重難點08相似三角形的幾何模型（4種模型）技巧技巧方法1、相似三角形幾何模型—A型圖如圖一如圖二如圖三2、相似三角形幾何模型-X型圖如圖一如圖二3.相似三角形幾何模型-AX型圖模型一：雙（多）A字模型如圖一如圖二模型二：雙（多）X字模型如圖三如圖四模型三：A型X型綜合模型圖五圖六圖七圖八模型四：平行雙A型構(gòu)造中間比圖九4.相似三角形幾何模型-一線三等角模型一：一線三直角圖一圖二模型二：一線三等角圖三圖四5.相似三角形幾何模型-旋轉(zhuǎn)相似能力拓展能力拓展1、相似三角形幾何模型—A型圖一．選擇題（共3小題）1．（2022?寧波一模）如圖，DE是△ABC的中位線，BC＝4，下面三個結(jié)論：①DE＝2；②△ADE∽△ABC；③△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4．其中正確的有（）A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【分析】利用三角形中位線定理可得出DE＝BC，DE∥BC，結(jié)合BC的長可求出DE的長，由DE∥BC可得出△ADE∽△ABC，再利用相似三角形的性質(zhì)可得出△ADE的面積與△ABC的面積之比為1：4．【解答】解：∵DE是△ABC的中位線，BC＝4，∴DE＝BC＝×4＝2，DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝（）2＝（）2＝．綜上，結(jié)論①②③均正確，即正確的結(jié)論有3個．故選：D．【點評】本題考查了三角形中位線定理以及相似三角形的判定與性質(zhì)，逐一分析三個結(jié)論的正誤是解題的關(guān)鍵．2．（2022?鎮(zhèn)海區(qū)校級開學(xué)）如圖，在△ABC中，AB＝AC＝a，BC＝b（a＞b）．在△ABC內(nèi)依次作∠CBD＝∠A，∠DCE＝∠CBD，∠EDF＝∠DCE，則EF等于（）A． B． C． D．【分析】分別證明△BCD∽△ABC，△CDE∽△BDC，△DEF∽△CDE，利用相似三角形的性質(zhì)即可求得結(jié)論．【解答】解：∵∠CBD＝∠A，∠BCD＝∠ACB，∴△BCD∽△ABC，∴．∴．∴CD＝．∵△BCD∽△ABC，∴．∵AB＝AC，∴BC＝BD＝b．∵∠DCE＝∠CBD，∠CDE＝∠BDC，∴△CDE∽△BDC．∴．∴DE＝．∵△CDE∽△BDC，∴．∵BD＝BC，∴CD＝CE＝．∵∠DEC＝∠CED，∠EDF＝∠DCE，∴△DEF∽△CDE．∴．∴EF＝．故選：C．【點評】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用相似三角形對應(yīng)邊成比例解答是解題的關(guān)鍵．二．解答題（共1小題）3．（2021?寧波模擬）如圖，已知△ABC內(nèi)接于⊙O，∠ABC+∠OAB＝90°，過點C作CD⊥AB于點D，交OB于點E．（1）求證：AB＝AC；（2）若DE＝2，CE＝6，求BC的長；（3）①若四邊形ADEO的面積等于△BEC的面積，求sin∠BAC的值；②記tan∠BAC＝x，△AOB與△CDB的面積之比為y，請用含有x的代數(shù)式表示y．【分析】（1）利用∠ABC+∠OAB＝90°及圓周角定理可推出∠ACB＝∠ABC，從而得到AB＝AC；（2）利用“母子型相似”直接可解出BC值；（3）①過點O作OF⊥AB于點F，將題干“四邊形ADEO的面積等于△BEC的面積“處理可得到S△BDC和S△OFA的關(guān)系，利用相似三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化成線段比，從而得到sin∠BAC的值；②利用tan∠BAC＝x和面積比可得AC與DC的關(guān)系，利用線段關(guān)系設(shè)相關(guān)線段長，利用勾股定理可得x與y的關(guān)系．