第一章空間立體幾何初步1.3空間幾何體的外表積與體積柱、錐、臺的外表積與體積測試題知識點1柱、錐、臺的外表積1．正六棱柱的高為h，底面邊長為a，那么它的外表積為()A．3eq\r(3)a2＋6ahB.eq\r(3)a2＋6hC．4eq\r(3)a2＋6ahD.eq\f(3,2)eq\r(3)a2＋6ah2．矩形的邊長分別為1和2，分別以這兩邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)，所形成幾何體的側(cè)面積之比為()A．1∶2B．1∶1C．1∶4D．1∶33．一個幾何體的三視圖如下圖，該幾何體的外表積是()A．372B．360C．292D．4．一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的外表積與側(cè)面積之比為()A.eq\f(1＋2π,2π)B.eq\f(1＋4π,4π)C.eq\f(1＋2π,π)D.eq\f(1＋4π,2π)5．一個圓柱和一個圓錐的軸截面分別是邊長為a的正方形和正三角形，那么它們的外表積之比為________．6．如下圖的圓臺的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4，母線長為10，那么圓臺的側(cè)面積為________．7．一圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，且面積為S，那么圓錐的底面面積是________．8.如圖，一個正方體的棱長為2，以相對兩個面的中心連線為軸，鉆一個直徑為1的圓柱形孔，所得幾何體的外表積為多少？9．圓臺的上、下底面半徑分別是10cm和20cm，它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角是180°，那么圓臺的外表積是多少？(結(jié)果保存π)10.一個圓錐的底面半徑為2cm，高為6cm，在其中有一個高為xcm的內(nèi)接圓柱．(1)求圓錐的側(cè)面積；(2)當x為何值時，圓柱側(cè)面積最大？求出最大值．知識點2柱、錐、臺的體積11．圓臺上、下底面面積分別是π、4π，側(cè)面積是6π，這個圓臺的體積是()A.eq\f(2\r(3),3)πB．2eq\r(3)C.eq\f(7\r(3),6)πD.eq\f(7\r(3),3)π12．(2014·課標全國卷Ⅱ)如圖，網(wǎng)格紙上正方形小格的邊長為1(表示1cm)，圖中粗線畫出的是某零件的三視圖，該零件由一個底面半徑為3cm，高為6cm的圓柱體毛坯切削得到，那么切削掉局部的體積與原來毛坯體積的比值為()A.eq\f(17,27)B.eq\f(5,9)C.eq\f(10,27)D.eq\f(1,3)13．(2014·日照高一檢測)某幾何體的三視圖如圖，那么它的體積是()A．8－eq\f(2π,3)B．8－eq\f(π,3)C．8－2πD.eq\f(2π,3)14．(2014·江蘇高考)設(shè)甲、乙兩個圓柱的底面積分別為S1，S2，體積分別為V1，V2.假設(shè)它們的側(cè)面積相等，且eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，那么eq\f(V1,V2)的值是________．15．半徑為2的半圓卷成一個圓錐，那么它的體積為________．16．一個三棱柱的底面是邊長為3的正三角形，側(cè)棱垂直于底面，它的三視圖如圖，AA1＝3.(1)請畫出它的直觀圖；(2)求這個三棱柱的外表積和體積．17．如圖，△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，作CD⊥AB，垂足為D.以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的外表積和體積．【參考答案】1A【解析】柱體的外表積是側(cè)面積加上底面積，據(jù)正六棱柱的性質(zhì)，得其外表積為S側(cè)＋2S底＝3eq\r(3)a22B【解析】以邊長為1的邊所在直線為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S1＝2π×2×1＝4π，以2所在邊為軸旋轉(zhuǎn)形成的幾何體的側(cè)面積S2＝2π×1×2＝4π，故S1∶S2＝1∶1，選B.3B【解析】該幾何體由兩個長方體組合而成，其外表積等于下面長方體的全面積與上面長方體的四個側(cè)面積之和．S＝2(10×8＋10×2＋8×2)＋2(6×8＋8×2)＝360.應(yīng)選B.4A【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為r，高為h，那么有h＝2πr，所以外表積與側(cè)面積的比為2π(r2＋rh)∶2πrh＝(r＋h)∶h＝(2π＋1)∶2π.52∶1【解析】S圓柱＝2·πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋2π·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))·a＝eq\f(3,2)πa2，S圓錐＝πeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋π·eq\f(a,2)·a＝eq\f(3,4)πa2，∴S圓柱∶S圓錐＝2∶1.6100π【解析】設(shè)圓臺的上底半徑為r，那么下底半徑為4r，高為4r.