2024屆高三年級寒假數(shù)學(xué)科模擬訓(xùn)練3

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求.

1.設(shè)集合0={-2，-1，°，1，2},A={-1,2},B={-l,0,l}；則@皿=:)

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,2}D.{2}

復(fù)數(shù)普”

2.)A.iB.-iC.-V2iD.V2z

3.陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣新石器時代遺址中發(fā)現(xiàn)的.

如圖所示是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖，已知底面圓的直徑A5=8cm,圓柱體部分的高

BC=5cm,圓錐體部分的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積（單位：cm?）是

（）

A.60"B.76"C.92%D.96兀

4.設(shè)xeR,則“2*<3”是"/+x—2>0”（）

4

A,充分而不必要條件B,必要而不充分條件C,充要條件D.既不充分也不必要條件

5.已知等比數(shù)列｛〃/的前〃項和為S〃，公比為2,且％,%+3,%成等差數(shù)列，則S5=（）

A.62B.93C.96D.64

已知]￡（0,兀），若sin]]一看=是,則sin[2a+^J=(

6.)

1211

A.B.一C.一D.±-

-3333

7.隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明

選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、

0.3、05并且小明步行上班不遲到的概率為0.91,騎共享單車上班不遲到的概率為0.92,乘

坐地鐵上班不遲到的概率為0.93,則某天上班小明遲到的概率是（）A.0.24

B.0.14C.0.067D.0.077

8,若函數(shù)/（x）=2sin[0x—,xe的值域為[一百,2],則0的取值范

圍是（）

51055510

A.4B.c.D.

?6'36313"

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.下列說法正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

B.若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,4）,且。（X<4）=0.7,則尸（3<X<4）=02

c.若線性相關(guān)系數(shù)N越接近1,則兩個變量的線性相關(guān)性越強

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系得變量乂y，其線性回歸方程為，=0.3尤-加，若樣本點的中心為

（機2.8）,則實數(shù)m的值是-4

10.函數(shù)"x）=sin（ox+0）的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論

正確的是（）

A.函數(shù)“X）最小正周期為丁=兀B.（p=y

6

D.方程〃x）=g在區(qū)間［0,2可內(nèi)有

C.”X）在區(qū)間上單調(diào)遞減

3個根

11.已知等差數(shù)列｛q,｝的首項為4,公差為d,前幾項和為s“，若S10<Ss<S9,則下

列說法正確的是（）

A.%〉0〉dB.使得>0成立的最大自然數(shù)

71=18

sSio

c.%+⑷<%+涮D.U中最小項為

Qi。

12.如圖，正方體4與G2的棱長為2,點E是441的中點，點尸是側(cè)面ABqA

內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（）

A.當(dāng)下在45上時，三棱錐尸-c。石的體積為定值

AB

B.CE與正所成角正弦的最小值為：2

C.過2作垂直于CE的平面a截正方體ABC。-A4G，所得截面圖形的周長為6虛

D.當(dāng)時，△BCE面積的最小值為羋

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

I"1I"

13.已知向量a=（x,2）,匕=（3,4）,若（a+b）_Lb,貝！!1=.

（

14,二項式2x-1^y展開式的常數(shù)項為.

15.近年來，隨著我國城鎮(zhèn)居民收入的不斷增加和人民群眾消費觀念的改變，假期出游成為

時尚.某校高三年級7名同學(xué)計劃高考后前往黃山、九華山、廬山三個景點旅游.已知7名同學(xué)

中有4名男生，3名女生.其中2名女生關(guān)系要好，必須去同一景點，每個景點至少有兩名同

學(xué)前往，每位同學(xué)僅選一處景點游玩，則7名同學(xué)游玩行程安排的方法數(shù)為.

16.已知數(shù)列｛q｝滿足爭去+L+梟=〃小Z），Z??=2（a?-l）-?2+4?,若數(shù)列

也,｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則；I取值范圍為.

