松江區(qū)2023學(xué)年度第一學(xué)期期末質(zhì)量監(jiān)控試卷

高三數(shù)學(xué)

(滿分150分，完卷時(shí)間120分鐘)2023.12

考生注意：

1.本考試設(shè)試卷和答題紙兩部分，試卷包括試題與答題要求，所有答題必須涂(選擇

題)或?qū)?非選擇題)在答題紙上，做在試卷上一律不得分。

2.答題前，務(wù)必在答題紙上填寫學(xué)校、姓名、班級(jí)和考號(hào)。

3.答題紙與試卷在試題編號(hào)上是——對(duì)應(yīng)的，答題時(shí)應(yīng)特別注意，不能錯(cuò)位。

一、填空題(本大題滿分54分)本大題共有12題，第1?6題每個(gè)空格填對(duì)得4分，第7?

12題每個(gè)空格填對(duì)得5分，否則一律得零分.

1.已知全集為R,集合P={x|x?l},則集合A=▲.

2.雙曲線二-/勺的右焦點(diǎn)坐標(biāo)是▲.

3

3.已知復(fù)數(shù)z=2+z?(其中，是虛數(shù)單位)，則口=▲.

4.已知向量2=(1,2),很=(4,3),則■.(2〃一3)=▲.

5.已知sin6=|,0e(O,1),則tan(6>—：)的值為▲.

6.已知lga+lgb=l,則a+26的最小值為▲.

7.在二項(xiàng)式(3+x)"的展開式中，/項(xiàng)的系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的5倍，則〃=▲.

8.有5名同學(xué)報(bào)名參加暑期區(qū)科技館志愿者活動(dòng)，共服務(wù)兩天，每天需要兩人參加活動(dòng)，則

恰有1人連續(xù)參加兩天志愿者活動(dòng)的概率為▲.

9.在A48c中，設(shè)角45及C所對(duì)邊的邊長(zhǎng)分別為a、b及c,若。=3,c=5,B=2A,

則邊長(zhǎng)1=▲.

10.已知函數(shù)/(x)=-》2+6x+加，g(x)=2sin(2x+y).對(duì)任意/e0,彳,存在

Xl,x2e[-1,3],使得/(xj<g(x0)</(%),則實(shí)數(shù)加的取值范圍是▲.

II.若函數(shù)>=/(x)是定義在H上的不恒為零的偶函數(shù)，且對(duì)任意實(shí)數(shù)x都有

x-f(x+2)=(x+2)-f(x)+2,則/(2023)=▲.

12.已知正四面體/—BCD的棱長(zhǎng)為2J5,空間內(nèi)任意點(diǎn)P滿足|再+正卜2,貝U

的取值范圍是▲

二、選擇題（本大題滿分18分）本大題共有4題，每題有且只有一個(gè)正確答案，第13、14題

選對(duì)得4分，第15、16題選對(duì)得5分，否則一律得零分.

13.英國(guó)數(shù)學(xué)家哈利奧特最先使用“<”和“〉”符號(hào)，并逐漸被數(shù)學(xué)界接受，不等號(hào)的引

入對(duì)不等式的發(fā)展影響深遠(yuǎn).對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b、c、d,下列命題是真命題的是（）

A.若/<人2,貝；B.若a<6,則ac<6c；

C.若a<b,c<d,則ac<6d；D.若a<b,c<d,則a+c<6+d.

14.如圖所示的莖葉圖記錄了甲、乙兩支籃球隊(duì)各6名隊(duì)員某場(chǎng)比賽的得分?jǐn)?shù)據(jù)（單位：分）.

則下列說法正確的是（）

甲隊(duì)乙隊(duì)

A.甲隊(duì)數(shù)據(jù)的中位數(shù)大于乙隊(duì)數(shù)據(jù)的中位數(shù);

B.甲隊(duì)數(shù)據(jù)的平均值小于乙隊(duì)數(shù)據(jù)的平均值;7089

C.甲隊(duì)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差大于乙隊(duì)數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差;26197

D.乙隊(duì)數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為27.02278

13

15.函數(shù)y=/（x）的圖像如圖所示，y=/'（x）為函數(shù)y=/（x）的導(dǎo)函數(shù),則不等式

△^<0的解集為

A.(-3,-1)B.(0,1)

C.(-3,-l)U(0,l)D.(-co,-3)U(1,+<=0)

16.關(guān)于曲線=1，有下述兩個(gè)結(jié)論：①曲線M上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離最小

、51

值是注；②曲線M與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積不大于一，則下列說法正確的是（）

22

A.①、②都正確B.①正確②錯(cuò)誤C.①錯(cuò)誤②正確D.①、②都錯(cuò)誤

三、解答題（本大題滿分78分）本大題共有5題，解答下列各題必須在答題紙相應(yīng)編號(hào)的

規(guī)定區(qū)域內(nèi)寫出必要的步驟.

