廣東省深圳市深圳中學(xué)2024屆高三下學(xué)期二輪一階測(cè)試數(shù)

學(xué)試題

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.已知集合—={y|y=lgx,%21},N=Ny=，4一%2卜則A/cN=()

A.[0,2]B.[-2,+00)C.[1,2jD.[0,+<?)

2.用最小二乘法得到一組數(shù)據(jù)(%,y,)(z=1,2,3,4,5,6)的線性回歸方程為夕=2x+3,若

66

2%=30,貝!lZy=()

!=11=1

A.11B.13C.63D.78

3.已知向量。=(4+1,3),=(2,3)，若d與°+公共線，則實(shí)數(shù)2=()

A.-2B.-1C.1D.2

4.函數(shù)/(x)=sin(ox+0)(o>O,O<9<7i)的部分圖象如圖所示，ABC是等腰直角三

角形，其中48兩點(diǎn)為圖象與x軸的交點(diǎn)，C為圖象的最高點(diǎn)，且|。到=3|。4],則

/(2024)=()

D,顯

2

5.將一個(gè)棱長(zhǎng)為4的正四面體同一側(cè)面上的各棱中點(diǎn)兩兩連接，得到一多面體，則這

個(gè)多面體的外接球的體積為()

AoR8兀86兀n80兀

A.8兀B.——C.-------D.-------

3273

6.假設(shè)甲袋中有3個(gè)白球和2個(gè)紅球，乙袋中有2個(gè)白球和2個(gè)紅球.現(xiàn)從甲袋中任取

2個(gè)球放入乙袋，混勻后再?gòu)囊掖腥稳?個(gè)球.已知從乙袋中取出的是2個(gè)白球，則從

甲袋中取出的也是2個(gè)白球的概率為()

A37「9小18

A.----D.—C.—D.—

15075372

7.己知數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)，記AShq+w++%，B(n)=a2+ai++an+1,

C5)=q+4++%+2,“eN*,設(shè)甲：｛%｝是公比為夕的等比數(shù)歹!J；乙：對(duì)任意〃eN*,

A(n),B(n),C(〃)三個(gè)數(shù)是公比為q的等比數(shù)列,則()

A.甲是乙的充分不必要條件B.甲是乙的必要不充分條件

C.甲是乙的充要條件D.甲是乙的既不充分又不必要條件

8.己知拋物線C:/=4x的焦點(diǎn)為尸，若圓〃與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，且圓M與x軸

相切于點(diǎn)尸，則圓M的半徑為()

A.迪B.-C.也2V3

D.

992~T~

二、多選題

9.已知復(fù)數(shù)z滿足忸=1且2=i-z,則z可能為()

兀..3兀-3..71-3..3兀..兀

At.cos---ism——B.cos—7i-ism—C.cos—兀+isin—兀D.cos—+ism—

44444444

10.已知函數(shù)/3=優(yōu)+辦+6產(chǎn)，下列結(jié)論正確的是()

A.若函數(shù)/(x)無(wú)極值點(diǎn)，則/(》)沒(méi)有零點(diǎn)

B.若函數(shù)〃x)無(wú)零點(diǎn)，則“X)沒(méi)有極值點(diǎn)

C.若函數(shù)/(可恰有一個(gè)零點(diǎn)，則可能恰有一個(gè)極值點(diǎn)

D.若函數(shù)/(x)有兩個(gè)零點(diǎn)，則一定有兩個(gè)極值點(diǎn)

11.已知,A4c5=1,2,3,)是直角三角形，4是直角，內(nèi)角/)、紇、G所對(duì)的邊

分別為耳、c”,面積為S“，若4=4,。=3,%=。出產(chǎn),2

()

A.應(yīng)“｝是遞增數(shù)列B.區(qū))是遞減數(shù)列

C.也-。"｝存在最大項(xiàng)D.也-q,｝存在最小項(xiàng)

三、填空題

12.已知空間中三點(diǎn)A(l,l,省),2(1,-1,2),。(0,0,0),則點(diǎn)4到直線2(7的距離為.

13.已知在一ABC中，A+B=3C,2sin(A-C)=sinB,A￡=5,則A3邊上的高為.