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18?22題12分.解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在中，AB,C所對的邊分別為。，仇c,且b+2acos8=2c,

（1）求2A；（2）若a=5一ABC的面積為"，求的周長.

2

18.已知等差數(shù)列｛4｝的前九項和5,，且。2=5,^3=%.(1)數(shù)列｛4｝的通項公式;

(2)若〃=2%,求數(shù)列｛an+bn｝前〃項和.

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3CD為直角梯形，AD//BC,側(cè)

面底面ABC。，PA=PB=AD=2,BC=4.

(1)若尸3的中點為E,求證：AE//平面PC。；

(2)若AB=2，求平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值.

_r2v21

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系X。》中，橢圓^+"=1（。＞。＞0）的離心率為I,過橢

圓右焦點F作兩條互相垂直的弦AB與CD當(dāng)直線AB的斜率為0時,

|A5|=4.

48

⑴求橢圓的方程；（2）若|A3|十|CD尸萬，求直線A3的方程.

21.在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗這種復(fù)習(xí)方法

的效果，在A,8兩所學(xué)校的高三年級用數(shù)學(xué)科目進行了對比測試.已知A校采用大單元復(fù)

習(xí)教學(xué)法，B校采用傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在經(jīng)歷兩個月的實踐后舉行了考試，現(xiàn)從A,B兩

校高三年級的學(xué)生中各隨機抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計他們的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）在各個分

數(shù)段對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：

[0,90)[90,110)[110,130)[130,150]

A校6145030

B校14263822

（1）若把數(shù)學(xué)成績不低于110分的評定為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，低于110分的評定為數(shù)學(xué)成績不

優(yōu)秀，完成2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值1=0.01的獨立性檢驗，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評定

結(jié)果是否有關(guān);

數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀總計

A校

8校

總計

（2）在A校抽取的100名學(xué)生中按分層抽樣的方法從成績在［0,90）和［90,110）內(nèi)的學(xué)生中

隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3人進行訪談，記抽取的3人中成績在［0,90）內(nèi)的

人數(shù)為X,求X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

n(ad-bc\

附：z2=/、，其中〃=Q+b+c+d

a0.100010.001

%2.7066.63510.828

22.（本小題12分）若/（x）=+bx+2alnx.

（1）當(dāng)。＞0,〃=一。一2時，討論函數(shù)/（尤）的單調(diào)性;

⑵若且/(九)有兩個極值點看,證明：/(^)+

5=-2,x2,/(X2)>-3.

2024屆高三年級寒假數(shù)學(xué)科模擬訓(xùn)練3數(shù)學(xué)答案

本試卷共4頁，共22題，考試時間120分鐘，滿分150分

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項

中，只有一項是符合題目要求.

1設(shè)集合0={-2,-1,0,1,2},A={-1,2}；B={-l,0,l}；則=

A.{-2,-1,1,2}B.{-2,-1,2}C.{-2,2}D.{2}

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)集合的運算，即可得到結(jié)果.

【詳解】={—2,2},(e5)uA={-2-1,2),

故選：B

復(fù)數(shù)z=曾等于(

2.)

A.iB.-iC.-V2iD."

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘除運算可得解.

「圣解】z.l+?_(l+")(3+i)_3i_i

【詳”正丁百百二

故選：A.

3.陀螺起源于我國，最早出土的石制陀螺是在山西夏縣新石器時代遺址中發(fā)現(xiàn)的.如圖所示

是一個陀螺立體結(jié)構(gòu)圖，已知底面圓的直徑A3=8cm,圓柱體部分的高5。=5cm,圓錐

體部分的高CD=3cm,則這個陀螺的表面積(單位：cn?)是()

B

Y......-D

A.60〃B.76〃c.927rD.96不

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)已知求出圓錐的母線長，從而可求出圓錐的側(cè)面積，再求出圓柱的側(cè)面積和底

面面積，進而可求出陀螺的表面積.