17.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

如圖，在四棱錐尸―。中，尸/，底面28?！辏?

點(diǎn)E在線段4D上，且CE//48.

（1）求證：平面「4D；

（2）若四棱錐尸―N3CD的體積為°,AB=1,AD=3,

6

CD=6,ZCDA=45°,求二面角P—CE—Z的大小.

18.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

已知數(shù)列｛%｝為等差數(shù)列，｛4｝是公比為2的等比數(shù)列，且%

（1）證明：aA=4；

（2）若集合"=｛k|4=篇+%,14加K50｝,求集合M中的元素個(gè)數(shù).

19.（本題滿分14分）本題共有2個(gè)小題，第1小題滿分6分，第2小題滿分8分.

為了鼓勵(lì)居民節(jié)約用氣，某市對(duì)燃?xì)馐召M(fèi)實(shí)行階梯計(jì)價(jià)，普通居民燃?xì)馐召M(fèi)標(biāo)準(zhǔn)如下:

第一檔：年用氣量在0-310（含）立方米，價(jià)格為。元/立方米；

第二檔：年用氣量在310-520（含）立方米，價(jià)格為6元/立方米；

第三檔：年用氣量在520立方米以上，價(jià)格為c元/立方米.

（1）請(qǐng)寫出普通居民的年度燃?xì)赓M(fèi)用（單位：元）關(guān)于年度的燃?xì)庥昧浚▎挝唬毫⒎矫祝?/p>

的函數(shù)解析式（用含a、b、c的式子表示）；

（2）已知某戶居民2023年部分月份用氣量與繳費(fèi)情況如下表，求b、c的值.

月份1234591012

當(dāng)月燃?xì)庥昧浚⒎矫祝?680665860535563

當(dāng)月燃?xì)赓M(fèi)（元）168240198174183174.9186264.6

20.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小

題滿分8分.

22萬

已知橢圓r：t+==l(a>b>0)的離心率為、一，其上焦點(diǎn)廠與拋物線

ab22

K:x2=Ay的焦點(diǎn)重合.

(i)求橢圓r的方程；

(2)若過點(diǎn)尸的直線交橢圓r于點(diǎn)/、B,同時(shí)交拋物線K于點(diǎn)C、D(如圖1所示，點(diǎn)C

在橢圓與拋物線第一象限交點(diǎn)上方)，試比較線段ZC與8。長(zhǎng)度的大小，并說明理由；

(3)若過點(diǎn)E的直線交橢圓r于點(diǎn)/、B,過點(diǎn)/與直線48垂直的直線EG交拋物線K

于點(diǎn)￡、G(如圖2所示)，試求四邊形4ESG面積的最小值.

21.(本題滿分18分)本題共有3個(gè)小題，第1小題滿分4分，第2小題滿分6分，第3小

題滿分8分.

已知函數(shù)y=/(x),記/(x)=x+sinx,xeD.

(1)若。=[0,2幻,判斷函數(shù)的單調(diào)性；

TT

(2)若。=(0,彳],不等式對(duì)任意恒成立，求實(shí)數(shù)左的取值范圍；

(3)若。=火，則曲線y=/(x)上是否存在三個(gè)不同的點(diǎn)4B、。，使得曲線>=/(x)

在4B,。三點(diǎn)處的切線互相重合？若存在，求出所有符合要求的切線的方程；若不

存在，請(qǐng)說明理由.

參考答案

一、填空題

1、｛x|x<l)(或(一00/))2、(2,0)3、加4、05->---6、4y/5

7

3

7、108、—9、2A/610、[—7,8]11、—112、14—2^/^",4+2^/^"]

二、選擇題：DDCC

16、【解】對(duì)于①由￡+，=i平方可得，x+y+ly^xy=\.因?yàn)閤+

所以x+y'g.又因?yàn)镴x、,+當(dāng)且僅當(dāng)尤=y=；時(shí)等號(hào)成立，故

錯(cuò)誤；對(duì)于②，由/+/=]知，x,ye[0,l],，，兩邊平方可得了=1+苫-2石.因

為x44，所以y=l+x-2?41-x,即曲線C在直線＞=l-x的下方，因此所圍圖形

的面積不大于，故正確，故選：C.