由母線長為10可知10＝eq\r(〔3r〕2＋〔4r〕2)＝5r，∴r＝2.故圓臺的上、下底半徑和高分別為2，8，8.所以圓臺的側(cè)面積為π(2＋8)×10＝100π.7eq\f(S,2)【解析】如圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，母線長為l，由題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)l2＝S，,πl(wèi)＝2πr.))解得r＝eq\r(\f(S,2π))，所以底面積為πr2＝π×eq\f(S,2π)＝eq\f(S,2).8【解】幾何體的外表積為：S＝6×22－π×(0.5)2×2＋2π×0.5×2＝24－0.5π＋2π＝24＋1.5π.9【解】如下列圖所示，設(shè)圓臺的上底面周長為ccm，上、下底面半徑分別為r1cm，r2cm，那么r1＝10，r2因為扇環(huán)的圓心角是180°，所以c＝π·SA.又c＝2π·10＝20π，所以SA＝20.同理SB＝40.所以AB＝SB－SA＝20.S外表積＝S側(cè)＋S上底＋S下底＝π(r1＋r2)·AB＋πreq\o\al(2,1)＋πreq\o\al(2,2)＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1100π(cm2)．答：圓臺的外表積為1100πcm2.10【解】(1)圓錐的母線長為eq\r(62＋22)＝2eq\r(10)cm，∴圓錐的側(cè)面積S＝π×2×2eq\r(10)＝4eq\r(10)πcm2.(2)畫出軸截面如下圖：設(shè)圓柱的半徑為r.由題意知：eq\f(r,2)＝eq\f(6－x,6)，∴r＝eq\f(6－x,3)，∴圓柱的側(cè)面積S＝2πrx＝eq\f(2π,3)(－x2＋6x)，∴當x＝3cm時，S最大＝6πcm2.11D【解析】S1＝π，S2＝4π，∴r＝1，R＝2，S側(cè)＝6π＝π(r＋R)l，∴l(xiāng)＝2，∴h＝eq\r(3).∴V＝eq\f(1,3)π(1＋4＋2)×eq\r(3)＝eq\f(7,3)eq\r(3)π.應(yīng)選D.12C【解析】由三視圖可知幾何體是如下圖的兩個圓柱的組合體．其中左面圓柱的高為4cm，底面半徑為2cm，右面圓柱的高為2cm，底面半徑為3cm，那么組合體的體積V1＝π×22×4＋π×32×2＝16π＋18π＝34π(cm3)，原毛坯體積V2＝π×32×6＝54π(cm3)，那么所求比值為eq\f(54π－34π,54π)＝eq\f(10,27).13A【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個正四棱柱挖去一個圓錐，正四棱柱的體積為2×2×2＝8，圓錐的體積為eq\f(1,3)π×2＝eq\f(2π,3)，所以該幾何體的體積為8－eq\f(2π,3)，選A.14.eq\f(3,2)【解析】設(shè)兩個圓柱的底面半徑和高分別為r1，r2和h1，h2，由eq\f(S1,S2)＝eq\f(9,4)，得eq\f(πreq\o\al(2,1),πreq\o\al(2,2))＝eq\f(9,4)，那么eq\f(r1,r2)＝eq\f(3,2).由圓柱的側(cè)面積相等，得2πr1h1＝2πr2h2，即r1h1＝r2h2，那么eq\f(h1,h2)＝eq\f(2,3)，所以eq\f(V1,V2)＝eq\f(πreq\o\al(2,1)h1,πreq\o\al(2,2)h2)＝eq\f(3,2).15eq\f(\r(3),3)π【解析】由題意可知該圓錐的側(cè)面展開圖為半圓，如下圖，設(shè)圓錐底面半徑為r，高為h，那么eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2πr＝2π，,h2＋r2＝4，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(r＝1，,h＝\r(3).))∴它的體積為eq\f(1,3)×π×12×eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)π.16【解】(1)直觀圖如下圖．(2)由題意可知，S△ABC＝eq\f(1,2)×3×eq\f(3\r(3),2)＝eq\f(9\r(3),4).S側(cè)＝3AC×AA1＝3×3×3＝27.故這個三棱柱的外表積為27＋2×eq\f(9\r(3),4)＝27＋eq\f(9\r(3),2).這個三棱柱的體積為eq\f(9\r(3),4)×3＝eq\f(27\r(3),4).17【解】在△ABC中，由AC＝3，BC＝4，AB＝5，知AC2＋BC2＝AB2，∴AC⊥BC.∴CD＝eq\f(12,5)，記為r＝eq\f(12,5)，那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底半徑r＝eq\f(12,5)，母線長分別是AC＝3，BC＝4，∴S外表積＝π