【解答】解：（1）證明：∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA，∴∠AOB＝180°﹣2∠OAB，∴∠ACB＝＝90°﹣∠OAB，∵∠ABC+∠OAB＝90°即∠ABC＝90°﹣∠OAB，∴∠ACB＝∠ABC，∴AB＝AC；（2）∵CD⊥AB，∴∠BDE＝90°，∴∠OBA+∠DEB＝90°，∵∠ABC+∠OAB＝∠ABC+∠OBA＝90°，∴∠DEB＝∠ABC，∴△EDB∽△BDC，∴即，∴BD＝4，在Rt△BDC中，BC＝；（3）①過點O作OF⊥AB于點F，∵S四邊形ADEO＝S△BEC，∴S四邊形ADEO+S△BED＝S△BEC+S△BED即S△AOB＝S△BDC，∵OA＝OB，OF⊥AB，∴S△AOB＝2S△OFA，∴S△BDC＝2S△OFA，由（2）可得：∠OAF＝∠OBD＝∠BCD，∵△OAF∽△BCD，∴，∵S△ABO＝S△BDC即AB?OF＝BD?DC，∴，∴即；②如圖，延長AO交BC于點P，可得∠APB＝90°，∠BAC＝∠BOP，設(shè)OP＝1，∵tan∠BAC＝tan∠BOP＝x，∴BP＝x，則BC＝2x，在Rt△OBP中，OB＝，由①易得：△OBF∽△BCD，∴y＝＝．【點評】本題是圓的綜合題，涉及到圓周角定理，相似三角形，勾股定理，其中相似三角形的處理是解題的關(guān)鍵．2、相似三角形幾何模型-X型圖1．（2022?鹿城區(qū)校級二模）如圖，點B，E，C，F(xiàn)在同一條直線上，且∠A＝∠D，AB∥DE，BE＝CF，AC與DE交于點G．（1）求證：△ABC≌△DEF．（2）連結(jié)AD，若AD＝2，CG＝2AG，求BF的長．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠B＝∠DEF，根據(jù)等式的性質(zhì)可得BC＝EF，從而利用AAS證明即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得AB＝DE，從而可得四邊形ABED是平行四邊形，進而可得AD＝BE＝2，∠B＝∠ADE，然后證明8字模型相似三角形△AGD∽△CGE，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：∵AB∥DE，∴∠B＝∠DEF，∵BE＝CF，∴BE+EC＝CF+EC，∴BC＝EF，在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（AAS）；（2）解：如圖：∵△ABC≌△DEF，∴AB＝DE，∵AB∥DE，∴四邊形ABED是平行四邊形，∴AD＝BE＝2，∠B＝∠ADE，∵BE＝CF，∴AD＝BE＝CF＝2，∵∠B＝∠DEC，∴∠ADE＝∠DEC，∵∠AGD＝∠EGC，∴△AGD∽△CGE，∴＝＝，∴EC＝2AD＝4，∴BF＝BE+EC+CF＝8，∴BF的長為8．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，以及平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2021秋?舟山期末）如圖，△DBE內(nèi)接于⊙O，BD為直徑，DE＝EB，點C在⊙O（不與D，B，E重合）上，∠A＝45°，點A在直線CD上，連接AB．（1）如圖，若點C在上，求證：△ABD∽△CBE；（2）在（1）的條件下，DC＝6，DB＝10，求線段CE的長；（3）若直線BC與直線DE相交于點F，當時，求的值．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角可得∠DEB＝90°，∠ACB＝90°，從而可證∠A＝∠ECB＝45°，然后得出∠CBA＝∠EBD＝45°，最后得出∠EBC＝∠DBA即可解答；（2）利用勾股定理求出BC，再在Rt△DEB中求出BE，然后利用（1）的結(jié)論即可解答；（3）根據(jù)已知設(shè)DC＝a，CB＝3a，然后利用勾股定理求出BC，再在Rt△DEB中求出BE，最后證明8字模型相似三角形△CDF∽△EBF，利用相似三角形的性質(zhì)即可解答．