高級中學名校試卷PAGEPAGE1河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡的相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在試卷上一律無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D2.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，設與的夾角為，則，又，所以.故選：B3.已知為虛數(shù)單位，是關于的方程的一個根，則實數(shù)（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因為是關于的方程的一個根，所以也是關于的方程的一個根，所以，解得故選：A4.已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意圓錐的母線，設底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C5.小明為了加強體育鍛煉，提高身體素質，從網(wǎng)上購買了一對大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.6.如圖，矩形是水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，，則平面四邊形的面積為（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗設與軸的交點為，則，，原圖形如圖所示：，，故.故選：B.7.已知，內角的對邊分別是，則等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故選：A．8.正四棱錐中，底面邊長，側棱，在該四棱錐的內部有一個小球，則小球表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當小球與正四棱錐各面相切時半徑最大，此時小球表面積的最大，設小球的半徑為，由底面邊長，側棱，可得正四棱錐的高，所以，又側面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列四個命題中，真命題是（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內B.四邊形可以確定一個平面C.若直線，相交，且平面，則D.若直線平面，直線平面，則〖答案〗AC〖解析〗選項A，設，不重合，易知可確定唯一平面，又，所以，又，所以，故選項A正確；選項B，空間四邊形不能確定一個平面，故選項B錯誤；選項C，因為，平面，所以面，故，所以選項C正確；選項D，因為直線平面，直線平面，則或與相交，故選項D錯誤.10.在正方形中，，點滿足，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.存在，使得D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標系，由，得，由，得，，對于A，，而，則，A正確；對于B，，，則，B錯誤；對于C，若，則，而方程無實根，則不存在，使得，C錯誤；對于D，，因此，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD11.如圖，，，，為三棱柱的頂點或所在棱的中點，下列圖形中，直線與是異面直線的為（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，、為所在棱的中點，所以，又，由平行公理可得，，故B錯誤；對于C，如圖，分別取底面三角形兩邊的中點，，連接，，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因為與無公共點，若與平行，得到與平行，這樣矛盾，可得與異面，故C正確；對于D，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故D正確．故選：ACD．12.在中，角的對邊分別為，下列說法正確的是（）A.若，，則為等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為，則D.若點滿足，且，則〖答案〗ABD〖解析〗選項A，因為，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故選項A正確；選項B，因為，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大邊對大角，得，又以上過程均可逆，故選項B正確；選項C，因為，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故選項C錯誤；選項D，如圖，在中，，在中，，兩式相比得，因為，且，所以，，且，所以，故，所以選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復數(shù)，，，其中，為實數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗因為復數(shù)，，，其中，為實數(shù)，所以，解得，則，，所以，故〖答案〗為：14.