2020年浙江省湖州市中考數(shù)學(xué)模擬試題

選擇題（共10小題）

1.在。。中，P為其內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)的弦為8cm,最短的弦長(zhǎng)為則如為（）

A.2MB.A/3C.3D.2

2.平面上有四個(gè)點(diǎn)，過(guò)其中任意3個(gè)點(diǎn)一共能確定圓的個(gè)數(shù)為（）

A.0或3或4B.0或1或3C.0或1或3或4D.0或1或4

3.直線仞V通過(guò)原點(diǎn)的是（）

A."(2,-3),4(-4,6)B.B(2,-3),4(4,6)

C.〃(-2,-3),%(4,-6)D.D(2,3),#(-4,6)

4.證明一個(gè)四邊形是正方形，使用次數(shù)最少的方法對(duì)折，則應(yīng)該對(duì)折（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

5.如圖，在△被7中，AB=10,AC=8,BC=6,以邊形中點(diǎn)。為圓心，作半圓與47相切，

點(diǎn)八。分別是邊比1和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接R?,則R?長(zhǎng)的最大值與最小值的差是（）

6.已知：如圖，是等腰Rt△板1的外接圓，點(diǎn)〃是踴上的一點(diǎn)，BD交AC于兼E,若

反=4,4?=0.8,則瓦1的長(zhǎng)是（）

7.如圖，已知ZC是。。的直徑，點(diǎn)8在圓周上（不與/、C重合），點(diǎn)。在4c的延長(zhǎng)線上,

連接班交。0于點(diǎn)瓦若NAOB=3NADB,貝）|（）

B

A.DE=EBB.42DE=EBC.43DE=D0D.DE=OB

8.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為。和〃（〃<〃），過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩

個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則（）

0999

A.m+2mn^n=0B.m-2mn^n=0

C.m+2mn-n=0D.in-2mn-n=0

9.如圖，△板內(nèi)切圓是。0,折疊矩形被力，使點(diǎn)〃、0重合，R7是折痕，點(diǎn)尸在上,

G在板上，連結(jié)G,若。G垂直〃G,且。。的半徑為1,則下列結(jié)論不成立的是（）

A.C決DF=4B.CD-DF=2M-3C.BC+AB=2M+4D.BC-AB=2

10.如圖，已知正方形眼切，點(diǎn)￡是邊45的中點(diǎn)，點(diǎn)。是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與4

￡重合），以0為圓心，如為半徑的圓與邊/〃相交于點(diǎn)必過(guò)點(diǎn)〃作。。的切線交加于

點(diǎn)”連接以O(shè)N、BM、BN.記△仞以/\AOM,△刎的面積分別為￡、S、￡,則下列

A.&>$+￡B./XAOM^/XDMNC.NMBN=45°D.MN=AM^CN

二.填空題（共6小題）

11.有x支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽兩場(chǎng)，列方程為.

12.梅西踢足球，沿直線切進(jìn)攻，最恰當(dāng)?shù)纳潼c(diǎn)位于點(diǎn)（填口從￡）.

13.如圖矩形，AB=2BC=4,E是AB二等分點(diǎn)、,直線/平行于直線￡G且直線/與直線勿

之間的距離為2,點(diǎn)戶(hù)在矩形地力邊上，沿直線哥'折疊矩形被雙使點(diǎn)/落在直線/

上，則以占

D

14.如圖，在Rt△被7中，Z5=90°,ZJ=30°,以點(diǎn)Z為圓心，比長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交四

于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)/、。為圓心，形長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)及連接力及DE,則/皮”

的余弦值是.

15.如圖，在Rt△極7的紙片中，ZC=90",AC^5,AB=13.點(diǎn)。在邊■上，以4)

為折痕將△生厲折疊得到,AB'與邊比交于點(diǎn)反若△順'為直角三角形

,則初的長(zhǎng)是.

16.當(dāng)-2WW1時(shí)，拋物線尸-(x-而2+d+1有%*=4,貝!]q=

三.解答題(共5小題)

17.我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形”.

(1)已知：如圖1,四邊形俶力是“等對(duì)角四邊形“，/ZWNC,乙4=70。，N5=80。.求

NGNO的度數(shù).

(2)在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

①小紅畫(huà)了一個(gè)“等對(duì)角四邊形”被力(如圖2),其中N被AB=AD,此時(shí)她

發(fā)現(xiàn)⑶=切成立.請(qǐng)你證明此結(jié)論；

②由此小紅猜想:“對(duì)于任意'等對(duì)角四邊形'，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”.你

認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例.

(3)已知：在“等對(duì)角四邊形”被力中，/物5=60°,NABC=90°,AB=5,AD=\.求

對(duì)角線47的長(zhǎng).

18.如圖1,地面物上兩根等長(zhǎng)立柱形，切之間有一根繩子可看成拋物線y=0.13-0.8e5.