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠DCB＝∠DEB＝90°，∵ED＝EB，∴∠EDB＝∠EBD＝45°，∴∠ECB＝∠EDB＝45°，∵∠A＝45°，∴∠CBA＝90°﹣∠A＝45°，∴∠CBA＝∠EBD，∴∠CBA﹣∠CBD＝∠EBD﹣∠CBD，∴∠DBA＝∠EBC，∵∠A＝∠ECB，∴△ABD∽△CBE；（2）解：∵∠DCB＝90°，DC＝6，DB＝10，∴BC＝＝＝8，∵∠CBA＝∠A＝45°，∴CA＝CB＝8，∴AD＝CA﹣CD＝8﹣6＝2，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝10×＝5，∵△ABD∽△CBE，∴＝，∴＝，∴CE＝；（3）∵，∴設(shè)DC＝a，CB＝3a，∴BD＝＝a，在Rt△DEB中，BE＝BDsin45°＝a?＝a，∵∠DCB＝∠DEB，∠∠FD＝∠EFB，∴△CDF∽△EBF，∴＝＝＝．【點評】本題考查了圓周角定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，三角形的外接圓與外心，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3.相似三角形幾何模型-一線三等角一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?溫州校級期中）如圖，在矩形ABCD中，點E，F(xiàn)，H分別在邊AB，BC，AD上，四邊形EFGH由兩個正方形組成，若BF＝AH＝2，則線段BC的長為（）A．4 B．4.5 C．5 D．5.5【分析】由四邊形EFGH是由兩個正方形組成可得∠FEH＝90°，即得∠BEF+∠AEH＝90°，然后由∠BEF+∠BFE＝90°得到∠BFE＝∠AEH，再結(jié)合矩形ABCD中∠B＝∠A＝90°得證△BFE∽△AEH，設(shè)小正方形的邊長EH＝x，則EF＝2x，利用勾股定理用含有x的式子表示BE、AE的長，然后借助相似三角形的性質(zhì)求得x的值，然后利用相同的道理得到△GFC∽△BEF求得CG和FC的長，進而得到BC的長．【解答】解：∵四邊形EFGH是由兩個正方形組成，∴∠FEH＝∠EFG＝∠FGC＝90°，EF＝2EH，∴∠BEF+∠AEH＝∠BFE+∠GFC＝90°，∵∠BEF+∠BFE＝∠CFG+∠FCG＝90°，∴∠BFE＝∠AEH＝∠FCG，∵矩形ABCD中∠B＝∠A＝90°，∴△BFE∽△AEH∽△GCF，∴，，∵BF＝AH＝2，∴BE＝2AH＝2×2＝4，AE＝BF＝×2＝1，∴EH＝FG＝＝，∴EF＝2EH＝2，∴，∴CF＝2.5，∴BC＝BF+CF＝2+2.5＝4.5，故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是通過矩形EFGH是由兩個正方形組成得到△BEF和△AEH的相似比．二．填空題（共6小題）2．（2022?杭州模擬）如圖，點E是矩形ABCD邊BC上一點，沿AE折疊，點B恰好落在CD邊上的點F處．設(shè)＝x（x＞1），（1）若點F恰為CD邊的中點，則x＝2．（2）設(shè)＝y(tǒng)，則y關(guān)于x的函數(shù)表達式是y＝．【分析】（1）根據(jù)線段中點的定義可得DC＝2DF，利用矩形的性質(zhì)可得AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，從而可得∠FEC+∠EFC＝90°，然后根據(jù)折疊可得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，從而可得AB＝AF＝DC＝2DF，∠EFC+∠AFD＝90°，再利用同角的余角相等可得∠AFD＝∠FEC，最后證明一線三等角模型相似三角形△AFD∽△FEC，從而利用相似三角形的性質(zhì)即可解答；（2）利用（1）的結(jié)論可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，△AFD∽△FEC，然后利用相似三角形的性質(zhì)進行計算即可解答．【解答】解：（1）∵點F為CD邊的中點，∴DC＝2DF，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB＝DC，∠B＝∠C＝∠D＝90°，∴∠FEC+∠EFC＝90°，由折疊得：BE＝EF，AB＝AF，∠B＝∠AFE＝90°，∴AB＝AF＝DC＝2DF，∵∠EFC+∠AFD＝90°，∴∠AFD＝∠FEC，∴△AFD∽△FEC，∴＝＝2，∴＝2，∴x＝2，故答案為：2；（2）由（1）可得AB＝AF＝DC＝DF+CF，∵△AFD∽△FEC，∴＝，∴＝，∴x＝，∴x＝1+，∴x＝1+，∴y＝，故答案為：y＝．