小題壓軸題專練1—函數(shù)的零點（1）一．單選題1．已知函數(shù)滿足，且，時，，若，時，方程有三個不同的根，則的取值范圍為A． B． C． D．解：因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，當(dāng)，時，，則當(dāng)，時，的圖象如圖所示，直線為過定點的一條直線，當(dāng)直線與當(dāng)，時的函數(shù)的圖象相切時，直線與在，的圖象有兩個公共點，當(dāng)，時，函數(shù)，，設(shè)切點為，，切線的斜率，則切線方程為，把點代入得，所以；當(dāng)直線過點，時，，所以的取值范圍為，故選：．2．已知函數(shù)f（x）＝若關(guān)于x的方程f（x）﹣ax＝0有兩個根，則a的取值范圍是（）A．（0，]∪[﹣，﹣2） B．（0，）∪[﹣，﹣2] C．（﹣∞，﹣）∪[，+∞）∪{0，﹣2} D．（﹣∞，﹣）∪（，+∞）解：設(shè)函數(shù)y＝f（x）和y＝ax，作出函數(shù)f（x）的圖象如圖：要使方程f（x）﹣ax＝0有兩個根，即函數(shù)y＝f（x）和y＝ax有兩個不同的交點，∵f（﹣2）＝5，f（5）＝|5+﹣4|＝，當(dāng)y＝ax經(jīng)過點（5，）時，a＝；當(dāng)過點（﹣2，5）時，此時a＝﹣，當(dāng)直線y＝ax與y＝x2+1相切時，聯(lián)立，得x2﹣ax+1＝0，由△＝a2﹣4＝0，解得a＝±2，結(jié)合圖象可得a＝﹣2，綜上所述，a的取值范圍為[﹣，﹣2）∪（0，]，故選：A．3．已知、分別是函數(shù)、的零點，則的值為A． B． C．2 D．4解：根據(jù)題意，已知、分別是函數(shù)、的零點，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標(biāo)，則兩個函數(shù)圖象的交點為，函數(shù)的零點為函數(shù)與的交點的橫坐標(biāo)，則兩個函數(shù)圖象的交點為，，又由函數(shù)與函數(shù)互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線對稱，而直線也關(guān)于直線對稱，則點和，也關(guān)于直線對稱，則有，則有，故選：．4．已知a∈R，函數(shù)，則方程的實根個數(shù)最多有（）A．6個 B．7個 C．8個 D．9個解：因為函數(shù)，即．作函數(shù)y＝f（x）的圖象如下：當(dāng)f（x）＝1時，解得x＝1或3或或﹣4，即當(dāng)a＝1時，或3或或﹣4．又因為或，所以，當(dāng)時，只有一個x＝﹣2與之對應(yīng)，其它情況都有2個x值與之對應(yīng)，故此時所求的方程有7個根．當(dāng)1＜a＜2時，y＝f（x）與y＝a有4個交點，故有8個根；當(dāng)a＝2時，y＝f（x）與y＝a有3個交點，故有6個根；綜上所述，方程的實根個數(shù)最多有8個．故選：C．5．設(shè)函數(shù)，若方程恰有2個實數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．解：由題意當(dāng)時，，令，可得或．函數(shù)，當(dāng)時，根據(jù)與恒有兩個交點．當(dāng)時，函數(shù)恒過點，若，，則與恒有一交點，則在與必一交點；設(shè)函數(shù)與的切點為，根據(jù)曲線的切線的性質(zhì)，則，解得，若，即，，由與有一交點，由在與無交點；則，此時與恒有2交點，則方程恒有兩個解，即△，此時；綜上可得，故選：．6．已知函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間，上恰有三個不同的零點，，，則A． B． C．1 D．2解：，要使在區(qū)間，上恰有三個不同的零點，則需函數(shù)的圖象與直線有三個不同的交點，作出函數(shù)的大致圖象如下圖所示，不妨設(shè)，由圖象可知，，則，，，．故選：．7．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有四個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍是A． B．， C．， D．解：設(shè)，該直線恒過點，結(jié)合函數(shù)圖象，可知若方程有四個不同的實數(shù)根，則，又直線與曲線在時有兩個不同的公共點，在時有兩個不同的實數(shù)根，令，則，解得．故選：．8．已知定義在上的函數(shù)，對任意都滿足，且當(dāng)時，則函數(shù)的零點個數(shù)為A．12 B．14 C．15 D．16解：由，得周期為2，又當(dāng)時，為偶函數(shù)，易知在上為偶函數(shù)，此時為偶函數(shù)，故只需考慮的情況，分別畫出時和的圖象，如下圖所示，最大值為2，令，，，由圖象可知，一共有7個交點，所以一共有14個交點，即函數(shù)的零點個數(shù)為14．