圓解答題訓練

【核心知識】

?垂徑定理及其推論

★定理：垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的?。▋?yōu)弧和劣弧）。

推論：⑴平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的弧。

⑵弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對的弧。

⑶平分弦所對的一條弧的直徑垂直平分弦，并且平分弦所對的另一條弧

（4）圓的兩條平行弦所夾得弧相等。

★應(yīng)用：（1）如右圖，根據(jù)圓的對稱性，在以下五個結(jié)論中：

①弧AC=^BC；②弧DA=^DB；③AE=EB；

④ABLCD；⑤CD是直徑。

只要滿足其中兩個結(jié)論，其他三個一定成立，即知二推三。

⑵如右圖，半徑為r,a是弦長，d是弦心距，h是表示弓形高，半徑0D與弦

AB垂直，則有以下結(jié)論:

?r=d+h;②/

?sinZAOD=—；@cosZAOD----~-

2rrr

?圓周角定理

★定理：在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，且都等于這條弧所對

圓心角的一半。

★推論：⑴同弧或等弧所對的圓周角相等;

⑵半圓（或直徑）所對的圓周角是90°,90°的圓周角所對的弦是直徑；

?圓的內(nèi)接多邊形

★內(nèi)接四邊形：四個頂點都在圓上的四邊形。

★內(nèi)接四邊形推論：（1）對角互補；

（2）圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角

?三角形外接圓和內(nèi)切圓

★外接圓：經(jīng)過三角形三個頂點的圓,圓心為三角形三邊垂直平分線交點，半徑

為圓心到各頂點的距離；（當然就有圓心到三個頂點距離相等，尺規(guī)

作圖?？迹?/p>

★內(nèi)切圓：與三角形三條邊相切的圓,圓心是三角形三個內(nèi)角角平分線的交點，

半徑為圓心到三條邊的距離相等；（尺規(guī)作圖常考）

【拓展定理】

?弦切角定理

★弦切角定義：頂點在圓上,一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫做弦切角。

（弦切角就是切線與弦所夾的角）

★弦切角定理：弦切角的度數(shù)等于它所夾的弧的圓心角的

度數(shù)的一半，也等于所夾的弧所對的圓周

角。

證明：如右圖，已知：直線PT切圓0于點C,BC、AC為圓0的弦。

求證：ZACP=-ZCOA=ZCBA

2

?切線長定理

★切線長的概念：如圖，A是。0外一點，AB,AC是。0的兩條切線，我們

把線段AB,AC叫做點A至|。0

的切線長.

★切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切

線長相等，圓心和這一點的連線平分兩

條切線的夾角.

證明：略

?切割線定理:

★切割線定理：從圓外一點引圓的切線和割線，切線長是這點到割線與圓交點的

兩條線段長的比例中項。是圓露定理（相交弦和割線定理）的一種。

AB~^AC*AD

【基本方法】

★審題階段:

①找直徑，出直角，在進一步分析相互余的角，可以標為N1和N2.

②把①中的直角頂點和圓心相連，會出現(xiàn)等腰，由等腰找相等的角，標上相同

的數(shù)字.

③連圓心和切點，出直角，結(jié)合①②通過等量代換找相等的角，進而得相等線

段.

④通過相等的角我相等弧，在由相等的弧找相等的角，要熟練去運用同弧所對

圓周角相等和同弧所對圓周角是圓心角一半；

⑤特別栗敏感垂徑定理的識別，遇到過圓心，并且平分弦或者垂直弦或者平分

弧，就要判斷看是否能用垂徑定理；

★第一問階段：

基本思路：抓“相切”，連接圓心與切點.