17、(1)證明：因?yàn)榈酌?BCD,C￡u平面/BCD,所以P/J_CE......2分

因?yàn)?/p>

AB1AD,CE//AB,所以C￡，AD.

又尸幺「/。=4所以C￡_L平面PAD.................2分

注：建立空間直角坐標(biāo)系證明，相應(yīng)給分.

(2)因?yàn)樯?J_底面45CD,所以P￡在平面45CD上的投影是

AE,由(1)可知CELZE,由三垂線定理可得，CELPE.

所以，二面角尸—CE—4的平面角為NPE4..........2分

在RtAECD中，DE=CD-cos450=1,CE=CD-sin45°=1,

又因?yàn)?B=CE=1,4B//CE,所以四邊形ABCE為矩形.

所以5C=/￡=2，

所以腺ABCD=~S^-PA=-X-(2+^X\-PA=-,所以P/=l.....2分

r—/iD(^u3wjiyAADBLC.uD32、'6

P41i

在R/AP4E中,tanAPEA―――——,所以NP￡/=arctan—?

AE22

即：二面角P—CE—A的大小為arctan—?

2

%+d—2bl=%+2d—46]

18、(1)證明:設(shè)數(shù)列｛%｝的公差為d,貝人

%+d—2b]—8b]—(%+3d)

d=2b]

即＜

%+2d—54=0

可解得，b=a=~,所以原命題得證.

x1A12

(2)由(1)知/>]=q=—所以4=/O/x2*T=%+(加一l)d+a2分

112A

因?yàn)闉?0,所以加=2"2目1,50],解得2V左Klog250+2土7.64.....4分

所以滿足等式的解k=2,3,4,5,6,7.

故集合M中的元素個(gè)數(shù)為6.

ax,0<x<310

19、(1)解：y=<310a+Z?(x-310),310<x<520

310tz+210Z?+c(x-520),x>520

(2)解法一：由一月份數(shù)據(jù)可得：a=——=3,

56

通過計(jì)算前5個(gè)月用量：56+80+66+58+60=320,

前5個(gè)月燃?xì)饪傎M(fèi)用：168+240+198+174+183=963,

由(1)中函數(shù)解析式，計(jì)算可得：963=310x3+6(320-310),

所以6=3.3.......4分

又9月份，10月份，12月份的燃?xì)赓M(fèi)均價(jià)分別為：3.3,3.38,4.2均不同，所以12月份

264.6

為第三檔，c=4.2.

63

解法二：1月份，5月份，9月份，10月份，12月份的燃?xì)赓M(fèi)均價(jià)分別為：

3,3.05,3.3,3.38,4.2均不同.所以1月份為第一檔，5月份為第一檔和第二檔，10月份與

12月份不同，則12月份為第三檔，10月份與9月份不同，10月份為第二檔與第三檔，9

月份為第二檔.從而得到。=3/=3.3,c=4.2.......8分

20、解:(1)由題意得尸(0,1),即：c=1，又￡?=---，所以a=C.......2分

a2

由a2_〃=c2,得^2=1,所以橢圓的方程為匕+》2=1.

2

(2)由題意得過點(diǎn)下的直線的斜率存在，設(shè)直線方

程為y=kx+\,

XJ

設(shè)/(再,弘),B(x2,y2),C(x3,y3),D(4,4),

y=kx+\

2消去y得：(2+左2)1+2日—1=0,

聯(lián)立zi+x-1

[2

,2k1

則n須+/=-2+.2，X1X2=~2+k2，

2陽1+左2)

......2分

2+k2-

拋物線K的方程為：/=4］，，

y=kx+\

2

聯(lián)立〈A，消去歹得：x-4kx-4=0，

［必2=4y

所以|C￡>|=｛（1+12）（16左2+16）=4（1+F）.

所以|/C|—忸0=（.。|+|/必）一（"卜卜川）=3卜網(wǎng)

(2、2行(1+抬)20+左2)(2左2+4—

4(6)-也。,

2+k1

即|/。|>忸必.

