廣東省廣州市第一一三中學2024年高考全國統(tǒng)考預測密卷數(shù)學試卷

請考生注意：

1.請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0.5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答

案寫在答題紙相應的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。

2.答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.函數(shù)/（X）=cos號與g（x）=g：-左在［一6,8］上最多有"個交點，交點分別為（九,y）。=1,.....n）,則

￡（七+止（）

Z=1

A.7B.8C.9D.10

2.某中學有高中生1500人，初中生1000人為了解該校學生自主鍛煉的時間，采用分層抽樣的方法從高生和初中生中

抽取一個容量為九的樣本.若樣本中高中生恰有30人，則〃的值為（）

A.20B.50C.40D.60

3.上世紀末河南出土的以鶴的尺骨（翅骨）制成的“骨笛”（圖1）,充分展示了我國古代高超的音律藝術(shù)及先進的數(shù)

學水平，也印證了我國古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測量“春（秋）分”，“夏（冬）至”的示意圖，圖3是某

骨笛的部分測量數(shù)據(jù)（骨笛的彎曲忽略不計），夏至（或冬至）日光（當日正午太陽光線）與春秋分日光（當日正午太

陽光線）的夾角等于黃赤交角.

圖2圖3

由歷法理論知，黃赤交角近1萬年持續(xù)減小，其正切值及對應的年代如下表:

黃赤交角23。4r23°57'24°13,24°28'24。"

正切值0.4390.4440.4500.4550.461

年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年

根據(jù)以上信息，通過計算黃赤交角，可估計該骨笛的大致年代是（）

A.公元前2000年到公元元年B.公元前4000年到公元前2000年

C.公元前6000年到公元前4000年D.早于公元前6000年

4.如圖，在平面四邊形ABC。中，AB±BC,AD±CD,ZBAD^120,AB^AD^1,

若點E為邊上的動點，則AE.BE的最小值為（）

B

A

21325

A.—B.—C.—D.3

16216

5.已知半徑為2的球內(nèi)有一個內(nèi)接圓柱，若圓柱的高為2,則球的體積與圓柱的體積的比為（）

49316

A.—B.—C.-D.—

31649

6.已知命題P：Ire火,使sinx＜，x成立.則9為（）

2

A.Vxe均成立B.VxeR,sinx<^x均成立

22

C.Bxe-fgsinx>—xD.Ive火,使sinx=成立

22

1

7.在A4BC中，。為BC中點，且=若BE=/LAB+〃AC,貝!，+〃=()

213

A.1B.一一C.——D.——

334

8.設二二U：一：二+/,貝/二二二"是“二二二二二二二二二二二”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件

9.窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統(tǒng)民間藝術(shù)之一，它歷史悠久，風格獨特，神獸人們喜愛.下

圖即是一副窗花，是把一個邊長為12的大正方形在四個角處都剪去邊長為1的小正方形后剩余的部分，然后在剩余部

分中的四個角處再剪出邊長全為1的一些小正方形.若在這個窗花內(nèi)部隨機取一個點，則該點不落在任何一個小正方

形內(nèi)的概率是（）

io.如圖是計算!+!+'+:+［值的一個程序框圖，其中判斷框內(nèi)應填入的條件是（）

246810

B.k<5

C.k>5

D.k<6

11.如圖在一個60°的二面角的棱有兩個點A,3,線段AC,BD分別在這個二面角的兩個半平面內(nèi)，且都垂直于棱AB,

且筋=4。=2,臺。=4,則的長為()

A.4B.2y/5C.2D.2石

12.記〃的最大值和最小值分別為"max和"min.若平面向量4、b、C，滿足"==口為=C?(4+2)一°)=2,

則()

AI-IA/3+A/7?I-I百-A/7

A.\a-c\=----------B.(7+c=-----------

IImax2?Imax2

「IIA/3+A/7nIIA/3-A/7

C?〃A-D?〃+c=---

IIminLIImin,

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.已知向量加二(一2,1)，〃=(4,y),若根J_〃，則|2加+,=.

14.已知。、人為正實數(shù)，直線%+丁+1=0截圓(%—，y+(y—與2=4所得的弦長為2底，則”的最小值為

ex

—,x<2

15.已知函數(shù)/(%)=<：；_8，（其中e為自然對數(shù)的底數(shù)），若關(guān)于x的方程尸（力―（尤）|+24=0恰

X-S,x>2

、5x

有5個相異的實根，則實數(shù)”的取值范圍為.

