2023-2024學(xué)年高考數(shù)學(xué)圓錐曲線的方程小專題

一、單選題

1.拋物線工2=4了的準(zhǔn)線方程為（）

A.x=―]C.j=-lD.y=l

22

,rV

2.橢圓-1-----=1與橢圓=1（后<9）的（

25925-左9-k

A.長軸長相等B.短軸長相等C.離心率相等D.焦距相等

3.設(shè)圓錐曲線「的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為々，冷若曲線「上存在點(diǎn)尸滿足|尸片|：寓閭：|尸用=4:3:2,

則曲線「的離心率等于（）

4.阿基米德既是古希臘著名的物理學(xué)家，也是著名的數(shù)學(xué)家，他利用“逼近法”得到橢圓的面

積除以圓周率兀等于橢圓的長半軸長與短半軸長的乘積.若橢圓C的中心為原點(diǎn)，焦點(diǎn)耳、F2

在x軸上，橢圓C的面積為26兀，且離心率為十,則C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

x2y2x21

AA.——+—=1nB.——+y2=1

4312

2222

C.工+工=1D.上+匕=1

34163

5.設(shè)雙曲線//：--丁=4的兩個(gè)焦點(diǎn)為門，工，尸是雙曲線a”上的任意一點(diǎn)，過片作片朋

的角平分線的垂線，垂足為則點(diǎn)/到直線區(qū)-〉-4=0的距離的最大值是（）

A.3B.4C.5D.6

6.國家體育場（又名鳥巢）將再次承辦奧運(yùn)會(huì)開幕式.在手工課上，張老師帶領(lǐng)同學(xué)們一起

制作了一個(gè)近似鳥巢的金屬模型，其俯視圖可近似看成是兩個(gè)大小不同，扁平程度相同的橢圓，

已知大橢圓的長軸長為40cm,短軸長為20cm，小橢圓的短軸長為10cm,則小橢圓的長軸長

為（）cm

A.30B.10C.20D.10A/3

2222

7.若橢圓二+匕=1（優(yōu)>〃>0）和雙曲線二-2=l（sj>0）有相同的焦點(diǎn)片和巴，而P是這

Z77及st

兩條曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則|尸片卜|尸閭的值是（）

A.m—sB.——s）C.m2-52D.-y/s

21，22

8.若橢圓Y、+）-=l（機(jī)>，>0）與雙曲線,-1-=l（〃>0j>0）有相同的焦點(diǎn)耳，尸”尸是兩

曲線的一個(gè)交點(diǎn)，則△片尸區(qū)的面積是（）

A.-B.tC.2tD.4t

2

二、多選題

9.已知曲線C：加/+702=1（其中〃為參數(shù)），下列說法正確的是（）

A.若冽=〃〉0,則曲線C表示圓

B.若rm>0,則曲線。表示橢圓

C.若m幾<0,則曲線。表示雙曲線

D.若加〃=0,加+〃>0,則曲線C表示兩條直線

22

10.已知方程“二+工=1表示的曲線為C,則下列四個(gè)結(jié)論中正確的是（）

4-tt-1

A.當(dāng)1</<4時(shí)，曲線C是橢圓

B.當(dāng)/>4或1<1時(shí)，曲線C是雙曲線

C.若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則1<?<|

D.若曲線C是焦點(diǎn)在夕軸上的橢圓，貝心>4

11.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線給出下列條件，其中滿足拋物線必=10尤的有（）

A.焦點(diǎn)在y軸上

B.焦點(diǎn)在x軸上

C.拋物線上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6

D.由原點(diǎn)向過焦點(diǎn)的某直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2,1）

12.2022年卡塔爾世界杯會(huì)徽（如圖）的正視圖近似伯努利雙紐線.定義在平面直角坐標(biāo)系X。'

中，把到定點(diǎn)用（-。,0）,乙（。,0）距離之積等于/（a>0）的點(diǎn)的軌跡成為雙紐線C,已知點(diǎn)

尸（X。,%）是雙紐線C上一點(diǎn)，下列說法正確的有（）.

FlFAWORLDCUP

Qat_ar2022

A.雙紐線C關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱；

a,,a

B.—?為?一；

2°2

C.雙紐線。上滿足幽=%的點(diǎn)尸有兩個(gè);

D.|尸。|的最大值為百

三、填空題

13.拋物線x=4爐的焦點(diǎn)坐標(biāo)為,準(zhǔn)線方程為.