（3）設(shè)/（再,乂）,8仁,％）,E（x5,y5）,G（無6，然），

當(dāng)直線的斜率存在且不為零時(shí)，

設(shè)直線N3方程為了=丘+1化片0）,

則直線EG方程為y=-x+l,

k

由（2）的過程可知：=2行（1+左）,

112+k2

|EG|=41+

所以5回。二5/5|.|￡@=3*2；,J)x+

因?yàn)?+%2>1，所以己1一己『?0』）,

C

AEBG

.....2分

當(dāng)直線N8的斜率不存在時(shí)，［48|=2亞，］￡G|=4,

所以5岫。=夕/孫怛6=，2皿、4=4/；

綜上所述：SAEBG>472,所以四邊形/￡BG面積的最小值為4夜.........1分

21>解：(1)因?yàn)?'(x)=l+cosxNO,當(dāng)且僅當(dāng)在x=%時(shí)，/(%)=0,...2分

所以函數(shù)y=/(x)在[0,2刈上是增函數(shù).(區(qū)間開閉都對(duì))

cir?x

(2)由題意得，(左一l)x<sinx,于是左一1<----.

x

人“、sinx?_,「，/、xcosx-sinx

令h(x)=----，則料x)=------z-----，

XX

冗

令"(x)=xcosx—sinx,貝！J〃'(x)=—xsinx<0,xe(0,,],

rrrr

所以"(x)在(0,7]上是嚴(yán)格減函數(shù)，于是“(X)<u(0)=0,xe(0,-]........2分

由于〃(x)=xcosx：smx<o,xe(0,工],于是力(幻在(0,工]上是嚴(yán)格減函數(shù)，

x22

r\r\r\

所以〃min(x)='(工)=一，因此左T<—，即左<一+1.

2717171

(3)設(shè)/(再/J、B(x2,y2),。(%,%)，則曲線在4B、。三點(diǎn)處的切線分別為直線

l：y=(1+cosxJx-Xjcosxj+sinxZ:j=(l+cosx)x-xcosx+sinx

r1，22222，

4=(l+cosx3)x-x3cosx3+sinx3

因?yàn)橹本€4J2,互相重合，所以COSX]=cosx2=cosx3,

且一占cosxj+sinxj=-x2cosx2+sinx2=-x3cosx3+sinx3.

因?yàn)镃OSX]=cosx2=COSX3,

所以sin']=±sinx2,sinx2=±sinx3,sinx3=Isin^.

①若sin%]=-sinx2,sinx2=-sinx3,sinx3=-sin^.

則sin再=0,sinx2=0fsinx3=0,

于是一再cosxl=-x2cosx2=-x3cosx3，

因?yàn)镃OSX]=cosx2=cosx3=±1wO,

所以、1=、2=、3，與力、B、。三點(diǎn)互不重合矛盾............3分

②若sin玉=sinx2,sinx2=sinx3,sinx3=sinxx中至少一個(gè)成立，

不妨設(shè)sin玉=sinx2成立，則xxcosxx=x2cosx2，

若cos%[=cos%。0，貝！矛盾，舍去，

于是cos1]=cosx2=0,sin^=sinx2=±1,

所以滿足要求的切線方程為y=x+l或y=x—1........1分

解法2:假設(shè)存在三個(gè)不同點(diǎn)/(芯,必),5(、2，%)<(工3，為)在曲線V=/(X)上滿足條件，

則必二再+sinX],y2=、2+sinx2，%=、3+sin%3'且%”/，W互不相同。

曲線〉=/(x)在/，民C三點(diǎn)處的切線方程分別為：

lx,.y=(l+cosxjx+sinx]一陽cosxx,

l2'y=(l+cosx2)x+sinx2-x2cosx2,

A:y=(l+cosx3)x+sinx3-x3cosx3,

依日百上有COSX]=COS12=COS、3，①

sinxj-X]COSX]=sinx2-x2cosx2=sinx3-x3cosx3,②

由①得，x2=2k±xvx3=2n?！繶1,k,neZ.

情形1：若％=2左萬+%1，%3=2〃%+再,左w0,左w〃，代入②得，

sinxj-%]cosXj=sinxj-(Z^^+xJcosXj=sinxj~(2n7i+xl)cosxl.

(2左方)cos匹=0

即1，而左,〃。0,故cosXi=0,sin'i=±l,此時(shí)滿足條件的切線方程

(2〃乃)cos西=0

為y=x±l.

情形2：若馬二2左萬一占戶3=2〃九一%],左w〃，代入②得，

sinXj-xxcosxj=-sinX]—(2左TT-XJCOSX]=-sin%]一(2〃"一XJCOSM.

sinx,+(kn-x)cosx=0

即〈.，兩式相減，得(左一〃)》,COSX1=0,由于左故

sin%1+(7z^-x1)cosx1=0

cosX]=0,此時(shí)sinXi=0,與sin?再+COS2玉=1矛盾，舍去.

情形3：若％=2左%+再,％3=2〃〃一%],左w0,代入②得，

sinxx-xxcosxx二sinw—(2左"+xJcosX1二一sin%]一(2〃九一再)005石.

(2左萬)cos再=0

即《.，故cosX]=0,貝Usin%i=0,與sin西+co