16.某市公租房源位于4、3、C三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房

子是等可能的，則該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請A小區(qū)房源的概率是.（用數(shù)字作答）

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）如圖，在四棱柱C—ABE/中，平面平面ABC,,ABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,

ZABE=90°,BE=EF=1,點M為的中點.

（I）求證："〃平面ACb；

（II）求二面角E—BC—E的余弦值.

（III）在線段所上是否存在一點N,使直線CN與平面8CT所成的角正弦值為*,若存在求出EN的長，若不

21

存在說明理由.

18.（12分）某動漫影視制作公司長期堅持文化自信，不斷挖掘中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化中的動漫題材，創(chuàng)作出一批又一批

的優(yōu)秀動漫影視作品，獲得市場和廣大觀眾的一致好評，同時也為公司贏得豐厚的利潤.該公司2013年至2019年的年

利潤V關(guān)于年份代號x的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表（已知該公司的年利潤與年份代號線性相關(guān)）.

年份2013201420152016201720182019

年份代號X1234567

年利潤y（單位：億元）29333644485259

（I）求V關(guān)于x的線性回歸方程，并預測該公司2020年（年份代號記為8）的年利潤;

（II）當統(tǒng)計表中某年年利潤的實際值大于由（I）中線性回歸方程計算出該年利潤的估計值時，稱該年為A級利潤

年，否則稱為3級利潤年.將（I）中預測的該公司2020年的年利潤視作該年利潤的實際值，現(xiàn)從2013年至2020年

這8年中隨機抽取2年，求恰有1年為A級利潤年的概率.

參考公式:

19.（12分）如圖，在三棱錐P—ABC中，PA=PB=AB=2,BC=3,ABC=90，平面平面ABC,

D、E分別為AB、AC中點.

(1)求證：ABLPE；

(2)求二面角A—PB—石的大小.

V2y2

20.(12分)已知橢圓C：'+1(a>Z>>0)的左、右頂點分別為A、B,焦距為2,點P為橢圓上異于4、

a

3

3的點’且直線出和心的斜率之積為

(1)求。的方程;

\AP\-\AQ\

(2)設直線AP與y軸的交點為Q,過坐標原點。作交橢圓于點"，試探究是否為定值，若

\OM\2

是，求出該定值；若不是，請說明理由.

8

x-------

21.(12分)在平面直角坐標系中，直線/的參數(shù)方程為2：'a為參數(shù)).以坐標原點。為極點，》軸的正

4t

y=-----

2+t

半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為Q=2sin9.

(1)求直線/的普通方程與曲線。的直角坐標方程;

7T

(2)若射線6=](夕>0)與/和。分別交于點AB,求|A3|.

22.(10分)AABC的內(nèi)角所對的邊分別是"c,且人=3(。85§+人854),b+c=8.

(1)求伍c；

7

(2)若邊上的中線AD=—,求AABC的面積.

2

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)直線g(x)過定點(1,0),采用數(shù)形結(jié)合，可得最多交點個數(shù)，然后利用對稱性，可得結(jié)果.

【詳解】

由題可知：直線g(x)=依-上過定點(1,0)

且/(x)=cos分在［—6,8］是關(guān)于(1,0)對稱

如圖

通過圖像可知：直線g(x)與/(%)最多有9個交點

同時點(1,0)左、右邊各四個交點關(guān)于(1,0)對稱

所以t(x,+X)=2x4+l=9

i=l

故選：C

【點睛】

本題考查函數(shù)對稱性的應用，數(shù)形結(jié)合，難點在于正確畫出圖像，同時掌握基礎(chǔ)函數(shù)y=cos%的性質(zhì)，屬難題.

2、B

【解析】

利用某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比計算即可.

【詳解】

由題意，30=1500x---------,解得〃=50.

1500+1000

故選：B.

【點睛】

本題考查簡單隨機抽樣中的分層抽樣，某一層樣本數(shù)等于某一層的總體個數(shù)乘以抽樣比，本題是一道基礎(chǔ)題.

3、D

【解析】

先理解題意，然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形，在利用三角函數(shù)的知識計算出冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤

交角，即可得到正確選項.

