第三節(jié)二項(xiàng)式定理第十一章內(nèi)容索引0102強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略增素能精準(zhǔn)突破課標(biāo)解讀1.能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理.2.會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開(kāi)式有關(guān)的簡(jiǎn)單問(wèn)題.強(qiáng)基礎(chǔ)增分策略知識(shí)梳理1.二項(xiàng)式定理(1)二項(xiàng)式定理:(a+b)n=

,n∈N*.

(2)通項(xiàng):

,它表示展開(kāi)式的第k+1項(xiàng).

(3)二項(xiàng)式系數(shù):二項(xiàng)展開(kāi)式中各項(xiàng)的系數(shù)(k=0,1,2,…,n)叫做二項(xiàng)式系數(shù).字母a,b是一種“符號(hào)”,實(shí)際上可以是數(shù)和式

只與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而與a,b的值無(wú)關(guān)

微點(diǎn)撥二項(xiàng)式系數(shù)

(k=0,1,2,…,n)是組合數(shù),它與二項(xiàng)展開(kāi)式中對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)不一定相等,應(yīng)注意區(qū)分二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)這兩個(gè)不同的概念.項(xiàng)的系數(shù)是指該項(xiàng)中除變量外的常數(shù)部分,它不僅與各項(xiàng)的項(xiàng)數(shù)有關(guān),而且也與a,b的值有關(guān).如(a+bx)n的展開(kāi)式中,第k+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是

,而該項(xiàng)的系數(shù)是

an-kbk.當(dāng)然,在某些二項(xiàng)展開(kāi)式中,各項(xiàng)的系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)是相等的.微思考(a+b)n與(b+a)n的展開(kāi)式有何區(qū)別與聯(lián)系?提示

(a+b)n的展開(kāi)式與(b+a)n的展開(kāi)式的項(xiàng)完全相同,但對(duì)應(yīng)的項(xiàng)不相同,兩個(gè)展開(kāi)式的通項(xiàng)不同.2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

微點(diǎn)撥利用賦值法求二項(xiàng)式系數(shù)的和.微思考二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí)該項(xiàng)的系數(shù)就最大嗎?提示

不一定最大.當(dāng)二項(xiàng)式中a,b的系數(shù)為1時(shí),二項(xiàng)式系數(shù)等于項(xiàng)的系數(shù),則二項(xiàng)式系數(shù)最大時(shí),該項(xiàng)的系數(shù)就最大,否則不一定.常用結(jié)論

對(duì)點(diǎn)演練1.判斷下列結(jié)論是否正確,正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”.(1)(a+b)n的展開(kāi)式中的第k項(xiàng)是

an-kbk.(

)(2)在二項(xiàng)展開(kāi)式中,系數(shù)最大的項(xiàng)為中間的一項(xiàng)或中間的兩項(xiàng).(

)(3)通項(xiàng)Tk+1=an-kbk中的a和b不能互換.(

)(4)在(a+b)n的展開(kāi)式中,某項(xiàng)的系數(shù)與該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相同.(

)√×××2.在(1+2x)5的展開(kāi)式中,x2的系數(shù)等于(

)A.80 B.40 C.20 D.10答案

B

3.若

的展開(kāi)式中第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是15,則展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)之和為

.

增素能精準(zhǔn)突破考點(diǎn)一二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)及其應(yīng)用(多考向探究)考向1.二項(xiàng)展開(kāi)式中的特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破(3)二項(xiàng)式

的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為15,則實(shí)數(shù)a=

.

例1.(1)(2023天津,11)在(2x3-)6的展開(kāi)式中含x2的項(xiàng)的系數(shù)為

.

(2)設(shè)i為虛數(shù)單位,則(x+i)6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)為

.