(1)求繩子最低點(diǎn)離地面的距離；

(2)因?qū)嶋H需要，在離班為5米的位置處用一根立柱就撐起繩子(如圖2),使左邊

拋物線A的最低點(diǎn)距就為1米，離地面2米，求的的長(zhǎng)；

(3)將立柱惻的長(zhǎng)度提升為5米，通過(guò)調(diào)整磔的位置，使拋物線用對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次

項(xiàng)系數(shù)始終為上.設(shè)脈離4?的距離為。，拋物線K的頂點(diǎn)離地面距離為A,但2WAW3

3

19.在Rt△板■中，ZACB=90°,4=12.點(diǎn)〃在直線面上，以O(shè),5為邊作矩形42應(yīng),

直線形與直線宓龍'的交點(diǎn)分別為RG.

(1)如圖，點(diǎn)〃在線段或上，四邊形】a應(yīng)是正方形.

①若點(diǎn)G為龍的中點(diǎn)，求尸。的長(zhǎng).

②若DG=GF,求初的長(zhǎng).

(2)已知比三9,是否存在點(diǎn)〃使得△所。是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰

長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

20.如圖1,A(-4,0).正方形如切的頂點(diǎn)6在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)。在第二象限.現(xiàn)

將正方形OBCD繞氐0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60°,OE=OA,求直線旗的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若a為銳角，tana=工，當(dāng)/￡取得最小值時(shí)，求正方形施尸。的面積.

3

(3)當(dāng)正方形施的頂點(diǎn)尸落在y軸上時(shí)，直線Z2與直線FG相交于點(diǎn)只△郎的其

中兩邊之比能否為JR1?若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由.

直線入2x-y3=0

直線h2x-y-3=0

(1)若點(diǎn)”為4上第一象限的點(diǎn)，△題為等腰RtZ\,求〃坐標(biāo).

(2)若把A、A上的點(diǎn)構(gòu)成的圖形稱(chēng)為圖形V.已知矩形力如■的頂點(diǎn)J在圖形，上，I

為平面系上的點(diǎn)，且J(x,y),求x的范圍(寫(xiě)出過(guò)程).

參考答案與試題解析

選擇題（共10小題）

1.在。。中，P為其內(nèi)一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)尸的最長(zhǎng)的弦為8cm,最短的弦長(zhǎng)為則如為（）

A.2MB.A/3C.3D.2

【分析】根據(jù)直徑是圓中最長(zhǎng)的弦，知該圓的直徑是8.；最短弦即是過(guò)點(diǎn)尸且垂直于

過(guò)點(diǎn)尸的直徑的弦；根據(jù)垂徑定理即可求得⑦的長(zhǎng)，再進(jìn)一步根據(jù)勾股定理，可以求得

利的長(zhǎng).

【解答】解：如圖所示，CDLAB于點(diǎn)、P.

根據(jù)題意，得：AB=8cm,CD=\cm,

'：CDLAB,

：.CP=—CD=2cm,

2

根據(jù)勾股定理，得

^VOC2-CP2=V42-22=25^（cm）

故選：A.

2.平面上有四個(gè)點(diǎn)，過(guò)其中任意3個(gè)點(diǎn)一共能確定圓的個(gè)數(shù)為（）

A.0或3或4B.0或1或3C.0或1或3或4D.0或1或4

【分析】如圖，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，不能確定圓，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，只能作一個(gè)圓，

當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可以作三個(gè)圓，當(dāng)四點(diǎn)不共圓時(shí)，且沒(méi)有三點(diǎn)共線時(shí)，能確定

四個(gè)圓，由此即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，當(dāng)四點(diǎn)在同一條直線上時(shí)，不能確定圓，當(dāng)四點(diǎn)共圓時(shí)，只能作一

個(gè)圓，當(dāng)三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可以作三個(gè)圓，當(dāng)四點(diǎn)不共圓時(shí)，且沒(méi)有三點(diǎn)共線時(shí)，

能確定四個(gè)圓.

圖1圖2圖3圖4

故選：C.

3.直線脈通過(guò)原點(diǎn)的是（)

A."(2,-3),〃(-4,6)B.〃(2,-3),4(4,6)

C.〃(-2,-3),4(4,-6)D."(2,3),4(-4,6)

【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求得一次函數(shù)的解析式，然后判斷即可得到結(jié)論.

【解答】解：4：〃（2,-3）,“（-4,6）,

二直線磔的解析式為y=-3x；

2

故直線磔過(guò)原點(diǎn)；

B、'：M（2,-3）,一（4,6）,

二直線腑的解析式為y=^-x~12,；

2

故直線仞V不過(guò)原點(diǎn)；

C、?.?〃（-2,-3）,%（4,-6）,

二直線磔的解析式為尸-Lx-4；

2

故直線腑不過(guò)原點(diǎn)；

D、〃（2,3）,〃（-4,6）,

二直線腑的解析式為尸-工出4；

2

故直線弱不過(guò)原點(diǎn)；

故選：A.

4.證明一個(gè)四邊形是正方形，使用次數(shù)最少的方法對(duì)折，則應(yīng)該對(duì)折（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

【分析】由折疊得出四個(gè)角相等的四邊形是矩形，再由一組鄰邊相等，即可得出四邊形

是正方形.

【解答】解：把四邊形對(duì)折1次（共2層），2組鄰角相等，且一組對(duì)邊相等；

將四邊形展開(kāi)后沿對(duì)角線對(duì)折，則對(duì)角相等，兩組鄰邊長(zhǎng)度相等，所以4個(gè)角相等，且

4條邊相等.則這個(gè)四邊形是正方形.

