2023學(xué)年第二學(xué)期浙南名校聯(lián)盟寒假返校聯(lián)考高一年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字．3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)并集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】依題意，.故選：A2.已知是定義在R上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】由函數(shù)的奇偶性得到，結(jié)合時(shí)函數(shù)解析式，得到答案.【詳解】時(shí)，，則，又為偶函數(shù)，故，故.故選：B3.“”是“是第一象限角”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)象限角、充分和必要條件等知識(shí)確定正確答案.【詳解】，是第一象限角，所以“”是“是第一象限角”的必要不充分條件.故選：B4.設(shè)是第二象限角，為其終邊上一點(diǎn)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】按三角函數(shù)的定義計(jì)算即可【詳解】依題意有且故，故選：C5.在同一直角坐標(biāo)系中，函數(shù)與的圖像可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】分和兩種情況，利用函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于A，B，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞減函數(shù)；又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞減，且當(dāng)時(shí)，，故A和B均錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在R上為單調(diào)遞增函數(shù)，又，所以在區(qū)間和區(qū)間上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤，D正確．故選：D．6.宇宙之大，粒子之微，無處不用到數(shù)學(xué)．2023年諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)?lì)C給了“阿秒光脈沖”，光速約為阿秒等于．一尺之棰，日取其半，萬世不竭，一根米長的木棰，第一次截去總長的一半，以后每次截去剩余長度的一半，至少需要截（）次才能使其長度小于光在阿秒內(nèi)走的距離．（參考數(shù)據(jù)：）A.30 B.31 C.32 D.33【答案】C【解析】【分析】先求得光在阿秒內(nèi)走的距離，由此列不等式，結(jié)合對(duì)數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】光在阿秒內(nèi)走的距離為，設(shè)需要截次，則，兩邊取以為底的對(duì)數(shù)得：，，所以，所以至少要截次.故選：C7.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，若，且，都有成立，則不等式的解集為（）A. B.C D.【答案】B【解析】【分析】利用構(gòu)造函數(shù)法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性來對(duì)不等式進(jìn)行求解，從而確定正確答案.【詳解】設(shè)，由于函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以是偶函數(shù)，由于，且，都有成立，所以在上單調(diào)遞減，則在上單調(diào)遞增，由可知，①當(dāng)時(shí)，有，，即，而，所以，解得.②當(dāng)時(shí)，有，，即，所以，即或，不等式組的解集為空集，不等式組的解集為.綜上所述，的取值范圍是.故選：B8.已知，則大小關(guān)系為（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】畫出在區(qū)間的圖象，根據(jù)圖象確定正確答案.【詳解】依題意，畫出在區(qū)間的圖象如下圖所示，由圖可知.故選：D【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：主要是根據(jù)函數(shù)的增長快慢來進(jìn)行求解，其中是勻速增長，相對(duì)是先慢后快，相對(duì)是先快后慢，解題過程中可先畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象，根據(jù)圖象來確定大小關(guān)系.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得部分．9.已知，則下列說法中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】利用特殊值、差比較法、不等式的性質(zhì)等知識(shí)確定正確答案.【詳解】A選項(xiàng)，若，則，所以，所以A選項(xiàng)正確.B選項(xiàng)，若，當(dāng)時(shí)，，所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤.C選項(xiàng)，若，如，則，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤.D選項(xiàng)，若，則，所以，所以D選項(xiàng)正確.故選：AD10.設(shè)函數(shù)，已知在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，下述結(jié)論中，正確的是（）A.在有且僅有1個(gè)解B.的取值范圍是C.在單調(diào)遞減D.若是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)在區(qū)間上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求得的取值范圍，根據(jù)三角方程、三角函數(shù)的單調(diào)性、三角函數(shù)值等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】當(dāng)時(shí)，，依題意在有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，所以，解得，所以B選項(xiàng)正確.對(duì)于A選項(xiàng)，若，即時(shí)，由或可得或是的解，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于C選項(xiàng)，由，得，所以，所以在單調(diào)遞減，C選項(xiàng)正確.對(duì)于D選項(xiàng)，由于，所以，即，，所以，不妨設(shè)，所以由可得，兩式相減得，則，所以，D選項(xiàng)正確.故選：BCD11.已知定義在上的函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，且，則（）A.B.為偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.任意，存在，使得【答案】ACD【解析】分析】運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)定義逐項(xiàng)判斷即可得.