重難點(diǎn)03相似三角形考點(diǎn)一：比例學(xué)習(xí)比例、比例線段的性質(zhì)等知識是學(xué)習(xí)三角形相似的基礎(chǔ)，數(shù)學(xué)中考中很多省市也會把這個考點(diǎn)單獨(dú)出題考察，特別是黃金分割和平行線分線段成比例的基本性質(zhì)，都是經(jīng)常出現(xiàn)的小題，但這類題一般難度不大，掌握好易錯點(diǎn)，再仔細(xì)計(jì)算即可！題型01比例與比例線段易錯點(diǎn)：4個數(shù)成比例時(shí)，對應(yīng)數(shù)據(jù)可正可負(fù)；線段成比例時(shí)，對應(yīng)數(shù)據(jù)只能是正數(shù)，特別是比例中項(xiàng)的計(jì)算中，更要注意線段正負(fù)的問題；【中考真題練】1．若＝，則ab＝（）A．6 B． C．1 D．2．（2023?甘孜州）若，則＝．3．小慧同學(xué)在學(xué)習(xí)了九年級上冊“4.1比例線段”3節(jié)課后，發(fā)現(xiàn)學(xué)習(xí)內(nèi)容是一個逐步特殊化的過程，請?jiān)跈M線上填寫適當(dāng)?shù)臄?shù)值，感受這種特殊化的學(xué)習(xí)過程．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）下列各組數(shù)中，成比例的是（）A．1，﹣2，﹣3，﹣6 B．1，4，2，﹣8 C．5，6，2，3 D．，，1，2．（2024?汝南縣一模）如果2a＝5b，那么下列比例式中正確的是（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝3．（2023?望江縣模擬）下列各組中的四條線段成比例的是（）A．3cm、5cm、6cm、9cm B．3cm、5cm、8cm、9cm C．3cm、9cm、10cm、30cm D．3cm、6cm、7cm、9cm4．（2024?涼州區(qū)一模）已知＝，則＝．5．（2024?錦江區(qū)校級模擬）＝．6．（2024?山陽縣一模）如圖，在小提琴的設(shè)計(jì)中蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)知識，AC，BC，AB各部分長度滿足BC2＝AC?AB，若小提琴的總長度AB為59cm，則琴身BC的長為cm．題型02黃金分割易錯點(diǎn)：一個線段的黃金分割點(diǎn)有2個，黃金分割比=，0.618是黃金分割比的近似值。題目中沒有要求時(shí)，一般都要用原值；【中考真題練】1．（2023?綿陽）黃金分割由于其美學(xué)性質(zhì)，受到攝影愛好者和藝術(shù)家的喜愛，攝影中有一種拍攝手法叫黃金構(gòu)圖法．其原理是：如圖，將正方形ABCD的底邊BC取中點(diǎn)E，以E為圓心，線段DE為半徑作圓，其與底邊BC的延長線交于點(diǎn)F，這樣就把正方形ABCD延伸為矩形ABFG，稱其為黃金矩形．若CF＝4a，則AB＝（）A．（﹣1）a B．（﹣2）a C．（+1）a D．（+2）a2．（2023?濟(jì)南）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝36°，以點(diǎn)C為圓心，以BC為半徑作弧交AC于點(diǎn)D，再分別以B，D為圓心，以大于BD的長為半徑作弧，兩弧相交于點(diǎn)P，作射線CP交AB于點(diǎn)E，連接DE．以下結(jié)論不正確的是（）A．∠BCE＝36° B．BC＝AE C． D．3．（2023?達(dá)州）如圖，樂器上的一根弦AB＝80cm，兩個端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，支撐點(diǎn)D是靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C，D之間的距離為cm．（結(jié)果保留根號）4．（2023?黃石）關(guān)于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0，當(dāng)m＝1時(shí)，該方程的正根稱為黃金分割數(shù)．寬與長的比是黃金分割數(shù)的矩形叫做黃金矩形，希臘的巴特農(nóng)神廟采用的就是黃金矩形的設(shè)計(jì)；我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚的優(yōu)選法中也應(yīng)用到了黃金分割數(shù)．