高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1廣東省深圳市兩校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)椋裕缘奶摬渴?.故選：A2.已知向量，且，則（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，且，所以，解得；故選：B.3.在中，，，，則邊AC的長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故選：C.4.如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，因?yàn)樵谥校?，所以為異面直線與所成角，因?yàn)樵谥?，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5.下列命題中成立的是（）A.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐B.有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D.各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個(gè)面都是三角形,但這個(gè)多面體不是棱錐，如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對(duì)于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長(zhǎng)方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，位于A處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原點(diǎn)等待營(yíng)救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，則該船到救助處B的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗由已知得海里，海里，，在中由余弦定理得海里.故選：D.7.“中國(guó)天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長(zhǎng)為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.8.在銳角三角形分別為內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，平面可能相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平面可能平行或斜交，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榍?，則必有，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t必有，所以D正確.故選：CD10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）.A.若，則B.若且，則C.若為非零向量且，則D.若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，與不一定平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由且，可得或，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由得，所以，∴，故C正確；D選項(xiàng)，若，時(shí)，，但是不存在，使得，故D錯(cuò)誤；故選：ABD.11.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則符合條件的有兩個(gè)D.若，則為等腰三角形〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)，在三角形中大角對(duì)大邊，所以，由正弦定理得，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為為正方形底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得C.若，則點(diǎn)在正方形底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由題意及圖形可知平面平行于平面，則點(diǎn)P到平面距離為定值.則，又為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，作，交線段于，連接因?yàn)槊婷妫婷?，面，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，在直角中不可能有，故不存在相應(yīng)的點(diǎn)P，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖有平面.理由如下：連接由題可得，又，則平面.因平面，則.同理可證得，又，則平面，得平面.故點(diǎn)軌跡為平面與底面交線，即為線段,又，故C正確；對(duì)于D，如圖取中點(diǎn)為，連接.由題可得平面.因平行于，平面，則.又，則平面.又取中點(diǎn)為，則，有四點(diǎn)共面因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫?則平面即為平面.設(shè)平面分別與交于，因?yàn)槊婷?，面，面所以，又都是中點(diǎn)，故是中點(diǎn).同理可證是中點(diǎn)，所以平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長(zhǎng)為2，則，故截面面積為，故D正確.故選：ACD第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個(gè)模為5，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限的復(fù)數(shù)__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，則滿足即可.所以符合題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.中，，，則此三角形的外接圓半徑是___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)椋?，設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，解得故〖答案〗為：15.已知某圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____（）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和高分別為、、，上底面半徑為，下底面半徑為，高，可得母線長(zhǎng)為cm，即cm，解之得，所以圓臺(tái)的上底面半徑為cm，下底面半徑為cm，高cm．由此可得圓臺(tái)的體積為cm．故〖答案〗為：．16.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來(lái)”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足，則_______；若點(diǎn)P是正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最大值為_(kāi)______．〖答案〗①.1②.〖解析〗由題可知，∴，∴，結(jié)合以及正六邊形的幾何特征可知為的中點(diǎn)，所以要使最大，可知當(dāng)在處時(shí)，最大，此時(shí)最大，即.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù).（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：（1）.