故選：B.

5.如圖，在△極7中，AB=10,AC=8,BC=6,以邊45中點(diǎn)。為圓心，作半圓與47相切，

點(diǎn)八。分別是邊國(guó)和半圓上的動(dòng)點(diǎn)，連接網(wǎng),則可長(zhǎng)的最大值與最小值的差是（）

A.6B.2A/13+1C.9D.7

【分析】如圖，設(shè)。。與ZC相切于點(diǎn)及連接陽(yáng)作曲，比垂足為R交。。于此

時(shí)垂線段陰最短，na最小值為oPx-oQ,,求出能，如圖當(dāng)a在四邊上時(shí)，地與B

重合時(shí)，最大值=5+3=8,由此不難解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，設(shè)。。與/c相切于點(diǎn)￡,連接陽(yáng)作四，況垂足為A交。。于a,

此時(shí)垂線段仍最短，三a最小值為例-闈，

?.35=10,AC^8,BA6,

：.〃=Ad+Bd,

AZC^90o,

?：NOPiB=90°,

：.OPJ/AC

'：AO=OB,

:.P、C=P\B,

：.OP^—AC^\,

2

??.R8最小值為OP1-001=1,

如圖，當(dāng)Q在四邊上時(shí)，烏與8重合時(shí)，烏0經(jīng)過(guò)圓心，經(jīng)過(guò)圓心的弦最長(zhǎng)，

RQ最大值=5+3=8,

長(zhǎng)的最大值與最小值的差是7.

故選：D.

c

6.已知：如圖，O0是等腰Rt△板"的外接圓，點(diǎn)〃是踴上的一點(diǎn)，BD交AC于氤E,若

BC=4,/。=0.8,則龐的長(zhǎng)是（）

【分析】根據(jù)圓周角定理得到NA90°,根據(jù)勾股定理求出BD、證明△/施s△比區(qū)

得到CE=5DE,根據(jù)勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：在等腰Rt△破中，出=4,

二/8是。。的直徑，AB=4?

...NA90°,

'：AD=Q.8,AB=，M，

二BD=7AB2-AD2=7（W2）2-0-82=^~'

'：ZD=ZC,ZDAC^ZCBE,

：./\ADE^/\BCE,

...邁=世=工，即CE=3DE,

CEBC5

在RtZ\5位中，C百+Bd=B百,即（5M2+42=（毀-㈤2,

5

解得，理'=0.6,

故選：D.

7.如圖，已知ZC是。。的直徑，點(diǎn)6在圓周上（不與/、C重合），點(diǎn)。在/C的延長(zhǎng)線上,

連接初交。。于點(diǎn)瓦若NAOB=3NADB,貝1］（）

B

E.

D

A.DE=EBB.EBC.43DE=D0D.DE=OB

【分析】連接犯，只要證明NANQ即可解決問(wèn)題.

【解答】解：連接死.

*：OB=OE,

：.NB=/OEB,

?：N0EB=/KND0E,N2如=3N〃,

JNaNA34

：./DOE=/D,

：.ED=EO=OB,

故選：D.

8.已知直角三角形紙片的兩條直角邊長(zhǎng)分別為勿和Z7（勿V/7）,過(guò)銳角頂點(diǎn)把該紙片剪成兩

個(gè)三角形，若這兩個(gè)三角形都為等腰三角形，則（）

A.方+20r卜〃2=0B.m-2mn^n=0

099

C.m+2nm-n=0D.m-2mn-n2=o

【分析】如圖，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和勾股定理可得■+m—（n-ni）2,整理即可求

解

【解答】解：如圖，

m+m=^n-m）,

2m=n-2mn^-in,

99

m^2mn-n=0.

故選：C.

m

mn-m

9.如圖，△破內(nèi)切圓是。0,折疊矩形極力，使點(diǎn)〃、0重合，尾是折痕，點(diǎn)尸在/〃上,

G在被7上，連結(jié)0G,2G,若如垂直加，且。。的半徑為1,則下列結(jié)論不成立的是（）

A.CADF=4B.CD-DF=2M-3C.BC+AB=2、瓜4D.BC-AB=2

【分析】設(shè)。。與用的切點(diǎn)為他連接加并延長(zhǎng)的交4?于點(diǎn)兒根據(jù)折疊的性質(zhì)得到

OG=DG,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.求得比'

-AB=2.設(shè)AB=a，BC=b,AC=c,。。的半徑為r,根據(jù)勾股定理得到a+l）=（M

-2）2,求得比H45=2?+4.再設(shè)郎=x,在Rt△版中，F(xiàn)N=3+M，OF=X,ON=1+^,

根據(jù)勾股定理得到5愿，CmDF=M.

【解答】解：如圖，

設(shè)。。與此的切點(diǎn)為必連接場(chǎng)并延長(zhǎng)加交4。于點(diǎn)火

?.?將矩形板》按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)〃與點(diǎn)。重合，折痕為尸G,

:.OG=DG,

'：OGLDG,

:./MGa/DGC=9Q°,

■:NMO/NMGg90°,

：.ZMOG=ZDGC,

'/0MG=/DCG=90°

在△巡和5中，，/MOG=/DGC，

kOG=DG

:.叢OMMAGCD,

：.OM=GC=\,CD=GM=BC-BM-GC=BC-2.