已知，，，且，，三點共線，則______.〖答案〗〖解析〗三點共線，.，.故〖答案〗為：.15.記的內角的對邊分別為，若邊上的高為，且滿足，則______.〖答案〗〖解析〗因為的面積為，得到，又因為，所以，即，由正弦定理得，即，所以.故〖答案〗為：.16.已知四點，，，在半徑為1的圓上，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為且圓的半徑為，所以與所對的圓心角均為，如圖建立平面直角坐標系，不妨取，，設，則，，則，，，，；．．當，即時，的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量與滿足，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）當為何值時，？解：（1）因為，，與的夾角為，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以當時，.18.已知，，復數(shù)，且，復數(shù)在復平面上對應的點在函數(shù)的圖像上.（1）求復數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值.解：（1）因為，所以，對應的點為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如圖，圓錐的底面半徑，母線的長為3，為上靠近的一個三等分點，從點拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點.（1）求繩子額最短長度；（2）過點作一個與底面平行的截面，將圓錐分為上、下兩部分，其體積分別為，，求.解：（1）將圓錐側面沿母線展開可得一扇形，連接，此時繩子的長度最短，在中，，，設，因為圓錐的底面半徑，母線的長為3，則，所以，在中，由余弦定理可得，所以.（2）過點作與底面平行的截面，將圓錐分為上下兩部分，上部分圓錐體積為，下部分圓臺體積為，設大圓錐體積為，則，即，，所以.20.在中，，，為的平分線，在邊上.（1）若，求的長；（2）若，求.解：（1）因為，因為為的平分線，所以，由余弦定理可得，所以，即邊的長為.（2）設，由，可得，因為，所以，即，因為，所以，所以.21.如圖，某景區(qū)綠化規(guī)劃中，有一塊等腰直角三角形空地，，，為上一點，滿足.現(xiàn)欲在邊界，（不包括端點）上分別選取，兩點，并在四邊形區(qū)域內種植花卉，且，設.（1）證明：；（2）為何值時，花卉種植的面積占整個空地面積的一半？（1）證明：由題意得，，，因為，，四邊形內角和等于，所以，又，所以，，在中，由正弦定理得，在中，由正弦定理得，所以，證畢；（2）解：由題意得m，故，因為，，所以，因為，所以，設m，則m，在中，由正弦定理得，即，解得①，由三角形面積公式得，，故，所以②，由①②得，化簡得，分子分母同除以得，解得22.如圖，扇形的半徑為2，圓心角為，點是弧上一動點（不包括端點），且于，于.設，將扇形繞所在直線旋轉一周，由圖中空白部分旋轉形成的幾何體的表面積記為，體積記為.（1）若，求；（2）當為多大時，最大，并求最大值.解：（1）因為旋轉形成的幾何體為圓柱，圓柱的半徑，圓柱高，所以；（2）因為圓柱的半徑為，高為，其中，所以，，所以，令，則，故，因為，所以，令，則在區(qū)間上恒成立，故在區(qū)間單調遞增，故，此時，所以當時，最大，最大值.河北省唐山市十縣一中聯(lián)盟2022-2023學年高一下學期期中數(shù)學試題注意事項：1.答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號、考場號和座位號填寫在答題卡的相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡“條形碼粘貼處”.2.作答選擇題時，選出每小題〖答案〗后，用2B鉛筆將答題卡對應題目選項的〖答案〗信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再涂其他〖答案〗.〖答案〗涂在試卷上一律無效.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，〖答案〗必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內；如需改動，先劃掉原來的〖答案〗，然后再寫上新〖答案〗；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，若復數(shù)，則（）A.1 B.3 C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，所以.故選：D2.已知向量，，則與的夾角為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗因為，，所以，，，設與的夾角為，則，又，所以.故選：B3.已知為虛數(shù)單位，是關于的方程的一個根，則實數(shù)（）A.4 B. C.2 D.〖答案〗A〖解析〗因為是關于的方程的一個根，所以也是關于的方程的一個根，所以，解得故選：A4.已知圓錐的側面展開圖是一個半徑為，圓心角為的扇形，則該圓錐的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗依題意圓錐的母線，設底面半徑為，高為，則，解得，所以，則圓錐的體積.