證明切線的方法：⑴連公共點（切點），證垂直；（?？?，重點掌握）

⑵無公共點（切點）時，作垂線段，證其等于半徑；

★證明兩角相等的方法：

⑴在兩個直角三角形中用同角或等角的余角相等證明；

⑵利用半徑相等轉(zhuǎn)化為等腰證；

★證明線段相等的方法:⑴線段不共線，考慮轉(zhuǎn)化到一個三角形，證等腰或等邊；

⑵線段共線，用三線合一或者直角△斜邊中線為斜邊一半證；

⑶線段平行，考慮特殊四邊形證明；

★第二問階段：

常考相似和三角函數(shù)，對于相似而言，結(jié)合題目給出的線段及所求的線段找合

適的相似（這里需要首先對弦切角結(jié)構(gòu)的母子型相似熟悉，考的居多），而對于

三角函數(shù)，題目經(jīng)常給一個角的三角函數(shù)值，需要去把該角轉(zhuǎn)移到直角三角形中，

利用三角函數(shù)求解（此處經(jīng)常出現(xiàn)射影定理結(jié)構(gòu)的相似）O

對于第二問判斷用相似或三角函數(shù)的方法：

⑴含有特殊角度（30、45、60）或出現(xiàn)sin、cos、tan考慮三角函數(shù)；

（2）不含⑴中情況，考慮相似；

【提升練習】

1.如圖，△ABC中，AB=AC,以AC為直徑的。0交BC于點D,點E為AC延長

線上一點，且DE是。。的切線.

(1)求證：ZBAC=2ZCDE；

(2)若CE=4,cosZABC=1,求。。的半徑.

2.如圖，以aABC的AB邊為直徑作。0,交BC于點D.過點D作DELAC于點E,

DE與。0相切于點D.

(1)求證：ZB=ZC;

(2)延長DE交BA的延長線于點F,若。0的半徑為4,sinC=立，求線段FA

的長.

3.如圖所示，△ABC中，點。是AB上一點，且AD=CD,以為直徑的0

交BC于點、E,交AC于點尸，且點尸是半圓CD的中點。

(1)求證：AB與O。相切：(2)若tan5=2,AB=9,求班的長度。

4.如圖，在aABC中，AC=BC,以AB為直徑的。。交AC邊于點D,過D作。0

的切線交BC于點E.

(1)證明：ZCDE=ZABD；

(2)若AB=26,sinZCDE=A,求DC的長.

13

BE

5.如圖，在用AABC中，NACB=90°,點。是AC上一點，以。C為半徑的。與

AB相切于點。，弦DELAC于點、F,連接CE.

(1)若AC=8,BC=6,求。的半徑;

(2)若CE//AB,求sinA的值.

6.如圖，已知直線/與。。相離，。4，/于點人，交。0于點P,直線A3與。。

相切于點3,連接B尸并延長，交直線/于點C.

(1)求證：AB=AC;

(2)若03=3,PA=2,求線段尸5的長.

7.如圖，AB是。0的直徑，點C為。0外一點，連接0C交。0于點D,連接BD并

延長交線段AC于點E,ZCDE=ZCAD.

(1)判斷AC與。0的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論

⑵若AE=EC,求tanB的值.

8.如圖，點C是。。外一點，過點C作。0的切線CD,切點為點D,連接CO并延

長交。0于點B,連接BD并延長與BC的垂線CA交于點A.

(1)求證：CD=AC；(2)若EC=ED,。。的半徑是3,求AC的長.

9.如圖，。。是aABC的外接圓，ZACB=90°,口是。。上一點，與AB交于點F,

過點A作。。的切線交DC延長線于點E.已知AC=EC

(1)求證：AD=AE(2)若AE=2四，EF=2百，求。。的直徑.

10.如圖，AB為。0的直徑，BC是。。的一條弦，點D在。0上，BD平分NABC,

過點D作EFLBC,分別交BA、BC的延長線于點E、F.

(1)求證：EF為。0的切線；(2)若BD=4立，tanZFDB=2,求AE的長.

EA

11.如圖，AABC是。。的內(nèi)接三角形，ZABC=45°,AD為。。的直徑，過C點

作。。的切線，與BD的延長線相交于點E.

(1)求證：AD〃CE；

(2)若。0的半徑R=5,BD=6,求CE的長.

12.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點E在CB的延長線上，連接AC、AE,N

ACB=BAE=45°.

(1)求證：AE是。0的切線；

(2)若AB=AD,AC=2V2,tanZADC=3,求CD的長.

