6.2平面向量的運算6.2.3

向量的數(shù)乘運算1.向量的數(shù)乘運算定義：一般地，我們規(guī)定實數(shù)λ與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數(shù)乘，記作λa.規(guī)定：(1)|λa|=|λ||a|.(2)當λ>0時，λa的方向與a的方向相同；當λ<0時，λa的方向與a的方向相反；當λ=0時，λa=0.【思考】向量數(shù)乘運算的結果是什么？提示：數(shù)乘向量的結果仍是一個向量，它既有大小又有方向.2.向量數(shù)乘的運算律設λ，μ為實數(shù)，則(1)λ(μa)=λμa；(2)(λ+μ)a=λa+μa；(3)λ(a+b)=λa+λb.特別地，我們有(-λ)a=-(λa)=λ(-a)，λ(a-b)=λa-λb.【思考】這里的條件“λ，μ為實數(shù)”能省略嗎？為什么？提示：不能，數(shù)乘向量中的λ，μ都是實數(shù)，只有λ，μ都是實數(shù)時，運算律才成立.3.向量的線性運算向量的加、減、數(shù)乘運算統(tǒng)稱為向量的線性運算.4.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是：存在唯一一個實數(shù)λ，使b=λa.【思考】(1)共線向量定理中的“a≠0”是否多余，能去掉嗎？提示：不能，定理中之所以限定a≠0是由于若a=b=0，λ存在，但不唯一，若a=0，b≠0，則λ不存在.(2)反之，“若存在一個實數(shù)λ，使b=λa(a≠0)，則a與b共線”成立嗎？提示：成立.【素養(yǎng)小測】1.思維辨析(對的打“√”，錯的打“×”)(1)-3a的方向與6a的方向相反，且-3a的模是6a的模的

(a≠0). (

)(2)a與-λa的方向相反. (

)(3)若a，b共線，則存在唯一的實數(shù)λ，使a=λb.(

)提示：(1)√.因為-3<0，所以-3a與a方向相反且|-3a|=3|a|.所以6a與a方向相同且|6a|=6|a|，所以-3a與6a方向相反且模是6a的模的.(2)×.當λ<0時，a與-λa的方向相同.(3)×.若b=0時不成立.2.下列計算正確的個數(shù)是 (

)①(-3)·2a=-6a；②2(a+b)-(2b-a)=3a；③(a+2b)-(2b+a)=0.

A.0 B.1 C.2 D.3【解析】選C.因為(-3)·2a=-6a，故①正確；②中，左=2a+2b-2b+a=3a成立，故②正確；③中，左=a+2b-2b-a=0≠0，故③錯誤.類型一向量的線性運算【典例】1.(2019·臨沂高一檢測)化簡

[(2a+8b)-(4a-2b)]的結果是 (

)

A.2a-b B.2b-aC.b-a D.a-b2.已知向量a，b，x，且(x-a)-(b-x)=x-(a+b)，則x=________.

【思維·引】1.類比實數(shù)運算中合并同類項的方法化簡.2.利用解方程的方法求解.【解析】1.選B.原式=(a+4b-4a+2b)=(6b-3a)=2b-a.2.因為(x-a)-(b-x)=2x-(a+b)，所以2x-a-b=x-a-b，即x=0.答案：0【內(nèi)化·悟】1.向量的線性運算的主要方法是什么？提示：去括號，合并“同類項”.2.解含有向量的方程時，可以把向量當成普通未知量求解嗎？提示：可以.【類題·通】向量線性運算的方法(1)向量的線性運算類似于代數(shù)多項式的運算，主要是“合并同類項”“提取公因式”，但這里的“同類項”“公因式”指向量，實數(shù)是向量的系數(shù).(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數(shù)，利用解代數(shù)方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用運算律，簡化運算.【習練·破】已知a=4d，b=5d，c=-3d，則2a-3b+c等于 (

)A.10d B.-10d

C.20d D.-20d【解析】選B.2a-3b+c=8d-15d-3d=-10d.【加練·固】已知向量a，b，且5x+2y=a，3x-y=b，求x，y.【解析】將3x-y=b兩邊同乘2，得6x-2y=2b.與5x+2y=a相加，得11x=a+2b，即x=

a+

b.所以y=3x-b=3=a-b.類型二用已知向量表示相關向量【典例】1.(2019·長沙高一檢測)設D，E分別是△ABC的邊AB，BC上的點，AD=AB，BE=BC.若=λ1+λ2(λ1，λ2為實數(shù))，則λ1+λ2的值為_______.

