北京市東城區(qū)2024年高一下數學期末統(tǒng)考試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．已知Sn是等差數列{an}的前n項和，a2+a4+a6＝12，則S7＝（）A．20 B．28 C．36 D．42．已知直三棱柱的所有頂點都在球0的表面上,,,則=()A．1 B．2 C． D．43．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列結論正確的是()A．若，，則B．若，，則C．若，，則是異面直線D．若，，，則4．已知數列2008，2009，1，-2008，-2009…這個數列的特點是從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和，則這個數列的前2019項之和S2019A．1 B．2010 C．4018 D．40175．如圖是某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，根據該折線圖，下列結論正確的是（）A．這15天日平均溫度的極差為B．連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天C．由折線圖能預測16日溫度要低于D．由折線圖能預測本月溫度小于的天數少于溫度大于的天數6．石臼是人類以各種石材制造的，用以砸、搗、研磨藥材、食品等的生產工具，是由長方體挖去半球所得幾何體，若某石臼的三視圖如圖所示（單位：dm），則其表面積（單位：dm2）為（）A．132+8π B．168+4π C．132+12π D．168+16π7．若，則的最小值為（）A． B． C． D．8．已知甲、乙兩組數據用莖葉圖表示如圖所示，若它們的中位數相同，平均數也相同，則圖中的的比值等于A． B． C． D．9．在中，角所對應的邊分別為，且滿足，則的形狀為（）A．等腰三角形或直角三角形 B．等腰三角形C．直角三角形 D．等邊三角形10．設，是平面內一組基底，若，，，則以下不正確的是（）A． B． C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．等差數列滿足，則其公差為__________．12．如圖，正方體中，的中點為，的中點為，為棱上一點，則異面直線與所成角的大小為__________．13．已知，是夾角為的兩個單位向量，向量，，若，則實數的值為________.14．如圖，矩形中，，，是的中點，將沿折起，使折起后平面平面，則異面直線和所成的角的余弦值為__________．15．已知數列為等比數列，，，則數列的公比為__________．16．在中，已知，，，則角__________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數f(x)=x2（1）寫出函數g(x)的解析式；（2）若直線y=ax+1與曲線y=g(x)有三個不同的交點，求a的取值范圍；（3）若直線y=ax+b與曲線y=f(x)在x∈[-2,1]內有交點，求(a-1)218．如圖，三棱柱的側面是邊長為2的菱形，，且.（1）求證：；（2）若，當二面角為直二面角時，求三棱錐的體積.19．如圖，在四棱錐中，，，，，，，分別為棱，的中點.（1）證明：平面.（2）證明：平面平面.20．在正△ABC中，AB＝2，（t∈R）.（1）試用，表示：（2）當?取得最小值時，求t的值.21．中，角的對邊分別為，且.（I）求的值；（II）求的值.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、B【解析】

由等差數列的性質計算．【詳解】由題意，，∴．故選B．【點睛】本題考查等差數列的性質，靈活運用等差數列的性質可以很快速地求解等差數列的問題．在等差數列中，正整數滿足，則，特別地若，則；．2、B【解析】

由題得在底面的投影為的外心，故為的中點，再利用數量積計算得解.【詳解】依題意，在底面的投影為的外心，因為，故為的中點，，故選B．【點睛】本題主要考查平面向量的運算，意在考查學生對該知識的理解掌握水平，屬于基礎題.3、A【解析】

利用線面垂直的判定，線面平行的判定，線線的位置關系及面面平行的性質逐一判斷即可.【詳解】對于A，垂直于同一個平面的兩條直線互相平行，故A正確.對于B，若，，則或，故B錯誤.對于C，若，，則位置關系為平行或相交或異面，故C錯誤.對于D，若，，，則位置關系為平行或異面，故D錯誤.故選：A【點睛】本題主要考查了線面垂直的性質，線面平行的判定和面面平行的性質，屬于簡單題.4、C【解析】