13.如圖，AB為。。的直徑，C為BA延長線上一點，CD與。。相切與點D,窟=

2BE,連接AE,DE.

(1)求證：ZADC=ZE；(2)若sinC=」，BD=6,求AE的長.

3

14.如圖，在RtaABC中，ZABC=90°,以AB為直徑的。。交AC于點D,F為

弧AD上一點，且D是弧BF的中點，過點D作DELAF交線段AF的延長線于點E.

4

(1)求證：DE是。0切線；(2)若。0的直徑為8,tanC=-,求DE的值.

3

15.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于。0,點0在AB上，BC=CD,過C作AD的垂線,

分別交AB,AD的延長線于點E,F.

(1)求證：EF為。0的切線.

(2)若點G為。0上一點且位于AB下方，且cosNBGD=Z,BE=1,求AD的長.

16.如圖，AB是。0的直徑，AC是。。的切線，BC交。0于點D,點E是弧BD的

中點，連接AE交BC于點F.

9

(1)求證：NC=2NEAB.(2)若cosC=^,AC=8,求BF的長.

O

CDB

E

17.如圖，矩形ABCD中，AD=6,AB=9,邊AB上有一點E,且AE=1.連接CE,

DE.以CE為直徑的。0與線段CD交于點F,與線段DE交于點G,連接GF.

(1)求證：AD是。。的切線；(2)求GE的長.

18.如圖，AB為。0的直徑，點C為BA延長線上一點，點D在。0上，連接CD,

AD,BD,作OFLAD于點E,交CD于點F,若NADC=NAOF.

(1)求證：CD是。。的切線；

(2)若tanC=；,BD=4,求OF的長.

B

19.如圖，直角aABC內(nèi)接于。0,ZACB=90°,AB的垂直平分線0D交BC的延

長線于點D,與。0的切線CE交于點E.

(1)求證：EC=ED：(2)如果AC=2BC=4,求BD的長.

20.如圖，點A、B、C分別是。。上的點，CD是。。的直徑，P是CD延長線上的

一點，AP=AC.

(1)若NB=60°,求證：AP是。。的切線；

(2)若點B是弧CD的中點，AB交CD于點E,CD=4,求BE?AB的值.

21.如圖，在RtZ^ABC中，ZACB=90°，點。是AC上一點，以0C為半徑的。。與

AB相切于點D,弦DELAC于點F,連接CE.

(1)若AC=8,BC=6,求。。的半徑.(2)若CE〃AB,求sinA的值.

22.如圖，ZkABC是。。的內(nèi)接三角形，AB是。。的直徑，且滿足FC=FE.

(1)求證：CF是。。的切線，

(2)當直徑AB=13,EB=1CB?時，求線段CF的長.

35

23.如圖，在RtaABC中，ZBAC=90°,以AB為直徑作半圓0,與BC交于點E,

過點E作半圓0的切線交AC于點D.

(1)求證：ZC=ZDEC；

(2)若NC=30°,CE=8百，求BE的長.

23.如圖，ZkABD內(nèi)接于。0,過點A的切線交BD的延長線于點C,E是。0上一

點，且DE=DA,連接AE交BD于點F.

3

(1)求證：AD平分NEAC；(2)若AE=3,tanE=—,求BD的長.

4

Q

B

24.如圖，在△ABC中，ZC=90°.NABC的平分線交AC于點E,點F在AB上,

以BF為直徑的。0恰好經(jīng)過點E.

(1)求證：AC是。。的切線；(2)若AE=2AF=4,求BC的長.

25.如圖，在。0中，AB是直徑，BC是弦，BC=BD,連接CD交。0于點E,ZBCD=

ZDBE.

(1)求證：BD是。。的切線.

(2)過點E作EFLAB與點F,交BC于G,已知DE=2&5\EG=3,求BG的長.

26.如圖，AB為。0的直徑，C,D為。0上不同于A,

B的兩點，過點C作。0的切線CF交直線AB于點F,直線DBLCF于點E.