2.如圖所示，已知?ABCD的邊BC，CD上的中點分別為K，L，且=e1，=e2，試用e1，e2表示【思維·引】1.先用向量表示向量，然后計算“系數(shù)”和.2.先把視為未知量，再利用已知條件找等量關系，列方程(組)，通過解方程(組)求出【解析】1.由已知

所以λ1=-，λ2=，從而λ1+λ2=.答案：

2.設=x，=y，則=e1=x-y，=e2=x-y，由解得即==【內(nèi)化·悟】分析切入問題時，對條件應怎樣理解？提示：看作是用向量、表示向量的結果.【類題·通】(1)由已知量表示未知量時，要善于利用三角形法則、平行四邊形法則以及向量線性運算的運算律.(2)當直接表示較困難時，應考慮設出未知向量，表示出已知向量，建立方程組，利用方程(組)求解.【習練·破】如圖，ABCD是一個梯形，AB∥CD，且AB=2CD，M，N分別是DC和AB的中點，已知=a，=b，試用a，b表示【解析】(方法一)連接CN，則AN

DC，所以四邊形ANCD是平行四邊形.=-b，又因為=0，所以=b-a，所以=-b+a=a-b.(方法二)因為=0，即：a++(-a)+(-b)=0，所以=b-a，又因為在四邊形ADMN中，有=0，即：b+

a+

+(-

a)=0，所以

=

a-b.【加練·固】如圖所示，四邊形OADB是平行四邊形，=a，=b，又試用a、b表示【解析】因為=a-b，所以(a-b)，所以=b+(a-b)=b+a-b=a+

b.又由=+=a+b，得=a+b.所以=(a+b)-(a+b)

=a-b.類型三向量共線定理及應用角度1求參數(shù)問題【典例】(2019·天水高一檢測)設e1，e2是兩個不共線的向量，若向量a=2e1-e2，與向量b=e1+λe2(λ∈R)共線，則當且僅當λ的值為 世紀金榜導學號(

)

A.0 B.-1 C.-2 D.-【思維·引】利用向量共線定理解答.【解析】選D.因為向量a與b共線，所以存在唯一實數(shù)u，使b=ua成立.即e1+λe2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以

