2023-2024學(xué)年上海市楊浦區(qū)八年級（上）期末數(shù)學(xué)試卷

一、選擇題：本題共6小題，每小題2分，共12分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.下列各式中與2是同類二次根式的是（）

A.<20B.C.A<24D.<0^2

2.用配方法解一元二次方程一一6久-7=0,則方程變形為（）

A.（x-6）2=43B.（%+6）2=43C.（x-3）2=16D.（x+3）2=16

3.下面各組變量的關(guān)系中，成正比例關(guān)系的有（）

A.人的身高與年齡B.汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度

C,正方形的面積與它的邊長D.圓的周長與它的半徑

4.如圖，點尸在反比例函數(shù)y>0）第一象限的圖象上，垂直了軸，垂足為

Q,設(shè)APOQ的面積是s,那么s與人之間的數(shù)量關(guān)系是（）

C.s=k

D.不能確定

5.下列給出的三條線段中，不能構(gòu)成直角三角形的是（）

A.4,8,40B.4,8,4<5C.7,24,25D.7,14,15

6.已知下列命題中：

①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形全等；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形全等；

④頂角與底邊分別對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等.

其中真命題的個數(shù)是（）

A.1B.2C.3D.4

二、填空題：本題共12小題，每小題3分，共36分。

7.計算：72a-76a=.

8.方程/=5x的根是.

9.函數(shù)y=，2尤一1的定義域是

10.已知/（X）=白，那么/（質(zhì)）=

11.若函數(shù)〉=/+1）%是正比例函數(shù)，且y的值隨x的值增大而減小，則上的取值范圍是

12.關(guān)于x的一元二次方程爪/-2x+1=。有兩個不相等的實數(shù)根，則實數(shù)m的取值范圍是

13.到點A的距離等于2厘米的點的軌跡是.

14.若直角三角形斜邊上的高是3,斜邊上的中線是6,則這個直角三角形的面積是

15.如圖，在△ABC中，ZC=90°,邊AB的垂直平分線OE■交AC于

D,CD=10cm,AD=20cm,貝“ZTl=

16.若點P在彳軸上，點A坐標(biāo)是（2,-1）,且PA=則點P的坐標(biāo)是.

17.在證明“勾股定理”時，可以將4個全等的直角三角形和一個小正方形拼成一個大正方形（如圖所示,

4B<BC）,如果小正方形的面積是25,大正方形的面積為49,那么啜=.

18.我們規(guī)定：如果一個三角形一邊上的高等于這條邊，那么這個三--------------------------I,

角形叫做“等高底”三角形，這條邊叫做這個三角形的“等底”.如

圖，已知直線I//%，1］與，2之間的距離是3,“等高底”△ABC的

-------------------------------------------L

“等底”8C在直線4上（點2在點C的左側(cè)），點A在直線％上，AB=

yH.BC,將AABC繞點B順時針旋轉(zhuǎn)45。得到點A、C的對應(yīng)點分別為點兒、的，那么&C的長為

三、解答題：本題共8小題，共52分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

19.（本小題5分）

計算：3-J（1-CT+值

20.（本小題5分）

如圖，點8、F、C、E在同一直線上，AB1BE,垂足為8,DE1BE,垂足為E,AC、。尸相交于點G,

且AC=DF,BF=CE.求證：FG=CG.

BFCE

21.（本小題5分）

如圖，走廊上有一梯子以45。的傾斜角斜靠在墻上，墻與地面垂直，梯子影響了行人的行走，工人將梯子

挪動位置，使其傾斜角變?yōu)?0。，如果梯子的長為4米，那么行走的通道拓寬了多少米？（結(jié)果保留根號）.

45-A60

BD

22.（本小題5分）

某市半程馬拉松比賽，甲乙兩位選手的行程（千米）隨時間（小時）變化的圖象如圖所示.

⑴哪位選手先到終點？（填“甲”或“乙”）；

（2）甲選手跑到8千米時，用了小時.起跑小時后，甲乙兩人相遇；

（3）乙選手在0<x<2的時段內(nèi)，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是；

（4）甲選手經(jīng)過1.5小時后，距離起點有千米.

W千米

00.51.52”時

23.(本小題6分)

如圖，在△力BC中，AB=AC,AB=30".