計算數列的前幾項，觀察數列是一個周期為6的數列，計算得到答案.【詳解】從第二項起，每一項都等于它的前后兩項之和計算數列前幾項得：2008，2009，1，-2008，-2009，-1,2008,2009,1，-2008…觀察知：數列是一個周期為6的數列每個周期和為0S故答案為C【點睛】本題考查了數列的前N項和，觀察數列的周期是解題的關鍵.5、B【解析】

利用折線圖的性質，結合各選項進行判斷，即可得解．【詳解】由某地某月1日至15日的日平均溫度變化的折線圖，得：在中，這15天日平均溫度的極差為：，故錯誤；在中，連續(xù)三天日平均溫度的方差最大的是7日，8日，9日三天，故正確；在中，由折線圖無法預測16日溫度要是否低于，故錯誤；在中，由折線圖無法預測本月溫度小于的天數是否少于溫度大于的天數，故錯誤．故選．【點睛】本題考查命題真假的判斷，考查折線圖的性質等基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力，考查數形結合思想，是基礎題．6、B【解析】

利用三視圖的直觀圖，畫出幾何體的直觀圖，然后求解表面積即可．【詳解】幾何體的直觀圖如圖：幾何體的表面積為：6×6×2+4×6×4﹣4π+2π×22＝168+4π．故選：B．【點評】本題考查三視圖及求解幾何體的表面積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．7、D【解析】

根據對數運算可求得且，，利用基本不等式可求得最小值.【詳解】由得：且，（當且僅當時取等號）本題正確選項：【點睛】本題考查利用基本不等式求解和的最小值的問題，關鍵是能夠利用對數運算得到積的定值，屬于基礎題.8、A【解析】

從莖葉圖提取甲、乙兩組數據中的原始數據，并按從小到大排列，分別得到中位數，并計算各自的平均數，再根據中位數、平均值相等得到關于的方程.【詳解】甲組數據：，中位數為，乙組數據：，中位數為：，所以，所以，故選A.【點睛】本題考查中位數、平均數的概念與計算，對甲組數據排序時，一定是最大，乙組數據中一定是最小.9、A【解析】

由正弦定理進行邊化角，再由二倍角公式可得，則或，所以或，即可判斷三角形的形狀.【詳解】由正弦定理得，則，因此在中，或，即或.故選：A【點睛】本題考查利用正弦定理進行邊角互化，判斷三角形形狀，屬于基礎題.10、D【解析】

由已知及平面向量基本定理可得：，問題得解.【詳解】因為，是平面內一組基底，且，由平面向量基本定理可得：，所以，所以D不正確故選D【點睛】本題主要考查了平面向量基本定理的應用，還考查了同角三角函數的基本關系，屬于較易題．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】

首先根據等差數列的性質得到，再根據即可得到公差的值.【詳解】，解得.，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查等差數列的性質，熟記公式為解題的關鍵，屬于簡單題.12、【解析】

根據題意得到直線MP運動起來構成平面，可得到面，進而得到結果.【詳解】取的中點O連接，，根據題意可得到直線MP是一條動直線，當點P變動時直線就構成了平面，因為MO均為線段的中點，故得到，四邊形為平行四邊形，面，故得到，又面，進而得到.故夾角為.故答案為.【點睛】這個題目考查的是異面直線的夾角的求法；常見方法有：將異面直線平移到同一平面內，轉化為平面角的問題；或者證明線面垂直進而得到面面垂直，這種方法適用于異面直線垂直的時候.13、【解析】

由題意得，且，，由=，解得即可.【詳解】已知，是夾角為的兩個單位向量，所以，得，若解得故答案為【點睛】本題考查了向量數量積的運算性質，考查了計算能力，屬于基礎題．14、【解析】

取中點為，中點為，連接，則異面直線和所成角為.在中，利用邊長關系得到余弦值.【詳解】由題意，取中點，連接，則，可得直線和所成角的平面角為，（如圖）過作垂直于，平面⊥平面，，平面，，且，結合平面圖形可得：,,,又=,∴=,∴在中，=,∴△DFC是直角三角形且，可得．【點睛】本題考查了異面直線的夾角，意在考查學生的計算能力和空間想象能力.15、【解析】