'：AB=CD,

：.BC-AB=2.

設(shè)AB=a,BC=b,AC=c,。。的半徑為r,

。。是Rt△/宛的內(nèi)切圓可得r=L（吩b-c）,

2

c—a\b-2.

在Rt△放中，由勾股定理可得a2+^=（a+Z）-2）2,

整理得2a6-4a-4人4=0,

X'：BC-AB=2EPb=2+a,代入可得2a（2+a）-4a-4（2+a）+4=0,

解得a=l+?或a=\-M（不合題意舍去），

:.BC+AB=2而4.

再設(shè)ZF=x,在Rt△帔中，F(xiàn)N="M，OF=X,ON=\+M，

由勾股定理可得（2+?-x）2+（73）2=丁，

解得x=4-\自

：.CD-DF=4Z,CD^DF=.[3.

綜上只有選項(xiàng)4錯(cuò)誤，

故選：A.

10.如圖，已知正方形屈力，點(diǎn)￡是邊居的中點(diǎn)，點(diǎn)0是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與4

￡重合），以。為圓心，必為半徑的圓與邊力〃相交于點(diǎn)區(qū)過(guò)點(diǎn)〃作。。的切線交加于

點(diǎn)“連接以O(shè)N、BM、BN.記△砌?、XAOM、AW的面積分別為￡、樂(lè)￡,則下列

結(jié)論不一定成立的是（）

A.S>$+￡B./\AOM^/\DMNC.2MBN=45°D.MN^AM^CN

【分析】（1）如圖作曲〃力。交融于點(diǎn)只當(dāng)加M時(shí)，求得￡=￡+￡,

(2)利用仞V是。。的切線，四邊形板Z?為正方形，寵景叢AOASADMN.

(3)作BPLHN于點(diǎn)、P,利用Rt△例的Rt△仞叼和Rt△加恒RtZXBGV來(lái)證明G〃成立.

【解答】解：(1)如圖，柞MP//AO灰ON千點(diǎn)、P,

,點(diǎn)。是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)4UM時(shí)，

S海形ONDA=—(OA+DI/)*AD

2

=

S/\MNO=SAMO自'S/^hpt^—MP*AM^—MP*MD—MP*AD,

222

(614+ZW)=MP,

2

?，?>SAW=—"S"梯步ONDAf

2

Si=￡+S3,

二不一定有$>s+w,

(2)I?磔是。。的切線，

J.OMLMN,

又?.?四邊形肥力為正方形，

：.ZA=ZD=90°,/AMd/DMN=90°,ZAM(KZAOM=90°,

二ZAOM=ZDMN,

在△掰9和△胸中，

(ZA=ZD

IZAOM=ZDMN'

故8成立；

(3)如圖，作BP1MN干點(diǎn)、P,

'：MN,比是。。的切線，

:.NPMB=L/MOB,NCBM=L/MOB,

22

'：AD//BC,

：.ZCBM=ZAMB,

：.ZAMB=NPMB,

在Rt△冠仿和RSMPB中，

，ZBPM=ZBAM

"ZPMB=ZAMB

BM=BM

:.RSMAB^Rt4MPB（AAS）

：.AM=MP,NABM=NMBP,BP=AB=BC,

在Rt△初V和Rt△閱V中，

fBP=BC

lBN=BN

工RSBPN^SBCN（HD

：.PN=CN,ZPBN=ZCBN,

:.NMBN=NMBIMPBN,

MN=MP^PN=AM1rCN.

故C,。成立，

綜上所述，力不一定成立，

故選：A.

二.填空題（共6小題）

11.有￡支球隊(duì)參加籃球比賽，共比賽45場(chǎng)，每?jī)申?duì)之間都比賽兩場(chǎng)，列方程為x（x-

1）=45.

【分析】先列出X支籃球隊(duì)，每?jī)申?duì)之間都比賽兩場(chǎng)，共可以比賽X（X-1）場(chǎng)，再根

據(jù)題意列出方程為x（X-1）=45.

【解答】解：...有X支球隊(duì)參加籃球比賽，每?jī)申?duì)之間都比賽兩場(chǎng)，

...共比賽場(chǎng)數(shù)為X（X-1）,

二共比賽了45場(chǎng)，

'.x（x-1）=45,

故答案為：x（X-1）=45.

12.梅西踢足球，沿直線或進(jìn)攻，最恰當(dāng)?shù)纳潼c(diǎn)位于點(diǎn)D或E（填6\從￡）.

【分析】直接利用圓周角定理得出最佳射門(mén)點(diǎn).

【解答】解：如圖所示：當(dāng)在點(diǎn)D,￡位置時(shí)，圓周角相同，故最恰當(dāng)?shù)纳潼c(diǎn)位于點(diǎn)D

或反

13.如圖矩形，AB=2BU4,￡是25二等分點(diǎn)，直線/平行于直線且直線/與直線比

之間的距離為2,點(diǎn)尸在矩形物為邊上，沿直線頗折疊矩形版雙使點(diǎn)/落在直線/

上，貝I所=2日或4-2血.