【詳解】

解：由題意，可設冬至日光與垂直線夾角為春秋分日光與垂直線夾角為少，

則即為冬至日光與春秋分日光的夾角，即黃赤交角,

將圖3近似畫出如下平面幾何圖形：

,石、tana-tanB1.6-0.66-，一

tan(a—￡)=----------------=----------------a0.457.

l+tana.tan^1+1.6x0.66

0.455<0.457<0.461,

估計該骨笛的大致年代早于公元前6000年.

故選：D.

【點睛】

本題考查利用三角函數(shù)解決實際問題的能力，運用了兩角和與差的正切公式，考查了轉(zhuǎn)化思想，數(shù)學建模思想，以及

數(shù)學運算能力，屬中檔題.

4、A

【解析】

分析：由題意可得"BD為等腰三角形，.5CD為等邊三角形，把數(shù)量積分拆，設。E=tr>C(0<r<l),

數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù)，用函數(shù)可求得最小值。

詳解：連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形，而ABLBCAOLCD,所以BCD為等邊三角形,

BD=6。設。E=，￡>c(o<r<l)

.-23-2

AEBE=(AD+DE)(BD+DE)=ADBD+DE(AD+BD)+DE=-+BDDE+DE

=3Z2--?+-(0<Z<1)

22

所以當f=工時，上式取最小值4，選A.

416

點睛：本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分，需要選擇合適的基底，再把其它向量都用基底表示。同時利用

向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。

5、D

【解析】

分別求出球和圓柱的體積，然后可得比值.

【詳解】

設圓柱的底面圓半徑為廠，則度=斤了=百，所以圓柱的體積匕=兀?(百了x2=6%.又球的體積

4,3M2-3--2-萬-/

3

y,=7Tx2=—71,所以球的體積與圓柱的體積的比％；3=16,故選D.

33K6乃9

【點睛】

本題主要考查幾何體的體積求解，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).

6、A

【解析】

Y

試題分析：原命題為特稱命題，故其否定為全稱命題，即［P：VxeR,sinx2—.

2

考點：全稱命題.

7、B

【解析】

選取向量A3，AC為基底，由向量線性運算，求出3E，即可求得結(jié)果.

【詳解】

BE=AE-AB=^AD-AB,AD=1(AB+AC),

:.BE=-^AB+^AC=AAB+piAC,

,512

/.Z=——,u=—9：.A+Ll=——.

663

故選：B.

【點睛】

本題考查了平面向量的線性運算，平面向量基本定理，屬于基礎(chǔ)題.

8、A

【解析】

根據(jù)題意得到充分性，驗證一一一：得出不必要，得到答案.

【詳解】

Z.Ze：；..'：...：.-.+/,當二=二時，："一二二：。葭二I,充分性；

當:C”二二：0??二，取二=一二=?，驗證成立，故不必要.

故選：二.

【點睛】

本題考查了充分不必要條件，意在考查學生的計算能力和推斷能力.

9、D

【解析】

由幾何概型可知,概率應為非小正方形面積與窗花面積的比，即可求解.

【詳解】

由題,窗花的面積為122-4x1=140,其中小正方形的面積為5x4=20,

IIVITT1n140—206

所以所求概率P=]40=y，

故選:D

【點睛】

本題考查幾何概型的面積公式的應用,屬于基礎(chǔ)題.

10、B

【解析】

根據(jù)計算結(jié)果，可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內(nèi)的不等

式.

【詳解】

因為該程序圖是計算-+-+I+-+工值的一個程序框圈

246810

所以共循環(huán)了5次

所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,

即判斷框內(nèi)的不等式應為左之6或左>5

所以選C

【點睛】

本題考查了程序框圖的簡單應用，根據(jù)結(jié)果填寫判斷框，屬于基礎(chǔ)題.

11、A

【解析】

由C￡>=CA+AB+3￡>，兩邊平方后展開整理，即可求得c。二則CD的長可求.

【詳解】

解：+

.2222

??CD=CA+AB+BD+2CA-AB+2CA-BD+2AB-BD，

CA±AB9BD±AB

CA.AB=O9BD?AB=O,

C4.B￡>=|C4||BD|cosl20o=-1x2x4=-4.

,-2

,-CD=4+4+16-2x4=16，

CD|=4,

故選：A.

