微專題：集合概念的理解【主題】1、集合與元素的定義（1）集合：把一些能夠確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說由這些對(duì)象組成一個(gè)集合(有時(shí)簡(jiǎn)稱為集)；（2）元素：組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素；（3）表示：通常用英文大寫字母A，B，C，…表示集合，用英文小寫字母a，b，c，…表示集合中的元素；2、素與集合的關(guān)系（1）“屬于”：如果a是集合A的元素，就記作a∈A，讀作“a屬于A”；（2）“不屬于”：如果a不是集合A的元素，就記作a?A，讀作“a不屬于A”．3、空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作；4、集合中元素的三個(gè)特性（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性；5、集合的分類（1）有限集；（2）無限集．6、特別提醒集合的元素是確定的，任意一個(gè)元素要么是一個(gè)給定集合的元素，要么不是，兩種關(guān)系有且只有一種成立；解題時(shí)，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；【典例】例1、集合A中的元素x滿足eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________例2、設(shè)集合B＝（1）試判斷1和2與集合B的關(guān)系；（2）用列舉法表示集合B；例3、下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合？若能，請(qǐng)指出它們是有限集、無限集，還是空集．（1）非負(fù)奇數(shù)；（2）小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；（3）在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點(diǎn)；（4）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；（5）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解構(gòu)成的集合?！炯磿r(shí)練習(xí)】1、已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．2C．4D．2或42、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C.0D.0或eq\f(9,8)3、若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.4、（多選）已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?AB．－11?AC．3k2－1∈A D．－34∈A5、已知集合A包含三個(gè)元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．6、已知集合A有三個(gè)元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三個(gè)元素：0,1，x.（1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求實(shí)數(shù)x的值．【教師版】微專題：集合概念的理解【主題】1、集合與元素的定義（1）集合：把一些能夠確定的、不同的對(duì)象匯集在一起，就說由這些對(duì)象組成一個(gè)集合(有時(shí)簡(jiǎn)稱為集)；（2）元素：組成集合的每個(gè)對(duì)象都是這個(gè)集合的元素；（3）表示：通常用英文大寫字母A，B，C，…表示集合，用英文小寫字母a，b，c，…表示集合中的元素；2、素與集合的關(guān)系（1）“屬于”：如果a是集合A的元素，就記作a∈A，讀作“a屬于A”；（2）“不屬于”：如果a不是集合A的元素，就記作a?A，讀作“a不屬于A”．3、空集一般地，我們把不含任何元素的集合稱為空集，記作；4、集合中元素的三個(gè)特性（1）確定性；（2）互異性；（3）無序性；5、集合的分類（1）有限集；（2）無限集．6、特別提醒集合的元素是確定的，任意一個(gè)元素要么是一個(gè)給定集合的元素，要么不是，兩種關(guān)系有且只有一種成立；解題時(shí)，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；【典例】例1、集合A中的元素x滿足eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，則集合A中的元素為________【提示】注意仔細(xì)審題，明確元素滿足的性質(zhì)；【答案】0，3，4，5；【解析】∵eq\f(6,6－x)∈N，x∈N，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(6,6－x)≥0，,x≥0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(6－x>0，,x≥0，))∴0≤x<6，∴x＝0,1,2,3,4,5.當(dāng)x分別為0,3,4,5時(shí)，eq\f(6,6－x)相應(yīng)的值分別為1,2,3,6，也是自然數(shù)，故填0,3,4,5；【說明】確定集合中元素的三個(gè)注意點(diǎn)：（1）判斷集合中元素的個(gè)數(shù)時(shí)，注意集合中的元素必須滿足互異性；（2）集合中的元素各不相同，也就是說集合中的元素一定要滿足互異性；（3）若集合中的元素含有參數(shù)，要抓住集合中元素的互異性，采用分類討論的方法進(jìn)行研究。例2、設(shè)集合B＝（1）試判斷1和2與集合B的關(guān)系；（2）用列舉法表示集合B；【提示】注意：元素的確定性；【解析】（1）當(dāng)x＝1時(shí)，eq\f(6,2＋1)＝2∈N，所以1∈B.，當(dāng)x＝2時(shí)，eq\f(6,2＋2)＝eq\f(3,2)?N，2?B.（2）令x＝0，1，2，3，4，代入eq\f(6,2＋x)，檢驗(yàn)eq\f(6,2＋x)∈N是否成立，可得B＝{0，1，4}【說明】（1）判斷所給元素a是否屬于給定集合時(shí)，若a在集合內(nèi)，用符號(hào)“∈”；若a不在集合內(nèi)，用符號(hào)“?”