【分析】當(dāng)直線，在直線應(yīng)上方時(shí)，連接以交直線,于他只要證明△啊是等腰直角

三角形即可利用加=。加解決問(wèn)題，當(dāng)直線/在直線況下方時(shí)，由NDER=NBEF產(chǎn)

/DRE,得到掰=如由此即可解決問(wèn)題.

【解答】解：如圖，當(dāng)直線/在直線或上方時(shí)，連接班1交直線/于必

,:AB=2BC=4,￡是45二等分點(diǎn)，

：.BC=2,BE=2=AE

?.?四邊形極力是矩形，

.,.N/=NQ90°,AD=BC,

*6=4,AD=BC=2,

:.AD=AE=EB=BC=2,

???△4龍、△反方是等腰直角三角形，

AZAED=ZBEC=45°,

：?/DEC=9。。,

9

：1//EC9

:?ED11,

:.EM=2=AE,

.?.點(diǎn)4、點(diǎn)〃關(guān)于直線所對(duì)稱(chēng)，

■:NMDF=NMFD=45°,

：.DM=MF=DE-EM=2,歷-2,

:.DF=4^J)M=4_2弧,

當(dāng)直線，在直線比下方時(shí)，

?：NDER=/BEF\=NDRE,

:.DF\=DE=2、n，

綜上所述如的長(zhǎng)為2、叵或4-272.

故答案為2%或4-2戲.

1

14.如圖，在Rt△被7中，Z5=90°,/力=30。，以點(diǎn)/為圓心，■長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧交四

于點(diǎn)。，分別以點(diǎn)/、。為圓心，相長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)E,連接4區(qū)DE,則/應(yīng)。

的余弦值是近.

—6—

【分析】設(shè)比'=x,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出不?=2a-2x,求出四=、&,

根據(jù)題意得出4?=a三處AE=DE=AB=^[3x,作就吐4。于必由等腰三角形的性質(zhì)得

出止工區(qū)在池△』颯中，由三角函數(shù)的定義即可得出結(jié)果.

2

【解答】解：如圖所示，設(shè)BXx,

?.,在Rt△胸中，Z5=90°,NZ=30°,

二AC=2BC=2x,AB=j3BC=返x,

根據(jù)題意得：AD=BC=x,AE=DE=AB=、&,

如圖，作釀?dòng)诤雱t4a工

22

2

在RtZXZ陽(yáng)中，cos/EAD=返=^-=昱,

AEy3x6

故答案為：區(qū).

6

AB

15.如圖，在山△板的紙片中，ZC=90°,AC=5,J5=13.點(diǎn)。在邊比'上，以

為折痕將龍折疊得到△"厲'，AB'與邊比1交于點(diǎn)反若△頌'為直角三角形

,則物的長(zhǎng)是7或空.

【分析】由勾股定理可以求出優(yōu)的長(zhǎng)，由折疊可知對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等，當(dāng)ADEB'

為直角三角形時(shí)，可以分為兩種情況進(jìn)行考慮，分別利用勾股定理可求出物的長(zhǎng).

【解答】解：在中，工旬2-AC工=\>132-52=12，

(1)當(dāng)NEDB'=90"時(shí)，如圖1,

過(guò)點(diǎn)夕作夕FLAC,交然的延長(zhǎng)線于點(diǎn)凡

由折疊得：AB=AB'=13,BD=B'D^CF,

設(shè)BD=x,則8'D=CF=x,B'F=CD=12-x,

在雙△/期'中，由勾股定理得：

(5+x)2+(12-x)2=13，

即：x-7x=0,解得：而=0(舍去)，x?=7,

因此，BD=1.

(2)當(dāng)NDEB'=90。時(shí)，如圖2,此時(shí)點(diǎn)￡與點(diǎn)。重合，

由折疊得：AB=AB'=13,貝!6^13-5=8,

設(shè)Bgx,貝UWgx,312-x,

在Rt48'5中，由勾股定理得：(12-X)2+8?=9，解得：*=生,

3

因此加=生.

3

故答案為：7或空.

3

16.當(dāng)時(shí)，拋物線尸-（x-加*+渭+1有m=4,貝!]m=2或-弧_

【分析】根據(jù)題意和二次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類(lèi)討論的方法可以求得宜的值，本題得以

解決.

【解答】解：:,當(dāng)-2WA<1時(shí)，拋物線尸-（x-加渥+1有％=4,

???當(dāng)a>l時(shí)，x=l時(shí)，函數(shù)取得最大值，

即4=-（1-加2+m+1,

解得，227=2；

當(dāng)%V-2時(shí)，x=-2時(shí)，函數(shù)取得最大值，

即4=-（-2-加2+/&2+1,

解得，a=J->-2（舍去）；

4

當(dāng)時(shí)，時(shí)，函數(shù)取得最大值，

4=-（227-〃）2+/?+1,

解得，助=尊々（舍去）；

由上可得，〃的值是2或-6，

故答案為：2或-愿.

三.解答題（共5小題）

17.我們定義：有一組對(duì)角相等而另一組對(duì)角不相等的凸四邊形叫做“等對(duì)角四邊形

(1)已知：如圖1,四邊形被力是“等對(duì)角四邊形“，NZWNC,NZ=70。，NQ80。.求

NG的度數(shù).

