高級中學名校試卷PAGEPAGE1江西省南昌市鐵路第一中學2022-2023學年高二下學期第二次月考數(shù)學試題試卷總分：150分考試時間：120分鐘一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知等差數(shù)列，若，則（）A.35B.15C.-22D.-252.已知命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.3.滿足條件的所有集合的個數(shù)是（）A.32B.31C.16D.154.直線與曲線相切于點，則（）A.4B.3C.2D.15.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6.若關(guān)于的方程有且只有2個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.設(shè).若，則實數(shù)的值可以為（）A.B.-5C.D.010.關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的有（）A.B.C.的最小值為6D.不等式的解集為或11.對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的值可以是（）A.B.C.D.12.對于函數(shù)，則（）A.是單調(diào)函數(shù)的充要條件是B.圖象一定是中心對稱圖形C.若，且恰有一個零點，則或D.若的三個零點恰為某三角形的三邊長，則三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知“”，：“”，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是__________.14.函數(shù)，已知在時取得極值，則等于_________.15.在數(shù)列中，，且，則__________.16.已知關(guān)于的不等式恰有2個不同的整數(shù)解，則的取值范圍是_________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題10分）已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.

18.（本小題12分）某相關(guān)部門為凈化網(wǎng)絡(luò)直播環(huán)境，保證消費者的合法權(quán)益，進行了調(diào)查問卷，并隨機抽取了110人的樣本進行分析，得到如下列聯(lián)表：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計女性501060男性302050總計8030110（1）依據(jù)的獨立性檢驗，判斷是否有的把握認為參加直播帶貨與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從80名參加過直播帶貨的人中，采用按性別分層抽樣的方法，選取8人的直播間進行抽查.若從這8人中隨機選取3人的直播間重點關(guān)注，求在選取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率.附：，其中.0.050.010.0053.8416.6357.879

19.（本小題12分）已知數(shù)列的首項.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.20.（本小題12.0分）如圖，三棱柱的所有棱長都是平面分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求和平面所成角的正弦值.

21.（本小題12.0分）某公司在一次年終總結(jié)會上舉行抽獎活動，在一個不透明的箱子中放入3個紅球和3個白球（球的形狀和大小都相同），抽獎規(guī)則有以下兩種方案可供選擇：方案一：選取一名員工在袋中隨機摸出一個球，若是紅球，則放回袋中；若是白球，則不放回，再在袋中補充一個紅球，這樣反復進行3次，若最后袋中紅球個數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元；方案二：從袋中一次性摸出3個球，把白球換成紅球再全部放回袋中，設(shè)袋中紅球個數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元.（1）若用方案一，求的分布列與數(shù)學期望；（2）比較方案一與方案二，求采用哪種方案，員工獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望值更高？請說明理由；（3）若企業(yè)有1000名員工，他們?yōu)槠髽I(yè)貢獻的利潤近似服從正態(tài)分布為各位員工貢獻利潤數(shù)額的均值，約為100萬元，為數(shù)據(jù)的方差，約為225，若規(guī)定獎金只有貢獻利潤大于115萬元的員工可以獲得，若按方案一與方案二兩種抽獎方式獲得獎金的數(shù)學期望值的較大者計算，求獲獎員工的人數(shù)及每人可以獲得獎金的平均數(shù)值（保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.

