第2節(jié)單調(diào)性與最大（?。┲?/p>

考試要求1.借助函數(shù)圖象，會(huì)用數(shù)學(xué)符號(hào)語(yǔ)言表達(dá)函數(shù)的單調(diào)性、最值，理解

其實(shí)際意義.2.會(huì)運(yùn)用基本初等函數(shù)的圖象分析函數(shù)的性質(zhì).

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.函數(shù)的單調(diào)性

（1）單調(diào)函數(shù)的定義

增函數(shù)減函數(shù)

一般地，設(shè)函數(shù)7U）的定義域?yàn)?,區(qū)間OU/,如果VM,X2G。

當(dāng)尤1VX2時(shí)，都有心1）＞t2），

當(dāng)?shù)模糥2時(shí)，都有面）＜心2）,那么就

那么就稱(chēng)函數(shù)/U）在區(qū)間D上單

定義稱(chēng)函數(shù)/U）在區(qū)間。上單調(diào)遞增，特別

調(diào)遞減，特別地，當(dāng)函數(shù)/U）在

地，當(dāng)函數(shù)人龍）在它的定義域上單調(diào)遞

它的定義域上單調(diào)遞減時(shí)，我們

增時(shí)，我們就稱(chēng)它是增函數(shù)

就稱(chēng)它是減函數(shù)

圖象1不Z（町）；町）

O~~~^2X

描述

自左向右看圖象是下降的

自左向右看圖象是上升的

（2）單調(diào)區(qū)間的定義

如果函數(shù)y=/（x）在區(qū)間D上單調(diào)遞增或單調(diào)遞減,那么就說(shuō)函數(shù)y=大幻在這一區(qū)

間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)?&叫做y=*x）的單調(diào)區(qū)間.

2.函數(shù)的最值

前提設(shè)函數(shù)y=*x）的定義域?yàn)镮,如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足

(l)Vxe/,都有(l)VxG/,都有

條件

(2)3xoGA使得?xo)=M(2)3xoe7,使得

結(jié)論M為最大值M為最小值

［常用結(jié)論］

1.有關(guān)單調(diào)性的常用結(jié)論

在公共定義域內(nèi)，增函數(shù)+增函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)+減函數(shù)=減函數(shù)；增函數(shù)

一減函數(shù)=增函數(shù)；減函數(shù)一增函數(shù)=減函數(shù).

2.函數(shù)在公共定義域內(nèi)與y=-fix）,>=/（］）的單調(diào)性相反.

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析（在括號(hào)內(nèi)打“J"或"X"）

（1）對(duì)于函數(shù)y=/U）,若貝1）勺（3）,則於:）為增函數(shù).（）

⑵函數(shù)y=_/U）在［1,+8）上是增函數(shù)，則函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是［1,+

°°）.（）

（3）函數(shù)了=:的單調(diào)遞減區(qū)間是（一8,Q）u（O,+°°）.（）

（4）對(duì)于函數(shù)/（x）,X^D,若對(duì)任意XI,X2^D,且XIWx2有（》—X2）［/（X1）—

0,則函數(shù)./U）在區(qū)間。上是增函數(shù).（）

答案（1）X（2）X（3）X（4）V

解析（1）錯(cuò)誤，應(yīng)對(duì)任意的X1V九2,都有人尤1）〈/（九2）成立才可以.

（2）錯(cuò)誤，反例：?r）=尤在［1,+8）上為增函數(shù)，但y（x）=x的單調(diào)遞增區(qū)間是（一

8,4-00）.

（3）錯(cuò)誤，此單調(diào)區(qū)間不能用“U”連接，故單調(diào)遞減區(qū)間為（-8,0）和（0,+

°°）.

2.（必修一P86T7改編）函數(shù)「X）一的單調(diào)遞增區(qū)間是.

答案［2,+8）

解析由題意可知2x20,解得xWO或x22,

所以函數(shù)Xx）的定義域?yàn)椋?8,0］U［2,4-oo）,

設(shè)y=3,U=x2—2x,二次函數(shù)以=W—2x的單調(diào)遞增區(qū)間是（1,+°°）,單調(diào)遞

減區(qū)間是（一8,1）,

所以兀T）的單調(diào)遞增區(qū)間是［2,+8）.

2

3.（必修一P81例5改編）函數(shù)/U）=E（XG［2,6］）,則人尤）的最小值為,

最大值為.