(2)在探究“等對(duì)角四邊形”性質(zhì)時(shí)：

①小紅畫(huà)了一個(gè)“等對(duì)角四邊形“凝》(如圖2),其中乙的=N4〃C,AB=AD,此時(shí)她

發(fā)現(xiàn)⑦=或成立.請(qǐng)你證明此結(jié)論；

②由此小紅猜想:“對(duì)于任意'等對(duì)角四邊形'，當(dāng)一組鄰邊相等時(shí)，另一組鄰邊也相等”.你

認(rèn)為她的猜想正確嗎？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，請(qǐng)舉出反例.

(3)已知：在“等對(duì)角四邊形”被力中，NDAB=60°,/儂=90。，A3=5,AD=4.求

對(duì)角線/C的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)四邊形4題是“等對(duì)角四邊形”得出NAN6=80°,根據(jù)多邊形內(nèi)

角和定理求出NC即可；

(2)①連接BD,根據(jù)等邊對(duì)等角得出NZ劭=//加，束出NCBg/CDB,根據(jù)等腰三

角形的判定得出即可；

②先畫(huà)出反例圖形，即可得出答案；

(3)分兩種情況：①當(dāng)/4%三/被片90°時(shí)，延長(zhǎng)/〃，■相交于點(diǎn)￡,先用含30°

角的直角三角形的性質(zhì)求出4瓦得出第再用三角函數(shù)求出切，由勾股定理求出ZC;

②當(dāng)/BCD=NDAB=60。時(shí)，過(guò)點(diǎn)〃作加""于點(diǎn)團(tuán)DNLBC千氤N,貝!!乙初=90°,

四邊形曲加是矩形，先求出肱DM,再由矩形的性質(zhì)得出加=砌=3,BN=DM=243,

求出以BC,根據(jù)勾股定理求出ZC即可

【解答】(1)解：：四邊形用力是“等對(duì)角四邊形“，N4WNGNZ=70°,ZB=80°,

：.ND=NB=80°,

AZ/^360°-80°-80°-70°=130°；

(2)①證明：如圖1,連接物,圖1

■:AB=AD,

：./ABD=/ADB,

NABC=NADC,

：./ABC-NABD=NADC-Z.ADB,

：.ZCBD=ZCDB,

：.CB=CD；

②解：小紅的猜想不正確，如圖:

四邊形極方是“等對(duì)角四邊形"ZA=ZC=90°,AB=AD,但是回和必不等,

所以小紅的猜想不正確;

（3）解：分兩種情況：

①當(dāng)NADC=NABC=90。時(shí)，延長(zhǎng)回相交于點(diǎn)區(qū)如圖3所示:

VZABC=90°,NDAB=60°,AB=5,：.ZE=30°,

：.AE=2AB=W,

???DE=AE-AD=10-4—6,

■:NEDC=90。,N￡=30°,

???加2愿，

???JC^7AD2CD2="+（2%）I我；

②當(dāng)NBCD=/DAB=60°時(shí)，

過(guò)點(diǎn)。作圾工裕于點(diǎn)團(tuán)的L8C于點(diǎn)用如圖4所示:

則/40=90。，四邊形員胸是矩形，

■:/DAB=60°,

：.ZADM=30°,

'.AM=—AD=2,

2

：.DM=2\13

：.BM=AB-AM=5-2=3,

?.?四邊形曲阿是矩形，

：.DN=BM=2>,BN=DM=2[3,

■:/BCD=60°,

：.CN=43,

:.BC=CN^BN=?>43,

：'AC=752+（3X/3）2=2^13;

綜上所述：力。的長(zhǎng)為2、j7或2n

圖4

18.如圖1,地面加上兩根等長(zhǎng)立柱形,切之間有一根繩子可看成拋物線尸0.l￥-0.8x+5.

(1)求繩子最低點(diǎn)離地面的距離;

(2)因?qū)嶋H需要，在離4?為5米的位置處用一根立柱就撐起繩子(如圖2),使左邊

拋物線R的最低點(diǎn)距就為1米，離地面2米，求仞V的長(zhǎng)；

(3)將立柱厥的長(zhǎng)度提升為5米，通過(guò)調(diào)整腑的位置，使拋物線用對(duì)應(yīng)函數(shù)的二次

項(xiàng)系數(shù)始終為工.設(shè)惻離48的距離為〃，拋物線內(nèi)的頂點(diǎn)離地面距離為A,但2WAW3

3

【分析】(1)直接利用配方法求出二次函數(shù)最值得出答案；

(2)利用頂點(diǎn)式求出拋物線R的解析式，進(jìn)而得出x=5時(shí)，y的值，進(jìn)而得出腑的長(zhǎng);

(3)根據(jù)題意得出拋物線后的解析式，得出A的值，進(jìn)而得出。的取值范圍.