14.從1,2,3,L這"個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽一個(gè)數(shù)記為x,再?gòu)?,2,L,X中隨機(jī)

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

抽一個(gè)數(shù)記為y,則現(xiàn)y)=.

四、解答題

15.如圖，在四棱錐P-ABCD中，尸3_L底面ABC。，ABJ.BC,ADUBC,BC=2,

BA=1,AD=3,點(diǎn)E為棱R4上一點(diǎn)，S.AE=AAP.

(1)若BE〃平面PCD,求實(shí)數(shù)4的值；

(2)若BE_L平面PAD,求直線BE和平面PCD所成角的正弦值.

16.某種水果按照果徑大小可分為四類：標(biāo)準(zhǔn)果、優(yōu)質(zhì)果、精品果、禮品果，一般地,

果徑越大售價(jià)越高.為幫助果農(nóng)創(chuàng)收，提高水果的果徑，某科研小組設(shè)計(jì)了一套方案，

并在兩片果園中進(jìn)行對(duì)比實(shí)驗(yàn)，其中實(shí)驗(yàn)園采用實(shí)驗(yàn)方案，對(duì)照?qǐng)@未采用.實(shí)驗(yàn)周期結(jié)

束后，分別在兩片果園中各隨機(jī)選取100個(gè)果實(shí)作為樣本，按果徑分成5組進(jìn)行統(tǒng)計(jì):

[21,26),[26,31),[31,36),[36,41),[41,46](單位：mm).統(tǒng)計(jì)后分別制成如圖的

頻率分布直方圖，并規(guī)定果徑達(dá)到36mm及以上的為“大果”.

⑴現(xiàn)采用分層抽樣的方法從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)樣本中抽取10個(gè),再?gòu)倪@10個(gè)果

實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，記其中“大果”的個(gè)數(shù)為X,求X的分布列和期望；

⑵以頻率估計(jì)概率，從對(duì)照?qǐng)@這批果實(shí)中隨機(jī)抽取〃(〃22,〃wN*)個(gè)，設(shè)其中恰有2個(gè)

“大果”的概率為尸(“),當(dāng)尸⑺最大時(shí)，求〃的值.

17.設(shè)數(shù)列｛q｝的前”項(xiàng)之積為4,滿足2%+7；=15eN+).

(1)設(shè)求數(shù)列｛2｝的通項(xiàng)公式2；

（2）設(shè)數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)之和為S",證明：S?<j+|ln（7；,+l）-^.

18.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，一動(dòng)圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A［；,。］且與直線x=相切，設(shè)該動(dòng)圓

圓心的軌跡為曲線K,P是曲線K上一點(diǎn).

⑴求曲線K的方程；

⑵過(guò)點(diǎn)A且斜率為k的直線/與曲線K交于8、C兩點(diǎn)，若///0P且直線0P與直線x=1

交于。占求網(wǎng)應(yīng)的值?

舅…\OP\-\OQ\

⑶若點(diǎn)在y軸上，△/>處?的內(nèi)切圓的方程為（x-iy+y2=i,求△PDE面積的最小

值.

19.直線族是指具有某種共同性質(zhì)的直線的全體.如：方程y=&+l中，當(dāng)％取給定的

實(shí)數(shù)時(shí)，表示一條直線；當(dāng)左在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)變化時(shí)，表示過(guò)點(diǎn)（0,1）的直線族（不含>

軸）.記直線族2（a-2）x+4y-4。+/=0（其中aeR）為中，直線族y=3產(chǎn)x-2/（其

中f>0）為。.

⑴分別判斷點(diǎn)4（0,1）,3（1,2）是否在乎的某條直線上，并說(shuō)明理由；

（2）對(duì)于給定的正實(shí)數(shù)為，點(diǎn)戶（x。,幾）不在Q的任意一條直線上，求y。的取值范圍（用

%表示）；

（3）直線族的包絡(luò)被定義為這樣一條曲線:直線族中的每一條直線都是該曲線上某點(diǎn)處的

切線，且該曲線上每一點(diǎn)處的切線都是該直線族中的某條直線.求。的包絡(luò)和甲的包

絡(luò).