【點睛】

本題考查了向量的多邊形法則、數(shù)量積的運算性質(zhì)、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系，考查了空間想象能力，考查了推理能

力與計算能力，屬于中檔題.

12、A

【解析】

設。為。、8的夾角，根據(jù)題意求得6=。，然后建立平面直角坐標系，設。=04=(2,0),b=OB=(1,^/3),

c=OC=(x,y),根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標運算得出點C的軌跡方程，將卜-c|和卜+4轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距

離，利用數(shù)形結(jié)合思想可得出結(jié)果.

【詳解】

由已知可得a-b=kHWcose=2,貝!jcos9=；,QO<0<7V,:.0=^,

建立平面直角坐標系，設”=。4=（2,0）,b=OB=0網(wǎng),c=OC=（x,y）,

由c-(a+2b-c)=2,可得(羽丁>(4-2%,26一2丁)=2,

即4x-2爐+2百y-2y2=2,

化簡得點C的軌跡方程為（x-Ip—>貝“a-c|=J(x_2『+/,

則卜―轉(zhuǎn)化為圓（》一），一上的點與點（）的距離，.〔卜―

d12+9]=]2,0d6二二也+5

耳―2~'

ax+2)2+y2

a+c|轉(zhuǎn)化為圓（x—+y—孚=；上的點與點（—2,0）的距離,

故選：A.

【點睛】

本題考查和向量與差向量模最值的求解，將向量坐標化，將問題轉(zhuǎn)化為圓上的點到定點距離的最值問題是解答的關(guān)鍵,

考查化歸與轉(zhuǎn)化思想與數(shù)形結(jié)合思想的應用，屬于中等題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、10

【解析】

根據(jù)垂直得到y(tǒng)=8,代入計算得到答案.

【詳解】

mLn>貝！b"一〃=(—2,l)-(4,y)=—8+y=0,解得丁=8,

故2加+〃=(—4,2)+(4,8)=(0,10),故|2根+“=10.

故答案為：10.

【點睛】

本題考查了根據(jù)向量垂直求參數(shù)，向量模，意在考查學生的計算能力.

14、3+20

【解析】

1

a+1=______________

先根據(jù)弦長，半徑，弦心距之間的關(guān)系列式求得a+b-1=0,代入丁整理得ab—zn2交，利用基

ab-(?+1)------；+3

''a+1

本不等式求得最值.

【詳解】

解：圓(x—ay+(y")2=4的圓心為(。力)，

貝！I(。力)至U直線x+y+1=0的距離為J~,

由直線x+y+l=0截圓(尤—ay+(y—〃y=4所得的弦長為2式可得

+夜:22,整理得(4+人+1)2=4,

解得〃+/?—1=0或a+〃+3=0(舍去)，令相>0,b>0)

ab

/,m—.a.+1=--a-+-1-=------a-+-1------=------1-----

2

而a(l-a)-(a+1)+3(a+l)-2+n__—+3

''a+1

又(a+1)+二；220,當且僅當a+1=0時，等號成立，

a+1

則—(a+1)—-1^-+3<-2A/2+3

m=----------->--j—=3+2y/2

-(a+1)--—+33-202

''a+1

故答案為：3+2點.

【點睛】

本題考查直線和圓的位置關(guān)系，考核基本不等式求最值，關(guān)鍵是對目標式進行變形，變成能用基本不等式求最值的形

式，也可用換元法進行變形，是中檔題.

【解析】

作出/■(*)圖象，求出方程的根，分類討論“X)的正負，數(shù)形結(jié)合即可.

【詳解】

當用,2時，令/，(%)=三一1=0,解得x=l,

e

所以當演i時,r(x)>o,則單調(diào)遞增，當1領(lǐng)k2時，r(x)<o,則〃當單調(diào)遞減,

當x>2時，〃*)=4笠r-38==4-白8單調(diào)遞減，且/'(x)e[0,4-)

3X53X5

作出函數(shù)f(x)的圖象如圖：

(1)當。=0時，方程整理得尸(x)=o,只有2個根，不滿足條件；

(2)若r>0,則當f(X)<0時,方程整理得產(chǎn)(x)+3叭無)+21="(尤)+2a]"(x)+a]=0,

則/(x)=-2a<0,/(x)=-a<0,此時各有1解，

故當/(%)>0時，方程整理得/(尤)-3叭x)+2a②=[/(x)-2a][f(x)-G]=0,

/?(尤)=24有1解同時/(為=4有2解，即需2a=1,因為/(2)=故此時滿足題意;