答案

(1)60

(2)-15x4

(3)3

方法歸納求二項(xiàng)展開(kāi)式中特定項(xiàng)的步驟

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1(1)的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為(

)A.-15 B.-20 C.15

D.20(2)(2023山東泰安一模)若

的展開(kāi)式中含x6的項(xiàng)的系數(shù)是-16,則實(shí)數(shù)a的值是(

)A.-2 B.-1C.1 D.2答案

(1)B

(2)D

考向2.已知兩個(gè)因式之積求其特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破答案

(1)D

(2)28

方法總結(jié)求兩個(gè)因式之積的特定項(xiàng)(或系數(shù))的兩種常用方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2(1)(2023遼寧沈陽(yáng)三模)的展開(kāi)式中,含x-2的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.430 B.435C.245 D.240(2)(2-x)(2x+1)6的展開(kāi)式中含x4的項(xiàng)的系數(shù)為

.

答案

(1)B

(2)320

考向3.已知三項(xiàng)式求其特定項(xiàng)(或系數(shù))典例突破例3.(1)(x2+3x-1)5展開(kāi)式中含x的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.-3 B.3 C.-15 D.15方法總結(jié)求三項(xiàng)展開(kāi)式中某些特定項(xiàng)(或系數(shù))的三種方法

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3在(x2-2x+y)6的展開(kāi)式中,含x5y2的項(xiàng)的系數(shù)為(

)A.-480 B.480

C.-240 D.240答案A

解析

(x2-2x+y)6看成是6個(gè)(x2-2x+y)相乘,要得到x5y2,需要“從6個(gè)因式中,2個(gè)因式取y,1個(gè)因式取x2,3個(gè)因式取-2x”,此時(shí)含x5y2的的項(xiàng)系數(shù)為考點(diǎn)二二項(xiàng)式系數(shù)與各項(xiàng)的系數(shù)和問(wèn)題典例突破

例4.(1)(多選)在

的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)和與二項(xiàng)式系數(shù)和之和為128,則(

)A.二項(xiàng)式系數(shù)和為64 B.各項(xiàng)系數(shù)和為64C.常數(shù)項(xiàng)為-135 D.常數(shù)項(xiàng)為135(2)若(1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=(

)A.28-1 B.28C.38-1 D.38答案

(1)ABD

(2)D

(2)由題可知,x的奇數(shù)次冪的系數(shù)均為負(fù)數(shù),所以|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=a0-a1+a2-a3+…+a8.因?yàn)?1-2x)8=a0+a1x+a2x2+…+a8x8,令x=-1得a0-a1+a2-a3+…+a8=38,則|a0|+|a1|+|a2|+|a3|+…+|a8|=38.故選D.名師點(diǎn)析形如(ax+b)n,(ax2+bx+c)m(a,b,c∈R)的式子,求其展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)之和,常用賦值法.(2)已知二項(xiàng)式

的展開(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,則展開(kāi)式中的有理項(xiàng)系數(shù)和為

.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練4(1)(2023北京大興?？既?若(1-x)5=a0+a1x+a2x2+…+a5x5,則|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=

.

答案

(1)32

(2)65

所以|a0|+|a1|+|a2|+…+|a5|=a0-a1+a2-a3+a4-a5.令x=-1,可得25=a0-a1+a2-a3+a4-a5=32.(2)因?yàn)檎归_(kāi)式的二項(xiàng)式系數(shù)和為64,所以2n=64,考點(diǎn)三二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)典例突破(2)的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)的和為-1,則該展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

.

例5.(1)(多選)(2023山東青島一模)在

的展開(kāi)式中,下列說(shuō)法正確的是(

)A.常數(shù)項(xiàng)是1120B.第四項(xiàng)和第六項(xiàng)的系數(shù)相等C.各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為256D.各項(xiàng)的系數(shù)之和為256答案

(1)AC

(2)80x-3

方法總結(jié)1.二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)的確定方法

2.二項(xiàng)展開(kāi)式系數(shù)最大項(xiàng)的求法

(2)已知(+3x2)n的展開(kāi)式中,各項(xiàng)系數(shù)和比它的二項(xiàng)式系數(shù)和大992,則展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)為

.

對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練5(1)(多選)已知

的展開(kāi)式共有13項(xiàng),則下列說(shuō)法中正確的有(

)A.所有奇