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，翻折變換（折疊問題），函數(shù)關(guān)系式，熟練掌握一線三等角模型相似是解題的關(guān)鍵3．（2021秋?定海區(qū)期末）如圖，矩形ABCD中，AD＝6，CD＝7，E為AD上一點，且AE＝2，點F、H分別在邊AB、CD上，四邊形EFGH為矩形，則當△HGC為直角三角形時，AF的值是3或4或．【分析】首先可判斷出∠HGC＝90°，設(shè)AF＝x，再利用△AEF∽△BFC，得，代入解方程即可；當∠HGC＝90°時，畫出圖形，利用一線三等角相似可得答案．【解答】解：當△HGC為直角三角形時，當∠HGC＝90°，∵四邊形EFGH是矩形，∴∠HGF＝90°，∴∠HGF+∠HGC＝180°，∴點F、G、C三點共線，設(shè)AF＝x，則BF＝7﹣x，∴△AEF∽△BFC，∴，∴，解得x＝3或4，∴AF＝3或4；當∠HGC＝90°時，∵四邊形ABCD是矩形，∴EH＝FG，∠HEF＝∠EFG＝90°，∵∠A＝∠D＝∠B＝90°，∴∠DEH＝∠BGF，∴△DEH≌△BGF（AAS），∴DH＝BF，設(shè)AF＝x，則BF＝DH＝7﹣x，由△DEH∽△AFE得，，∴，解得x＝，∴AF＝，故答案為：3或4或．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)等知識，判定出點F、G、C三點共線是解題的關(guān)鍵．4．（2021秋?余姚市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，D，E，F(xiàn)分別是邊AB，BC，AC上的點，∠BED+∠C＝90°，△BED與△FED關(guān)于DE對稱，則DE的長為．【分析】由題意可得：∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，＝＝＝＝，想到構(gòu)造一線三等角模型的相似三角形，所以過點F作FN⊥AB，垂足為N，過點E作EM⊥NF，交NF的延長線于點M，可證明證明△NDF∽△MFE，得到＝＝，然后證明A字型模型相似三角形△ANF∽△ABC，求出NF，ME的長，最后在Rt△NDF中利用勾股定理進行計算求出DF，即可解答．【解答】解：過點F作FN⊥AB，垂足為N，過點E作EM⊥NF，交NF的延長線于點M，∴∠FND＝∠FME＝90°，∵∠B＝90°，∴四邊形NBEM是矩形，∴NB＝ME，∵∠BED+∠C＝90°，∠C+∠A＝90°，∴∠BED＝∠A，∵∠B＝∠B，∴△BED∽△BAC，∴＝＝＝，∵△BED與△FED關(guān)于DE對稱，∴△BED≌△FED，∴∠DFE＝∠B＝90°，DF＝BD，EF＝BE，∴＝＝，∵∠FME＝90°，∴∠MEF+∠MFE＝90°，∵∠MFE+∠NFD＝90°，∴∠MEF＝∠NFD，∴△NDF∽△MFE，∴＝＝，∴設(shè)NF＝3x，ME＝4x，∵∠ANF＝∠B＝90°，∠A＝∠A，∴△ANF∽△ABC，∴＝，∴＝，∴x＝1，∴NF＝3，ME＝NB＝4，設(shè)BD＝DF＝y(tǒng)，則ND＝NB﹣BD＝4﹣y，在Rt△NDF中，NF2+ND2＝DF2，∴32+（4﹣y）2＝y(tǒng)2，∴y＝，∴BD＝，∵∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∵△BED∽△BAC，∴＝，∴＝，∴DE＝，故答案為：．【點評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形構(gòu)造一線三等角模型和A字模型的相似三角形是解題的關(guān)鍵．5．（2021秋?溫州校級期中）有五本形狀為長方體的書放置在方形書架中，如圖所示，其中四本豎放，第五本斜放，點G正好在書架邊框上．每本書的厚度為5cm，高度為20cm，書架寬為40cm，則FI的長cm．