答案2號(hào)2

2

解析由于大x)=旨在［2,6］上單調(diào)遞減，

2

故人尤)的最大值為<2)=2,最小值為人6)=亍

4.函數(shù)y=/(x)是定義在［-2,2］上的減函數(shù)，且火a+l)V，/(2a),則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是.

答案［T，1)

1—2Wa+1W2,

解析由條件知{-2W2aW2,解得一iWaVL

la+1>2a,

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一函數(shù)的單調(diào)性(區(qū)間)

［1,x>0,

例1(1)設(shè)函數(shù)7U)={o,尤=0，g(x)=%2*X—1),則函數(shù)g(x)的遞減區(qū)間是

L-1,x<0,

答案［0,1)

「X2,X>1,

解析由題意知g(x)=j0,X=l,

【一X2,X<1,

該函數(shù)圖象如圖所示，

其單調(diào)遞減區(qū)間是［0,1).

(2)試討論函數(shù)式x)—xf］(aW0)在(一1，1)上的單調(diào)性.

解法一設(shè)一IVxiVx2V1,

加)-a(X-1"1匕-1)，

a

則E/X。一?AV2)=41i1、—41+i—1卜、(XL1()X2—(XXl2)—1),

由于一1<X1<X2<1,

所以X2—XI>0,XI—1<0,X2—KO,

故當(dāng)a>0時(shí)，/UO—?X2)>O,

即式xi)>?X2),函數(shù)兀r)在(-1,1)上單調(diào)遞減;

當(dāng)aVO時(shí)，於1)一於2)<0,

即犬XI)PU2),函數(shù)/U)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

：土_,(辦)'(xT)—ar(xT)'a(二一1)—ava

:-f\x)(%—1)2(%—1)2(x-1)2，

當(dāng)a>0時(shí)，/(x)VO,函數(shù)/U)在(-1,1)上單調(diào)遞減；

當(dāng)aVO時(shí)，/(x)>0,函數(shù)人犬)在(一1,1)上單調(diào)遞增.

感悟提升1.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，應(yīng)先求定義域，在定義域內(nèi)求單調(diào)區(qū)間.

2.(1)函數(shù)單調(diào)性的判斷方法：①定義法；②圖象法；③利用已知函數(shù)的單調(diào)性；

④導(dǎo)數(shù)法.

(2)函數(shù)y=y(g(x))的單調(diào)性應(yīng)根據(jù)外層函數(shù)y=/U)和內(nèi)層函數(shù)f=g(x)的單調(diào)性判

斷，遵循“同增異減”的原則.

易錯(cuò)警示函數(shù)在兩個(gè)不同的區(qū)間上單調(diào)性相同，一般要分開(kāi)寫(xiě)，用“，”或

“和"連接，不要用“U”.

訓(xùn)練1(1)函數(shù)y=yf+2x—24的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案(一8,—6］

解析由題意，要使函數(shù)y=N-+2x—24有意義,需滿(mǎn)足/+2%—24N0,

解得xW—6或x24,

又由，=/+2x—24在(-8,—6］上單調(diào)遞減，在［4,+8)上單調(diào)遞增，

結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，

可得函數(shù)。=、卜+2—24的單調(diào)遞減區(qū)間是(一8,-6］.

2尤—1

(2)已知函數(shù)人x)=一二廠判斷./U)在［0,+8)上單調(diào)遞增還是單調(diào)遞減，并證明

A-11

你的判斷.

解.*X)在［0,+8)上單調(diào)遞增，證明如下:

2Y1—12x7—13(XI—YO)

設(shè)任意的0W加VX2,則於D—/2)=三匕1—幺哥=(］；(，

八/八/XI十1X2十1(XI十1)(X2+1)

因?yàn)?W九I〈X2,

故XI—X2<0,(XI+1)(x2+1)>0,

故Xxi)—/(X2)<O,即y(Xl)V"X2),

故?x)在［0,+8)上單調(diào)遞增.

考點(diǎn)二求函數(shù)的最值

例2(1)函數(shù)/U)=(；y-log2(x+4)在區(qū)間［―2,2］上的最大值為.

答案8

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=(g,y=—log2(x+4)在區(qū)間［―2,2］上都單調(diào)遞減，

所以函數(shù)—log2(x+4)在區(qū)間［-2,2］上單調(diào)遞減，

一2

所以函數(shù)?r)的最大值為人-2)=01—log2(-2+4)=9—1=8.

Q,aWb,

(2)對(duì)于任意實(shí)數(shù)小b,定義min{mb}=\

、b,a>b.