（1）求黃金分割數(shù)；（2）已知實(shí)數(shù)a，b滿足：a2+ma＝1，b2﹣2mb＝4，且b≠﹣2a，求ab的值；（3）已知兩個不相等的實(shí)數(shù)p，q滿足：p2+np﹣1＝q，q2+nq﹣1＝p，求pq﹣n的值．【中考模擬練】1．（2024?東昌府區(qū)一模）如圖，線段AB上的點(diǎn)C滿足關(guān)系式：AC2＝BC?AB，且AB＝2，則AC的長為（）A．或 B． C． D．2．（2024?昆明模擬）黃金分割是一個跨越數(shù)學(xué)、自然、藝術(shù)和設(shè)計(jì)領(lǐng)域的概念，各個領(lǐng)域中無處不在．黃金分割是指將一個整體分為兩部分，其中較大部分與整體部分的比值等于較小部分與較大部分的比值，其比值為，通常人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)．請估計(jì)的值在（）A．0和之間 B．和1之間 C．1和之間 D．和2之間3．（2024?安州區(qū)二模）如圖，以線段AB為邊作正方形ABCD，取AD的中點(diǎn)E，連接BE，延長DA至F，使得EF＝BE，以AF為邊作正方形AFGH，則點(diǎn)H即是線段AB的黃金分割點(diǎn)．若記正方形AFGH的面積為S1，矩形HICB的面積為S2，則S1與S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1＝S2 D．不能確定4．（2024?大渡口區(qū)模擬）已知C是線段AB的黃金分割點(diǎn)（AC＞BC），則AC：AB＝（）A．﹣1）：2 B．+1）：2 C．）：2 D．）：25．（2024?高新區(qū)校級二模）“黃金分割”給人以美感，它在建筑、藝術(shù)等領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．秦兵馬俑被譽(yù)為“世界第八大奇跡”，兵馬俑的眼睛到下巴的距離與頭頂?shù)较掳偷木嚯x之比約為，若如圖所示的兵馬俑頭頂?shù)较掳偷木嚯x為0.3m，則該兵馬俑的眼睛到下巴的距離為m．題型03平行線分線段成比例【中考真題練】1．（2023?吉林）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，過點(diǎn)D作DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若AD＝2，BD＝3，則的值是（）A． B． C． D．2．（2023?常州）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：畫法圖形（1）以A為端點(diǎn)畫一條射線；（2）用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長線段AC、CD、DE，連接BE；（3）過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N．M、N就是線段AB的三等分點(diǎn)．這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）A．兩直線平行，同位角相等 B．兩條平行線之間的距離處處相等 C．垂直于同一條直線的兩條直線平行 D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例3．（2023?北京）如圖，直線AD，BC交于點(diǎn)O，AB∥EF∥CD，若AO＝2，OF＝1，F(xiàn)D＝2，則的值為．4．（2023?岳陽）如圖，在⊙O中，AB為直徑，BD為弦，點(diǎn)C為的中點(diǎn)，以點(diǎn)C為切點(diǎn)的切線與AB的延長線交于點(diǎn)E．（1）若∠A＝30°，AB＝6，則的長是（結(jié)果保留π）；（2）若＝，則＝．【中考模擬練】1．（2024?大渡口區(qū)模擬）如圖，AD∥BE∥CF，若DE＝7，DF＝21，AB＝6，則AC的長度是（）A．12 B．18 C．15 D．2．（2024?香坊區(qū)一模）如圖，在△ABC中，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，AC，BC上的點(diǎn)，DE∥BC，EF∥AB，且BF：FC＝3：4，AB＝14，則EF的長為（）A．5 B．6 C．7 D．83．（2024?新安縣一模）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點(diǎn)G，且DG＝2，DF＝10，＝，則AG的長為（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2024?