【分析】根據(jù)題意得出CI＝20cm，EF＝20cm，F(xiàn)G＝5cm，證△GIF∽△FEC，根據(jù)線段比例關(guān)系得出FI的長度即可．【解答】解：由題知，CI＝BI﹣BC＝40﹣20＝20cm，EF＝20cm，F(xiàn)G＝5cm，∵∠EFC+∠CEF＝90°，∠EFC+∠GFI＝90°，∴∠CEF＝∠GFI，∵∠ECF＝∠FIG＝90°，∴△GIF∽△FEC，∴＝，即＝，∴CE＝4FI，在Rt△CEF中，由勾股定理得CE2+CF2＝EF2，即（4FI）2+（20﹣FI）2＝202，解得FI＝或FI＝0（舍去），故答案為：cm．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)并根據(jù)比例關(guān)系求值是解題的關(guān)鍵．6．（2021?樂清市二模）圖1是某個零件橫截面的示意圖，已知AB＝CD，∠B＝∠C，為了求出BC的長度，小王將寬度為2cm的直尺按圖2、圖3、圖4的三種方式擺放，所測得的具體數(shù)據(jù)（單位：cm）如圖所示，則AB＝cm，BC＝（6+）cm．【分析】如圖1，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝6cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，先證明△BHG∽△BAE，可得＝，設(shè)BG＝xcm，則AB＝（x+6）cm，GH＝2cm，可求得BE＝3xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，建立方程可求得x＝，從而求得AB＝（cm），CF＝（cm），如圖2，DF⊥BC于F，MN⊥DN交AB于M，過點M作MK⊥BC于K，由勾股定理可得FN＝2（cm），再通過△DNF∽△NMK，即可求得答案．【解答】解：如圖1，過點A作AE⊥BC于E，過點D作DF⊥BC于F，在AB上截取AG＝6cm，過點G作GH⊥AB交BC于H，則∠AEB＝∠DFC＝90°，DF＝6cm，∵AB＝CD，∠B＝∠C，∴△ABE≌△DCF（AAS），∴AE＝DF＝6cm，BE＝CF，∵∠BGH＝90°，∴∠BGH＝∠AEB，∵∠HBG＝∠ABE，∴△BHG∽△BAE，∴＝，設(shè)BG＝xcm，則AB＝（x+6）cm，∵GH＝2cm，∴＝，∴BE＝3xcm，在Rt△ABE中，BE2+AE2＝AB2，∴（3x）2+62＝（x+6）2，解得：x＝0（舍去）或x＝，∴AB＝AG+BG＝6+＝（cm），CF＝BE＝3×＝（cm），如圖2，DF⊥BC于F，MN⊥DN交AB于M，過點M作MK⊥BC于K，DF＝6，DN＝8，MN＝2，則∠DFN＝∠DNM＝∠MKN＝∠MKB＝90°，∴FN＝＝＝2（cm），∵∠DNF+∠MNK＝90°，∠DNF+∠NDF＝90°，∴∠MNK＝∠NDF，∴△DNF∽△NMK，∴＝＝，∴＝＝，∴MK＝cm，NK＝cm，∵∠B＝∠C，∠BKM＝∠CFD＝90°，∴△BMK∽△CDF，∴＝，∴＝，∴BK＝cm，∴BC＝BK+NK+FN+CF＝++2+＝（6+）cm，故答案為：，6+．【點評】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，添加輔助線構(gòu)造全等三角形和相似三角形是解題關(guān)鍵．7．（2021?濱江區(qū)一模）已知，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，點F在AB邊上，且AF＝2，點E是BC邊上的一個點，連接EF，作線段EF的垂直平分線HG，分別交邊AD，BC于點H，G，連接FH，EH．當點E和點C重合時（如圖1），DH＝；當點B，M，D三點共線時（如圖2），DH＝．【分析】當點E和點C重合時，由垂直平分線的性質(zhì)可得，F(xiàn)H＝CH，設(shè)DH＝t，則AH＝9﹣t，分別在Rt△DHC和Rt△AHF中，利用勾股定理建等式，求出t，即求出DH的長；當點B，M，D三點共線時，過點M作MP⊥BC于點P，并延長PM交AD于點Q，由中位線定理可得，MP＝BF＝2，由MP∥CD，可得△BMP∽△BDC，可得BP的長，再利用一線三等角，可證明△EMP∽△MHQ，可得QH＝，最后由DH＝9﹣AQ﹣QH，可得DH＝．