圓錐曲線綜合應用周測（第十周）題號一二三四總分得分一、選擇題（本大題共8小題，共分）橢圓上到直線距離最近的點的坐標是A. B. C. D.拋物線的焦點F是雙曲線的一個焦點，為拋物線上一點，直線AF與雙曲線有且只有一個交點，若，則該雙曲線的離心率為A. B. C.2 D.“”是“方程表示雙曲線”的A.充分必要條件 B.充分不必要條件

C.必要不充分條件 D.既不必要也不充分條件已知點，是橢圓和雙曲線的公共焦點，，分別是和的離心率，點P為和的一個公共點，且，若，則的值是A. B. C. D.經過作圓的弦AB，且P為AB的中點，則弦AB所在的直線方程為

A. B.

C. D.已知拋物線C：的焦點為F，若斜率為的直線l過點F，且與拋物線C交于A，B兩點，則線段AB的中點到準線的距離為A. B. C. D.已知為橢圓的左、右焦點，點P在C上，，則等于A. B. C. D.雙曲線左、右焦點分別為、，雙曲線上的點P滿足，則

A.1 B.4 C.7 D.9二、不定項選擇題（本大題共1小題，共分）平面內與兩定點，連線的斜率之積等于非零常數m的點的軌跡，連同，兩點所成的曲線C可以是圓、橢圓或雙曲線，則以下四個結論中正確的有

A.當時，曲線C是一個圓

B.當時，曲線C的離心率為

C.當時，曲線C的漸近線方程為

D.當時，曲線C的焦點坐標分別為和三、填空題（本大題共4小題，共分）過點且與圓相切的直線方程______．已知圓：與圓：相交于A，B兩點，則線段AB所在的直線方程為____________線段AB的中垂線方程為_______________．圓上有且僅有3個點到直線的距離為1，則此時直線被圓截得的弦長等于__________．已知拋物線的焦點為F，直線交C于A、B兩點，M是C的準線上一點，且直線AM和BM的斜率之和為，則直線FM的斜率為

．四、解答題（本大題共2小題，共分）已知橢圓的半長軸長為，且短軸長是長軸長的一半．

求橢圓的方程；

經過點做直線l，交橢圓于A，B兩點．如果M恰好是線段AB的中點，求直線l的方程．

已知點，圓C：．

若直線l過點P且到圓心C的距離為2，求直線l的方程；

設過點的直線m與圓C交于A、B兩點的斜率為負，當時，求以線段AB為直徑的圓的方程．

圓錐曲線綜合應用答案和解析【答案】1.A 2.C 3.C 4.D 5.C 6.A 7.D

8.B 9.ABD 10.

11.；

12.

13.

14.解：根據題意，橢圓的半長軸長為4，且短軸長是長軸長的一半．

即，

，則，

故橢圓的方程為：；

由得故橢圓的方程為：，

若直線斜率不存在，即l為：，顯然不滿足題意；

故設直線l的方程為：，

將直線代入橢圓方程，得，，

設，則，

恰好是線段AB的中點，

，，

解可得得，經檢驗，滿足，

則直線l的方程為，即

．

15.解：圓心，設直線l：，即，

所以，解得：，所以直線l：

設直線m：，，即，

圓心到直線m的距離為：，

解得舍或，

直線m的方程為：，即．

設經過直線m：與圓的交點A，B的圓系方程為：

，其圓心坐標為，

依題意以AB為直徑的圓的圓心在直線m上，

，

解得，

所以以線段AB為直徑的圓的方程為：．

【解析】1.解：設與直線平行且與橢圓相切的直線l的方程為：，

由，化為

，化為，解得．

直線在橢圓的下方，故直線系中靠近的直線，

取，代入可得：，解得，．

故選：A．

設與直線平行且與橢圓相切的直線l的方程為：，與橢圓的方程聯立化為關于x的一元二次方程，令，進而解出點的坐標．

本題考查了直線與橢圓相切問題轉化為方程聯立得到，相互平行的直線之間的斜率公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．2.解：拋物線的焦點，即雙曲線的右焦點為，

雙曲線的漸近線方程分別為，，

拋物線的準線方程為，

由為拋物線上一點，可得，且，

解得，，

即，由直線AF與雙曲線有且只有一個交點，可得直線AF與漸近線平行，

可得，

則雙曲線的離心率為．

故選：C．

求得拋物線的焦點坐標和準線方程，以及雙曲線的漸近線方程，由拋物線的定義可得A的坐標，由直線AF與雙曲線有且只有一個交點，可得直線AF與漸近線平行，由兩直線平行的條件和離心率公式可得所求值．