【解答】解：(1)Va=O.1>0,

???拋物線頂點(diǎn)為最低點(diǎn)，

'：y=0.\x-0.8x+5=0.1(x-4),+上!，

...繩子最低點(diǎn)離地面的距離為：」工米;

5

(2)由(1)可知，對(duì)稱(chēng)軸為x=4,則初=8,

令%=0得y=5,

：.A(0,5),C(8,5),

由題意可得：拋物線R的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(4,2),

設(shè)A的解析式為：y=a(x-4)2+2,

將(0,5)代入得：16a+2=5,

解得：a=a,

16

:.拋物線R為:y=^~(X-4)2+2,

16

當(dāng)x=5時(shí)，y=-5-+2=—,

1616

.,.仞V的長(zhǎng)度為：里■米；

(3),:MN=DC=5,

二根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)性可知拋物線用的頂點(diǎn)在切的垂直平分線上，

二月的橫坐標(biāo)為：—(8-227)+燈=上源4,

22

二拋物線石的頂點(diǎn)坐標(biāo)為：(.4,k),

2

.,.拋物線石的解析式為：y=—(X--2Z7-4)2+k,

32

把C(8,5)代入得：A(8-Affl-4)?+A=5,

32

解得：k=-—(4--2zz)2+5,

32

k=-—^―(J27-8)2+5,

12

是關(guān)于。的二次函數(shù)，

又：由已知必＜8,在對(duì)稱(chēng)軸的左側(cè)，

二4隨。的增大而增大，

.,.當(dāng)4=2時(shí)，■(勿-8)?+5=2,

12

解得：叫=2,nh=14(不符合題意，舍去)，

當(dāng)/=3時(shí)，(勿-8)?+5=3,

12

解得：納=8-2、兩，愚=8+2、后(不符合題意，舍去)，

二0的取值范圍是：2小辰8-2戈.

19.在Rt△板■中，ZACB=90°,4=12.點(diǎn)〃在直線面上，以O(shè),5為邊作矩形42應(yīng),

直線形與直線微龐的交點(diǎn)分別為凡G.

(1)如圖，點(diǎn)〃在線段或上，四邊形4。后是正方形.

①若點(diǎn)G為龐的中點(diǎn)，求用的長(zhǎng).

②若DG=GF,求初的長(zhǎng).

(2)已知a-9,是否存在點(diǎn)〃，使得是等腰三角形？若存在，求該三角形的腰

長(zhǎng)；若不存在，試說(shuō)明理由.

E

【分析】（1）①只要證明△D's△呼推出四=股，即可解決問(wèn)題；②如圖1中，

AFAC

想辦法證明Nl=N2=30°即可解決問(wèn)題；

（2）分四種情形：①如圖2中，當(dāng)點(diǎn)。在線段比上時(shí)，此時(shí)只有GF=GD,②如圖3中，

當(dāng)點(diǎn)。在線段8c的延長(zhǎng)線上，且直線45,"的交點(diǎn)中上方時(shí)，此時(shí)只有由加，

③如圖4中，當(dāng)點(diǎn)。在線段a1的延長(zhǎng)線上，且直線四，比的交點(diǎn)中加下方時(shí)，此時(shí)只

市DF=DG,如圖5中，當(dāng)點(diǎn)。中線段龍的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)只有加=的，分別求解即

可解決問(wèn)題.

【解答】解：（1）①在正方形4口中，DG=GE=6,

在中，AG=dAE?+EG2=6A/^,

'：EG//AC,

：./\ACF^/\GEF,

.FG=EG

"AF而‘

?FG___6__1

""AF12T

."C"=2娓.

②如圖1中，正方形/口中，AE=ED,/AEF=/DEF=蜴°,

'：EF=EF,

：./\AEF^^DEF,

.\Z1=Z2,設(shè)Nl=N2=x,

'：AE//BC,

NB=N1=x,

■:GF=GD,

N3=N2=x,

在△頌中，/3+/也吩/6=180°,

二肝（升90°）+x=180°,

解得x=30°,

：.ZB=30°,

二在Rt△極7中，BC=―翅■—=12、門(mén).

tan30

（2）在中，AB=+BC~12^+9=,

如圖2中，當(dāng)點(diǎn)〃在線段比1上時(shí)，此時(shí)只有仍

'：DG//AC,

設(shè)BD=3x,則況-4x,BG=3x,

：.GF=GD=\x,貝

'：AE//CB,

:.△AEFsXBCF、

.AE=AF

"BCBF,

?

??-9---3-x-_1--5---9-x-9

99x

整理得：9-6戶(hù)5=0,

解得x=l或5（舍棄）

二腰長(zhǎng)切=4x=4.

如圖3中，當(dāng)點(diǎn)。在線段犯的延長(zhǎng)線上，且直線電，位的交點(diǎn)中/￡上方時(shí)，此時(shí)只有

GF^DG,設(shè)/￡=3x,則￡G=4x,4G=5x,

:.FG=DG=\2*4x,

'：AE//BC,

：./\AEF^/\BCF,

.AE=AF

"BCBF,

?3x_9x+12

??丁-9x+27'

解得x=2或-2（舍棄），

二腰長(zhǎng)〃C=4戶(hù)12=20.

如圖4中，當(dāng)點(diǎn)〃在線段宛的延長(zhǎng)線上，且直線四，歐的交點(diǎn)中初下方時(shí)，此時(shí)只有

DF=DG,過(guò)點(diǎn)D作DHLFG.