試卷第4頁(yè)，共4頁(yè)

參考答案:

1.A

【分析】

先化簡(jiǎn)集合M和N,再求交集.

【詳解】易知/={y|y=lgx,x21}={y|y20},

因?yàn)?一/20,所以一2VxW2,故N=1x|y="一/卜{尤卜2WX42},

故AfcN=[0,2].

故選：A.

2.D

【分析】

根據(jù)線性回歸方程為f=2x+3一定過(guò)點(diǎn)(工同，先求出"代入回歸方程即可得出工，進(jìn)而

6

可得Z%的值.

Z=1

【詳解】依題意，

6_on

因?yàn)椤?=30,所以彳=三=5,

i=i6

因?yàn)榫€性回歸方程為￡=2尤+3一定過(guò)點(diǎn)(H),

所以]=21+3=2x5+3=13,

6

所以=6x13=78.

1=1

故選：D.

3.C

【分析】

先求得a+萬(wàn)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量d與.+%共線求解.

【詳解】已知向量。=(彳+1,3),。=(2,3),所以。+6=(4+3,6),

因?yàn)?。與0+方共線，所以(X+1)X6-(X+3)X3=0,解得:2=1.

故選：C

4.D

【分析】

答案第1頁(yè)，共19頁(yè)

根據(jù)函數(shù)的解析式得到ABC的高，繼而利用ABC的性質(zhì)得到A[g,o],從而求得。=],

進(jìn)而代入求值即可得解

【詳解】因?yàn)椤▁)=sin(0x+0),所以“尤)1Mx=1，

又因?yàn)?Ase是等腰直角三角形，所以M同=2=工，則。=￡,

CD2

又因?yàn)?1=33，所以代入〃”得0=疝13,\,

又0<0<兀，則一gW+0=o,解得。=：,

故/(x)=sin(￡+：],則/(2024)=sin00127t+：[=*.

故選：D.

5.D

【分析】

先得到多面體為正八面體，然后根據(jù)正八面體的棱長(zhǎng)可得外接球的半徑，進(jìn)而可得體積.

【詳解】如圖一：所得的多面體為正八面體，這正八面體的球心如圖二中點(diǎn)。，設(shè)外接球半

徑為廣，

正八面體的棱長(zhǎng)為2,

在AMOE中，OM=OE=r,ME=2,ZMOE=90,

所以O(shè)M=OE=r=0,

所以V=2兀/=[7rx(JJj=8f兀.

故選：D.

【分析】

答案第2頁(yè)，共19頁(yè)

根據(jù)題意，設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為i個(gè)為事件4,從乙中取出2個(gè)球，其

中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為B,分別求得相應(yīng)的概率，結(jié)合貝葉斯公式，即可求解.

【詳解】設(shè)從甲中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為i個(gè)為事件4。=。,1,2）,事件A,的概率為

P（A）,

從乙中取出2個(gè)球，其中白球的個(gè)數(shù)為2個(gè)的事件為8,事件B的概率為尸（3）,

22

根據(jù)題意，可得P（4）=MCC°=G1，P（BI4）=*cc°=R1；

z~i0z~i2oQ

]_「（"工⑻少罟=二

P（A）=-^=-,P（BIA）=-^

5

根據(jù)貝葉斯公式得，從乙袋中取出2個(gè)紅球，則從甲袋中取出的也是2個(gè)紅球的概率為:

32

——X—

p（a）p（8ia）10518

P（W）=

P（4）P（5|4）+P（4）P（3|A）+P（4）P（5|4）1X1+3X1+2X237

101555105

故選：c.

7.C

【分析】

根據(jù)等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式先考慮充分性，再考慮必要性即可.

【詳解】充分性:

若｛4｝是公比為q的等比數(shù)歹！J,

則2（"）_4（卬+%++??）_[4（"）_

、A（w）4（"）一一再一"‘

C（n）q^a2+a3++an+l）qB^n）

B（n）~B（^）—B（w）-4

B（n）C[n

A⑺B（n）

故A（〃），B⑻,C（〃）三個(gè)數(shù)是公比為q的等比數(shù)列，則充分性成立;

必要性：

若對(duì)任意”N*,A（n）,B（n）,C（〃）三個(gè)數(shù)是公比為q的等比數(shù)歹U,

答案第3頁(yè)，共19頁(yè)

當(dāng)"=1時(shí)，=3（1）=%,C（l）=q,

則％,外,%為公比是4的等比數(shù)列.