22.（本小題12分）已知.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

——★參考答案★——一、單選題1.D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得，則，故選：D.2.D〖解析〗由題意得，命題“”的否定：“對于任意實數(shù)恒成立”為真命題，則，解得：，所以的取值范圍為.故選D.3.B4.A〖解析〗直線與曲線相切于點，可得，即，的導數(shù)為，即有，則.故選：A.5.A〖解析〗由題得，解得，所以，又，所以只需，解得，所以.故選：A.6.D〖解析〗由，得，所以關(guān)于的方程有且只有2個零點，等價于函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，由，得，當時，，當，所以在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以當時，函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，所以的取值范圍是.故選D.7.A〖解析〗，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，令，即，解得或，要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則，解得.故選：A.8.C〖解析〗（i）當時，，令，解得，函數(shù)有兩個零點，舍去.（ii）當時，，令，解得或.①當時，，當或時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點.函數(shù)存在唯一的零點，且，則：，即：，可得.②當時，，當或時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點.，故存在，使得，不滿足函數(shù)存在唯一的零點，且，綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.故選C.二、多選題9.ACD〖解析〗因為，所以，又因為，所以分和兩種情況進行討論，當時，也即方程無解，所以；當時，方程有一解，即，因為，所以或-5，所以或，綜上可知：實數(shù)的值可以為0或或故選ACD.10.BC〖解析〗關(guān)于的不等式的解集為，函數(shù)開口向下，與軸交點橫坐標為選項，，故錯誤；B選項，依題可得時，函數(shù)值小于0，即，故B正確；C選項，因為開口向下與軸交點橫坐標為2，3，所以，即，且，，當且僅當時，即時取等號，故C正確；D選項，不等式可化為，即，解集為或，故D錯誤.故選：BC.11.BC〖解析〗在上單調(diào)遞增，又有唯一零點為3，令的零點為，依題意知，即，即函數(shù)在上有零點，令，則在上有解，即在上有解，令，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值為，又實數(shù)的取值范圍是，結(jié)合選項可知BC正確.故選：BC.12.BCD〖解析〗函數(shù)，對于，若是單調(diào)函數(shù)，則，解得，故A錯誤；對于B，令，則，令，解得，下證關(guān)于中心對稱，，所以圖象一定是中心對稱圖形，故B正確；對于C，若，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以在時取極大值，在時取極小值，若恰有一個零點，則或，即或，解得或，故C正確；對于D，若有三個零點，不妨設(shè)，恰為某三角形的三邊長時，且，則，所以，又，所以，所以，即，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，即正確.故選BCD.三、填空題13.〖解析〗由題意，由，解得，即命題為真時，由，解得，即命題為真時，因為是的充分不必要條件，所以，所以，（取等號不同時成立），解得故實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.〖解析〗在時取得極值，，解得或，當時，，在上為增函數(shù)，無極值，故〖答案〗為.15.2550〖解析〗因為在數(shù)列中，，且，當為奇數(shù)時，，即，當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列為：，所以.故〖答案〗為2550.16.〖解析〗由題意得恰有2個不同的整數(shù)解，令，令，在上恒成立，所以單調(diào)遞減，由，所以存在，使得，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞減，易知時，，畫出的圖象，如圖，因為恰有2個不同的整數(shù)解，所以整數(shù)解為2和3，所以，解得.即的取值范圍是.四、解答題17.解：（1）在處取得極大值，，解得：；經(jīng)檢驗，當時滿足題意.（2）由（1）得：，解得：，所以的最小值為-3.18.解：（1）根據(jù)數(shù)據(jù)計算，有的把握認為參加直播帶貨與性別有關(guān)聯(lián).（2）根據(jù)分層抽樣方法得，選取的8人中，女性有5人，男性有3人.設(shè)事件為3人中有男性，3人至少有一名女性為事件，則，選取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率為.19.證明：（1），當時，（常數(shù)），數(shù)列是公比為3的等比數(shù)列；（2）由（1）知，數(shù)列是以3為首項，以3為公比的等比數(shù)列，，，，.當時，，為遞增數(shù)列，故的最小值為，20.解：取的中點，連接，則，又平面，所以平面，所以兩兩垂直，如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標系，則，（1）證明：，設(shè)分別為平面和平面的法向量，由，得，令，則，是平面的一個法向量，由，得，令，則，是平面的一個法向量，，平面平面.（2）解：，則.21.解：（1）對于方案一，由條件可知有可能取值為，，，的分布列為：3456的數(shù)學期望值為；（2）對于方案二，由條件可得值為，，，的數(shù)學期望值，，所以采用方案二員工獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望值會更高；（3）由（1）（2）可知，平均每位員工獲得獎金的數(shù)學期望的最大值為，則給員工頒發(fā)獎金的總數(shù)為（萬元），設(shè)每位職工為企業(yè)的貢獻的數(shù)額為，所以獲得獎金的職工數(shù)約為（人），則獲獎員工可以獲得獎金的平均數(shù)值為（萬元）.22.解：（1）時，，當時，，所以，所以在上單調(diào)遞減；（2）記當時，，不等式成立；當時，設(shè)，則，因為，所以在上單調(diào)遞增，又，所以，所以在上單調(diào)遞增，且，因為，所以必須大于等于0，即，即①當時，，所以在上單調(diào)遞增，因為，所以當時，恒成立；②當時，，因為在上單調(diào)遞增，又，所以存在，使，當，則在上單調(diào)遞減，即當時，，不合題意；綜上，當時，對于恒成立.即實數(shù)的取值范圍為.江西省南昌市鐵路第一中學2022-2023學年高二下學期第二次月考數(shù)學試題試卷總分：150分考試時間：120分鐘一?單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.已知等差數(shù)列，若，則（）A.35B.15C.-22D.-252.已知命題，若為假命題，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.3.滿足條件的所有集合的個數(shù)是（）A.32B.31C.16D.154.直線與曲線相切于點，則（）A.4B.3C.2D.15.已知集合，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.6.若關(guān)于的方程有且只有2個零點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.7.已知函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A.B.C.D.8.已知函數(shù)，若存在唯一的零點，且，則的取值范圍是（）A.B.C.D.二?多選題（本大題共4小題，共20分.在每小題有多項符合題目要求）9.設(shè).若，則實數(shù)的值可以為（）A.B.-5C.D.010.關(guān)于的不等式的解集為，則下列說法正確的有（）A.B.C.的最小值為6D.不等式的解集為或11.對于函數(shù)和，設(shè)，若存在，使得，則稱與互為“零點相鄰函數(shù)”.若函數(shù)與互為“零點相鄰函數(shù)”，則實數(shù)的值可以是（）A.B.C.D.12.對于函數(shù)，則（）A.是單調(diào)函數(shù)的充要條件是B.圖象一定是中心對稱圖形C.若，且恰有一個零點，則或D.若的三個零點恰為某三角形的三邊長，則三?填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知“”，：“”，若是的充分不必要條件，則實數(shù)的取值范圍是__________.14.函數(shù)，已知在時取得極值，則等于_________.15.在數(shù)列中，，且，則__________.16.已知關(guān)于的不等式恰有2個不同的整數(shù)解，則的取值范圍是_________.四?解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.（本小題10分）已知函數(shù)在處取得極值.（1）求實數(shù)的值；（2）當時，求函數(shù)的最小值.