【詳解】由題意可得圓錐體的母線長為/=存百=5，

所以圓錐體的側(cè)面積為空4=20兀，

2

圓柱體的側(cè)面積為8兀X5=40兀，圓柱的底面面積為兀x4?=16兀，

所以此陀螺的表面積為4(比+2071+16兀=7毓(cm2),

故選：B

4.設(shè)xeR,則4”是“必+工―2>。”的()

A,充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D,既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和不等式的解法，分別求得不等式的解集，結(jié)合充分條件、必

要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由2工<工，可得2,<2<，解得尤<一2,即集合A={x|x<—2}

4

又由不等式f+%—2>0,可得(x+2)(x—1)>。，解得5={x|x<—2或x〉l},

因為集合AB,所以2>0的充分不必要條件.

4

故選：A.

5.已知等比數(shù)列｛q,｝的前幾項和為s“，公比為2,且%，%+3,。4成等差數(shù)歹!），則$5=（）

A.62B.93C.96D.64

【答案】B

【解析】

【分析】利用給定條件求出。2,進而求出對，再利用等比數(shù)列前幾項和公式計算即得.

【詳解】等比數(shù)列｛4｝的公比為2,由4，。3+3,%成等差數(shù)列，得。2+。4=2（%+3）,

即。2+4%=4。2+6,解得%=6,q=3,所以S5=3：_j)=93.

故選：B

6.已知ae(O,n),若sin[o—t_V3則sin[2tz+；)=(

)

—3'

1,21

A.——B.一c.一D

3334

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式及二倍角余弦公式求解.

【詳解】因為sin

兀C兀71

所以sin12。+2=sin—+2(7—=cosla--=1-2sin?a=1-

23I36rr

故選：C

7.隨著經(jīng)濟的不斷發(fā)展，城市的交通問題越來越嚴(yán)重，為倡導(dǎo)綠色出行，某公司員工小明

選擇了三種出行方式.已知他每天上班選擇步行、騎共享單車和乘坐地鐵的概率分別為0.2、

0.3、05并且小明步行上班不遲到的概率為0.91,騎共享單車上班不遲到的概率為0.92,乘

坐地鐵上班不遲到的概率為0.93,則某天上班小明遲到的概率是（）

A.0.24B.0.14C.0.067D.0.077

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合相互獨立事件的概率乘法公式和條件概率的，以及互斥事件的概率

加法公式，準(zhǔn)確計算，即可求解.

【詳解】記小明步行上班為事件A,騎共享單車上班為事件8,乘坐地鐵上班為事件C,

小明上班遲到為事件〃，

則尸(A)=0.2,P(B)=0.3,P(C)=0.5,

P(4|A)=1-P(H|A)=0.09,P(H|B)=1-P(H\B)=0.08,P(H|C)=1-P(H\C)=0.07

所以P(H)=P(AH)+P(BH)+P(CH)=P(A)?P(H|A)+P網(wǎng)?P(H|B)+P(C)?P(H|C)

=0.2x0.09+0.3x0.08+0.5x0.07=0.077,

所以某天上班他遲到的概率是0.077.

故選：D.

8.若函數(shù)/(x)=2sin1°x—xe的值域為卜百目，則口的取值范

圍是()

「5」「510]

A.-,4B.—

[3」[63」

-55]「510'

C.—D.—,——

163」[33」

【答案】D

【解析】

兀[717t7C7C

【分析】利用0,-可得—--,-0)--,再由三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得

_/」3323

TTTTTTTT

——0——<-+71,解不等式即可求得①的取值范圍.

2233

TT71717171

【詳解】根據(jù)題意可知若%￡0,—,則可得公V———~；

顯然當(dāng)x=0時，可得2sin[°x—,

由了(%)的值域為[―g,2],利用三角函數(shù)圖像性質(zhì)可得—+兀,

解得*即。的取值范圍是"當(dāng).

33133」

故選：D.

二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，

有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0

分.