【解答】解：如圖1，設(shè)DH＝t，則AH＝9﹣t，∵GH垂直平分EF，∴FH＝CH，∴＝，即22+（9﹣t）2＝t2+62，解得t＝，即DH＝；故答案為：；法一：如圖2，過點M作MN⊥BC，過點E作ES⊥AD，∵HG是線段EF的垂直平分線，∴HF＝HE，F(xiàn)M＝ME，∵MN⊥BC，AB⊥BC，∴△EMN∽△EFB，∴，∵FB＝AB﹣AF＝6﹣2＝4，∴MN＝FB＝2，∴△BMN∽△BDC，∴，∴BN＝BC＝3，∴NE＝BN＝3，∴SD＝CE＝BC﹣2BN＝3，設(shè)DH＝x，則AH＝9﹣x，HS＝x﹣3，∴HF2＝HE2，∴AF2+AH2＝HS2+SE2，∴22+（9﹣x）2＝（x﹣3）2+62．解得：x＝．法二：如圖2，過點M作MP⊥BC于點P，并延長PM交AD于點Q，則PQ⊥AD，∵GH垂直平分EF，則點M是EF中點，∵MP⊥BC，BF⊥BC，∴MP＝BF＝（6﹣2）＝2，BP＝PE，∴MQ＝4，∵MP∥CD，∴，∴BP＝BC＝3，∴PE＝AQ＝BP＝3，∵GH⊥EF，∴∠HME＝90°，∴∠QMH+∠EMP＝90°，又∠HQM＝∠MPE＝90°，∴∠QMH+∠QHM＝90°，∴∠EMP＝∠QHM，∴△EMP∽△MHQ，∴，即，解得，QH＝，∴DH＝9﹣AQ﹣QH＝9﹣3﹣＝．故答案為：．【點評】本題主要考查矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)及勾股定理等內(nèi)容，利用勾股定理建立等式是解題的關(guān)鍵；本題也可以點B為原點建立平面直角坐標系，借助解析式解答．三．解答題（共3小題）8．（2022?上城區(qū)一模）如圖，AD平分∠BAC，且∠C＝∠D，點E為AD上一點．（1）求證：△ABD∽△AEC．（2）若AC∥BD，AB＝5，AC＝6，CE＝4，求AD的長．【分析】（1）根據(jù)兩角相等，即可證明△ABD∽△AEC；（2）先證明△ACE是等腰三角形，再根據(jù)相似三角形列出比例式即可求解．【解答】解：（1）證明：∵AD平分∠BAC，∴∠EAC＝∠BAD，又∠C＝∠D，∴△ABD∽△AEC．（2）∵AC∥BD，∴∠CAE＝∠D，∵∠C＝∠D，∴∠CAE＝∠C．∵△ACE是等腰三角形，∴AE＝CE＝4，∵△ABD∽△AEC，∴＝．故＝．∴AD＝．【點評】此題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟知等腰三角形及相似三角形的判定定理．9．（2020?柯橋區(qū)模擬）如圖，AB∥CD，AB＝5cm，AC＝4cm，線段AC上有一動點E，連接BE，ED，∠BED＝∠A＝60°，設(shè)A，E兩點間的距離為xcm，C，D兩點間的距離為ycm．小明根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進行了探究．下面是小明的探究過程，請補充完整．（1）列表：如表的已知數(shù)據(jù)是根據(jù)A，E兩點間的距離x進行取點、畫圖、測量，分別得到了x與y的幾組對應(yīng)值：x/cm00.511.522.32.5y/cm00.390.751.071.331.451.50（答案不唯一）x/cm2.83.23.53.63.83.9y/cm1.531.421.171.030.630.35請你補全表格；（2）描點、連線：在平面直角坐標系xOy中，描出表中各組數(shù)值所對應(yīng)的點（x，y），并畫出函數(shù)y關(guān)于x的圖象；（3）探究性質(zhì)：隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢：當0≤x≤2.8時，y隨x的增大而增大，當2.8＜x≤3.9時，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（4）解決問題：當AE＝2CD時，CD的長度大約是1.50（答案不唯一）cm．【分析】（1）通過取點、畫圖、測量可得；（2）依據(jù)表格中的數(shù)據(jù)描點、連線即可得；（3）觀察圖象即可求解；（4）畫出函數(shù)圖象：y＝x，該函數(shù)圖象和原函數(shù)圖象交點，即為所求．