（2）由得，又，則，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大小；（2）從下列①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由正弦定理得；（2）選①②：，由（1）知：，由，又，則，所以，故.選②③：，由①知：，由，則，由，故.選①③：，，，，由（1）知：，則.19.已知在中，是邊的中點(diǎn)，且，設(shè)與交于點(diǎn)．記，．（1）用，表示向量，；（2）若，且，求的余弦值．解：（1）（2）∵三點(diǎn)共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.20.已知各棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：如圖連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又平面平面，所以平面，（2）解：因?yàn)槿庵侵比庵宜欣忾L(zhǎng)均為2，在中，，所以，所以為直角三角形，設(shè)到平面的距離為，因?yàn)椋?，解得，所以到平面的距離為.21.記的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.已知，點(diǎn)在邊上，且（1）證明：；（2）若，求.（1）證明：在中，因?yàn)椋?，又因?yàn)椋?，即在中，根?jù)正弦定理，得，故.（2）解：在中，，又由（1）知，，所以，在中，根據(jù)余弦定理，得，又由已知，，得，所以，則，即，因?yàn)?，則，所以或，所以或，又點(diǎn)在邊上，且，，所以必有一個(gè)大于等于，所以.22.如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l．（1）證明：l⊥平面PDC；（2）已知PD=AD=1，Q為l上的點(diǎn)，求PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值．（1）證明：在正方形中，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所以，因?yàn)樵谒睦忮F中，底面是正方形，所以且平面，所以因?yàn)?，所以平面．?）解：［方法一］【最優(yōu)解】：通性通法因?yàn)閮蓛纱怪?，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：因?yàn)椋O(shè)，設(shè)，則有，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，所以平面的一個(gè)法向量為，則根據(jù)直線的方向向量與平面法向量所成角的余弦值的絕對(duì)值即為直線與平面所成角的正弦值，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值等于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為.［方法二］：定義法如圖2，因?yàn)槠矫?，，所以平面．平面中，設(shè)．在平面中，過(guò)P點(diǎn)作，交于F，連接．因?yàn)槠矫嫫矫?，所以．又由平面，平面，所以平面．又平面，所以．又由平面平面，所以平面，從而即為與平面所成角．設(shè)，在中，易求．由與相似，得，可得．所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．［方法三］：等體積法如圖3，延長(zhǎng)至G，使得，連接，，則，過(guò)G點(diǎn)作平面，交平面于M，連接，則即為所求．設(shè)，在三棱錐中，．在三棱錐中，．由得，解得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立．在中，易求，所以直線PB與平面QCD所成角的正弦值的最大值為．廣東省深圳市兩校2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題時(shí)間：120分鐘滿分：150分第I卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.1.若復(fù)數(shù)滿足，則的虛部是（）A.4 B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因?yàn)?，所以，所以的虛部?.故選：A2.已知向量，且，則（）A.-2 B. C. D.2〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，且，所以，解得；故選：B.3.在中，，，，則邊AC的長(zhǎng)為（）A. B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗由題意，在中，，，，由正弦定理，，解得：，故選：C.4.如圖，已知為正方體，則異面直線與所成角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗連接，因?yàn)樵谥?，∥，所以為異面直線與所成角，因?yàn)樵谥?，，所以為等邊三角形，所以，所以異面直線與所成角為，故選：C5.下列命題中成立的是（）A.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐B.有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱C.一個(gè)棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱錐D.各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱是長(zhǎng)方體〖答案〗B〖解析〗對(duì)A，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起,所得多面體的每個(gè)面都是三角形,但這個(gè)多面體不是棱錐，如圖，故A錯(cuò)誤；對(duì)B，若棱柱有兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形，則側(cè)棱與底面兩條相交的邊垂直，則側(cè)棱與底面垂直，此時(shí)棱柱一定是直棱柱，故B正確；對(duì)于C，如圖所示，若，滿足側(cè)面均為全等的等腰三角形，但此時(shí)底面不是正三角形，故C錯(cuò)誤；對(duì)D，各個(gè)側(cè)面都是矩形的棱柱不一定是長(zhǎng)方體，比如底面為三角形的直三棱柱，故D錯(cuò)誤.故選：B.6.如圖，位于A處的海面觀測(cè)站獲悉，在其正東方向相距40海里的B處有一艘漁船遇險(xiǎn)，并在原點(diǎn)等待營(yíng)救，在A處南偏西且相距20海里的C處有一艘救援船，則該船到救助處B的距離為（）A.海里 B.海里 C.海里 D.海里〖答案〗D〖解析〗由已知得海里，海里，，在中由余弦定理得海里.故選：D.7.“中國(guó)天眼”射電望遠(yuǎn)鏡的反射面的形狀為球冠（球冠是球面被平面所截后剩下的曲面，截得的圓面為底，垂直于圓面的直徑被截得的部分為高，球冠面積，其中R為球的半徑，為球冠的高），設(shè)球冠底的半徑為r，周長(zhǎng)為C，球冠的面積為S，則當(dāng)，時(shí)，（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗如示意圖，根據(jù)題意，，由勾股定理可得，聯(lián)立方程解得.于是.故選：B.8.在銳角三角形分別為內(nèi)角所對(duì)的邊長(zhǎng)，，則（）A.3 B.4 C.5 D.6〖答案〗B〖解析〗因?yàn)?，所以由余弦定理可得，即，所以故選：B二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的選項(xiàng)中，有多符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知直線l?m，平面，則下列說(shuō)法中正確的是（）A.若，則必有 B.若，則必有C.若，則必有 D.