故選：C5.小明為了加強體育鍛煉，提高身體素質，從網(wǎng)上購買了一對大小相同的健身啞鈴.啞鈴是由兩個全等的大圓柱和中間一個連桿圓柱構成的，已知大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，則一只健身啞鈴的體積為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因為大圓柱的底面直徑是8cm，高為2cm，故兩個大圓柱的體積為，又連桿圓柱的底面直徑是2cm，高為10cm，故連桿圓柱的體積為，所以一只健身啞鈴的體積為.故選：C.6.如圖，矩形是水平放置的一個平面四邊形的直觀圖，其中，，則平面四邊形的面積為（）A.10 B. C. D.20〖答案〗B〖解析〗設與軸的交點為，則，，原圖形如圖所示：，，故.故選：B.7.已知，內角的對邊分別是，則等于（）A. B.C.或 D.或〖答案〗A〖解析〗∵，，，∴，，由正弦定理得：，∴，故選：A．8.正四棱錐中，底面邊長，側棱，在該四棱錐的內部有一個小球，則小球表面積的最大值為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗當小球與正四棱錐各面相切時半徑最大，此時小球表面積的最大，設小球的半徑為，由底面邊長，側棱，可得正四棱錐的高，所以，又側面面積為，底面面積為，，解得，小球表面積的最大值為．故選：D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分.9.下列四個命題中，真命題是（）A.兩兩相交且不過同一點的三條直線必在同一平面內B.四邊形可以確定一個平面C.若直線，相交，且平面，則D.若直線平面，直線平面，則〖答案〗AC〖解析〗選項A，設，不重合，易知可確定唯一平面，又，所以，又，所以，故選項A正確；選項B，空間四邊形不能確定一個平面，故選項B錯誤；選項C，因為，平面，所以面，故，所以選項C正確；選項D，因為直線平面，直線平面，則或與相交，故選項D錯誤.10.在正方形中，，點滿足，則下列說法正確的是（）A.當時，B.當時，C.存在，使得D.的最小值為2〖答案〗AD〖解析〗在正方形中，建立如圖所示的平面直角坐標系，由，得，由，得，，對于A，，而，則，A正確；對于B，，，則，B錯誤；對于C，若，則，而方程無實根，則不存在，使得，C錯誤；對于D，，因此，當且僅當時取等號，D正確.故選：AD11.如圖，，，，為三棱柱的頂點或所在棱的中點，下列圖形中，直線與是異面直線的為（）A. B.C. D.〖答案〗ACD〖解析〗對于A，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故A正確；對于B，如圖，、為所在棱的中點，所以，又，由平行公理可得，，故B錯誤；對于C，如圖，分別取底面三角形兩邊的中點，，連接，，則且，且，所以且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，又平面，因為與無公共點，若與平行，得到與平行，這樣矛盾，可得與異面，故C正確；對于D，平面，平面，，平面，由異面直線的定義可知，直線與是異面直線，故D正確．故選：ACD．12.在中，角的對邊分別為，下列說法正確的是（）A.若，，則為等邊三角形B.是成立的充要條件C.若的面積為，則D.若點滿足，且，則〖答案〗ABD〖解析〗選項A，因為，，由正弦定理得到，又由余弦定理，得到，即，所以，故選項A正確；選項B，因為，所以，即，又，，所以，由正弦定理得，，又由三角形中，大邊對大角，得，又以上過程均可逆，故選項B正確；選項C，因為，整理得，又由正弦定理可得，即，所以，故或，得到或，故選項C錯誤；選項D，如圖，在中，，在中，，兩式相比得，因為，且，所以，，且，所以，故，所以選項D正確.故選：ABD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.若復數(shù)，，，其中，為實數(shù)，則______.〖答案〗〖解析〗因為復數(shù)，，，其中，為實數(shù)，所以，解得，則，，所以，故〖答案〗為：14.已知，，，且，，三點共線，則______.〖答案〗〖解析〗三點共線，.，.故〖答案〗為：.15.記的內角的對邊分別為，若邊上的高為，且滿足，則______.〖答案〗〖解析〗因為的面積為，得到，又因為，所以，即，由正弦定理得，即，所以.故〖答案〗為：.16.已知四點，，，在半徑為1的圓上，，則的最大值為______.〖答案〗〖解析〗因為且圓的半徑為，所以與所對的圓心角均為，如圖建立平面直角坐標系，不妨取，，設，則，，則，，，，；．．當，即時，的最大值為．故〖答案〗為：．四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知向量與滿足，，與的夾角為.（1）求；（2）求；（3）當為何值時，？解：（1）因為，，與的夾角為，所以.（2）由（1）知，所以.（3）由，得，解得，所以當時，.18.已知，，復數(shù)，且，復數(shù)在復平面上對應的點在函數(shù)的圖像上.（1）求復數(shù)；（2）若為純虛數(shù)，求實數(shù)的值.解：（1）因為，所以，對應的點為，所以，得到，又，所以，又，由，解得，所以.（2）由（1）知，，所以，故，得到.19.如圖，圓錐的底面半徑，母線的長為3，為上靠近的一個三等分點，從點拉一根繩子，圍繞圓錐側面轉到點.（1）求繩子額最短長度；（2）過點作一