18.（本小題12分）某相關(guān)部門為凈化網(wǎng)絡(luò)直播環(huán)境，保證消費者的合法權(quán)益，進行了調(diào)查問卷，并隨機抽取了110人的樣本進行分析，得到如下列聯(lián)表：參加過直播帶貨未參加過直播帶貨總計女性501060男性302050總計8030110（1）依據(jù)的獨立性檢驗，判斷是否有的把握認為參加直播帶貨與性別有關(guān)？（2）現(xiàn)從80名參加過直播帶貨的人中，采用按性別分層抽樣的方法，選取8人的直播間進行抽查.若從這8人中隨機選取3人的直播間重點關(guān)注，求在選取的3人中有男性的前提下，3人中至少有一名女性的概率.附：，其中.0.050.010.0053.8416.6357.879

19.（本小題12分）已知數(shù)列的首項.（1）證明：為等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列的前項和，求證：.20.（本小題12.0分）如圖，三棱柱的所有棱長都是平面分別是的中點.（1）求證：平面；（2）求和平面所成角的正弦值.

21.（本小題12.0分）某公司在一次年終總結(jié)會上舉行抽獎活動，在一個不透明的箱子中放入3個紅球和3個白球（球的形狀和大小都相同），抽獎規(guī)則有以下兩種方案可供選擇：方案一：選取一名員工在袋中隨機摸出一個球，若是紅球，則放回袋中；若是白球，則不放回，再在袋中補充一個紅球，這樣反復進行3次，若最后袋中紅球個數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元；方案二：從袋中一次性摸出3個球，把白球換成紅球再全部放回袋中，設(shè)袋中紅球個數(shù)為，則每位員工頒發(fā)獎金萬元.（1）若用方案一，求的分布列與數(shù)學期望；（2）比較方案一與方案二，求采用哪種方案，員工獲得獎金數(shù)額的數(shù)學期望值更高？請說明理由；（3）若企業(yè)有1000名員工，他們?yōu)槠髽I(yè)貢獻的利潤近似服從正態(tài)分布為各位員工貢獻利潤數(shù)額的均值，約為100萬元，為數(shù)據(jù)的方差，約為225，若規(guī)定獎金只有貢獻利潤大于115萬元的員工可以獲得，若按方案一與方案二兩種抽獎方式獲得獎金的數(shù)學期望值的較大者計算，求獲獎員工的人數(shù)及每人可以獲得獎金的平均數(shù)值（保留到整數(shù)）.參考數(shù)據(jù)：若隨機變量服從正態(tài)分布，則.