本題考查拋物線和雙曲線的定義、方程和性質，考查漸近線方程的運用，以及離心率的求法，化簡運算能力，屬于中檔題．3.解：若，，，則不能表示雙曲線，不是充分條件，

反之，若方程表示雙曲線，

則a，b異號，是必要條件，

故是方程表示雙曲線的必要不充分條件，

故選：C．

運用反例，特殊值，結合雙曲線的標準方程判斷．

本題考查了充分必要條件的定義，雙曲線的標準方程，屬于基礎題．4.解：設橢圓和雙曲線的半焦距為c，長半軸長為，實半軸長為，

即有，，

設P為第一象限的點，，，

由橢圓和雙曲線的定義可得，，

解得，，

由，可得，

即為，

即有，又，

．

故選：D．

設橢圓和雙曲線的半焦距為c，長半軸長為，實半軸長為，運用離心率公式和橢圓、雙曲線的定義，結合三角形的余弦定理，可得與的關系式，再由已知的值求得的值．

本題考查橢圓和雙曲線的定義和性質，主要是離心率，考查三角形的余弦定理的應用，考查化簡運算能力，屬于中檔題．5.【分析】

本題考查直線與圓的位置關系，直線的斜率，直線的點斜式方程．

由題知P為弦AB的中點，可得直線AB與過圓心和點P的直線垂直，可求AB的斜率，然后用點斜式求出AB的方程．

【解答】

解：由題意知圓的圓心為，

，由，得，所以弦AB所在直線的方程為，整理得．

故選C．6.解：拋物線C：，可得準線方程為：，

過點且斜率的直線l：，

由題意可得：，可得，

直線l與拋物線C相交于A、B兩點，則線段AB的中點的橫坐標為：，

則線段AB的中點到拋物線C的準線的距離為：．

故選：A．

求出拋物線的準線方程，然后求解準線方程，求出線段AB的中點的橫坐標，然后求解即可．

本題考查拋物線的簡單性質，直線與拋物線的位置關系的應用，考查計算能力．7.【分析】

本題主要考查了橢圓的定義的應用，考查了余弦定理的應用，考查了學生的推理計算能力．

由橢圓定義可知，又，則可知，由題可知，則利用余弦定理可得．

【解答】

解：由橢圓定義可知，

又，則可知，

又即．

則．

故選D．8.【分析】

本題考查雙曲線的概念和余弦定理得應用，在中根據余弦定理列出與的關系，再由雙曲線的概念得出結果，屬于較容易題．

【解答】

解：由雙曲線的定義可知，

設，，則，

由余弦定理可得，即，

，可得，

故選B．9.【分析】

本題考查了直線的斜率公式，圓的軌跡方程，橢圓與雙曲線的標準方程和幾何性質的應用，屬于中檔題．

設動點為，求出直線、的斜率，并且求出它們的積，即可求出點M軌跡方程，根據題目所給條件逐一核對四個命題得答案．

【解答】

解：設動點為，

當時，由條件可得，

即，

又，的坐標滿足，

當時，曲線C的方程為，

則C是圓心在原點的圓，故A正確；

當時，曲線C的方程為，

則C是焦點在y軸上的橢圓，

又，離心率為，故B正確；

當時，曲線C的方程為，

表示焦點在y軸上的雙曲線，

其漸近線方程為，故C錯誤；

當時，曲線C的方程為，

表示焦點在y軸上的橢圓，

由，

可知焦點坐標分別為和；

當時，C是焦點在y軸上的雙曲線，

方程為，

由，

可知焦點坐標分別為和，故D正確．

故選ABD．10.解：把點代入圓成立，

可知點是圓上的一點，

則過的圓的切線方程為．

故答案為．

點是圓上的一點，然后直接代入過圓上一點的切線方程為，得圓的切線方程．

本題考查圓的切線方程，過圓上一點的切線方程為，此題是基礎題．11.【分析】

第一空所求AB所在直線方程，實際是兩個圓相交的特殊情況，把兩圓方程作差即可求得結果；

第二空所求AB的中垂線方程經過兩圓的圓心，由直線方程的截距式可求出AB的中垂線方程．

【解答】

解：圓：與圓：相減，即得公共弦AB所在的直線方程，

故AB所在的直線方程是：，即．

由上面圓的標準方程知兩圓圓心坐標為，，因為AB的中垂線方程經過兩圓的圓心，

由直線方程的截距式得AB的中垂線方程為：，即

故答案為；．12.【分析】

此題考查了圓與直線的位置關系，圓心到直線的距離等于2，考查了圓的弦長公式．

求出圓心，求出半徑，圓心到直線的距離等于2，則可得即可得到答案．

【解答】

解：圓半徑為3，圓心到直線的距離等于2，

即圓上有且僅有3個點到直線的距離為1．

此時弦長為．

故答案為．13.略14.根據題意，由橢圓的幾何性質分析可得a、b的值，將a、b的值代入橢圓方程即可得答案；

根據題意