沭陽縣模擬）如圖，在△ABC中，D在AC邊上，AD：DC＝1：2，O是BD的中點(diǎn)，連接AO并延長交BC于點(diǎn)E，若BE＝1，則EC的長為（）A．2 B．2.5 C．3 D．45．（2024?海寧市校級模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD是BC邊上的高線，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，CD上，且∠1＝∠2．（1）求證：AD∥EF．（2）當(dāng)CE：AE＝3：5，CF＝6時(shí)，求BC的長．考點(diǎn)二：相似三角形相似三角形是中考數(shù)學(xué)中非常重要的一個考點(diǎn)，出題難度跨度很大，當(dāng)然，單獨(dú)出題時(shí)，相似三角形的性質(zhì)、判定、應(yīng)用大多以基礎(chǔ)和中等題為主。題型01相似三角形的判定與性質(zhì)解題大招01：相似三角形性質(zhì)的主要應(yīng)用方向有：①求角的度數(shù)；②求或證明比值關(guān)系；③證線段等積式；④求面積或面積比；解題大招02：相似三角形的對應(yīng)邊成比例是求線段長度的重要方法，也是動點(diǎn)問題中得到函數(shù)關(guān)系式的重要手段；解題大招03：判定三角形相似的思路：（1）有平行截線——用平行線的性質(zhì)，找等角（2）有一對等角，找（3）有兩邊對應(yīng)成比例，找夾角相等（4）直角三角形，找（5）等腰三角形，找【中考真題練】1．（2023?重慶）若兩個相似三角形周長的比為1：4，則這兩個三角形對應(yīng)邊的比是（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：162．（2023?恩施州）如圖，在△ABC中，DE∥BC分別交AC，AB于點(diǎn)D，E，EF∥AC交BC于點(diǎn)F，，BF＝8，則DE的長為（）A． B． C．2 D．33．（2023?徐州）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，∠A＝30°，BC＝2，D為AB的中點(diǎn)．若點(diǎn)E在邊AC上，且，則AE的長為（）A．1 B．2 C．1或 D．1或24．如圖，在?ABCD中，F(xiàn)是AD上一點(diǎn)，CF交BD于點(diǎn)E，CF的延長線交BA的延長線于點(diǎn)G，EF＝1，EC＝3，則GF的長為（）A．4 B．6 C．8 D．105．（2023?德州）如圖，A，B，C，D是⊙O上的點(diǎn)，AB＝AD，AC與BD交于點(diǎn)E，AE＝3，EC＝5，BD＝4，⊙O的半徑為（）A．6 B． C．5 D．26．（2023?紹興）如圖，在△ABC中，D是邊BC上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B，C重合）．過點(diǎn)D作DE∥AB交AC于點(diǎn)E；過點(diǎn)D作DF∥AC交AB于點(diǎn)F，N是線段BF上的點(diǎn)，BN＝2NF，M是線段DE上的點(diǎn)，DM＝2ME．若已知△CMN的面積，則一定能求出（）A．△AFE的面積B．△BDF的面積 C．△BCN的面積D．△DCE的面積7．（2023?江西）《周髀算經(jīng)》中記載了“偃矩以望高”的方法．“矩”在古代指兩條邊呈直角的曲尺（即圖中的ABC）．“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放，可測量物體的高度．如圖，點(diǎn)A，B，Q在同一水平線上，∠ABC和∠AQP均為直角，AP與BC相交于點(diǎn)D．測得AB＝40cm，BD＝20cm，AQ＝12m，則樹高PQ＝m．8．（2023?懷化）在平面直角坐標(biāo)系中，△AOB為等邊三角形，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0）．把△A0B按如圖所示的方式放置，并將△AOB進(jìn)行變換：第一次變換將△AOB繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長擴(kuò)大為△AOB邊長的2倍，得到△A1OB1；第二次旋轉(zhuǎn)將△A1OB1繞著原點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，同時(shí)邊長擴(kuò)大為△A1OB1邊長的2倍，得到△A2OB2，…．