(1)在BC邊上求作一點N,使得AN=BN；(不要求寫作法，但要保留作圖痕跡)

(2)在(1)的條件下，求證：CN=2BN.

24.(本小題8分)

如圖，已知在AABC中，AB=AC,^BAC=30°,。是8C的中點，DE1AB于E,DF//4B交AC于F,求

證：DE=^1DF.

25.(本小題8分)

如圖，已知一次函數(shù)y=和反比例函數(shù)y=+(k手0)的圖象交點是2(4,a).

(1)求反比例函數(shù)解析式；

(2)在x軸的正半軸上存在一點P,使得AAOP是等腰三角形，請求出點尸的坐標(biāo).

26.(本小題10分)

如圖，在RtaABC中，乙4cB=90。，CA=CB,點。、E在線段AB上.

(1)如圖1,若CD=CE,求證：AD=BE；

(2)如圖2,若NDCE=45°,求證：DE2=AD2+BE2；

(3)如圖3,若點尸是△ABC內(nèi)任意一點，/-BPC=135°,設(shè)4P=a、BP=b、CP=c,請直接寫出a,

6,c之間的數(shù)量關(guān)系.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：A、，而=2=與，I不是同類二次根式；

B、［=苧與是同類二次根式；

722

C、，西=2五與不是同類二次根式；

D、，兩=胃與，1不是同類二次根式；

故選：B.

化簡二次根式，即可判定.

本題主要考查了同類二次根式，解題的關(guān)鍵是能正確化簡二次根式.

2.【答案】C

【解析】【分析】

首先進行移項變形成/-6久=7,兩邊同時加上9,則左邊是一個完全平方式，右邊是一個常數(shù)，即可完

成配方.

配方法的一般步驟：

(1)把常數(shù)項移到等號的右邊；

(2)把二次項的系數(shù)化為1；

(3)等式兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方.

選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數(shù)為1,一次項的系數(shù)是2的倍數(shù).

【解答】

解：???久2-6比一7=0,

x2-6x=7,

%2—6%+9=7+9,

(x-3)2=16.

故選：C.

3.【答案】D

【解析】【分析】

此題主要考查了正比例函數(shù)的定義，此題屬于辨識成正、反比例的量，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一定，

還是對應(yīng)的乘積一定，再做判斷.判斷兩個相關(guān)聯(lián)的量之間成什么比例，就看這兩個量是對應(yīng)的比值一

定，還是對應(yīng)的乘積一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘積一定，則成反比例.

【解答】

解：A、人的身高與年齡不成比例，故此選項不符合題意；

8、汽車從甲地到乙地，所用時間與行駛速度成反比例關(guān)系，故此選項不符合題意；

C、正方形的面積與它的邊長的平方成正比例，故此選項不符合題意；

。、圓的周長與它的半徑成正比例關(guān)系，故此選項符合題意；

故選：D.

4.【答案】B

【解析】解：,點尸是反比例函數(shù)y=(圖象上一點，且PQ1x軸于點。，

1

,,,SAPOQ=21卜1=s,

解得：|k|=2s.

???反比例函數(shù)在第一象限有圖象，

k=2s.即s=5

故選：B.

根據(jù)點P在反比例函數(shù)圖象上結(jié)合反比例函數(shù)系數(shù)上的幾何意義就可以求出s與左之間的數(shù)量關(guān)系.

本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，解題的關(guān)鍵是根據(jù)反比例函數(shù)系數(shù)k的

幾何意義找出△POQ面積s與k的關(guān)系.

5.【答案】D

【解析】解：4742+(40=64=82,.?.能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

■-42+82=80=(4VT)2,.?.能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

C、???72+242=625=252,.?.能夠成直角三角形，故本選項錯誤；

￡＞、???72+142=245豐152,.?.不能夠成直角三角形，故本選項正確.

故選：D.

根據(jù)勾股定理的逆定理對四個選項進行逐一判斷即可.

本題考查的是如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+62=。2,那么這個三角形就是直角三角形.

6.【答案】B

【解析】解：①有兩條邊分別相等的兩個直角三角形不一定全等，原命題是假命題；

②有一條腰相等的兩個等腰直角三角形全等，是真命題；

③有一條邊與一個銳角分別相等的兩個直角三角形不一定全等，原命題是假命題；

④頂角與底邊分別對應(yīng)相等的兩個等腰三角形全等，是真命題.