9.下列說法正確的是（）

A.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

B.若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,O"2）,且。（X<4）=0.7,則尸（3<X<4）=02

C.若線性相關(guān)系數(shù)N越接近1，則兩個變量的線性相關(guān)性越強

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系得變量九,y,其線性回歸方程為9=o.3x-m，若樣本點的中心為

（/%2.8）,則實數(shù)機的值是T

【答案】BCD

【解析】

【分析】利用百分位數(shù)的定義即可判斷選項A,利用正態(tài)分布的性質(zhì)即可判斷選項B,根據(jù)

線性相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)即可判斷選項C,利用線性回歸方程中的基本量即可判斷選項D.

【詳解】因為10義60%=6,所以第60百分位數(shù)為比a=15,A錯誤；

2

若隨機變量X服從正態(tài)分布X（3,/）,且。（X<4）=0.7,

則尸（X>4）=1-尸（X?4）=0.3,

則尸（3<X<4）=0.5—P（X>4）=02,B正確;

若線性相關(guān)系數(shù)N越接近1,

則兩個變量的線性相關(guān)性越強，C正確；

對于D,樣本點的中心為（元,歹）,

所以元=y=2.8,

而對于回歸直線方程y=bx+a,

因為此時線性回歸方程為y=0.3x-m,

所以石=0.3，2.8=0.3m-m,

所以加=—,D正確.

故選：BCD.

10.函數(shù)〃x)=sin(0x+e40>O，M|<g部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）

71

A.函數(shù)“力最小正周期為7=兀B.（p=—

6

C.“X）在區(qū)間-11，-￡上單調(diào)遞減D.方程〃x）=；在區(qū)間［0,2句內(nèi)有

3個根

【答案】AC

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)圖象可求出函數(shù)的最小正周期，進而可求出。，再利用待定系數(shù)法求出夕,

再根據(jù)正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)逐一判斷即可.

I5兀JT）

【詳解】由圖可知函數(shù)/（%）最小正周期7=2=兀，故A正確;

2兀

一=兀，所以69=2,則/（X）=sin（2x+0）,

CD

9jrjrJr

所以---\-(p=—+2kn,所以/=----b2hi.kGZ,

326

又|。|<=，所以°=—g故B錯誤;

26

(

所以/(x)=sin2x-^L

,35兀兀兀/口c兀71兀713兀兀

由XG-----,-----，得2%-------G-兀,----U，-

12662-T2

所以"%）在區(qū)間專，4上單調(diào)遞減，故C正確;

4/(x)=sinf2x-^U1,得2x—工=巴+2也或2x—N=&+2E,

26666

兀71

所以元=一+防1或1=一+為1,4￡2,

62

又工￡[0,2兀],所以元=四或△或3或包，

L」6262

所以方程〃x）=g在區(qū)間[0,2司內(nèi)有4個根，故D錯誤.

故選：AC.

11.已知等差數(shù)列｛4｝首項為為,公差為d,前幾項和為s“，若S10<Ss<S9,則下

列說法正確的是（）

A.ax>G>dB.使得S“>0成立的最大自然數(shù)

ra=18

sSIO

c.\a^+a)|<|GoD.j中最小項為

an]%o

【答案】ACD

【解析】

【分析】結(jié)合題意：利用等差數(shù)列及SIO<A<S9,判斷出q>0>4,并可以分析出

%+%o<0<%，再利用數(shù)列的相關(guān)知識即可判斷.

一的=一%一8d<0

【詳解】根據(jù)題意：《，即《，兩式相加,

510-S9=a10<0Go=q+9d<0

a>0

解得：<八0,故A正確.

由Sio<S8，可得到。9+〃10<0<。9，所以。8+41<0,

+4]一(@+%)=4dV0,Q]0+%]+必+的<°，

所以|《+⑷<|%o+qj,故C正確；

由以上可得：％%>生>…>為>0>〃10>

17（。[+的）.18（a+a8）/、

S*=---------------=17。9>0，而S18=----------------=9（i9+%o）<O，

當(dāng)〃V17時，Sn>0；當(dāng)〃N18時，S〃<0；要使得S〃>0成立的最大自然數(shù)〃=17,

故B錯誤.