依次類推，得到△A2023OB2023，則△A2023OB2023的邊長為，點(diǎn)A2023的坐標(biāo)為．9．（2023?無錫）如圖，平行四邊形ABCD中，E、F分別為BC、CD的中點(diǎn)，AF與DE相交于點(diǎn)G，則DG：EG＝．10．（2023?廣東）邊長分別為10，6，4的三個正方形拼接在一起，它們的底邊在同一直線上（如圖），則圖中陰影部分的面積為．11．（2023?常德）如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8，BC＝6，D是AB上一點(diǎn)，且AD＝2，過點(diǎn)D作DE∥BC交AC于E，將△ADE繞A點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到圖2的位置．則圖2中的值為．12．（2023?湘潭）在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是斜邊BC上的高．（1）證明：△ABD∽△CBA；（2）若AB＝6，BC＝10，求BD的長．13．（2023?上海）如圖，在梯形ABCD中AD∥BC，點(diǎn)F，E分別在線段BC，AC上，且∠FAC＝∠ADE，AC＝AD．（1）求證：DE＝AF；（2）若∠ABC＝∠CDE，求證：AF2＝BF?CE．14．（2023?泰安）如圖，△ABC和△CDE均是等腰直角三角形，EF⊥AD；（1）當(dāng)AF＝DF時(shí)，求∠AED；（2）求證：△EHG∽△ADG；（3）求證：．【中考模擬練】1．（2024?揭東區(qū)一模）如圖，正方形ABCD中，E為AB的中點(diǎn)，AF⊥DE于點(diǎn)O，則等于（）A． B． C． D．2．（2024?蕭縣一模）如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC上的點(diǎn)，且DE⊥EF，若，則＝（）A．1 B． C． D．3．（2024?平房區(qū)一模）如圖，DE∥BC，EF∥AB，AC分別交DE、EF于點(diǎn)G、K，下列結(jié)論錯誤的是（）A． B． C． D．4．（2024?石獅市模擬）如圖，在△ABC中，點(diǎn)D在AB邊上，DE∥BC，交AC于點(diǎn)E．若，且△ABC的面積為9，則△ADE的面積為．5．（2024?交城縣一模）如圖，在菱形ABCD中，AB＝4，∠C＝120°，AE⊥BC于點(diǎn)E，對角線BD交AE于點(diǎn)F，則AF的長為.6．（2024?黃浦區(qū)二模）如圖，D是等邊△ABC邊BC上點(diǎn)，BD：CD＝2：3，作AD的垂線交AB、AC分別于點(diǎn)E、F，那么AE：AF＝．7．（2024?東安縣一模）如圖，在△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，連接CD，點(diǎn)E在CD上，連接BE，已知BD＝BE，且∠ACB＝∠BED．（1）求證：△BEC∽△CDA；（2）若BD＝4，DE＝3，BC＝5，求CE的長．8．（2024?開原市一模），如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)F在AB上，連接CF并延長，交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，作BE⊥CD，垂足為E．（1）求證：△DBE∽△ABC；（2）若AF＝2，求ED的長．9．（2024?涼州區(qū)校級一模）已知，如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD＝90°，對角線AC、BD相交于點(diǎn)E，且AC⊥BD．（1）求證：CD2＝BC?AD；（2）點(diǎn)F是邊BC上一點(diǎn)，連接AF，與BD相交于點(diǎn)G，如果∠BAF＝∠DBF，求證：．10．（2024?惠城區(qū)模擬）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB＝∠EDF＝90°，∠DEF＝45°，AC＝8cm，BC＝6cm，EF＝10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動，在△DEF移動的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動；當(dāng)點(diǎn)P移動到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動，△DEF也隨之停止移動．