當(dāng)"227EN時(shí),

有C（/j）-5（?）=^[B（n）-A（n）],

即%+2—%=4（%+1一q），又。2=?！?,

%。

貝！I%+2=夕4+1，即—=q，

an+l

則｛%｝是公比為q的等比數(shù)列，必要性成立.

故選：C.

8.A

【分析】先根據(jù)題意寫(xiě)出圓M的方程，根據(jù)圓M與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)得出聯(lián)立后的方

2

程組有唯一解，整理得出有唯一解，且y>。；再構(gòu)造函數(shù)八力二（x>0）?

32y32x

將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)y=/（x）與直線y=r的圖象有唯一的交點(diǎn)；最后利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)/'（X）

的單調(diào)性及值域即可求解.

【詳解】設(shè)圓M的半徑為r（r>0）.根據(jù)拋物線的對(duì)稱性不妨設(shè)圓M的圓心在x軸的上方.

由拋物線C:/=4x可得：*1,0）.

因?yàn)閳AM與x軸相切于點(diǎn)尸，

所以圓M的方程為（彳-1）2+（k『）2=日

又因?yàn)閳A加與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，

所以方程組（:T+（—）=廠有唯一解,

y=4x

有唯一解，且y>0.

32y

令〃*（尤>0）

答案第4頁(yè)，共19頁(yè)

1+42

則函數(shù)〃x）=L（x＞0）與直線y=，的圖象有唯一的交點(diǎn).

32尤

中％/、（X2+4）（3X2-4）

因?yàn)閒（同=^~~』，

2^/3；令八力＜0,解得：o〈尤〈半

令/'(x)>0,解得:X>------

3

1+4\2

所以函數(shù)/（%）=@＞0）在區(qū)間0,上單調(diào)遞減,在區(qū)間,+。上單調(diào)遞增,

32尤7

(、/2⑹44

貝1/(力向“=/丁=7

\J

又鬻“力=+8,螞”x)=+8,

所以一殍

故選：A.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛:本題解題關(guān)鍵在于將題目問(wèn)題轉(zhuǎn)化為r=上一＞-有唯一解,且V＞。,

32y

進(jìn)一步將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象有唯一的交點(diǎn).

9.AC

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義、共輾復(fù)數(shù)的概念與運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.

【詳解】A:z=cos--isin—=^--^-i,貝！Jz=i,

442222

忖=J亭+（一看=1,必=*+爭(zhēng)=」,故A符合題意；

B:若2=3型—isin3=-交—也i,貝H?也+也i,

442222

|z|=J（一爭(zhēng)+（一爭(zhēng)=1,必=*爭(zhēng)美,故B不符合題意；

C：若Z”包+isin型.也+也3貝丘一克一g,

442222

閆=卜今+吟2=i—=_與—與="故C符合題意；

D：z=cos—+isin—=—+—i,則z=—

442222

忖=J亭+（今=1,必=一孝+今#」,故D不符合題意.

答案第5頁(yè)，共19頁(yè)

故選：AC

10.AD

【分析】畫(huà)出可能圖象，結(jié)合圖象判斷選項(xiàng)即可.

尸（x）=[/+（a+2）尤+a+可e*,設(shè)8（尤）=彳+（a+2）x+a+b

若函數(shù)〃x）無(wú)極值點(diǎn)則，則△=（a+2）2_4（a+6）=0,

此時(shí)。2-4b+440,Wa2-4b<-4,所以〃尤）=（d+奴+6），>0,沒(méi)有零點(diǎn)，如圖①;

若函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，貝IJ有片-46<0,止匕時(shí)儲(chǔ)一46+4<4,

當(dāng)/-4b+4>0時(shí)，/'（X）先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，故有極值點(diǎn)，如圖②;

若函數(shù)〃尤）恰有一個(gè)零點(diǎn)，則4-4）=0,

此時(shí)1-46+4=4>0,f'（x）先正再負(fù)再正，原函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖

③；

若函數(shù)“X）有兩個(gè)零點(diǎn)，貝！1〃-46>0,止匕時(shí)/一48+4>4>0,/'（X）先正再負(fù)再正，

函數(shù)先增再減再增，有兩個(gè)極值點(diǎn)，如圖④；

所以AD正確.