(1)求證：ZABD=2ZCAB；

(2)若BF=5,sinNF=旦，求BD的長.

5

27.如圖，在ABC中，AB=AC,以AB為直徑作。。，分別交于點。，交

C4的延長線于點E,過點。作于點H,連接OE交線段OA于點歹.

(1)試猜想直線與。的位置關(guān)系，并說明理由；

(2)若=EF=4,求。歹的值.

28.如圖，點C在以AB為直徑的。0上，NACB的平分線交。0于點D,過點D作

AB的平行線交CA的延長線于點E.

(1)求證：DE是0的切線；

(2)若AC=6,BC=8,求DE的長度。

29.如圖，AB為。0的直徑，弦CDLAB,垂足為點P,直線BF與AD的延長線交于

點F,且NAFB=BABC.

(1)求證：直線BF是00的切線；

(2)若CD=2百，0P=1,求線段BF的長。

R

30.如圖，在AABC中，NC=90°,NABC的平分線交AC于點E,過點E作BE的垂

線交AB于點F,。0是△BEF的外接圓。

(1)求證：AC是。。的切線：C

(2)若tanNCBE=5，AE=4,求。。的半徑。

31.如圖，AB是。0的直徑，C是。。上一點，D是。0外一點，0D交。0于點E,

交AC于點F,F是AC中點，BE交AC于點G,連接CE,且NCAD=2NC.

(1)求證：AD是00的切線；

(2)若EG=6,tanC=」，求直徑AB的長。\\

2/r\八\

C

32.如圖，AD是。0的直徑，AB為。0的弦，OPLAD,0P分別交BD、AD的延長線

于點E、P,點C在0P上，滿足NCBP=NADB.

(1)求證：BC為。0的切線；

(2)若0A=6,AB=4,求線段BC的長。

33.如圖，以△ABC的邊AC為直徑。0的恰好為△ABC的外接圓，NABC的平分線

交。0于點D,過點D作DE//AC交BC的延長線于點E.

(1)求證：DE是。。的切線；

(2)若AB=4,BC=2,求DE的長。

DE

34.如圖，四邊形ABCD中，ZB=ZD=90°,ZC=60°,。0過點D,與AB相切于點

A,與CD相交于點E,且AB=DE,

(1)求證：BC與。0相切；

(2)若。0的半徑為5,求四邊形ABCD的面積。

35.如圖，AB為。0的直徑，弦CD±AB,垂足為E,過點C作。0的切線CF,過點A

作AF±CF,垂足為F.

(1)求證：CF=-CD；

2

(2)若tanNBAC=2,求鼠”的值。

3S?CBD

36.如圖，AB是。0的直徑，點D、E在。0上，NA=2NBDE,點C在AB的延長線

上，ZC=ZABD._二

(1)求證：CE是。。的切線；/

⑵若BF=2,EF=V13,求。0的半徑長。

37.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°，點D是AB的中點，以CD為直徑作。0,

?0分別與AC、BC交于點E、F,過點F作。0的切線FG,交AB于點G.

(1)求證:FG±AB；

(2)若AC=6,BC=8,求FG的長。

38.如圖，在銳角三角形ABC中，以AB為直徑的。0交AC于點D,過點D作。0

的切線DE交邊BC于點E連接BD.

(1)求證：ZABD=ZCDE;

(2)若AC=28,tanA=2,AD：DC=1:3,求DE的長.

39.如圖，點0是AABC的邊AB上一點，以0B為半徑的。0與邊AC相切于點E,

與邊BC,AB分別相交于點D,F,且DE=EF.

(1)求證：ZC=90°;

3

(2)當BC=3,sinA=g時，求AF的長。

40.如圖，P為。0直徑AB延長線上的一點，PC切。0于點C,過點B作CP的垂

線BH交于點D,連接AC、CD.

(1)求證:ZPBH=2ZHDC；

3

(2)若sinNP=—,BH=3,求BD的長。

4

41.如圖，已知AB是半圓0的直徑，點C為半圓上一動點，連接AC,過點C作CD

±AB于點D,將AACD沿AC翻折，得至UAAGE,AE交半圓0于點F.