故選：．二．多選題9．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，且，當(dāng)，時，，若函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點，則實數(shù)的值可以是A．7 B．8 C．9 D．10解：因為是定義在上的偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于軸對稱，又，所以的圖象關(guān)于對稱，因為，故函數(shù)的是周期為4的周期函數(shù)，因為函數(shù)且在區(qū)間內(nèi)恰有4個零點，所以函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有4個交點，作出函數(shù)圖象如圖所示，因為（2）（6），所以則要使函數(shù)與的圖象在區(qū)間內(nèi)恰有4個交點，則有，解得，故的值可以是9，10．故選：．10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且當(dāng)時，，，那么函數(shù)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)可能是A．2 B．4 C．6 D．8解：當(dāng)時，，當(dāng)時，令，解得或2共有兩個解；當(dāng)時，令，即，當(dāng)時，方程無解，當(dāng)時，方程有解，符合題意，當(dāng)時，方程無解，，符合題意，所以當(dāng)時，有2個或3個根，而函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)在定義域內(nèi)的零點個數(shù)可能是4或6，故選：．11．已知，則下列有關(guān)函數(shù)在，上零點的說法正確的是A．函數(shù)有5個零點 B．函數(shù)有6個零點 C．函數(shù)所有零點之和大于2 D．函數(shù)正數(shù)零點之和小于4解：作出函數(shù)的圖象如圖所示，令，則，當(dāng)時，函數(shù)可變?yōu)?，令，即，即，則，解得，所以，由圖可知，方程有2個不同的實根，，且；當(dāng)時，函數(shù)可變?yōu)?，令，即，又因為，所以方程有且僅有1個實根，則，又，由圖可知，方程有4個不同的實根，由圖可知，，又，所以，，則，所以，整理可得，所以函數(shù)有6個零點，故選項錯誤，選項正確；，故選項正確，因為，故選項錯誤．故選：．12．已知函數(shù)，，若關(guān)于的方程的解，則實數(shù)的可能取值為A． B． C．0 D．1解：易證，恒成立，所以錯誤；令，若，則，則時，，此時恒成立，顯然錯誤，對于、，（1），，，當(dāng)時，在上恒為正，故在上單調(diào)遞增，又因為，（1），在上存在唯一零點，，；，，，在上單調(diào)遞減，在，上單調(diào)遞增，（1），而，故在上存在唯一零點，故、正確；故選：．三．填空題13．已知f（x）＝，g（x）＝a（lnx+1）﹣x，若方程f（x）＝g（x）有四個不等實根，則a的取值范圍為．解：由f（x）＝，g（x）＝a（lnx+1）﹣x，且f（x）＝g（x），得＝a（lnx+1）﹣x，兩邊除以x，得，即．令t＝，則，①令h（x）＝，h′（x）＝，得x＝1．當(dāng)x∈（0，1）時，h′（x）＞0，h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x∈（1，+∞）時，h′（x）＜0，h（x）單調(diào)遞減．∴當(dāng)x＝1時，h（x）有極大值也是最大值為h（1）＝1．由h（x）的圖象可知，若方程f（x）＝g（x）有四個不等實根，則只需①在（0，1）上有兩個不等實數(shù)根，令φ（t）＝，則，解得a∈（）．故答案為：（）．14．若函數(shù)存在個零點，則所有這些零點的和等于．解：函數(shù)的定義域為，且滿足，可得函數(shù)為奇函數(shù)，奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點中心對稱，若函數(shù)有零點，則必有偶數(shù)個零點，而是把函數(shù)向右平移1個單位得到的，又存在個零點，則為偶數(shù)，且以這個零點為橫坐標(biāo)的點兩兩關(guān)于點對稱．所有這些零點的和等于．故答案為：．15．已知函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，則實數(shù)的取值范圍是．解：函數(shù)在區(qū)間上至少有一個零點，可得在有解，設(shè)，導(dǎo)數(shù)，當(dāng)時，，遞減；當(dāng)時，，遞增，可得（1）取得極小值，且為最小值2，作出的圖象，可得，即．實數(shù)的取值范圍是，．故答案為：，