故選：AD.

11.ACD

C2

2

【分析】由題意推出=*,從而說(shuō)明。向=%，利用三角形面積公式推出5?+1=二+二,

189

2

構(gòu)造數(shù)列從而求得sn=*一曲（g）"T，由此可判斷A,B由%=e券結(jié)合

斤+c：=25可求得4、G，對(duì)數(shù)列｛d-g｝中的奇數(shù)項(xiàng)和偶數(shù)項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列的單調(diào)性以及項(xiàng)

的符號(hào)進(jìn)行分析，確定數(shù)列｛2-￡,｝的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)，可判斷CD.

【詳解】由題意知：a：=6：+c“2,

答案第6頁(yè)，共19頁(yè)

故=%+4=2a";；+b；=2%;a：,即見(jiàn);=〃/，即％”=%,

a=a=a

所以n+lnn-l==a2=al=5,貝qa：—b：+c；=25,

13+b：=25+療

故63=通±^="±4

33

25+r225+辦；252+25（c；+b；）+q%；

由S〃+1、=得：（2S/=W^

39

即（2S./=空笆產(chǎn)X,所以53=*+%

22

e2251“225\石。2251,20225~49

貝！IS“+；----=-（S?2-----）,而Sj----=-X42X32-------

用169"1611641616

所以s7=空一竺?『‘，由于。丫隨〃的增大而減小,

2"1616（9J（9）

故S-=蘭-竺’是隨〃的增大而增大，

2"1616<9J

由題意知$2*>0,故｛%｝是遞增數(shù)列，故A正確;

同理S-=磊假隨”的增大而增大，住“空是遞增數(shù)列，B錯(cuò)誤；

又%=T代-號(hào)，由于%2+%「=25,b"=25,且廳-c；=7,

所以，優(yōu)-婿是首項(xiàng)為7,公比為一的等比數(shù)列，故

因?yàn)槊?gt;。，g>。，故勿=

所以，b,~

所以，%M其中％eN*,

答案第7頁(yè)，共19頁(yè)

0,其中左eN*,

257257/1A

因?yàn)閿?shù)列萬(wàn)+,（%eN*）隨著％的增大而減小，數(shù)歹ij0一了卜）,eN*）隨著

%的增大而增大，

故數(shù)列"tfi｝（此N*）隨著左的增大而減小，故仿為數(shù)列也-c?）中所有正項(xiàng)中最

大的，

同理可知數(shù)列｛&GN*）隨著％的增大而增大，故"2為數(shù)例J也-Cn｝中所有負(fù)項(xiàng)

中最小的，

綜上所述，數(shù)歹!]｛2-％｝的最大項(xiàng)為4-。，最小項(xiàng)為a-。2，CD均對(duì).

故選：ACD.

【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)列的單調(diào)性問(wèn)題以及數(shù)列的最大項(xiàng)和最小項(xiàng)問(wèn)題，綜合性較強(qiáng),

難度較大，解答時(shí)要結(jié)合幾何知識(shí)，能熟練的應(yīng)用數(shù)列的相關(guān)知識(shí)作答，關(guān)鍵是要注意構(gòu)造

新數(shù)列解決問(wèn)題.

12.73

【分析】

利用向量的模公式及向量的夾角公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的平方關(guān)系及銳角三角函數(shù)的定義

即可求解.

【詳解】1(1,1,省),2(1,T2),C(0,0,。),

：.CA=(1,1,我,CB=(1,-1,2)..'.|C4|=+F+陰2=向詞=+⑵2=指

.cos<rACB>_C4-CB_lxl+lx(-l)+2^3_273_Vl0

..COS<C/i,CJD>—i-------nr----------------T=產(chǎn)----——f=----

|C4||CB|A/5X>/6V305

/.sin<CA,CB>=-cos2<CA,CB>=~~，

設(shè)點(diǎn)A到直線BC的距離為d,則

f77

1=|CA卜in<G4,CB>=國(guó)號(hào)="

故答案為：G

13.6

答案第8頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】

根據(jù)角的關(guān)系及兩角和差正弦公式化簡(jiǎn)得到sinA=3cosA,利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求

出sinA,cosA,代入2sin（A-C）=sin_B求出sinB,再由正弦定理求出AC,根據(jù)等面積法求

解即可.