22

XV

14.已知橢圓C:/+不=1（。>6>0）的左焦點(diǎn)為RC與過原點(diǎn)的直線相交于4,2兩點(diǎn)，連

4

接"，若|48|=10,|SF|=8,cosZABF=-,則。的離心率為.

15.已知拋物線C:/=4尤的焦點(diǎn)為歹，過點(diǎn)尸的直線/與拋物線C相交于42兩點(diǎn)，若

\BF\^3\AF\,則直線/的方程為.

16.在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線C：黃=4x的焦點(diǎn)為凡準(zhǔn)線為/,過點(diǎn)/且斜率

大于0的直線交拋物線。于48兩點(diǎn)（其中N在2的上方），過線段48的中點(diǎn)M且與X

軸平行的直線依次交直線。4,OB,/于點(diǎn)P,Q,N.給出下列四個(gè)命題：

@\PM\=\NQ\.

②若尸，。是線段的三等分點(diǎn)，則直線的斜率為20;

③若P,。不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有「。|>|。。|；

④若P,。不是線段的三等分點(diǎn)，則一定有加。|>|。。|；

其中正確的是（寫出所有正確命題的編號(hào)）.

答案:

1.c

【分析】根據(jù)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解.

【詳解】由題知，拋物線方程為％2=外，

則其準(zhǔn)線方程為y=-L

故選：c

2.D

【分析】求出兩橢圓的長軸長、短軸長、焦距以及離心率，即可得出合適的選項(xiàng).

v2V2,________4

【詳解】橢圓二+匕=1的長軸長為5x2=10,短軸長為2*3=6,焦距為2/3=8,離心率為一,

2595

22

橢圓+工=1（4<9）的長軸長為2后。，短軸長為2?1,

25—k9—k

焦星巨為2］（25-1）一（9一1）=8,離心率為強(qiáng)耳，

所以，兩橢圓的焦距相等，長軸長不相等，短軸長不相等，離心率也不相等.

故選：D.

3.C

【分析】根據(jù)圓錐曲線的類型，結(jié)合圓錐曲線的定義和離心率的公式分類討論進(jìn)行求解即可.

【詳解】設(shè)該圓錐曲線的離心率為e,

當(dāng)該圓錐曲線為橢圓時(shí)IF,F",苛!而=3幣=51,

|^|3_3

當(dāng)該圓錐曲線為雙曲線時(shí),|尸周一|尸劇-4-22-

即曲線「的離心率等于g或1.

故選：C.

4.A

nab=2退兀

n1

【分析】由題意得兀必=26兀，然后列出方程組e=—=彳，從而求解.

a2

2

Q2=b+02

c1

【詳解】由題意得：兀劭=2，昌心率：e=—=—,

a2

Tiab=2A/3TI_O

Cl一/

從而可得方程組：e=9=!,解得.6=6

a2

a2^b2+c2〔。=1

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：—+^=1,故A項(xiàng)正確.

43

故選：A.

5.B

【分析】首先根據(jù)幾何關(guān)系求得點(diǎn)"的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，再根據(jù)圓心到

直線的距離加上半徑為點(diǎn)〃到直線后->-4=0的距離的最大值，最后求解即可.

【詳解】由題意，延長尸工，^M交于一點(diǎn)N,連接。因?yàn)槠襊M為NFFB

的平分線，

所以|尸團(tuán)=|PN|,且M點(diǎn)為線段々N的中點(diǎn)，

假設(shè)點(diǎn)?在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義得|SH尸閭=2"4,

所以1PM-|尸閭=優(yōu)"|=4,

因?yàn)?。?分別為片鳥，々N的中點(diǎn)，所以|OM|=gEM=2,

由雙曲線的對(duì)稱性可得點(diǎn)〃的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓，軌跡方程為一+/=4,

點(diǎn)“到直線-4=0的距離的最大值為原點(diǎn)到直線的距離加上半徑2,

即二土+2=4,故B項(xiàng)正確

43+1

故選：B.

6.C

【分析】求出大橢圓的離心率，根據(jù)兩橢圓離心率相同，結(jié)合小橢圓短半軸長即可求得其長半

軸長，即得答案.

【詳解】在大橢圓中，?=20,6=10,則0=，/一式=因百,則橢圓離心率為e嚀.

