邊的中點，...EF是三角形ABD的中位線，

，EF〃BD,.\ZFEH=ZOMH=90°,

又?.?點E、H分別是AD、CD各邊的中點，；.EH是三角形ACD的中位線，

；.EH〃AC,AZOMH=ZCOB=90°,即AC_LBD.故選C.

【點睛】此題主要考查了矩形的判定定理，畫出圖形進而應(yīng)用平行四邊形的判定以及矩形判定是解決問題

的關(guān)鍵.

2.（2020?山東德州市?中考模擬）我們給出如下定義：順次連接任意一個四邊形各邊中點所得的四邊形叫中

19

點四邊形.

（1）如圖1,四邊形ABCD中，點E,F,G,H分別為邊AB,BC,CD,DA的中點.求證：中點四邊形

EFGH是平行四邊形；

（2）如圖2,點P是四邊形ABCD內(nèi)一點，且滿足PA=PB,PC=PD,/APB=/CPD,點E,F,G,H分

別為邊AB,BC,CD,DA的中點，猜想中點四邊形EFGH的形狀，并證明你的猜想；

（3）若改變（2）中的條件，使/APB=/CPD=90。，其他條件不變，直接寫出中點四邊形EFGH的形狀.（不

必證明）

【答案】（1）證明見解析；（2）四邊形EFGH是菱形，證明見解析；（3）四邊形EFGH是正方形.

【分析】（1）如圖1中，連接BD,根據(jù)三角形中位線定理只要證明EH〃FG,EH=FG即可.（2）四邊形

EFGH是菱形.先證明△APCg^BPD,得到AC=BD,再證明EF=FG即可.（3）四邊形EFGH是正方形，

只要證明NEHG=90。，利用△APCgABPD,得NACP=/BDP,即可證明NCOD=NCPD=90。，再根據(jù)平行

線的性質(zhì)即可證明.

【詳解】（1）證明：如圖1中，連接BD.

?點E,H分別為邊AB,DA的中點，；.EH〃BD,EH=-BD,

2

?.?點F,G分別為邊BC,CD的中點，，F(xiàn)G〃BD,FG=-BD,

2

，EH〃FG,EH=GF,...中點四邊形EFGH是平行四邊形.

（2）四邊形EFGH是菱形.

證明：如圖2中，連接AC,BD.VZAPB=ZCPD,

Z.ZAPB+ZAPD=ZCPD+ZAPD,即NAPC=NBPD,

在AAPC和ABPD中，VAP=PB,ZAPC=ZBPD,PC=PD,/.AAPC^ABPD,；.AC=BD.

?.?點E,F,G分別為邊AB,BC,CD的中點，.-.EF=-AC,FG=-BD,

22

四邊形EFGH是平行四邊形，...四邊形EFGH是菱形.

（3）四邊形EFGH是正方形.

20

證明：如圖2中，設(shè)AC與BD交于點O.AC與PD交于點M,AC與EH交于點N.

VAAPC^ABPD,...NACP=/BDP,VZDMO=ZCMP,，NCOD=/CPD=90°,

：EH〃BD,AC〃HG,AZEHG=ZENO=ZBOC=ZDOC=90°,

:四邊形EFGH是菱形，.?.四邊形EFGH是正方形.

考點：平行四邊形的判定與性質(zhì);中點四邊形.

變式拓展

1.（2020?全國九年級其他模擬）如圖，四邊形A8C。中，AC=m,BD=n,且AC_LBD,順次連接四邊形

ABCC各邊中點，得到四邊形ASGG,再順次連接四邊形4SGA各邊中點，得到四邊形2c2。2……，

如此進行下去，得到四邊形485c5。5的周長是（）

mn

A.----D.——JD.——

4255T

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形中位線定理、矩形的判定定理得到四邊形AIBIGDI是矩形，根據(jù)菱形的判定定理得到

四邊形AzB2c2D?是平行四邊形，得到四邊形AsB5c5D5為矩形，計算即可.

【詳解】解：點4,A分別是A8、4。的中點，.?.45〃8。，AQ尸!8。=!〃，

22

同理：B\C\//BD,B\C\=-BD=—n,：.A\D\//B\C\,AQI=8IG,

22

四邊形A1B1CQ1是平行四邊形,'：AC±BD,AC//A\B\,BD//A\D\,：.A\BxLA\D\,

...四邊形是矩形，其周長為2X（—m--n）=m-\-n,

22

21

同理，四邊形A282c2。2是平行四邊形,

''MB2=—A\C\,82C2=774C1,.'.A282=B2C2,?'?四邊形A2B2C2￡>2是菱形，

22

tn+nm+n

同理，483c3。3為矩形，周長為-----，，矩形4850505的周長為------，故選：A.

24

【點睛】本題考查的是三角形中位線定理、菱形和矩形的判定定理，掌握三角形的中位線平行于第三邊，

并且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.

2.（2020?廣東珠海市?九年級二模）順次連接菱形四邊的中點得到的四邊形一定是（）

A.正方形B.菱形C.矩形D.以上都不對

【答案】C

【分析】作出圖形，根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊并且等于第三邊的一半判定出四邊形EFGH是平行

四邊形，再根據(jù)菱形的對角線互相垂直可得EFLFG,然后根據(jù)有一個角是直角的平行四邊形是矩形判斷.

【詳解】解：如圖，???四邊形ABCD是菱形，；.ACJ_BD,

VE,F,G,H是中點，；.EF〃BD,FG〃AC,AEFIFG,

同理：FG1HG,GH±EH,HE1EF,...四邊形EFGH是矩形.故選：C.

【點睛】本題考查菱形的性質(zhì)與判定定理，矩形的判定定理以及三角形的中位線定理.

考向八特殊四邊形的動態(tài)問題

典例引領(lǐng)

1.（2020?江蘇南通市?中考真題）如圖①，E