(1)求證：直線CE與。0相切；

(2)若NOCA=NECF,AD=8,EC=6,求CF的長。

42.如圖，四邊形ABCD的外接圓為。0,AD是。。的直徑，過點B作。0的切線,

交DA的延長線于點E,連接BD,且NE=NDBC.

(1)求證：DB平分NADC；

2

(2)若EB=8,CD=3,tanNABE=§,求。0的半徑。

43.如圖，在△ABC中，0為AC上一點，以點0為圓心，OC為半徑作圓，與BC

相切于點C,過點A作ADLB0交B0的延長線于點D,且NA0D=NBAD.

(1)求證：AB為。0的切線；

12

(2)若BC=10,tanNABC=(，求AD的長。

BC

44.如圖，在△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0交BC于點D,過點D作EFLAC

于點E,交AB的延長線于點F.__

(1)求證：EF是。。的切線；

(2)若AC=3CD,BF=2,求。0的半徑。{/\

45.如圖，已知△ABC中，AB=AC,以AB為直徑的。0交線段CB于D點，E為AB

延長線上一點，且NC+NBDE=90°.

(1)求證：DE是。。的切線；C

(2)若BE=2,tanNABC=V^，求。0的半徑。/\

AE

O]B

46.如圖，在RtAABC中，NC=90°,以BC為直徑的。。交AB于點D,切線DE交

AC于點E.

(1)求證:ZA=ZADE；

(2)若AD=8,DE=5,求。0的半徑。

47.如圖，在RtAABC中，ZACB=90°,BO平分NABC,交AC于點0,以0為圓心,

0C為半徑作圓，交0B于點E.

(1)求證：AB與。0相切；

(2)連接CE并延長，交AB于點F,若CFLAB,且CF=3,求。0的半徑。

48.如圖，AB為。0的直徑，E在AB的延長線上，C為。0上一點，ADLCE交EC

的延長線于點D,若AC平分NDAB.

(1)求證：DE為。0的切線；

(2)當BE=2,CE=4時,求AC的長。

49.如圖AABO中，AB=12,0A=13,0B=5,以0為圓心，0B為半徑的。。交0A于點

C,過點C作弦CD//BO.

(1)求證：AB與。0相切;

(2)求弦CD的長。

50.如圖，在△ABC中，點D為AC邊上一點，連接BD,以CD為直徑作。0,恰好經(jīng)

過點B,過點0作BD的平行線交AB延長線于點E,交BC于點F.

(1)若NE=NC,求證：AE是。。的切線；。

(2)在(1)的條件下，若EF=4,BD：E0=2：5,求。。的半徑。

點直線與圓的位置關(guān)系

一、選擇題

1.（2014?無錫，第8題3分）如圖，AB是國0的直徑，CD是國0的切線，切點為D,CD

與AB的延長線交于點C,回A=30。,給出下面3個結(jié)論：①AD=CD；②BD=BC；③AB=2BC,

其中正確結(jié)論的個數(shù)是（）

A.3B.2C.1D.0

2.（2014?黑龍江哈爾濱，第7題3分）如圖，AB是。。的直徑，AC是。。的切線，連接OC

交。。于點D,連接BD,ZC=40°.則NABD的度數(shù)是（）

B

第1題圖

A.30°B.25°C.20°D.15°

2.（2014?湖北黃石，第13題3分）如圖，圓O的直徑CD=10cm,且ABEICD,垂足為P,

AB=8cm,則sin0OAP=.

第2題圖

3.（2014?四川廣安，第10題3分）如圖，矩形ABCD的長為6,寬為3,點O1為矩形的中

心，002的半徑為1,OIO2±AB于點P,0102=6.若。02繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)360°,

在旋轉(zhuǎn)過程中，與矩形的邊只有一個公共點的情況一共出現(xiàn)（）

C.5次D.6次

1.（2014年廣西南寧，第18題3分）如圖，回ABC是等腰直角三角形，AC=BC=a,以斜邊

AB上的點。為圓心的圓分別與AC,BC相切于點E,F,與AB分別交于點G,H,且EH

的延長線和CB的延長線交于點D,則CD的長為_上必

2.（2014?青島，第12題3分）如圖，AB是回。的直徑，BD,CD分別是過回。上點B,C

的切線，且0BDC=110。.連接AC,則國A的度數(shù)是35。.