；例3、下列各組對(duì)象能否構(gòu)成集合？若能，請(qǐng)指出它們是有限集、無限集，還是空集．（1）非負(fù)奇數(shù)；（2）小于18的既是正奇數(shù)又是質(zhì)數(shù)的數(shù)；（3）在平面直角坐標(biāo)系中所有第三象限的點(diǎn)；（4）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解集；（5）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))的解構(gòu)成的集合?！咎崾尽孔⒁饧系姆诸?；【解析】（1）能構(gòu)成集合，是無限集；（2）小于18的質(zhì)數(shù)是2,3,5,7,11,13,17.只有2是偶數(shù)，其余的都是正奇數(shù)，所以能構(gòu)成集合，是有限集；（3）第三象限的點(diǎn)的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)都小于0，能構(gòu)成集合，是無限集；（4）能構(gòu)成集合，注意集合中元素的互異性，集合中的元素是－1，1，是有限集；（5）由x2－x＋1＝0的判別式Δ＝－3<0，方程無實(shí)根，由此可知方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2－x＋1＝0，,x＋y＝1))無解，能構(gòu)成集合，是空集；【說明】判斷集合是有限集，還是無限集，關(guān)鍵在于弄清集合中元素的構(gòu)成，從而確定集合中元素的個(gè)數(shù)?！練w納】1、元素和集合關(guān)系的判斷（1）直接法：如果集合中的元素是直接給出的，只要判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn)即可．此時(shí)應(yīng)先明確集合是由哪些元素構(gòu)成的；（2）推理法：對(duì)于某些不便直接表示的集合，只要判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征即可．此時(shí)應(yīng)先明確已知集合的元素具有什么特征，即該集合中元素要滿足哪些條件；2、集合的三個(gè)特性（1）描述性：“集合”是一個(gè)原始的不加定義的概念，它同平面幾何中的“點(diǎn)”“線”“面”等概念一樣都只是描述性的說明；（2）整體性：集合是一個(gè)整體，暗含“所有”“全部”“全體”的含義，因此一些對(duì)象一旦組成了集合，這個(gè)集合就是這些對(duì)象的總體；（3）廣泛性：組成集合的對(duì)象可以是數(shù)、點(diǎn)、圖形、多項(xiàng)式、方程，也可以是人或物，甚至一個(gè)集合也可以是某集合的一個(gè)元素；3、特別提醒：（1）解決集合含義問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定構(gòu)成集合的元素；二是確定元素的限制條件；三是根據(jù)元素的特征（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題；（2）含字母的集合問題，在求出字母的值后，需要驗(yàn)證集合的元素是否滿足互異性；（3）空集是任何集合的子集，在涉及集合關(guān)系問題時(shí)，必須考慮空集的情況，否則易造成漏解；【即時(shí)練習(xí)】1、已知集合A＝{a，|a|，a－2}，若2∈A，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－2B．2C．4D．2或41、解析：選A若a＝2，則|a|＝2，不符合集合中元素的互異性，則a≠2；若|a|＝2，則a＝2或－2，可知a＝2舍去，而當(dāng)a＝－2時(shí)，a－2＝－4，符合題意；若a－2＝2，則a＝4，|a|＝4，不符合集合中元素的互異性，則a－2≠2；綜上，可知a＝－2.故選A.2、若集合A＝{x∈R|ax2－3x＋2＝0}中只有一個(gè)元素，則a＝()A.eq\f(9,2)B.eq\f(9,8)C.0D.0或eq\f(9,8)2、解析若集合A中只有一個(gè)元素，則方程ax2－3x＋2＝0只有一個(gè)實(shí)根或有兩個(gè)相等實(shí)根.當(dāng)a＝0時(shí)，x＝eq\f(2,3)，符合題意；當(dāng)a≠0時(shí)，由Δ＝(－3)2－8a＝0，得a＝eq\f(9,8)，所以a的取值為0或eq\f(9,8).3、若集合A＝{a－3,2a－1，a2－4}，且－3∈A，則實(shí)數(shù)a＝________.3、答案0或1解析①當(dāng)a－3＝－3時(shí)，即a＝0，此時(shí)A＝{－3，－1，－4}，②當(dāng)2a－1＝－3時(shí)，即a＝－1，此時(shí)A＝{－4，－3，－3}舍，③當(dāng)a2－4＝－3時(shí)，即a＝±1，由②可知a＝－1舍，則a＝1時(shí)，A＝{－2,1，－3}，綜上，a＝0或1.4、（多選）已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，則下列表示正確的是()A．－1?AB．－11?AC．3k2－1∈A D．－34∈A答案：BCD解析：當(dāng)k＝0時(shí)，x＝－1，所以－1∈A，所以A錯(cuò)誤；令－11＝3k－1，得k＝－eq\f(10,3)?Z，所以－11?A，所以B正確；因?yàn)閗∈Z，所以k2∈Z，則3k2－1∈A，所以C正確；令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正確．5、已知集合A包含三個(gè)元素：a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，求a的值．5、解析：因?yàn)锳包含三個(gè)元素a－2,2a2＋5a,12，且－3∈A，所以a－2＝－3或2a2＋5a＝－3，解得a＝－1或a＝－eq\f(3,2).當(dāng)a＝－1時(shí)，A中三個(gè)元素為：－3，－3,12，不符合集合中元素的互異性，舍去．當(dāng)a＝－eq\f(3,2)時(shí)，A中三個(gè)元素為：－eq\f(7,2)，－3,12，滿足題意．故a＝－eq\f(3,2).6、已知集合A有三個(gè)元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三個(gè)元素：0,1，x.（1）若－3∈A，求a的值；（2）若x2∈B，求實(shí)數(shù)x的值．6、解析：(1)由－3∈A且a2＋1≥1，