設等比數列的公比為，由可求出的值.【詳解】設等比數列的公比為，則，，因此，數列的公比為，故答案為：.【點睛】本題考查等比數列公比的計算，在等比數列的問題中，通常將數列中的項用首項和公比表示，建立方程組來求解，考查運算求解能力，屬于基礎題.16、【解析】

先由正弦定理得到角A的大小，再由三角形內角和為得到結果.【詳解】根據三角形正弦定理得到：，故得到或，因為故得到故答案為.【點睛】在解與三角形有關的問題時，正弦定理、余弦定理是兩個主要依據.解三角形時，有時可用正弦定理，有時也可用余弦定理，應注意用哪一個定理更方便、簡捷一般來說,當條件中同時出現及、時，往往用余弦定理，而題設中如果邊和正弦、余弦函數交叉出現時，往往運用正弦定理將邊化為正弦函數再結合和、差、倍角的正余弦公式進行解答.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1)g(x)=0,-x2【解析】

（1）先分類討論求出|f(x)|的解析式，即得函數g(x)的解析式；（2）當a=0時，直線y=1與曲線y=g(x)只有2個交點，不符題意．當a≠0時，由題意得，直線y=ax+1與曲線y=g(x)在x?-2或x?1內必有一個交點，且在-2<x<1的范圍內有兩個交點．由y=ax+1,y=-x2-x+2,-2<x<1,消去y得x2+(a+1)x-1=0．令φ(x)=x2+(a+1)x-1，寫出a應滿足條件解得；（3）由方程組y=ax+b,y=x2+x-2,消去y得x2+(1-a)x-2-b=0．由題意知方程在[-2，1]內至少有一個實根，設兩根為x【詳解】（1）當f(x)=x2+x-2≥0，得x≥1或x≤-2當f(x)=x2+x-2<0，得∴g(x)=（2）當a=0時，直線y=1與曲線y=g(x)只有2個交點，不符題意.當a≠0時，由題意得，直線y=ax+1與曲線y=g(x)在x≤-2或x≥1內必有一個交點，且在-2<x<1的范圍內有兩個交點.由y=ax+1y=-x2-x+2,-2<x<1，消去令φ(x)=x2+(a+1)x-1a≠0Δ=解得-1<a<0或0<a<12，所以a（3）由方程組y=ax+by=x2+x-2，消去由題意知方程在[-2,1]內至少有一個實根，設兩根為x1不妨設x1∈[-2,1]，x2∈R∴(a-1)==≥2×1=2當且僅當x1所以(a-1)2+(b+3)【點睛】本題考查了函數與方程，涉及了分段函數、零點、韋達定理等內容，綜合性較強，屬于難題．18、（1）見解析（2）【解析】

（1）連結，交于點，連結，推導出，又，從而面，進而，推導出，由此能得到結論；（2）由題意，可證得是二面角的平面角，進而得，進而計算得，進而利用棱錐的體積公式計算即可.【詳解】（1）連結，交于點，連結，因為側面是菱形，所以，又因為，，所以面而平面，所以，因為，所以，而，所以，故.（2）因為，為的中點，則，由（1）可知，因為，所以面，作，連結，由（1）知，所以且所以是二面角的平面角，依題意得，，所以，設，則，，又由，，所以由，解得，所以.【點睛】本題考查兩個角相等的證明，考查三棱錐的體積的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關系等基礎知識，考查運算求解能力，屬于中檔題．19、（1）見解析（2）見解析【解析】

（1）由勾股定理得，已知，故得證；（2）由題，E為AB中點，，故ABCD為平行四邊形，，由F為PB中點，EF為三角形APB的中位線，故，AP和AD相交于A，EF和CE相交于E，故得證．【詳解】證明：（1）因為，，，所以，由所以.因為，，所以平面.（2）因為為棱的中點，所以，因為，所以.因為，所以，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以平面.因為，分別為棱，的中點，所以，所以平面.因為，平面，平面，所以平面平面.【點睛】本題考查直線和平面垂直的判定，平面和平面平行的判斷，比較基礎．20、（1）（2）【解析】

（1）根據即可得出，從而解得；（2）由（1）得，根據得，從而進行數量積的運算得出，配方即可得出當時，取最小值.【詳解】（