其中真命題的個數(shù)是2個；

故選：B.

根據(jù)全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)分別對每一項進行分析即可.

本題考查了命題與定理，用到的知識點是全等三角形的判定、等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)，主要考查

學(xué)生的分析問題和解決問題的能力，是一道比較容易出錯的題目.

7.【答案】2^3a

【解析】解：V2a-V6a=V2a-6a=V12a2=2y/~3a,

故答案為：

根據(jù)二次根式的乘法法則計算即可.

本題考查了二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的乘法法則是解題的關(guān)鍵.

8.【答案】X]=0,x2-5

【解析】解：x2-5x=0,

x(x-5)=0,

???x=0或久—5=0,

%]-0,%2=5.

故答案為無1=0,%2=5.

先把方程變形為/一5工=0,把方程左邊因式分解得x(x-5)=0,則有x=0或％-5=0,然后解一元一

次方程即可.

本題考查了利用因式分解法解一元二次方程：先把方程變形為一元二次方程的一般形式，然后把方程左邊

因式分解，這樣就把方程轉(zhuǎn)化為兩個一元一次方程，再解一元一次方程即可.

9.【答案】%

【解析】解：根據(jù)題意得：2比—120,

解得「另

故答案為％>I，

根據(jù)二次根式的性質(zhì)的意義，被開方數(shù)大于或等于0,可以求出尤的范圍.

本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍問題，函數(shù)自變量的范圍一般從三個方面考慮：

(1)當(dāng)函數(shù)表達式是整式時，自變量可取全體實數(shù)；

(2)當(dāng)函數(shù)表達式是分式時，考慮分式的分母不能為0；

(3)當(dāng)函數(shù)表達式是二次根式時，被開方數(shù)非負.

10.【答案】2-6

【解析】解：〃門)=出

2—4

-(2+AA3)(2-73)

=2—V-3.

故答案為：2-V3.

把x=4代入函數(shù)表達式，再分母有理化即可得解.

本題考查了函數(shù)值的求解，掌握分母有理化是關(guān)鍵.

11.【答案】k<—1

【解析】解：,?,正比例函數(shù)y=(k+l)x中，y的值隨自變量x的值增大而減小，

/c+1<0,

解得，k<—1；

故答案為：k<-1.

根據(jù)正比例函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系列出關(guān)于左的不等式k+1<0,然后解不等式即可.

本題主要考查正比例函數(shù)圖象在坐標(biāo)平面內(nèi)的位置與左的關(guān)系.解答本題注意理解：直線y=此所在的位

置與人的符號有直接的關(guān)系.k>0時，直線必經(jīng)過一、三象限，y隨x的增大而增大；k<0時，直線必經(jīng)

過二、四象限，y隨x的增大而減小.

12.【答案】m<1且m豐0

【解析】解：由題意得：/>0,

(-2)2-4mX1>0,

整理得：m<1.

又；m0,

二實數(shù)m的取值范是<1且m中0.

故答案是：m<1且TH豐0.

由題意可得/>。且小*0,然后解不等式即可.

本題考查了一元二次方程根的判別式的應(yīng)用.切記不要忽略一元二次方程二次項系數(shù)不為零這一隱含條

件.

13.【答案】以點A為圓心，2厘米長為半徑的圓

【解析】解：到點A的距離等于2厘米的點的軌跡是：以點A為圓心，2厘米長為半徑的圓.

故答案為：以點A為圓心，2厘米長為半徑的圓.

根據(jù)圓的定義解答.

本題考查了軌跡，主要是對圓的軌跡定義的考查，比較簡單.

14.【答案】18

【解析】解：???直角三角形斜邊上的中線是6,

?,?斜邊長=2x6=12,

???直角三角形斜邊上的高是3,

??.這個直角三角形的面積=|x12x3=18,

故答案為：18.

利用直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)可求出斜邊長，然后利用三角形的面積公式進行計算即可解答.

本題考查了直角三角形斜邊上的中線，三角形的面積，熟練掌握直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)是解題的關(guān)

鍵.