若，則必有〖答案〗CD〖解析〗對(duì)于A，平面可能相交，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對(duì)于B，平面可能平行或斜交，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)榍?，則必有，所以C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋瑒t必有，所以D正確.故選：CD10.下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是（）.A.若，則B.若且，則C.若為非零向量且，則D.若，則有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)，使得〖答案〗ABD〖解析〗A選項(xiàng)，當(dāng)為時(shí)，與不一定平行，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，由且，可得或，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，由得，所以，∴，故C正確；D選項(xiàng)，若，時(shí)，，但是不存在，使得，故D錯(cuò)誤；故選：ABD.11.的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則B.若，則是鈍角三角形C.若，則符合條件的有兩個(gè)D.若，則為等腰三角形〖答案〗AB〖解析〗A選項(xiàng)，在三角形中大角對(duì)大邊，所以，由正弦定理得，所以A選項(xiàng)正確；B選項(xiàng)，由正弦定理得，所以，又，則C為鈍角，所以B選項(xiàng)正確；C選項(xiàng)，由正弦定理可得，又，則，故此三角形有唯一解，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，因?yàn)椋?，所以，即，又，且，所以或，即或，所以為等腰三角形或直角三角形，故D錯(cuò)誤.故選：AB12.如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為為正方形底面內(nèi)的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有（）A.三棱錐的體積為定值B.存在點(diǎn)，使得C.若，則點(diǎn)在正方形底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)軌跡長(zhǎng)度為D.若點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，過(guò)作平面平面，則平面截正方體所得截面的面積為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，由題意及圖形可知平面平行于平面，則點(diǎn)P到平面距離為定值.則，又為定值，故三棱錐的體積為定值，故A正確；對(duì)于B，作，交線段于，連接因?yàn)槊婷?，面面，面，所以面，又面，所以，若，又，故面，又面，所以，因?yàn)闉榫€段上一點(diǎn)，在直角中不可能有，故不存在相應(yīng)的點(diǎn)P，使，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，如圖有平面.理由如下：連接由題可得，又，則平面.因平面，則.同理可證得，又，則平面，得平面.故點(diǎn)軌跡為平面與底面交線，即為線段,又，故C正確；對(duì)于D，如圖取中點(diǎn)為，連接.由題可得平面.因平行于，平面，則.又，則平面.又取中點(diǎn)為，則，有四點(diǎn)共面因?yàn)槠矫?，所以平面平?則平面即為平面.設(shè)平面分別與交于，因?yàn)槊婷?，面，面所以，又都是中點(diǎn)，故是中點(diǎn).同理可證是中點(diǎn)，所以平面截正方體所得截面為正六邊形，又正方體棱長(zhǎng)為2，則，故截面面積為，故D正確.故選：ACD第II卷三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.寫出一個(gè)模為5，且在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限的復(fù)數(shù)__________.〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗設(shè)，則滿足即可.所以符合題意.故〖答案〗為：（〖答案〗不唯一）14.中，，，則此三角形的外接圓半徑是___________.〖答案〗〖解析〗由余弦定理得，因?yàn)椋?，設(shè)外接圓半徑為R，由正弦定理得，解得故〖答案〗為：15.已知某圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為，母線長(zhǎng)為，則該圓臺(tái)的體積為_(kāi)_____（）.〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意，設(shè)圓臺(tái)的上、下底面半徑和高分別為、、，上底面半徑為，下底面半徑為，高，可得母線長(zhǎng)為cm，即cm，解之得，所以圓臺(tái)的上底面半徑為cm，下底面半徑為cm，高cm．由此可得圓臺(tái)的體積為cm．故〖答案〗為：．16.在2022年2月4日舉行的北京冬奧會(huì)開(kāi)幕式上，貫穿全場(chǎng)的雪花元素為觀眾帶來(lái)了一場(chǎng)視覺(jué)盛宴，象征各國(guó)、各地區(qū)代表團(tuán)的“小雪花”匯聚成一朵代表全人類“一起走向未來(lái)”的“大雪花”的意境驚艷了全世界（如圖①），順次連接圖中各頂點(diǎn)可近似得到正六邊形（如圖②）．已知正六邊形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)M滿足，則_______；若點(diǎn)P是正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)（包括端點(diǎn)），則的最大值為_(kāi)______．〖答案〗①.1②.〖解析〗由題可知，∴，∴，結(jié)合以及正六邊形的幾何特征可知為的中點(diǎn)，所以要使最大，可知當(dāng)在處時(shí)，最大，此時(shí)最大，即.故〖答案〗為：；四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.已知復(fù)數(shù).（1）求；（2）若復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別為，求向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).解：（1）.（2）由得，又，則，所以向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.18.已知的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求角的大??；（2）從下列①②③中選擇兩個(gè)作為條件，證明另外一個(gè)條件成立：①；②；③.注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個(gè)解答計(jì)分.解：（1）由正弦定理得；（2）選①②：，由（1）知：，由，又，則，所以，故.選②③：，由①知：，由，則，由，故.選①③：，，，，由（1）知：，則.19.已知在中，是邊的中點(diǎn)，且，設(shè)與交于點(diǎn)．記，．（1）用，表示向量，；（2）若，且，求的余弦值．解：（1）（2）∵三點(diǎn)共線，由得，，即，∴，∴，∴的余弦值為.20.已知各棱長(zhǎng)均為2的直三棱柱中，為的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離.（1）證明：如圖連接，交于點(diǎn)，連接，因?yàn)闉槠叫兴倪呅?，所以為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以，又