Ss

當(dāng)〃<9,或〃N18時，一^>。；當(dāng)9v〃vl8時，~^<。；

%an

io>41

由0>々>...>ai7,S10>>512>...>517>0,

s1s

所以4j中最小項為310,故D正確.

、anJ%。

故選：ACD.

12.如圖，正方體ABCD-A4G2的棱長為2,點E是AA,的中點，點F是側(cè)面ABB.A,

內(nèi)一動點，則下列結(jié)論正確的為（）

A.當(dāng)尸在上時，三棱錐R-CQE的體積為定值

2

B.CE與正所成角正弦的最小值為§

C.過。I作垂直于CE的平面C截正方體ABC。-A4GR所得截面圖形的周長為60

D.當(dāng)RFLCE時，△BCE面積的最小值為拽

5

【答案】ABD

【解析】

【分析】證明出ABH平面CD.E,可知VF_CD[E二9一。*=匕一4平,可判斷A選項；利

用線面角角的定義可判斷B選項；分別取線段AB、AD的中點M、N,連接AC、AG、

BR、BD、MN、Dp、B[M,證明出CE_L平面42NM,并計算出四邊形4QNM

的周長，可判斷C選項；分析可知，當(dāng)8尸，即/時，彼的長取最小值，可求出△BCE面

積的最小值，可判斷D選項.

【詳解】對于A選項，連接C。、A.B,如下圖所示:

在正方體ABC?！狝4G。中，〃8c且4A=3C,

故四邊形ABCR為平行四邊形，所以，A.B//CD,,

因為平面CD|E,CD|U平面CRE,所以，〃平面CQE,

當(dāng)戶在48上時，點F到平面CDXE的距離等于點4到平面CRE的距離,

V=5,CD=XX2><1><2=,

所以,F-CDIE^-CD.E1MAE||1A對;

對于B選項，連接BE,

因為5Fu平面A&用3,所以，CE與月方所成的最小角為直線CE與平面M用5所成

的角,

因為平面A443,所以,CE與平面AAXB}B所成角為NBEC,

因為3Eu平面所以,BC±BE,

因為BE=正1正=貶了=加，BC=2,

所以，CE=^BC2+BE1=74+5=3-

所以，sinZBEC=—=-,故CE與跖所成角正弦的最小值為B對；

JCE33

對于C選項，分別取線段AB、AD的中點M、N,連接AC、AC、片。、

BD、MN、D\N、B]M,

DxG

AMB

因為四邊形A4GR為正方形，則BQi1AC1,

又因為A4，平面A/iG，，BRu平面，則B[D11M,

因為AAc4G=A，AA[、AGu平面A41clc,所以，42,平面441GC，

因為CEu平面A&GC,則CEL42，

在RtAABE和RtBB[M中，AE=BM,AB=BBi,ZBAE=NB〔BM=90,

所以，RtAABE^RtA5B]Af,則NBM3i=NAEB,

所以，ZABE+NBMB[=ZABE+ZAEB=90,則ZBOM=90，即51M-LBE,

因為平面A4]與3,qMu平面A4]與3,則與河，3C,

因為3CBE=E,BC、BEu平面BCE,所以，與加，平面BCE,

因為CEu平面BCE,所以，CE±B.M,

因為M、N分別為AB、A。的中點，則MW/a),

因為BBJ/DR且BB]=DD「故四邊形BBQQ為平行四邊形，所以，BQJIBD,

所以，MNHBR,則N、M、⑸、，四點共面，

因為CE1BQ],CE1B[M,BXMnBR=片，B}M、BRu平面BRNM,

所以，CEJ_平面42NM,

過2作垂直于CE的平面a截正方體ABC。-agGR所得截面，則截面為梯形

BRNM,

222

由勾股定理可得BXM=^BB；+BM=A/2+1=J?，

同理可得〃N=A/LMNf，4。=2VL

所以，截面周長為4A+ACV+4M+RN=2后+&+石+6=3直+2岔，C錯；

對于D選項，由C選項可知，CE_L平面用2NM,則點口的軌跡為線段與M,

因為6cl平面A445,5Fu平面444B,則W，

則S^CF=；BC.BF=BF,

當(dāng)3月，與M時，即當(dāng)點尸與點。重合時，破的長取最小值，

寸BMBB.BMBB.1x2275

此時，BF^=———=/,；=-r==,

nB]My/BM2+BB^Vl+45

所以，S^BCF=BF2管,D對.

