第五章一元函數(shù)的導數(shù)及其應用5.3導數(shù)在研究函數(shù)中的應用5.3.2函數(shù)的極值(1)內容索引學習目標活動方案檢測反饋學習目標1.借助函數(shù)的圖象，了解函數(shù)在某點取得極值的必要條件和充分條件．2.理解極值與極值點的概念，能利用導數(shù)求某些函數(shù)的極大值與極小值.3.學會繪制極值與導數(shù)的關系表，掌握求函數(shù)極值的步驟．活動方案思考1???觀察下圖，我們發(fā)現(xiàn)，當t＝a時，高臺跳水運動員距水面的高度最大．那么，函數(shù)h(t)在此點的導數(shù)是多少呢？此點附近的圖象有什么特點？相應地，導數(shù)的正負性有什么變化規(guī)律？活動一理解函數(shù)極值的概念，掌握極值與導數(shù)的關系【解析】

從t＝a附近函數(shù)h(t)的圖象可以看出，h′(a)＝0；在t＝a的附近，當t<a時，函數(shù)h(t)單調遞增，h′(t)>0；當t>a時，函數(shù)h(t)單調遞減，h′(t)<0.這就是說，在t＝a附近，函數(shù)值先增(當t<a時，h′(t)>0)后減(當t>a時，h′(t)<0)，這樣，當t在a的附近從小到大經(jīng)過a時，h′(t)先正后負，且h′(t)連續(xù)變化，于是有h′(a)＝0.思考2???如圖，函數(shù)y＝f(x)在x＝a，b，c，d，e等點的函數(shù)值與這些點附近的函數(shù)值有什么關系？y＝f(x)在這些點的導數(shù)值是多少？在這些點附近，y＝f(x)的導數(shù)的正負性有什么規(guī)律？【解析】

以x＝a，b兩點為例，可以發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y＝f(x)在點x＝a的函數(shù)值f(a)比它在點x＝a附近其他點的函數(shù)值都小，f′(a)＝0；而且在x＝a點附近的左側f′(x)<0，右側f′(x)>0.類似地，函數(shù)y＝f(x)在點x＝b的函數(shù)值f(b)比它在點x＝b附近其他點的函數(shù)值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側f′(x)>0，右側f′(x)<0.1.結合上圖探求函數(shù)的極大值與導數(shù)的關系：xx1左側x1x1右側f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調遞____取得________單調遞____>＝<增極大值減2.試類比探求極小值與導數(shù)的關系：xx2左側x2x2右側f′(x)f′(x)____0f′(x)____0f′(x)____0f(x)單調遞____取得________單調遞____其中x1，x2叫作函數(shù)的極大值點與極小值點，極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點，極大值與極小值統(tǒng)稱為極值．<＝>減極小值增活動二掌握求函數(shù)極值的方法求函數(shù)的極值的一般步驟：(1)先求導得f′(x)；(2)解方程f′(x)＝0，求出x的值；(3)列表檢查f′(x)在f′(x)＝0的根左右的值的符號來確定函數(shù)的極值．思考3???若x0是可導函數(shù)f(x)的極值點，則f′(x0)＝0.反過來，若f′(x0)＝0，則x0一定是函數(shù)f(x)的極值點嗎？能否舉例說明？

【解析】

不一定，如函數(shù)f(x)＝x3，導數(shù)為f′(x)＝3x2.雖然f′(0)＝0，但由于無論x>0，還是x<0，恒有f′(x)>0，即函數(shù)f(x)＝x3是增函數(shù)，所以0不是函數(shù)f(x)＝x3的極值點．一般地，函數(shù)y＝f(x)在某點的導數(shù)值為0是函數(shù)y＝f(x)在該點取極值的必要條件而非充分條件．檢測反饋13524A2.如圖是函數(shù)y＝f(x)的導函數(shù)y＝f′(x)的圖象，則函數(shù)y＝f(x)的極小值點的個數(shù)為(

)A.0 B.1C.2 D.312345B12345【解析】

設f′(x)的圖象與x軸的兩個交點橫坐標分別為a，b，其中a<b，則由圖象知，在區(qū)間(－∞，a)，(b，＋∞)上，f′(x)>0，所以此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(－∞，a)，(b，＋∞)上單調遞增；在區(qū)間(a，b)上，f′(x)<0，此時f(x)在區(qū)間(a，b)上單調遞減，所以當x＝a時，函數(shù)取得極大值；當x＝b

時，函數(shù)取得極小值，故函數(shù)y＝f(x)的極小值點的個數(shù)為1.3.(多選)(2022·南京金陵中學期末)已知函數(shù)f(x)的定義域為R，導數(shù)為f′(x)，如圖是函數(shù)y＝xf′(x)的圖象，則下列說法中正確的有(

)A.函數(shù)f(x)的單調減區(qū)間是(－∞，2)B.函數(shù)f(x)的單調增區(qū)間是(－2，＋∞)C.x＝0是函數(shù)f(x)的零點D.x＝－2時函數(shù)f(x)取極小值31245BD31245【解析】

由圖可知，當x∈(－∞，－2)時，f′(x)＜0，則f(x)單調遞減，當x∈(－2,0)時，f′(x)＞0，則f(x)單調遞增，當x∈(0，＋∞)時，f′(x)≥0，則f(x)單調遞增，所以f(x)在x＝－2時取極小值，故A錯誤，B正確，D正確；對于C，不能判定0是f(x)的零點，故C錯誤．故選BD