設(shè)4￡=3x,則a7=4x,AG=5x,〃G=4戶(hù)12,

AFH^GH=DG*cosZDGB=（4A+12）XA=1^X+48>

55

:.GF=2GH=&2X+96,

5

：.AF=GF--=7x+96,

5

'CAC//DG,

:.△ACFs^GEF,

.AC=AF

"EG而

7x+96_

...絲；5

,,4x32x+96，

~5~

解得xJ工或-12714（舍棄）

77

二腰長(zhǎng)切=4戶(hù)］2=四把雙亙，

7

如圖5中，當(dāng)點(diǎn)〃在線段5的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)只有四〃G,作DH1AG于H.

設(shè)4￡=3x,則￡G=4x,"=5x,DG^\x-12,

二FH^GH=DG?cosADGB=^~^,

5

：.FG=2FH=32X-96,

5

：.AF=AG-在G=96-7x,

5

'：AC//EG,

:.△ACF^XGEF,

.AC=AF

"EGFG'

96-7x

.絲；5

"4732x-96）

解得x=l2A或一旦返（舍棄），

77

二腰長(zhǎng)DG=4x-[2=3+48A

7

綜上所述，等腰△函的腰長(zhǎng)為4或20或84+48舊或-84+48，逋.

77

AE

20.如圖1,A(-4,0).正方形如切的頂點(diǎn)6在x軸的負(fù)半軸上，點(diǎn)。在第二象限.現(xiàn)

將正方形OBCD繞息0順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角a得到正方形OEFG.

(1)如圖2,若a=60°,OE=OA,求直線所的函數(shù)表達(dá)式.

(2)若a為銳角，tana=L,當(dāng)/￡取得最小值時(shí)，求正方形陽(yáng)否的面積.

3

(3)當(dāng)正方形施R?的頂點(diǎn)月落在y軸上時(shí)，直線42與直線戶(hù)。相交于點(diǎn)只△郎的其

中兩邊之比能否為灰：1?若能，求點(diǎn)尸的坐標(biāo)；若不能，試說(shuō)明理由.

【分析】(1)先判斷出△板為正三角形，再根據(jù)銳角三角函數(shù)求出第即可;

(2)判斷出當(dāng)/吐x軸時(shí)，線段/￡的長(zhǎng)最小，用勾股定理計(jì)算即可；

(3)由△呼的其中兩邊之比為證:1分三種情況進(jìn)行計(jì)算即可.

【解答】解：(1)如圖1,過(guò)點(diǎn)￡作以吐勿于點(diǎn)伉跖與y軸的交點(diǎn)為胴

圖1

'：OE=OA,a=60°,

.?.△/w為正三角形，

則加2,EH=2區(qū)故點(diǎn)￡(-2,2/3),

/助仁30°,0g_0^_=生巨，

cos303

設(shè)跳'的函數(shù)表達(dá)式為：尸kx+邁,

3

將點(diǎn)￡的坐標(biāo)代入上式并解得：k=昱,

3

故直線所的表達(dá)式為：y=返;r+”應(yīng)；

33

(2)射線OQ與OA的夾角為a(a為銳角，tana=1).

3

無(wú)論正方形邊長(zhǎng)為多少，繞點(diǎn)。旋轉(zhuǎn)角a后得到正方形兩的頂點(diǎn)￡在射線制上,

二當(dāng)制時(shí)，線段/￡的長(zhǎng)最小.

OE=3a、

正方形陽(yáng)％的面積=(3a)2=22；

5

(3)設(shè)正方形邊長(zhǎng)為力.

當(dāng)點(diǎn)方落在y軸正半軸時(shí).

如圖3,

當(dāng)尸與尸重合時(shí)，△跳》是等腰直角三角形，有空=&或空=&.

PE0E

在中，ZAPO=45°,OP=OA=\,

.,.點(diǎn)R的坐標(biāo)為（0,4）.

在圖3的基礎(chǔ)上，

當(dāng)減小正方形邊長(zhǎng)時(shí)，

點(diǎn)戶(hù)在邊尾上，△四的其中兩邊之比不可能為我：1;

當(dāng)增加正方形邊長(zhǎng)時(shí)，存在患=7歷（圖4）和空=、歷（圖5）兩種情況.

0EPE

此時(shí)有AP//OF.

在此△/座'中，//施'=45。，

：.OE='MOA=4近,

二依=*歷施=8,PA=P*AE=12,

二點(diǎn)4的坐標(biāo)為(-4,12).

如圖5,

過(guò)尸作杼Lx軸于點(diǎn)凡延長(zhǎng)尸C交x軸于點(diǎn)"設(shè)PF=n.

在Rt△尸“7中，Pd=Pd+Od=m+(研加2=2著+2加汁d,

在Rt△陽(yáng)'中，超=就+"=渡+/,

當(dāng)電=加時(shí)，

PE

：.Pd=2P^.

2m+2mn^n=2C/n+n),得A=2〃.

'：EO//PH,

：.^AOE^/\AHP,

.0A_1

,,-----9

AH4

.\AH=4：OA=169

2Z7=6A/2-

在等腰中，依=刃?=返用=24,

2

OR=RH-第=12,

二點(diǎn)