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動時(shí)間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．題型02相似三角形的應(yīng)用解題大招：相似三角形在實(shí)際生活中的應(yīng)用：建模思想：建立相似三角形的模型（二）常見題目類型：1.利用投影、平行線、標(biāo)桿等構(gòu)造相似三角形求解2.測量底部可以到達(dá)的物體的高度3.測量底部不可以到達(dá)的物體的高度4.測量河的寬度【中考真題練】1．如圖，不等臂蹺蹺板AB的一端A碰到地面時(shí)，另一端B到地面的高度為60cm；當(dāng)AB的一端B碰到地面時(shí)，另一端A到地面的高度為90cm，則蹺蹺板AB的支撐點(diǎn)O到地面的高度OH是（）A．36cm B．40cm C．42cm D．45cm2．（2023?湖州）某數(shù)學(xué)興趣小組測量校園內(nèi)一棵樹的高度，采用以下方法：如圖，把支架（EF）放在離樹（AB）適當(dāng)距離的水平地面上的點(diǎn)F處，再把鏡子水平放在支架（EF）上的點(diǎn)E處，然后沿著直線BF后退至點(diǎn)D處，這時(shí)恰好在鏡子里看到樹的頂端A，再用皮尺分別測量BF，DF，EF，觀測者目高（CD）的長，利用測得的數(shù)據(jù)可以求出這棵樹的高度．已知CD⊥BD于點(diǎn)D，EF⊥BD于點(diǎn)F，AB⊥BD于點(diǎn)B，BF＝6米，DF＝2米，EF＝0.5米，CD＝1.7米，則這棵樹的高度（AB的長）是米．3．（2023?濰坊）在《數(shù)書九章》（宋?秦九韶）中記載了一個測量塔高的問題：如圖所示，AB表示塔的高度，CD表示竹竿頂端到地面的高度，EF表示人眼到地面的高度，AB、CD、EF在同一平面內(nèi)，點(diǎn)A、C、E在一條水平直線上．已知AC＝20米，CE＝10米，CD＝7米，EF＝1.4米，人從點(diǎn)F遠(yuǎn)眺塔頂B，視線恰好經(jīng)過竹竿的頂端D，可求出塔的高度．根據(jù)以上信息，塔的高度為米．4．（2023?攀枝花）拜寺口雙塔，分為東西兩塔，位于寧夏回族自治區(qū)銀川市賀蘭縣拜寺口內(nèi)，是保存最為完整的西夏佛塔，已有近1000年歷史，是中國佛塔建筑史上不可多得的藝術(shù)珍品．某數(shù)學(xué)興趣小組決定采用我國古代數(shù)學(xué)家趙爽利用影子對物體進(jìn)行測量的原理，來測量東塔的高度．東塔的高度為AB，選取與塔底B在同一水平地面上的E、G兩點(diǎn)，分別垂直地面豎立兩根高為1.5m的標(biāo)桿EF和GH，兩標(biāo)桿間隔EG為46m，并且東塔AB、標(biāo)桿EF和GH在同一豎直平面內(nèi)．從標(biāo)桿EF后退2m到D處（即ED＝2m），從D處觀察A點(diǎn)，A、F、D在一直線上；從標(biāo)桿GH后退4m到C處（即CG＝4m），從C處觀察A點(diǎn)，A、H、C三點(diǎn)也在一直線上，且B、E、D、G、C在同一直線上，請你根據(jù)以上測量數(shù)據(jù)，幫助興趣小組求出東塔AB的高度．5．（2023?南京）如圖，玻璃桌面與地面平行，桌面上有一盞臺燈和一支鉛筆，點(diǎn)光源O與鉛筆AB所確定的平面垂直于桌面．在燈光照射下，AB在地面上形成的影子為CD（不計(jì)折射），AB∥CD．（1）在桌面上沿著AB方向平移鉛筆，試說明CD的長度不變．（2）桌面上一點(diǎn)P恰在點(diǎn)O的正下方，且OP＝36cm，PA＝18cm，AB＝18cm，桌面的高度為60cm．在點(diǎn)O與AB所確定的平面內(nèi)，將AB繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，使得CD的長度最大．①畫出此時(shí)AB所在位置的示意圖；②CD的長度的最大值為cm．【中考模擬練】1．（2024?劍河縣校級模擬）如圖①，是生活中常見的人字梯，也稱折梯，用于在平面上方空間進(jìn)行工作的一類登高工具，因其使用時(shí)，左右的梯桿及地面構(gòu)成一個等腰三角形，看起來像一個“人”字，因而把它形象的稱為“人字梯”．如圖②，是其工作示意圖，AB＝AC，拉桿EF∥BC，AE＝，EF＝0.35米，則兩梯桿跨度B、C之間距離為（）A．2米 B．2.1米 C．2.5米 D．米2．（2024?