IT

【詳解】A+5+C=3C+C=4C=TI,所以。=一.

4

2sin（A-C）=sinB=sin（A+C）,

所以2sinAcosC-2cosAsinC=sinAcosC+cosAsinC,

所以sinAcosC=3cosAsinC,

所以sinA=3cosA.

又sin?A+cos2A=1,且在ABC中，sinA>0,

所以sinA=±W,cosA=叵，

1010

所以sin5=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC=2f

AB一斤AB-sinB

由正弦定理七三B知，AC=------------=2A/10.

sinBsinC

設(shè)AB邊上的高為h,則5ABe=JAB鬃CsinA=：AB?h,

所以/z=AC-sinA=6.

故答案為：6

【分析】

易知P（x=k）=-,k=l,2,,n,根據(jù)全概率公式求出

n

尸（丫二1）、夕（y=2）、尸（y=3）、、尸（y=〃-1）、尸（丫=〃），結(jié)合數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可求解.

【詳解】由題意知P（%=Q=，，k=1,2,,〃，由全概率公式知,

n

p(y=l)=p(y=l|X=l)+p(y=l|X=2)+P(y=l|X=3)+.-.+P(y=l|X=H)

11111

=—xld--X—+—x-++L-1++

nn2n3nnn23n

p(y=2)=F(y=2|X=2)+P(y=2|X=3)+-+F(y=2|X=〃)

，八3-d+駕+-

n2n3nnn23n

答案第9頁(yè)，共19頁(yè)

尸(y=3)=P(y=3|X=3)+P(y=3|X=4)++P(y=3|x=〃)

p(y=77-1)=p(y=M-i|x=?-i)+p(y=/j-i|x=n)=-x—!—+-x-=-(—+-

nn—1nnnn—\n

所以E(Y)=1-P(r=l)+2P(Y=2)+3P(Y=3)++(n-l)P(Y=n-l)+nP(Y=n)

,11

=—[1-(1+—+-++-)+2(-+-++—)+3(-++—)++5—1)(.------+—+n--]

n23n23n33nn—1nn

Ji+d+"2+3)+d+2+”++&空+

+-)]

n223334444nnnn

」(i+*+9++叫

n2222

」，々2+〃+1)

n22

n+3

4

及+3

故答案為:

4

【點(diǎn)睛】本題主要考查條件概率以及全概率的計(jì)算公式的應(yīng)用，結(jié)合等差數(shù)列的運(yùn)算，尋找

x和y的聯(lián)系是解決本題問(wèn)題的關(guān)鍵，即

p(y=l)=p(y=l|X=l)+P(y=l|X=2)+P(y=l|X=3)++P(Y=]\X=n),

p(y=2)=P(y=2|X=2)+P(y=2|X=3)++P(Y=2\X=n),L、

P(Y=n)=P(Y=n\X=n).

15.(1)；

⑵叵

20

【分析】

(1)由線面垂直得到線線垂直，建立空間直角坐標(biāo)系,表達(dá)出E(1-尢0,辰)，求出平面PCD

的法向量，從而B(niǎo)E_Lm,列出方程，求出a=；；

答案第10頁(yè)，共19頁(yè)

(2)求出平面PAD的法向量，結(jié)合第一問(wèn)得到的E0-尢0,而)，列出方程組，求出2=；,

從而利用線面角的正弦值求解公式得到答案.