,兩橢圓扁平程度相同，.?.離心率相等，，在小橢圓中，e=,

2

結(jié)合題意知少=5,得?）2=助二”=1，?"=10,小橢圓的長軸長為20.

（。）4

故選：C

7.A

【分析】利用橢圓與雙曲線的定義得出|尸國與|尸石|的和與差，變形求得積.

【詳解】由題意知不妨設(shè)點(diǎn)尸是兩曲線在第一象限內(nèi)的交點(diǎn)，可得:

‘附|+|尸閭=2詬|郎|=4m+\[s

解得:

叫耳H尸閭=24\PF^=y/m-J's

則|尸耳H尸周=（而+4）（而-6）=加-s,故A項(xiàng)正確.

故選：A.

8.B

【分析】設(shè)戶片|=2，\PF2\=q,再根據(jù)橢圓與雙曲線的定義列式，化簡可得設(shè)+夕2=（2娟,

可得△4學(xué)是直角三角形，再根據(jù)夕^二方可得面積.

【詳解】設(shè)|尸片|二夕，|尸閭=］，不妨設(shè)交點(diǎn)尸在第一象限，耳鳥分別為左右焦點(diǎn)，

則p+q=2yl~m--?,p_q=2G…②,m-t=n+t=c2

可得①2+②2：p2+q2=2（加+〃）=2（加一，+及+。=（2c）2,

???△耳”是直角三角形，

①2_②2：pq=m-n=2t,S^PF2=^pq=t,

故選：B

9.ACD

【分析】利用圓、橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程一一判定即可.

【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，由%=〃=/+/=工，是以原點(diǎn)為圓心，口為半徑的圓，故A正確;

mVm

對(duì)于B項(xiàng)，顯然加=〃>0時(shí)，不是橢圓，故B錯(cuò)誤；

2222

對(duì)于C項(xiàng)，若冽亍一』=1,若“您〉°n1±T,兩種情況都表示雙曲線,

mnnm

故c正確；

對(duì)于D項(xiàng)，若加=0,〃>0=>了=±J，,若〃=0,加>0=>尤=±/,，兩種情況均表示兩條直線,

VnVm

故D正確.

故選：ACD.

10.BC

【分析】根據(jù)給定條件，利用橢圓、雙曲線方程的特征逐項(xiàng)判斷作答.

【詳解】對(duì)于A,當(dāng)/5時(shí)，4-Z=3|=Z-l,則曲線C是圓，A錯(cuò)誤；

對(duì)于B,當(dāng)/>4或f<l時(shí)，(4-。*1)<0,曲線C是雙曲線，B正確；

對(duì)于C,若曲線C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則4T>”1>0,解得C正確；

對(duì)于D,若曲線C是焦點(diǎn)在了軸上的橢圓，則/1>47>0,解得：</<4,D錯(cuò)誤.

2

故選：BC.

11.BD

【分析】根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及幾何性質(zhì)，逐項(xiàng)判定，即可求解.

【詳解】由拋物線產(chǎn)=10x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸§,0),位于x軸上，所以A不滿足，B滿足；

對(duì)于C中，設(shè)是拋物線好=10》上一點(diǎn)，尸為焦點(diǎn)，

貝“炳=1+曰=1+：=,6,所以C不滿足

對(duì)于D中，由于拋物線必=10%的焦點(diǎn)為尸§,0),若由原點(diǎn)向該直線作垂線，垂足為(2,1),

設(shè)過該焦點(diǎn)的直線方程為7=則左=-2,此時(shí)該直線存在，所以D滿足.

故選：BD.

12.ABD

【分析】對(duì)于A,根據(jù)雙紐線的定義求出曲線方程，然后將(-乙-了)替換方程中的(x,y)進(jìn)行判

斷，對(duì)于B,根據(jù)三角形的等面積法分析判斷，對(duì)于C,由題意得歸司=|%|,從而可得點(diǎn)P

在了軸上，進(jìn)行可判斷，對(duì)于D,由向量的性質(zhì)結(jié)合余弦定理分析判斷.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)槎x在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把到定點(diǎn)耳(-。,0),乙(。,0)距離之積等