設(shè)函數(shù)7(x)=—尤+3,g(x)=logir,則函數(shù)h{x)=min{/(x),g(x)}的最大值是

答案1

解析法一在同一坐標(biāo)

系中，作函數(shù)次幻，g(x)的圖象，

-OE/23\

依題意，力口)的圖象為如圖所示的實(shí)線部分.

易知點(diǎn)A(2,1)為圖象的最高點(diǎn)，

因此/?(x)的最大值為人⑵=1.

logir,0<xW2,

法二依題意，/?(?="

-x+3,x>2.

當(dāng)0aW2時(shí)，/?(x)=log2x是增函數(shù)；

當(dāng)x>2時(shí)，〃(x)=3—x是減函數(shù)，

因此//(x)在x=2時(shí)取得最大值/z(2)=1.

感悟提升1.求函數(shù)最值的三種基本方法：

(1)單調(diào)性法：先確定函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性求最值.

(2)圖象法：先作出函數(shù)的圖象，再觀察其最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，求出最值.

⑶基本不等式法：先對(duì)解析式變形，使之具備“一正二定三相等”的條件后用

基本不等式求出最值.

2.對(duì)于較復(fù)雜函數(shù)，可運(yùn)用導(dǎo)數(shù)，求出在給定區(qū)間上的極值，最后結(jié)合端點(diǎn)值，

求出最值.

訓(xùn)練2(1)設(shè)函數(shù);(?=含在區(qū)間［3,4］上的最大值和最小值分別為加，則修

Q

答案I

解析9r2x—4-+4-=2+士4在［3,4］上單調(diào)遞減，

?\/(X)min=/(4)=4,/(X)max=/(3)=6,

..w^_16_8

??M—6,m—4,?.M—6一3，

3,%2］,

x2+1,X<1.

則歡—1))=，.*X)的最小值是.

答案02&—3

解析1)=2,

,?.AA-l))=A2)=2+1-3=0,

9

當(dāng)時(shí)，?x)=x+1—3在［1,也］上單調(diào)遞減，在［也，+8)上單調(diào)遞增，

所以/》）在》=啦時(shí)取得最小值，

即?X）min=2,\/2—3；

當(dāng)xVl時(shí)，4幻=/+1在（一8,0）上單調(diào)遞減，在（0,1）上單調(diào)遞增，

所以/（X）在x=0時(shí)取得最小值，

即7（X）min—19

綜上，.穴X）的最小值為26一3.

考點(diǎn)三函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用

角度1比較函數(shù)值的大小

例3已知;（x）=2,一占，a=kl?c=A小），則（）

A.a>b>cB.a>c>b

C.c>a>bD.c>b>a

答案D

解析易知/U）=2X一吉在（1,+8）上單調(diào)遞增，又小>小>&,

故;（?。?gt;人?。?gt;代也），即C>心

角度2解函數(shù)不等式

例4已知函數(shù)./U）=lnx+2x,若7U2—4）<2,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是.

答案（一小，-2）U（2,?。?/p>

解析因?yàn)楹瘮?shù)兀v）=lnx+2*在定義域（0,+8）上單調(diào)遞增，且y（i）=[n1+2=

2,

所以由/U2—4）<2,得兀P—4）勺（1）,

所以0a2—4<1,

解得一小<%<_2或2<x<小.

角度3求參數(shù)的取值范圍

（3a~1）x+4a,xWl,

例5（2023?湖北鄂西北四校聯(lián)考）已知兀r）=｛，71滿(mǎn)足對(duì)于任

a'x^2'%>1

意實(shí)數(shù)3處都於出言旦<。成立,則實(shí)數(shù)。的取值范圍是一

答案

解析因?yàn)閷?duì)于任意實(shí)數(shù)為#X2,都有上四）二〃4）-<0成立,

XI—X2

所以函數(shù)應(yīng)。在R上單調(diào)遞減，

’3〃一1<0,

所以<°<n<1,

（3a-1）+4a><221+^,

解得太

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是［（，

感悟提升1.比較函數(shù)值的大小時(shí)，轉(zhuǎn)化到同一個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)，然后利用函數(shù)的

單調(diào)性解決.

2.求解函數(shù)不等式時(shí)，由條件脫去，尸，轉(zhuǎn)化為自變量間的大小關(guān)系，應(yīng)注意函數(shù)

的定義域.