解得λ=-.【素養(yǎng)·探】本題主要考查向量共線條件的應用，突出考查了數(shù)學運算的核心素養(yǎng).本例若把條件“向量b=e1+λe2(λ∈R)”改為“向量b=2me1+ne2(m，n∈R)”其他條件不變，試求m+n的值.【解析】因為向量a與b共線，所以存在唯一實數(shù)u，使b=ua成立.即2me1+ne2=u(2e1-e2)=2ue1-ue2.所以所以m+n=0.角度2三點共線問題【典例】設a，b是不共線的兩個非零向量，若=2a-b，=3a+b，=a-3b，求證：A，B，C三點共線.世紀金榜導學號【思維·引】利用向量共線定理解答.【證明】由題意，得=(3a+b)-(2a-b)=a+2b，=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2，所以與共線，且有公共端點B，所以A，B，C三點共線.【類題·通】關于向量共線定理的應用(1)向量共線定理：b與a(a≠0)共線與b=λa是一個等價定理，因此用它既可以證明點共線或線共線問題，也可以根據(jù)共線求參數(shù)的值.(2)證明三點共線，往往要轉化為證明過同一點的兩個有向線段表示的向量共線，必須說明構造的兩個向量有公共點，否則兩向量所在的直線可能平行，解題時常常會因忽視對公共點的說明而丟分.【發(fā)散·拓】關于A，B，C三點共線條件的變形式平面上三點A，B，C共線的充要條件是：存在實數(shù)α，β，使得=α+β，其中α+β=1，O為平面內(nèi)任意一點.【延伸·練】已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若求x+y的值.【解析】設λ則則所以x+y=1+λ-λ=1.【習練·破】已知非零向量e1，e2不共線.(1)如果=e1+e2，=2e1+8e2，=3(e1-e2)，求證：A，B，D三點共線.(2)欲使ke1+e2和e1+ke2共線，試確定實數(shù)k的值.【解析】(1)因為=e1+e2，=2e1+8e2+3e1-3e2=5(e1+e2)=5所以，共線，且有公共點B，所以A，B，D三點共線.(2)因為ke1+e2與e1+ke2共線，所以存在λ，使ke1+e2=λ(e1+ke2)，即(k-λ)e1=(λk-1)e2，由于e1與e2不共線，只能有所以k=±1.長風破浪會有時，直掛云帆濟滄海。努力，終會有所收獲，功夫不負有心人。以銅為鏡，可以正衣冠；以古為鏡，可以知興替；以人為鏡，可以明得失。前進的路上，要不斷反思、關照自己的不足，學習更多東西，更進一步。窮則獨善其身，達則兼濟天下?，F(xiàn)代社會，有很多人，鉆進錢眼，不惜違法亂紀；做人，窮，也要窮的有骨氣！古之立大事者，不惟有超世之才，亦必有堅忍不拔之志。想干成大事，除了勤于修煉才華和能力，更重要的是要能堅持下來。士不可以不弘毅，任重而道遠。仁以為己任，不亦重乎?死而后已，不亦遠乎?心中有理想，腳下的路再遠，也不會迷失方向。太上有立德，其次有立功，其次有立言，雖久不廢，此謂不朽。任何事業(yè)，學業(yè)的基礎，都要以自身品德的修煉為根基。飯疏食，飲水，曲肱而枕之，樂亦在其中矣。不義而富且貴，于我如浮云。財富如浮云，生不帶來，死不帶去，真正留下的，是我們對這個世界的貢獻。英雄者，胸懷大志，腹有良策，有包藏宇宙之機，吞吐天地之志者也英雄氣概，威壓八萬里，體恤弱小，善德加身。老當益壯，寧移白首之心；窮且益堅，不墜青云之志老去的只是身體，心靈可以永遠保持豐盛。樂民之樂者，民亦樂其樂；憂民之憂者，民亦憂其憂。做領導，要能體恤下屬，一味打壓，盡失民心。勿以惡小而為之，勿以善小而不為。越是微小的事情，越見品質(zhì)。學而不知道，與不學同；知而不能行，與不知同。知行合一，方可成就事業(yè)。以家為家，以鄉(xiāng)為鄉(xiāng)，以國為國，以天下為天下。若是天下人都能互相體諒，紛擾世事可以停歇。志不強者智不達，言不信者行不果。立志越高，所需要的能力越強，相應的，逼迫自己所學的，也就越多。臣心一片磁針石，不指南方不肯休。忠心，也是很多現(xiàn)代人缺乏的精神。吾日三省乎吾身。為人謀而不忠乎?與朋友交而不信乎?傳不習乎?若人人皆每日反省自身，世間又會多出多少君子。人人好公，則天下太平；人人營私，則天下大亂。給世界和身邊人，多一點寬容，多一份擔當。為天地立心，為生民立命，為往圣繼絕學，為萬世開太平。立千古大志，乃是圣人也。丹青不知老將至，貧賤于我如浮云。淡看世間事，心情如浮云天行健，君子以自強不息。地勢坤，君子以厚德載物。君子，生在世間，當靠自己拼搏奮斗。博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之。進學之道，一步步逼近真相，逼近更高。百學須先立志。天下大事，不立志，難成！海納百川，有容乃大；壁立千仞，無欲則剛做人，心胸要寬廣。其身正，不令而行；其身不正，雖令不從。身心端正，方可知行合一。子曰:“知者不惑，仁者不憂，勇者不懼。”真正努力精進者，不會把時間耗費在負性情緒上。好學近乎知，力行近乎仁，知恥近乎勇。力行善事，有羞恥之心，方可成君子。操千曲爾后曉聲，觀千劍爾后識器做學問和學技術，都需要無數(shù)次的練習。第一個青春是上帝給的；第二個的青春是靠自己努力當眼淚流盡的時候，留下的應該是堅強。人總是珍惜未得到的，而遺忘了所擁有的。誰傷害過你，誰擊潰過你，都不重要。重要的是誰讓你重現(xiàn)笑容。幸運并非沒有恐懼和煩惱；厄運并非沒有安慰與希望。你不要一直不滿人家，你應該一直檢討自己才對。不滿人家，是苦了你自己。最深的孤獨不是長久的一個人，而是心里沒有了任何期望。要銘記在心；每一天都是一年中最完美的日子。只因幸福只是一個過往，沉溺在幸福中的人；一直不知道幸福卻很短暫。一個人的價值，應該看他貢獻什么，而不應當看他取得什么。做個明媚的女子。不傾國，不傾城，只傾其所有過的生活。生活就是生下來，活下去。人生最美的是過程，最難的是相知，最苦的是等待，最幸福的是真愛，最后悔的是錯過。兩個人在一起能過就好好過！不能過就麻利點分開。當一個人真正覺悟的一刻，他放下追尋外在世界的財富，而開始追尋他內(nèi)心世界的真正財富。人若軟弱就是自己最大的敵人。日出東海落西山，愁也一天，喜也一天。遇事不轉牛角尖，人也舒坦，心也舒坦。烏云總會被驅(qū)散的，即使它籠罩了整個地球。心態(tài)便是黑暗中的那一盞明燈，可以照亮整個世界。生活不是單行線，一條路走不通，你可以轉彎。給我一場車禍。要么失憶。要么死。有些人說：我愛你、又不是說我只愛你一個。生命太過短暫，今天放棄了明天不一定能得到。刪掉了關于你的一切，唯獨刪不掉關于你的回憶。任何事都是有可能的。所以別放棄，相信自己，你可以做到的。、相信自己，堅信自己的目標，去承受常人承受不了的磨難與挫折，不斷去努力、去奮斗，成功最終就會是你的！既然愛，為什么不說出口，有些東西失去了，就在也回不來了！對于人來說，問心無愧是最舒服的枕頭。嫉妒他人，表明他人的成功，被人嫉妒，表明自己成功。在人之上，要把人當人；在人之下，要把自己當人。人不怕卑微，就怕失去希望，期待明天，期待陽光，人就會從卑微中站起來，帶著封存夢想去擁抱藍天。成功需要成本，時間也是一