22.（本小題12分）已知.（1）當時，求證：在上單調(diào)遞減；（2）若對任意恒成立，求實數(shù)的取值范圍.

——★參考答案★——一、單選題1.D〖解析〗設(shè)等差數(shù)列的公差為，，解得，則，故選：D.2.D〖解析〗由題意得，命題“”的否定：“對于任意實數(shù)恒成立”為真命題，則，解得：，所以的取值范圍為.故選D.3.B4.A〖解析〗直線與曲線相切于點，可得，即，的導數(shù)為，即有，則.故選：A.5.A〖解析〗由題得，解得，所以，又，所以只需，解得，所以.故選：A.6.D〖解析〗由，得，所以關(guān)于的方程有且只有2個零點，等價于函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，由，得，當時，，當，所以在上遞增，在上遞減，所以，當時，，所以當時，函數(shù)的圖像與直線有兩個交點，所以的取值范圍是.故選D.7.A〖解析〗，易知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)在處取得極大值，令，即，解得或，要使函數(shù)在區(qū)間上有最大值，則，解得.故選：A.8.C〖解析〗（i）當時，，令，解得，函數(shù)有兩個零點，舍去.（ii）當時，，令，解得或.①當時，，當或時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增.是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點.函數(shù)存在唯一的零點，且，則：，即：，可得.②當時，，當或時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減.是函數(shù)的極小值點，0是函數(shù)的極大值點.，故存在，使得，不滿足函數(shù)存在唯一的零點，且，綜上可得：實數(shù)的取值范圍是.故選C.二、多選題9.ACD〖解析〗因為，所以，又因為，所以分和兩種情況進行討論，當時，也即方程無解，所以；當時，方程有一解，即，因為，所以或-5，所以或，綜上可知：實數(shù)的值可以為0或或故選ACD.10.BC〖解析〗關(guān)于的不等式的解集為，函數(shù)開口向下，與軸交點橫坐標為選項，，故錯誤；B選項，依題可得時，函數(shù)值小于0，即，故B正確；C選項，因為開口向下與軸交點橫坐標為2，3，所以，即，且，，當且僅當時，即時取等號，故C正確；D選項，不等式可化為，即，解集為或，故D錯誤.故選：BC.11.BC〖解析〗在上單調(diào)遞增，又有唯一零點為3，令的零點為，依題意知，即，即函數(shù)在上有零點，令，則在上有解，即在上有解，令，當單調(diào)遞增，當單調(diào)遞減，在處取得極大值，也是最大值為，又實數(shù)的取值范圍是，結(jié)合選項可知BC正確.故選：BC.12.BCD〖解析〗函數(shù)，對于，若是單調(diào)函數(shù)，則，解得，故A錯誤；對于B，令，則，令，解得，下證關(guān)于中心對稱，，所以圖象一定是中心對稱圖形，故B正確；對于C，若，則，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減；當時，，函數(shù)單調(diào)遞增；所以在時取極大值，在時取極小值，若恰有一個零點，則或，即或，解得或，故C正確；對于D，若有三個零點，不妨設(shè)，恰為某三角形的三邊長時，且，則，所以，又，所以，所以，即，易知函數(shù)在單調(diào)遞增，所以，即，即正確.故選BCD.三、填空題13.〖解析〗由題意，由，解得，即命題為真時，由，解得，即命題為真時，因為是的充分不必要條件，所以，所以，（取等號不同時成立），解得故實數(shù)的取值范圍是.故〖答案〗為：.14.〖解析〗在時取得極值，，解得或，當時，，在上為增函數(shù)，無極值，故〖答案〗為.15.2550〖解析〗因為在數(shù)列中，，且，當為奇數(shù)時，，即，當為偶數(shù)時，，所以數(shù)列的偶數(shù)項是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以數(shù)列為：，所以.故〖答案〗為2550.16.〖解析〗由題意得恰有2個不同的整數(shù)解，令，令，在上恒成立，所以單調(diào)遞減，由，所以存在，使得，所以當時，單調(diào)遞增，當時，單調(diào)遞