【解答】解：（1）通過畫圖得：當x＝2.5時，y≈1.50cm，（備注：作∠DMC＝60°，則△DMC為等邊三角形，則DC＝DM＝CM，根據(jù)一線三等角，△ABE∽△MED，根據(jù)邊比關(guān)系，可得y＝1.50）故答案為：1.50（答案不唯一）；（2）畫出該函數(shù)的圖象如下：（3）隨著自變量x的不斷增大，函數(shù)y的變化趨勢是：當0≤x≤2.8時，y隨x的增大而增大，當2.8＜x≤3.9時，y隨x的增大而減小（其中2.8是概略數(shù)值，答案不唯一）；故答案為：當0≤x≤2.8時，y隨x的增大而增大，當2.8＜x≤3.9時，y隨x的增大而減?。ù鸢覆晃ㄒ唬?；（4）當AE＝2CD時，即x＝2y，則y＝x，畫出函數(shù)圖象：y＝x，該函數(shù)圖象和原函數(shù)圖象交點，即為所求，兩個函數(shù)交點的縱坐標為：1.50，故CD＝y(tǒng)＝1.50，故答案為：1.50cm（答案不唯一）．【點評】本題動點問題、函數(shù)作圖等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會利用圖象法解決問題，屬于中考?？碱}型．10．（2021秋?蕭山區(qū)月考）如圖，等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，∠ADE＝60°（1）求證：△ABD∽△DCE；（2）若BD＝4，CE＝，求△ABC的邊長．【分析】（1）由∠ADE＝60°，證明∠DAB＝∠EDC，可證得△ABD∽△DCE；（2）可用等邊三角形的邊長表示出DC的長，由（1）根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例，求得△ABC的邊長．【解答】證明（1）∵△ABC是等邊三角形，∴∠B＝∠C＝60°，AB＝BC；∴CD＝BC﹣BD＝AB﹣3；∴∠BAD+∠ADB＝120°∵∠ADE＝60°，∴∠ADB+∠EDC＝120°，∴∠DAB＝∠EDC，又∵∠B＝∠C＝60°，∴△ABD∽△DCE；（2）解：∵△ABD∽△DCE，∴，∵BD＝4，CE＝，∴，解得AB＝6．【點評】此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和相似三角形的判定和性質(zhì)，能夠證得△ABD∽△DCE是解答此題的關(guān)鍵．4.相似三角形幾何模型-旋轉(zhuǎn)相似一．選擇題（共1小題）1．（2021秋?濱江區(qū)校級期中）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，P是對角線AC上的動點，連接DP，將直線DP繞點P順時針旋轉(zhuǎn)，使旋轉(zhuǎn)角等于∠DAC，且DG⊥PG，即∠DPG＝∠DAC．連接CG，則CG最小值為（）A． B． C． D．【分析】作DH⊥AC于H，連接HG延長HG交CD于F，作HE⊥CD于H，證明△ADH∽△PDG，得∠DHG＝∠DAP＝定值，則點G在射線HF上運動，故當CG⊥HF時，CG的值最小，再證FH＝FC＝DF＝1，可知HE＝CG，利用等積法求出HE的長即可．【解答】解：如圖，作DH⊥AC于H，連接HG延長HG交CD于F，作HE⊥CD于E，∵DG⊥PG，DH⊥AC，∴∠DGP＝∠DHA，∵∠DPG＝∠DAH，∴△ADH∽△PDG，∴，∠ADH＝∠PDG，∴∠ADP＝∠HDG，∴△ADP∽△DHG，∴∠DHG＝∠DAP＝定值，∴點G在射線HF上運動，∴當CG⊥HF時，CG的值最小，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠ADC＝90°，∴∠ADH+∠HDF＝90°，∵∠DAH+∠ADH＝90°，∴∠HDF＝∠DAH＝∠DHF，∴FD＝FH，∵∠FCH+∠CDH＝90°，∠FHC+∠FHD＝90°，∴∠FHC＝∠FCH，∴FH＝FC＝DF＝1，在Rt△ADC中，∵∠ADC＝90°，AD＝4，CD＝2，由勾股定理得AC＝2，DH＝，∴CH＝＝，∴EH＝，∵∠CFG＝∠HFE，∠CGF＝∠HEF＝90°，CF＝HF，∴△CGF≌△HEF（AAS），∴CG＝HE＝，∴CG的最小值為，故選：C．