甘井子區(qū)一模）《孫子算經(jīng)》有首數(shù)學(xué)歌謠，意思是：有一根竹竿不知道有多長，直立后量出它在太陽下的影子長一丈五尺，同時(shí)直立一根一尺五寸的小標(biāo)桿（如圖所示），它的影長五寸（提示：1丈＝10尺，1尺＝10寸），則竹竿的長為（）A．四丈 B．四丈五尺 C．五丈 D．五丈四尺3．（2024?應(yīng)縣一模）如圖，這是一把折疊椅子及其側(cè)面的示意圖，線段AE和BD相交于點(diǎn)C，點(diǎn)F在AE的延長線上，測得AC＝30cm，BC＝40cm，CD＝24cm，EC＝18cm，若∠BAC＝60°，則∠DEF的度數(shù)為（）A．120° B．125° C．130° D．135°4．（2024?深圳模擬）如圖是凸透鏡成像示意圖，CD是蠟燭AB通過凸透鏡MN所成的虛像．已知蠟燭的高AB為5.4cm，蠟燭AB離凸透鏡MN的水平距離OB為6cm，該凸透鏡的焦距OF為10cm，AE∥OF，則像CD的高為（）A．15cm B．14.4cm C．13.5cm D．9cm5．（2024?化德縣校級模擬）如圖，在測量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動中，小達(dá)同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子中看到旗桿的頂部．若眼睛距離地面AB＝1.5米，同時(shí)量得BC＝2米，CD＝10米，則旗桿高度DE為（）A．7.5米 B．米 C．7米 D．9.5米6．（2024?新昌縣一模）如圖1是某一遮陽篷支架從閉合到完全展開的一個過程，當(dāng)遮陽篷支架完全閉合時(shí)，支架的若干支桿可看作共線．圖2是遮陽篷支架完全展開時(shí)的一個示意圖，支桿MN固定在垂直于地面的墻壁上，支桿CE與水平地面平行，且G，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，在支架展開過程中四邊形ABCD始終是平行四邊形，展開時(shí)∠GHB為90度．（1）若遮陽棚完全展開時(shí)，CE長2米，在與水平地面呈60°的太陽光照射下，CE在地面的影子有米（影子完全落在地面）．（2）長支桿與短支桿的長度比（即CE與AD的長度比）是．7．（2024?長沙模擬）如圖，在某小區(qū)內(nèi)拐角處的一段道路上，有一兒童在C處玩耍，一輛汽車從被樓房遮擋的拐角另一側(cè)的A處駛來（CM⊥DM，BD⊥DM，BC與DM相交于點(diǎn)O），已知OM＝4米，CO＝5米，DO＝3米，AO＝米，則汽車從A處前行的距離AB＝米時(shí)，才能發(fā)現(xiàn)C處的兒童．8．（2024?灞橋區(qū)校級模擬）如圖，為了估算河面的寬度，即EP的長，在離河岸D點(diǎn)2米遠(yuǎn)的B點(diǎn)，立一根長為1米的標(biāo)桿AB，在河對岸的岸邊有一塊高為2.5米的安全警示牌MF，警示牌的頂端M在河里的倒影為點(diǎn)N，即PM＝PN，兩岸均高出水平面1.25米，即DE＝FP＝1.25米，經(jīng)測量此時(shí)A、D、N三點(diǎn)在同一直線上，并且點(diǎn)M、F、P、N共線，點(diǎn)B、D、F共線，若AB、DE、MF均垂直于河面EP，求河寬EP是多少米？9．（2024?鄞州區(qū)模擬）國旗上的每顆星都是標(biāo)準(zhǔn)五角星，圓圓對五角星進(jìn)行了較深入的研究：延長正五邊形的各邊直到不相鄰的邊相交，得到一個標(biāo)準(zhǔn)五角星．如圖，正五邊形ABCDE的邊BA、DE的延長線相交于點(diǎn)F，∠EAF的平分線交EF于點(diǎn)M．（1）求證：AE2＝EF?EM；（2）若AF＝1，求AE的長．題型03位似變換【中考真題練】1．（2023?浙江）如圖，在直角坐標(biāo)系中，△ABC的三個頂點(diǎn)分別為A（1，2），B（2，1），C（3，2），現(xiàn)以原點(diǎn)O為位似中心，在第一象限內(nèi)作與△ABC的位似比為2的位似圖形△A′B′C′，則頂點(diǎn)C′的坐標(biāo)是（）A．（2，4） B．（4，2） C．（6，4） D．（5，4）2．（2023?煙臺）如圖，在直角坐標(biāo)系中，每個網(wǎng)格小正方形的邊長均為1個單位長度，以點(diǎn)P為位似中心作正方形PA1A2A3，正方形PA4A5A6，…，按此規(guī)律作下去，所作正方形的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上，其中正方形PA1A2A3的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為P（﹣3，0），A1（﹣2，1），A2（﹣1，0），A3（﹣2，﹣1），則頂點(diǎn)A100的坐標(biāo)為（）A．