故選：ABD.

【點睛】方法點睛：求空間幾何體體積的方法如下：

(1)求解以三視圖為載體的空間幾何體的體積的關(guān)鍵是由三視圖確定直觀圖的形狀以及直

觀圖中線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應(yīng)體積公式求解；

(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法

進行求解.

三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

13.已知向量a=(x,2),b=(3,4),若(a+b)_L6,則％=.

【答案】—n

【解析】

【分析】根據(jù)平面向量的線性運算的坐標(biāo)表示求得。+匕，進而根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示求

解即可.

【詳解】因為a=(x,2),6=(3,4),所以:+1=(%+3,6),

；rr、r〃r、r

又因為+所以(a+40=O,

即3（x+3）+4x6=0,解得x=—H.

故答案為：—n.

14,二項式2x-十］展開式的常數(shù)項為.

【答案】60

【解析】

3

【分析】利用二項式定理計算，取6-二r=0,解得r=4,代入計算得到答案.

2

【詳解】12x-十］展開式的通項為

Tr+l=葭?（2x）~=晨?2?.（-1/-J卡,

取6—5廠=0,解得廠=4,常數(shù)項為C。26-4.（—1）4=60.

故答案為：60.

15.近年來，隨著我國城鎮(zhèn)居民收入的不斷增加和人民群眾消費觀念的改變，假期出游成為

時尚.某校高三年級7名同學(xué)計劃高考后前往黃山、九華山、廬山三個景點旅游.已知7名同學(xué)

中有4名男生，3名女生.其中2名女生關(guān)系要好，必須去同一景點，每個景點至少有兩名同

學(xué)前往，每位同學(xué)僅選一處景點游玩，則7名同學(xué)游玩行程安排的方法數(shù)為.

【答案】150

【解析】

【分析】7個人去三個景點，每個景點至少2人，則兩個景點兩人，一個景點3人，兩個關(guān)

系好的女生要在一起，則為特殊元素，可以分為，她倆單獨一個景點和她倆和另外一位同學(xué)

一個景點，分類相加即可.

【詳解】由題，兩個關(guān)系好的女生要在一起，則為特殊元素，可以分為，她倆單獨一個景點

和她倆和另外一位同學(xué)一個景點，

第一類：僅要好的兩位女生去同一景點C；A；=60；

第二類：要好的兩位女生和另一位同學(xué)去同一景點C；C；C；=90,

總方法數(shù)為60+90=150.

故答案為：150.

已知數(shù)列｛%｝滿足(■+生+2若數(shù)列

16.1+^=〃("eN*),bn=2(an-l)-ra+4n,

｛2｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則4的取值范圍為

3

【答案】—,+GO

8

【解析】

【分析】由數(shù)列的遞推公式可得4=2",〃eN*，優(yōu)=2（2”—1）—r+4",再由數(shù)列的單

調(diào)性的定義及不等式恒成立思想，結(jié)合參變分離法，計算即可求得所求的范圍.