【點評】本題主要考查了矩形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識，作輔助線構(gòu)造相似三角形得出點G的運動路徑是解題的關(guān)鍵．二．填空題（共1小題）2．（2021秋?嵊州市期末）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝8，D是AB的中點，M是線段AC上的一動點，連結(jié)DM．以DM為直角邊作直角三角形DEM，使得∠DEM＝30°，斜邊DE所在直線交射線MC于點F．若△MDF的面積是△MEF面積的倍，則CM的長為5．【分析】如圖，過點D作DG⊥AC于G，過點E作EH⊥AC于H，先證得△ADG∽△ABC，求得：DG＝3，AG＝4，CG＝4，再根據(jù)△MDF的面積是△MEF面積的倍，可求得EH＝DG＝，再利用三角函數(shù)定義可得＝tan∠DEM＝tan30°＝，最后再證明△DMG∽△MEH，運用相似三角形性質(zhì)即可求得答案．【解答】解：如圖，過點D作DG⊥AC于G，過點E作EH⊥AC于H，則∠DGM＝∠MHE＝90°，在Rt△ABC中，BC＝＝＝6，∵D是AB的中點，∴AD＝AB＝5，∵∠AGD＝∠ACB＝90°，∠DAG＝∠BAC，∴△ADG∽△ABC，∴＝＝，即＝＝，∴DG＝3，AG＝4，∴CG＝AC﹣AG＝8﹣4＝4，∵△MDF的面積是△MEF面積的倍，∴FM?DG＝×FM?EH，∴DG＝EH，即EH＝DG＝，在Rt△DEM中，∠DME＝90°，∠DEM＝30°，∴＝tan∠DEM＝tan30°＝，∵∠DMG+∠MDG＝90°，∠DMG+∠EMH＝∠DME＝90°，∴∠MDG＝∠EMH，∴△DMG∽△MEH，∴＝，∴＝，∴MG＝1，∴CM＝CG+MG＝4+1＝5，故答案為：5．【點評】本題是相似三角形綜合題，考查了勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，三角函數(shù)定義，三角形面積等，添加輔助線構(gòu)造相似三角形是解題關(guān)鍵．三．解答題（共2小題）3．（2022?下城區(qū)校級二模）如圖所示，已知BC是⊙O的直徑，A、D是⊙O上的兩點，連結(jié)AD、AC，CD，線段AD與直徑BC相交于點E．（1）若∠ACB＝60°，求sin∠ADC的值．（2）當＝時，①若CE＝，＝2，求∠COD的度數(shù)．②若CD＝1，CB＝4，求線段CE的長．【分析】（1）根據(jù)直徑所對的圓周角是直角，首先得到直角三角形，然后求出∠B的度數(shù)，利用特殊角的銳角三角函數(shù)值直接求解即可；（2）①根據(jù)已知先求出的值，然后在直角三角形中利用cosB的值即可求出∠B，再利用圓周角定理得出∠B和∠COD的關(guān)系即可求出∠COD的度數(shù)；②利用已知容易得出∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE，進而得出△OCD∽△DCE，利用相似的性質(zhì)得出比例式即可求出CE的長．【解答】解：（1）∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝90°，∵∠ACB＝60°，∴∠B＝30°，∵＝，∴∠ADC＝∠B＝30°，∴sin∠ADC＝sin30°＝，答：sin∠ADC的值是；（2）①∵CE＝，＝2，∴＝，∵∠BAC＝90°，∴cos∠B＝＝，∴∠B＝45°，∵＝，∴∠CAD＝∠B＝22.5°，∴∠COD＝2∠CAD＝45°，即∠COD的度數(shù)為45°；②∵＝，∵∠ADC＝∠COD，∠OCD＝∠DCE，∴△OCD∽△DCE，∴，∵BC＝4，∴OC＝2，∴，∴CE＝，∴線段CE的長為．【點評】本題綜合考查了與圓有關(guān)的基本性質(zhì)，并結(jié)合性質(zhì)考查了銳角三角函數(shù)和相似三角形，題目的綜合性較強，解題的關(guān)鍵熟練掌握圓周角定理并靈活運用，掌握三角形相似的基本模型．4．（2019?金華模擬）（1）【問題發(fā)現(xiàn)】如