（31，34） B．（31，﹣34） C．（32，35） D．（32，0）3．在方格圖中，以格點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形叫做格點(diǎn)三角形．在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，格點(diǎn)△ABC、△DEF成位似關(guān)系，則位似中心的坐標(biāo)為（）A．（﹣1，0） B．（0，0） C．（0，1） D．（1，0）4．（2023?鄂州）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，△ABC與△A1B1C1位似，原點(diǎn)O是位似中心，且＝3．若A（9，3），則A1點(diǎn)的坐標(biāo)是．5．（2023?長春）如圖，△ABC和△A'B'C'是以點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，點(diǎn)A在線段OA′上．若OA：AA′＝1：2，則△ABC與△A'B'C'的周長之比為．6．（2023?遼寧）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O（0，0），A（1，0），B（2，3），C（﹣1，2），若四邊形OA′B′C′與四邊形OABC關(guān)于原點(diǎn)O位似，且四邊形OA′B′C′的面積是四邊形OABC面積的4倍，則第一象限內(nèi)點(diǎn)B′的坐標(biāo)為．【中考模擬練】1．（2024?涼州區(qū)一模）如圖：△AOB與△A1OB1是以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形，且位似比為1：3，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣1，2），則點(diǎn)B1的坐標(biāo)為（）A．（2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（3，﹣6） D．（3，6）2．（2024?鞍山模擬）如圖，正方形網(wǎng)格圖中的△ABC與△A′B′C是位似關(guān)系圖，則位似中心是（）A．點(diǎn)R B．點(diǎn)P C．點(diǎn)Q D．點(diǎn)O3．（2024?酒泉一模）如圖，四邊形ABCD與四邊形A′B′C′D′位似，點(diǎn)O是它們的位似中心，若OA：OA′＝2：3，則CD：C′D′的值為（）A．1：2 B．2：3 C．2：5 D．4：94．（2024?鄲城縣一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為1：3，點(diǎn)A、B、E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為3，則D點(diǎn)坐標(biāo)為（）A．（，1） B．（，1） C．（，） D．（，）5．（2023?新化縣模擬）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，邊OA在x軸上，OC在y軸上，如果矩形OA′B′C與矩形OABC關(guān)于點(diǎn)O位似，且矩形OA′B′C′的面積等于矩形OABC面積的，那么點(diǎn)B′的坐標(biāo)是（）A．（3，2） B．（﹣2，﹣3） C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）6．（2024?新榮區(qū)一模）如圖，A是反比例函數(shù)y＝（x＞0）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)B、D在y軸正半軸上，△ABD是△COD關(guān)于點(diǎn)D的位似圖形，且△ABD與△COD的位似比是1：3，△ABD的面積為1，則該反比例函數(shù)的表達(dá)式為．考點(diǎn)三：相似形綜合相似三角形出綜合題時(shí)，經(jīng)常是相似的性質(zhì)與其他幾何圖形的綜合，特別是和其他如函數(shù)、特殊四邊形、圓等考點(diǎn)一起出題時(shí)，基本都是填空壓軸題和簡答題壓軸題。題型01相似形綜合題【中考真題練】1．（2023?德陽）如圖，⊙O的直徑AB＝10，DE是弦，AB⊥DE，＝，sin∠BAC＝，AD的延長線與CB的延長線相交于點(diǎn)F，DB的延長線與OE的延長線相交于點(diǎn)G，連接CG．