3.利用單調(diào)性求參數(shù)的取值（范圍）.根據(jù)其單調(diào)性直接構(gòu)建參數(shù)滿(mǎn)足的方程（組X不

等式（組））或先得到其圖象的升降，再結(jié)合圖象求解.對(duì)于分段函數(shù)，要注意銜接

點(diǎn)的取值.

訓(xùn)練3(1)(2022?昆明診斷)已知函數(shù),*x)=lgx-Q)*,Xm)=L且0Vp＜加＜〃,

則（）

A.加）VI且加）>1B削）>1且加）>1

且加）<1D：穴〃）<1且加）<1

答案C

1“y11nv

解析/(x)=xln10-Eln5=xlnln2.

當(dāng)x>0時(shí)，/（無(wú)）>0,函數(shù)於）單調(diào)遞增,

'：Q<p<m<n,且負(fù)附=1,

?W)<x^)=i<x?).

(2)設(shè)函數(shù)若函數(shù)y=/(x)在區(qū)間(a,a+1)上單調(diào)遞增，則

JOg2X,x>4,

實(shí)數(shù)a的取值范圍是.

答案(一8,1]U[4,+8)

—H-4X

解析畫(huà)出函數(shù)段)={J'''的圖象，

lOg2X,x>4

如圖，

/O24

由圖可知函數(shù)“X)的增區(qū)間為(一8,2),(4,+°°),

:函數(shù)小:)在(a,a+1)上單調(diào)遞增,

「?a+lW2或。>4,

即aWl或々24.

(3)已知函數(shù)7U)=(，”一log2(x+2),若-2)>3,則。的取值范圍是.

答案(0，1)

解析由大x)=(；『一log2(x+2)知，應(yīng)打在定義域(-2,+8)上是減函數(shù),

且/—1)=3,

由電―2)>3,得/a—2)刁(一1),

a-2<-l,

：.]解得OVaVL

“一2〉—2,

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.函數(shù).*x)=-在[―2,一?上的最大值是()

?3卜8

A，2B.—

C.-2D.2

答案A

Irn3

解析易知危)=—尤+：在[—2,一可上單調(diào)遞減，故其最大值為1-2)=1

2.已知定義域?yàn)镽的函數(shù)?r),Vxi,xeR.xi<X2,都有2~—凸------<0,

2X\X2,

貝女)

A<3)>X兀)>A2)B..ATT)<A3)<X2)

C：*2)>AK)>>(3)D：小i)>式2)>>(3)

答案B

解析易知ZU)是R上的減函數(shù)，

又兀>3>2,故人無(wú))</(3)<_X2).

3.(多選)下列函數(shù)在(0,+8)上單調(diào)遞增的是()

A.y=3*—3"B.jy=|x2—2J;|

C.y=x+cosxD.y=yjx1+x—2

答案AC

解析?.?y=3':與y=-3七均為R上的增函數(shù)，

.?.y=3x-3-x為R上的增函數(shù)，故A正確；

由y=|_?—2x|的圖象(圖略)知，故B不正確；

對(duì)于選項(xiàng)C,y=l—sinx^O,

；.y=x+cosx在R上為增函數(shù)，故C正確；

y=、/+x—2的定義域?yàn)?一8,—2]U[1,+°°),故D不正確.

4.已知函數(shù)?r)=loga(—x2—2x+3)(a>0且aWl),若人0)<0,則此函數(shù)的單調(diào)遞

增區(qū)間是()

A.(—8,—1]B.[—1,+00)

C.[-l,1)D.(-3,-1]

答案C

解析令g(x)=—x2—2x+3,

由題意知g(x)>0,可得一3VxVI,

故函數(shù)的定義域?yàn)?—3<xvi}.

根據(jù)犬0)=log“3V0,可得OVaVL

又g(x)在定義域(一3,1)內(nèi)的單調(diào)遞減區(qū)間是［-1,1),

所以汽處的單調(diào)遞增區(qū)間為［—1,1).

5.(多選)已知函數(shù)y(x)=log“|x—1|在區(qū)間(一8,1)上單調(diào)遞增，則()

A.OVaClB.a>l

C：*a+2022)>>(2023)D：*a+2022)〈人2023)

答案AC

解析/(X)=loga|x—l|的定義域?yàn)?一8,+°°).

設(shè)Z=|x—1］,可得函數(shù)Z在(-8,1)上單調(diào)遞減；

在(1,+8)上單調(diào)遞增，由題意可得故A正確，B錯(cuò)誤；

由于OVaVl,可得2022Va+2022V2023.