【詳解】有題意可知，〃=1時，q=2,

當(dāng)時,

由色+M+L+—=n(neN*),

2222"v'

得爭爭+畀=〃-1("用),

兩式相減得:|^="一(〃-1)=1,

所以q=2〃，當(dāng)〃=1,也滿足此式,

故=2〃，〃wN*，

則2=丸(4-l)-n2+4〃=幾(2"—I)-"+4〃,

若數(shù)列｛2｝為單調(diào)遞增數(shù)列，則〃+1＞久恒成立,

2n-3

即彳＞對〃eN*恒成立,

2"

2〃一32n—l2n—35—2n

設(shè)c“=W^，則G+1—c“2〃+i2〃2〃+i

當(dāng)〃=1,2時，c3>c2>q,

當(dāng)"23時，數(shù)列｛，｝為遞減數(shù)列，即。3〉。4〉。5〉一，

3

可得C3為最大值，且。3=-，

8

3

則X〉工

8

故答案為:

四、解答題：本小題共6小題，共70分，其中第17題10分，18?22題12分.解

答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.在ABC中，A5c所對的邊分別為a,4c,且6+=

（1）求NA；

（2）若。=百，ABC的面積為苴，求&A3C的周長.

2

TT

【答案】（1）-

3

⑵3+石

【解析】

【分析】（1）根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析求解；

（2）根據(jù)面積公式可得6c=2,利用余弦定理可得A+c=3,即可得結(jié)果.

小問1詳解】

因為b+2acosB=2c,由正弦定理可得sin5+2sinAcosB=2sinC,

又因為sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB,

即sinB+2sinAcosB=2sinAcosB+2cosAsinB,則sinB=2cosAsinB,

且5￡（0,兀），則sin5w0,可得cosA=；,

因為4?0,兀），所以NA=g.

【小問2詳解】

因為一ABC的面積為^bcsinA，bcx^=叵,可得6c=2,

2222

由余弦定理可得02+/—2Z?ccosA=/,即/+c?—/7c=3,

整理得(h+c)2=3仇:+3=9,可得〃+c=3,

所以的周長為a+6+c=3+8.

18.已知等差數(shù)列｛4｝的前〃項和S,,且。2=5,53=%.

（1）數(shù)列｛4｝的通項公式；

（2）若々=2%,求數(shù)列｛%+4｝前"項和.

【答案】（1）4=2〃+1

（2）n+2〃H---------

3

【解析】

2n+1

【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的概念得到數(shù)列的通項公式;（2）由第一問得到么=2,a,+bn

是一個等差和一個等比，分組求和即可.

【小問1詳解】

設(shè)等差數(shù)列｛4｝的首項為為,公差為d

a.+d=5

'SA），解得％=3,d=2

3tzi+3d=6+6d

由aa=q+（〃_l）d,則a“=2〃+l

因此，通項公式為a”=2〃+1.

【小問2詳解】

由⑴可知：a.=2〃+l,則勿=22"+I

卜?2（〃+1）+1

31±1_=______=4

bn22向

因為4=23=8,所以也｝是首項為8,公比為q=4的等比數(shù)列.

記｛??+bn］的前n項和為T,,

則式=（《+〃）+（%+4）+…+（4+2）

=（4+4+■?,+??）+（/?!+b2+…+2）

“（4+4）2

--------------------1--------------------n+2n+

2i-q3

19.如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面A3CD為直角梯形，AD//BC,AB1BC,側(cè)

面底面ABC。，PA=PB=AD=2,BC=4.

P

（1）若PB的中點為E,求證：AE//平面PC。；

（2）若AB=2，求平面PCD與平面尸的夾角的余弦值.

【答案】（1）證明見解析；

⑵叵

35

【解析】

【分析】（1）取尸C的中點E連接EF,DF,由已知易證四邊形AOFE是平行四邊形，即

DF//AE,再由線面平行的判定證結(jié)論；

（2）設(shè)。是中點，根據(jù)題設(shè)構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的余弦值.