下列結(jié)論中正確的個數(shù)是（）①∠DBF＝3∠DAB；②CG是⊙O的切線；③B，E兩點(diǎn)間的距離是；④DF＝．A．1 B．2 C．3 D．42．（2023?黑龍江）如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，BC上的動點(diǎn)，且AF⊥DE，垂足為G，將△ABF沿AF翻折，得到△AMF，AM交DE于點(diǎn)P，對角線BD交AF于點(diǎn)H，連接HM，CM，DM，BM，下列結(jié)論正確的是（）①AF＝DE；②BM∥DE；③若CM⊥FM，則四邊形BHMF是菱形；④當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動到AB的中點(diǎn)，tan∠BHF＝2；⑤EP?DH＝2AG?BH．A．①②③④⑤ B．①②③⑤ C．①②③ D．①②⑤3．（2023?衢州）下面是勾股定理的一種證明方法：圖1所示紙片中，∠ACB＝90°（AC＜BC），四邊形ACDE，CBFG是正方形．過點(diǎn)C，B將紙片CBFG分別沿與AB平行、垂直兩個方向剪裁成四部分，并與正方形ACDE，△ABC拼成圖2．（1）若cos∠ABC＝，△ABC的面積為16，則紙片Ⅲ的面積為．（2）若，則＝．4．（2023?日照）如圖，矩形ABCD中，AB＝6，AD＝8，點(diǎn)P在對角線BD上，過點(diǎn)P作MN⊥BD，交邊AD，BC于點(diǎn)M，N，過點(diǎn)M作ME⊥AD交BD于點(diǎn)E，連接EN，BM，DN．下列結(jié)論：①EM＝EN；②四邊形MBND的面積不變；③當(dāng)AM：MD＝1：2時(shí)，S△MPE＝；④BM+MN+ND的最小值是20．其中所有正確結(jié)論的序號是．5．（2023?武漢）問題提出如圖（1），E是菱形ABCD邊BC上一點(diǎn)，△AEF是等腰三角形，AE＝EF，∠AEF＝∠ABC＝α（α≥90°），AF交CD于點(diǎn)G，探究∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題探究（1）先將問題特殊化，如圖（2），當(dāng)α＝90°時(shí)，直接寫出∠GCF的大?。唬?）再探究一般情形，如圖（1），求∠GCF與α的數(shù)量關(guān)系．問題拓展將圖（1）特殊化，如圖（3），當(dāng)α＝120°時(shí)，若，求的值．6．（2023?福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是AB邊上不與A，B重合的一個定點(diǎn)．AO⊥BC于點(diǎn)O，交CD于點(diǎn)E．DF是由線段DC繞點(diǎn)D順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到的，F(xiàn)D，CA的延長線相交于點(diǎn)M．（1）求證：△ADE∽△FMC；（2）求∠ABF的度數(shù)；（3）若N是AF的中點(diǎn)，如圖2，求證：ND＝NO．7．（2023?南京）在平面內(nèi)，將一個多邊形先繞自身的頂點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)一個角度θ（0°＜θ＜180°），再將旋轉(zhuǎn)后的多邊形以點(diǎn)A為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應(yīng)線段的比為k，稱這種變換為自旋轉(zhuǎn)位似變換．若順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，順θ，k）；若逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，記作T（A，逆θ，k）．例如：如圖①，先將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)50°，得到△A1BC1，再將△A1BC1以點(diǎn)B為位似中心縮小到原來的，得到△A2BC2，這個變換記作T（B，逆50°，）．（1）如圖②，△ABC經(jīng)過T（C，順60°，2）得到△A′B′C，用尺規(guī)作出△A′B′C．（保留作圖痕跡）（2）如圖③，△ABC經(jīng)過T（B，逆α，k1）得到△EBD，△ABC經(jīng)過T（C，順β，k2）得到△FDC，連接AE，AF．求證：四邊形AFDE是平行四邊形．（3）如圖④，在△ABC中，∠A＝150°，AB＝2，AC＝1．若△AB