第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入3.1數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的幾何意義2互動(dòng)探究學(xué)案3課時(shí)作業(yè)學(xué)案1自主預(yù)習(xí)學(xué)案自主預(yù)習(xí)學(xué)案大家知道實(shí)數(shù)的幾何模型是數(shù)軸上的點(diǎn)，即實(shí)數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，那么復(fù)數(shù)的幾何模型又是怎樣的呢？在1806年，德國數(shù)學(xué)家高斯公布了虛數(shù)的圖象表示法，即虛數(shù)能用平面內(nèi)的點(diǎn)來表示．在直角坐標(biāo)系中，橫軸上取對(duì)應(yīng)實(shí)部a的點(diǎn)A，縱軸上取對(duì)應(yīng)虛部b的點(diǎn)B，通過這兩點(diǎn)引平行于坐標(biāo)軸的直線，它們的交點(diǎn)C就表示復(fù)數(shù)a＋bi，這樣就將復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的點(diǎn)建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，至此找到了復(fù)數(shù)的幾何模型——平面內(nèi)的點(diǎn)．以后隨著對(duì)復(fù)數(shù)的進(jìn)一步研究，又將復(fù)數(shù)與平面內(nèi)的向量建立了一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，因此復(fù)數(shù)就有了另一個(gè)幾何模型——平面內(nèi)的向量，并且闡述了復(fù)數(shù)的幾何加法和乘法，從而豐富了內(nèi)涵，至此復(fù)數(shù)理論也就較完整地建立起來了。1．復(fù)平面的定義建立了直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面，x軸叫做_____，y軸叫做______，實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù)，除了______外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．2．復(fù)數(shù)的幾何意義(1)每一個(gè)復(fù)數(shù)都由它的______和______唯一確定，當(dāng)把實(shí)部和虛部作為一個(gè)有序數(shù)對(duì)時(shí)，就和點(diǎn)的坐標(biāo)一樣，從而可以用點(diǎn)表示復(fù)數(shù)，因此復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)是__________關(guān)系．(2)若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)，則其對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_________，不是(a，bi)．實(shí)軸虛軸原點(diǎn)實(shí)部虛部一一對(duì)應(yīng)(a，b)(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)_____________的向量也可以建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系．如圖，在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)可以用點(diǎn)__________或向量

表示．以原點(diǎn)為始點(diǎn)Z(a，b)距離距離1．已知a、b∈R，那么在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系是()A．關(guān)于x軸對(duì)稱 B．關(guān)于y軸對(duì)稱C．關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱

D．關(guān)于直線y＝x對(duì)稱[解析]

在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)為(a，－b)和(－a，－b)關(guān)于y軸對(duì)稱．B2．復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()A．第一象限

B．第二象限C．第三象限

D．第四象限[解析]

z＝－1－2i對(duì)應(yīng)點(diǎn)Z(－1，－2)，位于第三象限.3．設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則()A．a(chǎn)＞0，b＞0 B．a(chǎn)＞0，b＜0C．b＞0，a∈R D．a(chǎn)＞0，b∈R[解析]

復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸右側(cè)，則該復(fù)數(shù)的實(shí)部大于零，虛部可為任意實(shí)數(shù)．CDD互動(dòng)探究學(xué)案

在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)z＝(m2＋2m－8)＋(m2－3m＋2)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別滿足下列要求，試求復(fù)數(shù)z：(1)在虛軸上(不包括原點(diǎn))；(2)在實(shí)軸負(fù)半軸上；(3)在第一、三象限的角平分線上．[思路分析]

把點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系轉(zhuǎn)化為實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，求出參數(shù)m的值，即得復(fù)數(shù)z.命題方向1?復(fù)數(shù)的幾何意義典例1『規(guī)律方法』1.復(fù)數(shù)的幾何意義包含兩種：(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對(duì)應(yīng)關(guān)系：每一個(gè)復(fù)數(shù)和復(fù)平面內(nèi)的一個(gè)點(diǎn)對(duì)應(yīng)，復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部分別是對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)．(2)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系：當(dāng)向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí)，該向量可由終點(diǎn)唯一確定，從而可與該終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)建立一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，借助平面向量的有關(guān)知識(shí)，可以更好的理解復(fù)數(shù)的相關(guān)知識(shí)．2．有關(guān)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)的對(duì)應(yīng)點(diǎn)位置(在實(shí)軸上、虛軸上、某個(gè)象限內(nèi)、某條已知直線上等)的題目，先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部，再按點(diǎn)所在的位置列方程或不等式(組)求解．〔跟蹤練習(xí)1〕若復(fù)數(shù)(m2－3m－4)＋(m2－5m－6)i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在虛軸上，則實(shí)數(shù)m的值是()A．－1

B．4C．－1和4 D．－1和6[分析]

復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a、b∈R)對(duì)應(yīng)點(diǎn)在虛軸上和z為純虛數(shù)應(yīng)加以區(qū)別．虛軸上包括原點(diǎn)，切勿錯(cuò)誤的以為虛軸不包括原點(diǎn)．[解析]

由m2－3m－4＝0得m＝4或－1，故選C.C

已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.[思路分析]

設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a，b.命題方向2?復(fù)數(shù)模的計(jì)算典例2『規(guī)律方法』計(jì)算復(fù)數(shù)的模時(shí)，應(yīng)先找出復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部，然后利用模的公式進(jìn)行計(jì)算．兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小

，但它們的?？梢员容^大?。瓺

已知復(fù)數(shù)z＝3＋ai，且|z|＜4，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．[思路分析]

由題目可獲取以下主要信息：①已知復(fù)數(shù)及其模的范圍；②求復(fù)數(shù)虛部的取值范圍．解答本題可利用模的定義轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)不等式求解或利用數(shù)形結(jié)合思想求解．命題方向3?綜合應(yīng)用典例3『規(guī)律方法』解決復(fù)數(shù)問題的主要思想方法有：(一)轉(zhuǎn)化思想：復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化；(二)數(shù)形結(jié)合思想：利用復(fù)數(shù)的幾何意義數(shù)形結(jié)合解決；(三)整體化思想：利用復(fù)數(shù)的特征整體處理．〔跟蹤練習(xí)3〕若z＋|z|＝2，則復(fù)數(shù)z＝___.[解析]

∵z＋|z|＝2，∴z＝2－|z|∈R，當(dāng)z≥0時(shí)，|z|＝z，∴z＝1，當(dāng)z<0時(shí)，|z|＝－z，此時(shí)無解，∴z＝1.1

已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對(duì)應(yīng)點(diǎn)的軌跡是(

)A．1個(gè)圓 B．線段C．2個(gè)點(diǎn)

D．2個(gè)圓[錯(cuò)解]

由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故選D.[辨析]

錯(cuò)解中忽視了“|z|”的幾何意義是“點(diǎn)Z到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離”導(dǎo)致錯(cuò)誤.[正解]

A由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1.∵|z|≥0，∴|z|＝－1應(yīng)舍去，故應(yīng)選A.準(zhǔn)確掌握復(fù)數(shù)模的幾何意義典例4〔跟蹤練習(xí)4〕已知x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足(2x－1)＋(3－y)i＝y(tǒng)－i，求x和y的值．復(fù)數(shù)與集合、常用邏輯用語、方程、函數(shù)等知識(shí)交匯可命制綜合問題．復(fù)數(shù)與其他知識(shí)的綜合問題

已知M＝{2，m2－2