【詳解】(1)

因?yàn)镻3_L底面ABCD,BC,A8u平面A5CD,

所以尸3_LBC,PBLAB,

又因?yàn)锳B13C,

所以A民兩兩垂直，

以B為坐標(biāo)原點(diǎn)，3A所在直線為x軸，BC所在直線為y軸，8P所在直線為z軸，建立空間

直角坐標(biāo)系，

因?yàn)?C=2,BA=l,AD=3,PB=g，AE=AAP，

所以8(0,0,0),4(1,0,0),網(wǎng)0,0,⑹,C(0,2,0),￡>(1,3,0),設(shè)E(a,6,c),

故(a—1,6,c)=%(—,解得：a=l—A,b=Q,c=A/32,

故E0-4O,瘋)，BE=(l-2,0,V32),

設(shè)平面PCD的法向量為m=(x,y,z),

m-PC=(x,y,z)-(0,2,-6)=2y—y/3z—0

m-PD=(x,y,z)?(1,3,-6)=尤+3y—也z=0

令z=l,解得：y=—,x=~—>

22

故根十耳萬(wàn)/卜

由題意得:

解得：2=

答案第11頁(yè)，共19頁(yè)

（2）設(shè)平面PAD的法向量為〃=（網(wǎng),％,zj,

zj（1,0,-@=無(wú)［-任?=0

”?20=（%,%，4）-（1,3,_指）=&+3%-百4=0

令4=1,則％=石，M=。，

故〃=（右,。,1）,

由于3E_L平面尸AD,所以BE//〃，設(shè)BE=tn，

1—A—y/3t

即＜0=0/,解得：％=：,

不入=t

故吟\,0當(dāng)，

44

由（1）得：平面尸CD的法向量為“=1-4，半,1

設(shè)直線BE和平面PCD所成角的正弦值為e，

因‘冬唱’。書(shū)I

痂/\\m-BE\V10

故sineucos^IELdn—L

、'm-BE~2D

直線3E和平面PCD所成角的正弦值為典.

20

o

16.（1）分布列見(jiàn)解析；￡（^）=—

⑵6

【分析】

答案第12頁(yè)，共19頁(yè)

(I)根據(jù)頻率分布直方圖求得100個(gè)果實(shí)樣本中大果的個(gè)數(shù)，繼而可求得從這10個(gè)果實(shí)中

隨機(jī)抽取3個(gè)時(shí)，隨機(jī)變量X的取值，分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解；

(2)根據(jù)已知條件，結(jié)合二項(xiàng)分布的概率公式，建立不等式組，解之即可得解.

【詳解】(1)由題中對(duì)照?qǐng)@的頻率分布直方圖得，

這100個(gè)果實(shí)中大果的個(gè)數(shù)為(0.040+0.020)x5x100=30,

采用分層抽樣從對(duì)照?qǐng)@選取的100個(gè)果實(shí)樣本中抽取10個(gè)，

其中大果有湍^10=3個(gè)，從這10個(gè)果實(shí)中隨機(jī)抽取3個(gè)，

其中“大果”的個(gè)數(shù)為X的可能取值為：0」,2,3,

37c2cl

P（X=0）=ZC='35，，尸（X=l）=匕36321

V7Co12024I）C：。120-40'

123

“X=2）=泠rc217ri

120而'P（X=3）=W=商，

Jo

所以X的分布列為

X0123

72171

P

244040120

72171Q

E（X）=Ox—+lx—+2x—+3x——=—

v724404012010

（2）由題可知P（〃）=CXO.32XO.7"-2,

2n-32-1

貝P（n-1）=C"x0.3x0.7,P（zz+1）=^+1x0.3xO.7",

刖尸（"I）C"X0.32X07T10（〃一2）

人P（n）C>0.32x0.7n_27n'

P（〃+l）_C3xO.32xO.7"T_7伍+1）

且P（n）C；x0.32x0.7n-210（w-l），

1720

解得—<^<—,又〃￡N*,則〃=6.

17.（l）b?=2n+1

（2）證明見(jiàn)解析

答案第13頁(yè)，共19頁(yè)

【分析】

(1)數(shù)列｛〃〃｝的前〃項(xiàng)之積為1,滿足2%+<=1(〃￡N+),〃=1時(shí)，24+6=1,解得

手+1=1,變形為J+l=2（；+1）,71I

〃>2時(shí),結(jié)合2=1+7,即可得出或.