15.【答案】30。

【解析】解：???￡?￡垂直平分AB,

??.BD=AD=20cm,AE=BE,DE1AB,

在中，?.?“=90。，

BC=<BD2-CD2=V202-102=10A<3,

在RtzkABC中，AB=yjBC2+AC2=J(1073)2+302=20AA3,

ABE=^AB=10V-3,

BE=BC,

在Rt△BCD^Rt△BEO中，

(BD=BD

Sc=BE'

???Rt△BCD三Rt△BED(HL),

???Z.CBD=乙EBD,

DA=DB,

???Z-EBD=乙A,

???Z-ABC=2乙4,

???乙4+448。=90°,

???Z-A+2/-A=90°,

解得乙4=30°.

故答案為：30。.

先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到BD=AD=20cm,AE=BE,DE1AB,再利用勾股定理計算出BC=

10<3,AB=20<3,則BE=10<3,接著證明Rt△BCD=RtABED,所以NCBD=乙EBD,則NA8C=

2乙4,然后根據(jù)三角形內(nèi)角和計算出乙4的度數(shù).

本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)：垂直平分線垂直且平分其所在線段；垂直平分線上任意■點，到線段

兩端點的距離相等.

16.【答案】(3,0)或(1,0)

【解析】解：由題意設(shè)PQ,0),因為=

7(2-x)2+(-l-0)2=42,

解得：x=3或x=1,

所以點P的坐標(biāo)是(3,0)或(1,0),

故答案為：(3,0)或(1,0),

設(shè)出尸的坐標(biāo)，利用兩點距離公式，求出尸的坐標(biāo).

此題考查點的坐標(biāo)問題，關(guān)鍵是兩點間距離公式的應(yīng)用，考查計算能力.

17.【答案埒

【解析】【分析】

此題考查勾股定理的證明.首先求出小正方形的邊長和大正方形的邊長然后再求出和BC的長，進而

可得益的值.

【解答】

解：???小正方形的面積是25,

AC—5,

?；XHAG義ABCA,

??.AH=CB,

???大正方形的面積為49,

??.BH=7,

??.AB+AH=7,

設(shè)AB=x,

則=7-x,

在中：X2+(7-X)2=52,

解得：%1=4,上=3,

當(dāng)久=4時，7—%=3,

當(dāng)久=3時,7—%=4,

??,AB<BC,

AB=3,BC=4,

BC4

‘AB=3'

18.【答案】3/1—3

【解析】解：如下圖：

BC=3,AC=3,AB=ArB=

AB-BC

711C=r=3-\/~2-3,

故答案為：3，1-3.

先根據(jù)勾股定理求出BC,再根據(jù)旋轉(zhuǎn)法性質(zhì)求解.

本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵.

19.【答案】解：原式=2—C—|1—C|+2/3

=2-+1-V-3+2A/-3

=3.

【解析】先分母有理化，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)化簡，然后合并即可.

本題考查了二次根式的混合運算：熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法法則、除法法則是解決問題

的關(guān)鍵.

20.【答案】證明：???BF=CE,

??.+FC=CE+FC,

即BC=EF,

vAB1BE,DE1BE,

ZB=ZE=90°,

在Rt△ABC^Rt△DEF中，

(BC=EF

Uc=DFf

Rt△ABC三Rt△DEF(HL),

???Z-ACB=Z-DFE,

??.GF=GC.

【解析】由“HL"pTMt△ABC=RtLDEF,可得NACB=NOFE,可得結(jié)論.

本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵.

21.【答案】解：在RtAAB。中，AABO=45°,

則。8=OA,

AB=4米，

??.OA2+OB2=AB2=16,

OB=271(米)，

在R%CD。中，AADO=60°,

???(DCO=30°,

OD=^CD=2(米)，

BD=OB-OD=(2/2-2)米，

答：行走的通道拓寬了(2/1-2)米.

【解析】根據(jù)勾股定理求出。8,再根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)求出OO,進而求出BD.

本題考查的是勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用相關(guān)的定理是

解題的關(guān)鍵.