或/(%)=2。有2解同時有1解，則需〃=0,由(1)可知不成立；

或/(%)=2。有3解同時/(%)=〃有0解，根據(jù)圖象不存在此種情況，

2a>1

94

或/(x)=2a有0解同時/(x)=a有3解，貝！|24,解得*

故ae［一,—)

e5

⑶若a<0,顯然當/(x)>0時，/(%)=2。和/(%)=二均無解,

當/(x)<0時，/(彳)=一2“和/(功=—。無解，不符合題意.

綜上：。的范圍是金2，一4)u{1—}

e52

故答案為：［2,—)。{―}

e52

【點睛】

本題主要考查了函數(shù)零點與函數(shù)圖象的關(guān)系，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，意在考查學生對這些知識的理解掌握

水平和分析推理能力，屬于中檔題.

“80

16、---

243

【解析】

53

基本事件總數(shù)/?=3=243，恰好有2人申請A小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù)m=Cf.2=80,由此能求出該市的任意5

位申請人中，恰好有2人申請4小區(qū)房源的概率.

【詳解】

解：某市公租房源位于4、B,C三個小區(qū)，每位申請人只能申請其中一個小區(qū)的房子，申請其中任意一個小區(qū)的房

子是等可能的，

該市的任意5位申請人中，基本事件總數(shù)"=3$=243,

該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請A小區(qū)房源包含的基本事件個數(shù)：

m=C1.23=80,

???該市的任意5位申請人中，恰好有2人申請A小區(qū)房源的概率是。='=黑.

n243

—二80

故答案為：c,

243

【點睛】

本題考查概率的求法，考查古典概型、排列組合等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，屬于中檔題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(I)證明見解析；(II)2互；(m)線段EF上是存在一點N,|EN|=1-變，使直線CN與平面8C尸所成

72

的角正弦值為變.

21

【解析】

(I)取AC中點P,連結(jié)加尸、FP,推導出四邊形是平行四邊形，雙而FP//EM,由此能證明EM//平

面ACN;(II)取A3中點。，連結(jié)CO,FO,推導出平面ABC,OC±AB,以。為原點，OC為x軸，

08為V軸，O歹為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角E-6C—E的余弦值；(III)假設在線段政

上是存在一點N,使直線CN與平面8C尸所成的角正弦值為叵，設EN=t.利用向量法能求出結(jié)果.

21

【詳解】

(I)證明：取AC中點P,連結(jié)MP、FP,

AABC是邊長為2的等邊三角形，AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=1,點〃為的中點，

二跖//MP,.?.四邊形及EM是平行四邊形，...EP//EM,

EMU平面ACN,入？匚平面4。5，

.?.初///平面4。咒.

(II)解：取中點。，連結(jié)CO,FO,

在四棱柱C-A班尸中，平面A5防，平面ABC,AABC是邊長為2的等邊三角形，

AB//EF,ZABE=90°,BE=EF=1，點M為的中點，

.?.E0,平面ABC,OC±AB,

以。為原點，oc為％軸，08為y軸，。尸為z軸，建立空間直角坐標系，

8(。，1,0),c(百，0,0),E(0,1,1),F(0,o,1),

8c=(百，-1,0),BE=(0,0,1),BF=(0,-1,1),

設平面BCE的法向量"=(x,y,z),

r,n-BC=^3x-y=0

則",取％=1,得〃=(1,6,0),

n-BE=z=0

設平面BCF的法向量加=(。，b,c),

mBC=y/3a—b=0r-r-

則〈，取a=l,得m=(1,出，省),

mBF=-b+c=Q

設二面角E-BC-F的平面角為凡

rmiaIm?〃I42J7

貝?。輈os，=--------=-「產(chǎn)=------.

ImHn|口?幣7

二?二面角￡—5C—方的余弦值為空.

7

(m)解：假設在線段歷上是存在一點N,使直線CN與平面8Cb所成的角正弦值為設|EN|=r.

21

則N(0,1-t,1),CN=(-A，1-t,1),平面BC尸的法向量加=(1,6,J5),

:.\cos<CN,m>\=|CN，m|\S?\叵

ICN|.|m|J4+(1T)2.A/721

解得』—也,

2

二線段E尸上是存在一點N,|EN|=1-使直線CN與平面8Cb所成的角正弦值為亙.