'〃-1'n11n

,1?用1,1、11

（2）由（1）可得：1+-=2，，+1,解得（，當(dāng)“22時(shí)，T?=z

Ln1n-l2，-1，，

11iii9n+11on+1—1

可得S“<=-：+B，需要證明.〈匕nW+l）=Ln^^，即證明一t>]n土泉，

242"+22"+2222,,+1-12"+12"+1

—

=t,^(0,1),令/⑺=1皿+1-，te(0,l),利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性即可得出結(jié)

2，+i

論.

【詳解】(1)

因?yàn)閿?shù)列｛??｝的前"項(xiàng)之積為T?,滿足24+[=1(〃eN+),

所以當(dāng)〃=1時(shí)，2q+4=l,解得Q=g.

當(dāng)"22時(shí)，"+?“=1,

4-1

1cli

化為〒=2xk+1,

變形為"+1=2（J—+D,

，n^n-1

,r14c7Y1”

又b“=l+〒,所以即宣」=2且々=1+—=4,

T?*q

則數(shù)列｛2｝是以4=4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

所以6"=4x2-=2陽(yáng).

(2)

由(1)可得：1+[=2向，解得雹=二1，

1n2

72n_11111

當(dāng)"'2時(shí)，%=亡=^7!=5(1一^^)<5一萍?

o/I1、/11、/I1、〃n11

???S"<(5_Q)+(5一夢(mèng))+???+(，一尸)=5一

242n+2'

需要證明Jr<fn（7；+l）=1n2"+1

ZZZZ—1

答案第14頁(yè)，共19頁(yè)

即證明-一i1>1121"+^i-^1,

2〃+i2〃+i

2n+1-1

設(shè)2用二31￡(。』)，

則一』■nfT，

設(shè)/⑺=lnf+lT,fe(0,1),

則函數(shù)/⑺在te(0,1)上單調(diào)遞增,

所以/⑺<川)=0,

1,2,,+1-1

即Hn一產(chǎn)■'In2“+i，

.一n11

所以S〃<2+2ln^+^-4,

18.⑴V=2x

*

(3)8

【分析】

(1)由題意動(dòng)圓的軌跡滿足拋物線的定義，所以得出拋物線的軌跡方程即可，

(2)聯(lián)立直線/與拋物線，求出|AB|,|AC|的值，又IUOP,設(shè)出。尸的方程，再聯(lián)立拋物

,...\AB\-\AC\

線求出。尸的值，再求出。。，得出％“J的值;

(3)由于。、E在y軸上，設(shè)出。、E坐標(biāo)，并求出|￡叫，尸點(diǎn)的橫坐標(biāo)即為的高,

再求△PDE面積的最小值即可.

【詳解】(1)

由題意可知圓心到g,oj的距離等于到直線x=的距離，

由拋物線的定義可知，曲線K的軌跡方程為丁=2尤，

(2)

設(shè)直線/的方程為丁=4尤-9，

答案第15頁(yè)，共19頁(yè)

聯(lián)立,y=k[X~l],7肖y得發(fā)212_（上2+2）彳+,左2=0,

y2=2x'4

%2NO

,，）/\2.,?,kwO,

A=（）t02+2）-V>0

設(shè)3（&乂）,。優(yōu),%），?,?西+z=與￡，尤也=：

k4

又叫3+g,M=x2+;,

2

II“Z（1Y01zx111r+21Jt+1

..\AB\-\AC\=\^xl+-^x2+-j=xlx2+-（xl+x2）+-=-+-+-=-p—

：///OP,...設(shè)直線OP的方程為了=履，

Iy=Ax

聯(lián)立<2c，消y得上2V-2x=o,

[y=2元

令x=l,則為=左，AQ（l,k）,:.\OQ\=y]l+k2,

|AB|-|Ad.

故|0尸”。@的值為5'

（3）

設(shè)P（%,%）,D（0,%）,E（0,c）,

直線PD的方程為(%-6)%-飛丫+/6=0,

答案第16頁(yè)，共19頁(yè)

\y0-b+xQb\

二1

又圓心(1,0)到PD的距離為1,即叫二7

整理得伉—2)〃+2%%-%=0,

同理可得(％-2)廠+2yoe—毛=。,

所以，可知6,c是方程(%-2)尤2+2%尤-%=0的兩根,

4xg+4yp-8x

依題意bc<0,即％>2,貝|(C-6)2=0

U-2)2

因?yàn)楸?2%