22.【答案】乙0.5。=10x(0<x<2)12

【解析】解:(1)由圖可知，乙選手先到終點，

故答案為：乙；

(2)由圖可知，甲選手跑到8千米時，用了0.5小時，起跑1小時后，甲乙兩人相遇，

故答案為：0.5,1；

⑵由圖可得，乙選手的速度為三=10(千米/小時)，

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式是y=10x(0<x<2)；

故答案為：y=10x(0<x<2)；

⑶由圖可知，甲0.5小時距離起點8千米，1小時距離起點10千米，

.-?0.5<x<1.5時,甲用0.5小時跑了(10—8)=2(千米)，

x=1.5時，甲距離起點10+2=12(千米)，

故答案為：12.

(1)觀察圖象直接可得答案；

(2)觀察圖象直接可得答案；

(3)求出乙的速度，即可得到y(tǒng)與尤之間的函數(shù)關(guān)系式；

(4)由圖象知：0.5WXW1.5時，甲用0.5小時跑了2千米，即可得到答案.

本題考查一次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，能從圖象中獲取有用的信息.

23?【答案】(1)解：作圖正確;

(2)證明：連接4V.'

???AB=AC,

Z.B=Z.C=30°.

???^BAC=180°-2Z-B=120°.

vAN=BN,

??.Z.NAC=ABAC-(NAB=120°-30°=90°.

???Z.C=30°,

??.CN=2AN.

??.CN=2BN.

【解析】(1)作線段AB的垂直平分線上；

(2)根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)計算出NC的度數(shù)，再計算出乙CAN的度數(shù)，然后根據(jù)三角形的性質(zhì)可得CN=

2AN,進而得到CN=2BN.

此題主要考查了作圖，以及直角三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是正確畫出圖形,掌握在直角三角形中，30。角所對

的直角邊等于斜邊的一半.

A

24.【答案】證明：如圖，過點。作DH12C于點

--AB=AC,。是BC的中點，

AD平分NB4C,/\

???DE1AB,DH1AC,/A

:.DE=DH,//\

???DF//AB,ABAC=30。，

BD0

.-.乙DFH=/.BAC=30°,

1

DH=^DF,

：.DE=^DF.

【解析】過點。作AC于點“，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AQ平分ABAC,根據(jù)角平分線的性質(zhì)得

到DE=DH,根據(jù)含30。角的直角三角形的性質(zhì)得到=初,等量代換證明結(jié)論.

本題考查的是等腰三角形的性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、含30。角的直角三角形的性質(zhì)，靈活運用等腰三角形

的三線合一是解題的關(guān)鍵.

25.【答案】解：(1)???4點是一次函數(shù)y=和反比例函數(shù)y=§也手0)圖象的交點，

1A

m=-X4,

解得租=2,

即4(4,2),

把A點坐標(biāo)代入反比例函數(shù)y=g(kK0)得，2=也

解得k=8,

二反比例函數(shù)的解析式為y=g；

(2)設(shè)P點的坐標(biāo)為(n,0),

若使AAOP是等腰三角形，分以下三種情況：

①當(dāng)。a=OP時，

由(1)知，4(4,2),

???n=V42+22=2V-5?

即產(chǎn)(2后,0);

②當(dāng)。4=4尸時，作AH1OP于H,

???4(4,2),

??.OH=4,

OA=AP,

OP=2OH=2x4=8,

即P(8,0)；

③當(dāng)。P=/尸時，

???n=J(4—幾)2+22,

即九2=(4—n)2+22,

解得7?=I，

即P（|,。），

綜上，符合條件的P點坐標(biāo)為（2，虧,0）或（8,0）或（|,0）.

【解析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式求出A點坐標(biāo)，再用待定系數(shù)法求出反比例函數(shù)解析式即可；

（2）若使AAOP是等腰三角形，分。2=0P,OA=AP,OP=AP三種情況討論分別求出P點的坐標(biāo)即可.

本題主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式以及分類討論思想是解題的關(guān)鍵.

26.【答案】（1）證明：如圖1,-.-CA=CB,工

???Z-A=Z.B,/

vCD=CE,//\X.

???Z.CEA=Z.CDB,,//__________\\

???△4CE絲△8CO(A4S),

???AE=BD,

??.AE-DE=BD-DE,

AD=BE.

(2)證明：如圖2,將△AC。繞點。沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)90。得到aBCF,聯(lián)結(jié)研，

???4ACB=90°,CA=CB,

Z.CBA=乙4=45°,

由旋轉(zhuǎn)得CF=C。，乙BCF=(ACD,￡

v^DCE=45°,