221

【點睛】

本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，考查滿足正弦值的點是否存在的判斷與求法，考查空間中線

線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力，是中檔題.

18、(I)y=5x+23,該公司2020年年利潤的預測值為63億元；(II)—.

【解析】

(I)求出嚏和亍的值，將表格中的數(shù)據(jù)代入最小二乘法公式，求得。和b的值，進而可求得V關(guān)于x的線性回歸方

程，然后將x=8代入回歸直線方程，可得出該公司2020年年利潤的估計值;

(II)利用(I)中的回歸直線方程計算出從2013年至2020年這8年被評為A級利潤年的年數(shù)，然后利用組合計數(shù)

原理結(jié)合古典概型的概率可得出所求事件的概率.

【詳解】

(I)根據(jù)表中數(shù)據(jù)，計算可得已4,亍=43,^(%,-x)(x-V)=140,

i=l'

a=]—〃1=43—5義4=23，關(guān)于x的線性回歸方程為y=5x+23.

將x=8代入回歸方程得丁=5義8+23=63(億元)，

???該公司2020年的年利潤的預測值為63億元.

(II)由(I)可知2013年至2020年的年利潤的估計值分別為28、33、38、43、48、53、58、63(單位：

億元)，其中實際利潤大于相應估計值的有3年.

故這8年中被評為A級利潤年的有3年，評為3級利潤年的有5年.

C'C115

記“從2013年至2020年這8年的年利潤中隨機抽取2年，恰有1年為A級利潤年”的概率為尸，.?.。=^1=二.

28

【點睛】

本題考查利用最小二乘法求回歸直線方程，同時也考查了古典概型概率的計算，涉及組合計數(shù)原理的應用，考查計算

能力，屬于中等題.

19、⑴證明見解析；(2)60°.

【解析】

試題分析：

(1)連結(jié)PD,由題意可得加工人用血,筋廁人臺,平面9比AB±PE;

(2)法一：結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角，計算可得其正切值為g，故二面角的A-PB-石大小為60。；

法二：以。為原點建立空間直角坐標系，計算可得平面ME的法向量4=(3,2,百).平面HL8的法向量為

巧=(0,1,0).據(jù)此計算可得二面角的A—石大小為60°.

試題解析：

(1)連結(jié)尸。，,PA=PB,PDAB.-：DE!IBC,BCAB,DEAB.

又；PDcDE=D,AB平面尸DE,.PEu平面PZ>E,

：.ABPE.

(2)法一:

「平面RIB平面ABC,平面E43'、,平面A3C=AB,PDAB,PD平面ABC.

則OEPD,又EDAB,PD\^^AB=D,DE平面R15,

過。做O尸垂直P3與尸，連接EF,則EF尸5,ND尸E為所求二面角的平面角，

3CDE/—

則：DE=~,DF=口,則=—=J3,故二面角的A—?B—石大小為60°

22DF

法二：

「平面物8平面ABC,PAB''■ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.

如圖，以。為原點建立空間直角坐標系，

3

5(1,0,0),P(0,0,、"0，E(0,一，0),

V，2

.PB=(1>0，—V3)，PE=(。，~).

設平面PBE的法向量4=(%,y,z),

X-y/3z=0,

Z=6,得4=（3,2,石）

.DE1平面PAB,平面PAB的法向量為n,=(0,1,0).

一/八n-n2i

設二面角的A—萬萬一石大小為，，由圖知，cosO—cos\?^2/=?―n—r=~

2

所以，=60°,即二面角的A—P5—石大小為60。.

22

20、(1)L+2_=l(2)是定值，且定值為2

43

【解析】

3h2

(1)設出P點坐標并代入橢圓方程，根據(jù)左AP?即「=-二列方程，求得勺的值，結(jié)合2c=2求得的值，進而求

2

4a

得橢圓C的方程.

(2)設出直線的方程，聯(lián)立直線AP的方程和橢圓方程，求得P點的橫坐標，聯(lián)立直線的方程和橢圓

IAPMAQI,

方程，求得xj,由此化簡求得\OM\2~為定假

【詳解】

X22

(1)已知點P在橢圓C：二+與=1(a>b>0)上,