3.（2014?山西，第15題3分）一走廊拐角的橫截面積如圖，已知AB回BC,ABHDE,BCEIFG,

且兩組平行墻壁間的走廊寬度都是1m,宙的圓心為O,半徑為1m,且回EOF=90。，DE、FG

分別與團0相切于E、F兩點.若水平放置的木棒MN的兩個端點M、N分別在AB和BC

上，且MN與團0相切于點P,P是M的中點，則木棒MN的長度為―（4\5-2）m.

4.（2014?四川成都，第14題4分）如圖，AB是回O的直徑，點C在AB的延長線上，CD

切回O于點D,連接AD.若回A=25。，則回C=4（）度.

5.（2014?浙江紹興，第12題5分）把球放在長方體紙盒內(nèi)，球的一部分露出盒外，其主視

圖如圖.回0與矩形ABCD的邊BC,AD分別相切和相交（E,F是交點），已知EF=CD=8,

則的半徑為5.

三、解答題

1.(2014?湖南永州,第24題10分)如圖，點A是。O上一點，OA±AB,且0A=1,AB=73,

OB交。。于點D,作ACLOB,垂足為M,并交。0于點C,連接BC.

(1)求證：BC是。0的切線；

(2)過點B作BP_LOB,交0A的延長線于點P,連接PD,求sin/BPD的值.

2.(2014?隨州，第22題8分)如圖，。。中，點C為源的中點，ZACB=120°,OC的延

長線與AD交于點D,且/D=/B.

(1)求證：AD與。O相切；

(2)若點C到弦AB的距離為2,求弦AB的長.

3、(2014?江西，第22題8分)如圖1,AB是圓0的直徑，點C在AB的延長線上，AB=4,

BC=2,P是圓。上半部分的一個動點，連接OP,CP?

(1)求△OPC的最大面積；

(2)求N0CP的最大度數(shù)；

(3)如圖2,延長P0交圓0于點D,連接DB,當CP=DB,求證：CP是圓0的切線.

D

圖1由2

(第22噩)

4、(2014?寧夏，第23題8分)在等邊AABC中，以BC為直徑的。。與AB交于點D,

DEXAC,垂足為點E.

(1)求證：DE為。O的切線；

(2)計算型.

AE

5.(2014?陜西，第24題8分)如圖，回O的半徑為4,B是外一點，連接OB,且OB=6,

過點B作回O的切線BD,切點為D,延長BO交回O于點A,過點A作切線BD的垂線，垂

足為C.

(1)求證：AD平分回BAC；

(2)求AC的長.

6.(2014?四川廣安,第25題9分)如圖，AB為。O的直徑，以AB為直角邊作RtAABC,

ZCAB=90°,斜邊BC與。O交于點D,過點D作。O的切線DE交AC于點E,DG±AB

于點F,交。O于點G.

(1)求證：E是AC的中點；

(2)若AE=3,cosZACB=,求弦DG的長.

7.(2014?四川綿陽，第23題12分)如圖，已知EIABC內(nèi)接于回0,AB是回0的直徑，點F

在國O上，且滿足筋=同，過點C作回O的切線交AB的延長線于D點，交AF的延長線于E

點.

(1)求證：AE0DE；

(2)若tanEICBA=AE=3,求AF的長.

8.（2014?貴州黔西南州，第22題12分）如圖，點、B、C、。都在。。上，過C點作

交。。的延長線于點A,連接8C,N8=/A=30。，8。=2?.

（1）求證：AC是。。的切線；

（2）求由線段AC、與弧。所圍成的陰影部分的面積.（結(jié)果保留兀）

9.（2014?黑龍江哈爾濱，第25題8分）如圖，0O是回ABC的外接圓，弦BD交A