又/U)在(1,+8)上單調(diào)遞減，

則加+2022)>淡2023),故C正確，D錯(cuò)誤.

fev—ex>0,

6.(2023?南通模擬)已知函數(shù)段)=<,,八若a=5001,b=loga2,c=

［XT9X^：Uf

log20.9,則有()

A次a)>加)>Xc)B.火力>.*c)

C；A?)>Ac)>,*。)D：*c)>,/(&)

答案A

解析y=e'是增函數(shù)，y=-e"是增函數(shù)，

因此在(0,+8)上>=寸一單調(diào)遞增，

且此時(shí)?r)>0;

又/U)=—，在(一8,0］上單調(diào)遞增，

所以7U)在R上單調(diào)遞增.

c=log20.9<0,0</?=log32<l,a=5001>1,

即a>A>c,所以.*

(2—a)x+1?x<1,

7.如果函數(shù)於)=\滿(mǎn)足對(duì)任意xiWx2，都有

質(zhì)尤21,

J>0成立,那么實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

XIX2.

A.(0,2)B,(l,2)

「3、

C.(l,4-co)D.5，2l

答案D

解析因?yàn)閷?duì)任意都產(chǎn)幻)一小)>0,

XI—X2

所以y=/(x)在R上是增函數(shù)，

仔一心0,

所以,>1，解得吳“<2.

L(2-a)Xl+lWa,

故實(shí)數(shù)a的取值范圍是[I，2).

8.函數(shù)/(x)=|x-2]x的單調(diào)遞減區(qū)間是.

答案[1，2]

[x2—2x,x22,

解析於)T-f…<2.

畫(huà)出?r)的大致圖象(如圖所示)，

/o12X

由圖知/U)的單調(diào)遞減區(qū)間是[1,2].

9.設(shè)./(X)是定義在R上的增函數(shù)，且孫)=/U)+.*y)，/3)=1,則不等式?x)+

^-2)>1的解集為.

答案{xk<-|}

解析由已知條件可得|幻+人-2)=人-2九)，

又<3)=1.

二不等式40+式-2)>1可化為火-2》)>式3).

?./x)是定義在R上的增函數(shù)，

3

/.-2x>3,解得xV—,

...不等式的解集為11.

10.(2023?山東師大附中質(zhì)檢)已知函數(shù)/U)=eL"l(a為常數(shù))，若左)在區(qū)間［1,+

8)上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

答案(一8,1］

尸"，

解析段)=；c/

當(dāng)時(shí)，?x)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，./(X)單調(diào)遞減，

由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知，必有，=僅一a|在區(qū)間［1,+8)上是增函數(shù)，

又，=b一a|在區(qū)間［a,+8)上是增函數(shù)，

所以口,+8)=［a,+oo),所以aWL

1?

11.已知函數(shù)/(x)=ar—工CUL+5CI3>0),且7(x)在(0,1］上的最大值為g(a),求g(a)的

最小值.

12

解^x)=ax-—+~(a>0),

.?優(yōu)x)在(0,1］上單調(diào)遞增，

.,./(X)max=/(1)=a+/,

.,.g(a)=a+：e2,當(dāng)且僅當(dāng)。=:,

即a=l時(shí)取等號(hào)，

，g(a)的最小值為2.

x~\~2

12.已知函數(shù)式x)=1一.

(1)寫(xiě)出函數(shù)“V)的定義域和值域；

(2)證明：函數(shù)人x)在(0,+8)上為減函數(shù)，并求*x)在x￡［2,8］上的最大值和最

小值.

(1)解函數(shù)大光)的定義域?yàn)閧xbWO}.

2,,

又?r)=l+;,所以值域?yàn)閧y|yWl}.

(2)證明由題意可設(shè)0<xi<X2,

則e人~如）一凡口=（1+2/、—（，一1+力2、=32―20=2―（X瓦2—x一i）-

又0<九1<%2,所以xiX2>0,X2~xi>0,

所以/Xl）-/U2）>0,

即式1X）>?X2）,

所以函數(shù)1Ax）在（0,+8）上為減函數(shù).

當(dāng)XW[2,8]時(shí)，7U）的最大值為負(fù)2）=2,最小值為18）=*

【B級(jí)能力提升】

13.定義max{a,b,c}為a,b,c中的最大值，設(shè)M=max{2L2x~3,6—x},

則M的最小值是（）

A.2