于/(a>0)的點(diǎn)的軌跡稱為雙紐線。，

所以^/(x+a)2+y2yj(x-a)2+y2=a2,

用（-%-了）替換方程中的（x,y）,原方程不變，所以雙紐線。關(guān)于原點(diǎn)。中心對(duì)稱，所以A正

確，

對(duì)于B，設(shè)/與尸石=a

a

S,pg=1|尸片|?pF?|sina=卜2sina,=!|^2|fv0|=KI>

a\y0\=；/sina,

|j0|=1asintz<-|,Z.—|<y0<-|,故B正確；

對(duì)于C,由尸耳=尸乙知尸在片鳥的垂直平分線（方程為x=0）上

將x=0代入^（x+a）2+y2yl（x-a）2+y2=a2得y］a2+y2yJa2+y2=a2

即/+/=/,解得y=0,

.??這樣的點(diǎn)只有一個(gè)，故C錯(cuò)誤;

由余弦定理得4a2=|兩『-2MJ-%|cosZFJPF2+恒j，

所以|用（=/圖cos/￡尸￡=/+/cosNRPB<2a,

所以I尸。I的最大值為后a，故D正確；

故選：ABD.

13.|—,0|/（0.0625,0）x=-—

<16）16

【分析】把拋物線方程化成標(biāo)準(zhǔn)方程形式，結(jié)合焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程進(jìn)行求解即可.

［詳解］x=4y2=

4o

因此該拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（f,0準(zhǔn)線方程為x=-2

16

1

x=-

16

5

14.

7

【分析】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為尸，，由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形/qP為平行四邊形，利用余弦

定理求出X尸再根據(jù)橢圓的定義分別求出凡。，結(jié)合橢圓的離心率公式即可得解.

【詳解】設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F,連接/尸石尸,

由橢圓的對(duì)稱性可得四邊形為平行四邊形,

在b中，

由余弦定理得司2=|/川+忸下「-l\AB\\BF\cosAABF=100+64-128=36,

所以|/殲+忸尸「=|/肝，所以/尸,2尸，

所以四邊形/必尸為矩形，

所以2c=|"[=|/同=10,則c=5,

la=\AF\+\AF'\^\AF\+\BF\=14,所以a=7,

所以c的離心率為上c=15.

a7

方法點(diǎn)睛：求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：

(1)定義法：通過已知條件列出方程組，求得a、C的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的

值；

(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于。、C的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；

(3)特殊值法：通過取特殊位置或特殊值，求得離心率.

15.y=±A/3(X-1)

【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程得到玉+3戶也，再利用拋物線的定義與條件求得x“力,進(jìn)而

求得上，從而得解.

【詳解】設(shè)/(尤”%)凈(尤2，%)(占，龍2>°)，拋物線c：/=4x的焦點(diǎn)為尸(1,0),

設(shè)直線/的方程設(shè)為了=左(》-1),貝同片0,

聯(lián)立;U；一。,可得〃--(2『+4卜+〃=。,易得A〉。,

2左2+4

貝!]迎+=丁廠"02=1

由拋物線的定義，可得I比1=%+1,|/尸|=玉+1,

r=1f_1

由網(wǎng)=3網(wǎng)，得:==3(%+1)，解得飛

lX2-3

所以=xl+x2=3+—=—,解得k=±6，

k21233

故直線/的方程為y=±6(x-l).

故答案為.y=±6(x-l)

16.①②

【分析】設(shè)直線42的方程為〉=左(》-1),聯(lián)立直線與拋物線方程，利用三點(diǎn)共線即可判斷①,

若尸,0是線段M,N的三等分點(diǎn)，則|尸0|=:〃到，利用韋達(dá)定理和弦長公式即可求判斷②，

運(yùn)用求根公式求得。點(diǎn)的坐標(biāo)，結(jié)合|。?！?|尸?！旱谋磉_(dá)式，可判斷③，由圖像可以判斷④.

【詳解】由拋物線C：必=4無可知，焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸(1,0),

\y=k(x—V)

設(shè)直線的方程為了=曲》-1),k>0,設(shè)/(內(nèi))風(fēng)會(huì))，聯(lián)立得,

2222

kx-2(k+4)x+k=0,則再+々=2+言，再工2=1,則無M=三&,%=網(wǎng)尤"-1)

k2k

所以直線MN的方程為了=：,因?yàn)?。，尸?三點(diǎn)共線，—,%=曳3=舁=今，同理

k項(xiàng)必必2k

x-A

演一2d

所以Xp+X。=4+今=xM+xN=^=xg+x