【小問1詳解】

如圖，取尸C的中點R連接所,。尸，

?:E、1分別為尸民尸。的中點,

AEF//BC,EF=-BC=2

2

43//3C且AD」BC=2,

2

:.EFIIAD且EF=AD,故四邊形ADFE是平行四邊形,

/.DF//AE,AE<2平面PCD,D尸u平面PC。，

AE//平面PCD

【小問2詳解】

設(shè)。是4B中點，作Oy/ABC,由底面A3CD為直角梯形且AD/ABC,得0y_LA8,

因為/，4=。8,所以P0LA3,

由面245_1面450面Q48c面ABCD=A5,POu面RLB,故尸01面ABCD，

以。為原點，O50y,OP所在直線分別為蒼yz軸建空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

.?.4（-1,0,0）、3（1,0,0）、C（l,4,0）,a-1,2,0）、P（0,0,73）

則30=卜1,0,百），PD=（-1,2,-73）,DC=（2,2,0）,

n-BP=-x+J§z=0_

設(shè)面尸3。的法向量〃=(尤,y,z),則<L，取X=得

n-PD=-x+2y-=0

m-DC=2〃+2b=0

設(shè)面尸C￡)的法向量機=(a,0,c),貝卜l，取a=1,得

m?PD=—a+2b—J3c=0

m-n\^/105

設(shè)平面PCD與平面的夾角為凡貝Ijcos。

iwiriV7x君—35'

平面PCD與平面PBD的夾角的余弦值為更叵.

35

72

20.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓”+%l(a>b>0)的離心率為看過橢

圓右焦點R作兩條互相垂直的弦A3與CD當(dāng)直線A3的斜率為0時，|A5|=4.

(1)求橢圓的方程；

48

(2)若-5|+|。|=7，求直線的方程.

「1

解(1)由題意知e=/=1,2a=4.

又/=廿+°2,解得。=2,b=小,

22

所以橢圓方程為1+全=1.

(2)①當(dāng)兩條弦中一條弦所在直線的斜率為0時，另一條弦所在直線的斜率不存

在，由題意知|AB|+|CD|=7,不滿足條件.

②當(dāng)兩弦所在直線的斜率均存在且不為0時，設(shè)直線A3的方程為y=Kx-l),

A(xi,yi),3(x2,yi),

則直線CD的方程為j=-1(x-l).

將直線A3的方程代入橢圓方程中并整理，得(3+必8/x+4/—12=0,

8后4M—12

則Xl+%2

3+4。mx2=3+4右'

12di）

所以、_改|=7超+1、（X1+X2）2—4X1X2=

|A3|=M+1|XI-3+4后

112（廬+1）

同理，\CD\=~4-3一+4

3+后

“z,12（一+1）,12（1+1）84（廬+1）248

所以\AB\+\CD\=-3+4（—+—3>+4—=（3+4。）（3層+4）=萬'

解得左=±1,

所以直線AB的方程為龍一丁一1=0或x+y—1=0.

21.在高三一輪復(fù)習(xí)中，大單元復(fù)習(xí)教學(xué)法日漸受到老師們的喜愛，為了檢驗這種復(fù)習(xí)方法

的效果，在A,8兩所學(xué)校的高三年級用數(shù)學(xué)科目進行了對比測試.己知A校采用大單元復(fù)

習(xí)教學(xué)法，8校采用傳統(tǒng)的復(fù)習(xí)教學(xué)法.在經(jīng)歷兩個月的實踐后舉行了考試，現(xiàn)從A,8兩

校高三年級的學(xué)生中各隨機抽取100名學(xué)生，統(tǒng)計他們的數(shù)學(xué)成績（滿分150分）在各個分

數(shù)段對應(yīng)的人數(shù)如下表所示：

[0,90)[90,110)[110,130)[130,150]

A校6145030

8校14263822

（1）若把數(shù)學(xué)成績不低于110分的評定為數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀，低于110分的評定為數(shù)學(xué)成績不

優(yōu)秀，完成2x2列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值a=0.01的獨立性檢驗，分析復(fù)習(xí)教學(xué)法與評定

結(jié)果是否有關(guān)；

數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀總計

A校

3校

總計

（2）在A校抽取的100名學(xué)生中按分層抽樣的方法從成績在［0,90）和［90,110）內(nèi)的學(xué)生中

隨機抽取10人，再從這10人中隨機抽取3