【詳解】對(duì)A：令，，則有，又，故，即，故A正確；對(duì)B：由，則有，即，即有，又定義域?yàn)椋蕿槠婧瘮?shù)，故B錯(cuò)誤；對(duì)C：令，則有，，，由當(dāng)時(shí)，，故，，則，即時(shí)，有，故在上單調(diào)遞減，即C正確；對(duì)D：等價(jià)于，由為奇函數(shù)，設(shè)函數(shù)，則對(duì)任意，都有，故函數(shù)為奇函數(shù)，故對(duì)任意，存在，使，即任意，存在，使得，故D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于運(yùn)用賦值法，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)的定義解決函數(shù)的性質(zhì)問題.非選擇題部分三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知，，，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】觀察所求問題的形式，對(duì)所給已知條件進(jìn)行配湊，然后再利用基本不等式中‘1的靈活用法’，即可求解.【詳解】由條件可得，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時(shí)，等號(hào)成立．故答案為：.13.已知且為第四象限角，若，則值是_________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，進(jìn)而求得.【詳解】依題意，且為第四象限角，所以，.，，，所以.故答案為：14.已知函數(shù)對(duì)任意的滿足，且當(dāng)時(shí)，．若函數(shù)有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_________．【答案】【解析】【分析】將因式分解，可將函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程及的解的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得.【詳解】，令，則有或，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，令，解得，由，則關(guān)于對(duì)稱，故當(dāng)時(shí)，有，即有，即函數(shù)有零點(diǎn)即，故當(dāng)時(shí)，需有兩個(gè)不同于、的解，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，有，有，又當(dāng)時(shí)，，故有，即.故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于將因式分解，從而將函數(shù)函數(shù)的零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為方程及的解的個(gè)數(shù)問題.四、解答題：本題共5個(gè)小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知集合，．（1）求；（2）記關(guān)于的不等式的解集為，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或.【解析】【分析】（1）先解不等式求得集合，然后根據(jù)補(bǔ)集、交集的知識(shí)求得正確答案.（2）根據(jù)集合的包含關(guān)系列不等式，由此求得的取值范圍.【小問1詳解】由解得，所以.由得或，解得或，所以，，所以.【小問2詳解】由，解得，所以，要使，則需或，解得或.16.已知函數(shù)（其中）的圖象如圖所示．（1）求函數(shù)的解析式；（2）若將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖象，若函數(shù)在有零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象，依次求得的值，從而求得的解析式.（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，根據(jù)在區(qū)間上的值域求得正確答案.【小問1詳解】由圖可知，，，，由于，所以，所以.【小問2詳解】將函數(shù)的圖象上的所有點(diǎn)向右平移，得到，再將橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍，得到函數(shù)，由得，此時(shí)，所以要使函數(shù)有零點(diǎn)，則.17.某廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品的年固定成本為萬元，每生產(chǎn)千件，需另投入成本為.當(dāng)年產(chǎn)量不足千件時(shí)，（萬元）；當(dāng)年產(chǎn)量不小于千件時(shí)，（萬元）.通過市場分析，若每件售價(jià)為元時(shí)，該廠年內(nèi)生產(chǎn)的商品能全部售完.（利潤銷售收入總成本）（1）寫出年利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（千件）的函數(shù)解析式；（2）年產(chǎn)量為多少千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？【答案】17.18.千件【解析】【分析】（1）由題意，分別寫出與對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式，即可得分段函數(shù)解析式；（2）當(dāng)時(shí)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解最大值，當(dāng)時(shí)，利用基本不等式求解最大值，比較之后得整個(gè)范圍的最大值.【小問1詳解】解：當(dāng)，時(shí)，當(dāng)，時(shí)，∴【小問2詳解】解：當(dāng)，時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，取得最大值（萬元）當(dāng)，時(shí)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.即時(shí)，取得最大值萬元綜上，所以生產(chǎn)量為千件時(shí)，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大為萬元18.已知函數(shù)（1）若，求的值域；（2）若，都有恒成立，求a的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）使用換元法結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)計(jì)算即可得；（2）使用換元法分類討論計(jì)算即可得.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，，令，則，由，則，故，又，故，即的值域?yàn)?；【小?詳解】令，則，當(dāng)時(shí)，，，則，由，即，化簡得，令，，由，故，故在上單調(diào)遞增，故，解得；當(dāng)時(shí)，，，故，則有，即，由，故有，，解得，綜上所述，.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用換元法，將復(fù)雜的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)問題，再結(jié)合分類討論的思想即可.19.已知函數(shù)為奇函數(shù)．（1）求a的值；（2）設(shè)函數(shù)，i．證明：有且只有一個(gè)零點(diǎn)；ii．記函數(shù)的零點(diǎn)為，證明：．【答案】（1）（2）i．證明見解析；ii．證明見解析【解析】【分析】（1）借助函數(shù)的奇偶性計(jì)算即可得；（2）結(jié)合零點(diǎn)的存在性定理分類討論可證有且只有一個(gè)零點(diǎn)；結(jié)合零點(diǎn)性