廣西欽州市靈山縣2024年高考卷數(shù)學試題

注意事項

1.考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回.

2.答題前，請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.

3.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符.

4.作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他

答案.作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效.

5.如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗.

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1.設機，”是空間兩條不同的直線，￡是空間兩個不同的平面，給出下列四個命題：

①若ml/a，n/1/3,alIP,則加〃〃；

②若。_L/7,mVp,mBa,則機//a；

③若mLn,mLa,a//尸，則〃//月；

④若。_L〃，a/3=l,mlla,m±l,則m其中正確的是（）

A.①②B.②③C.②④D.③④

2.函數(shù)y=tan[?x—d的部分圖象如圖所示，貝!]（04+03）?A3=（）

A.6B.5C.4D.3

3.已知集合4={%|爐,』1={%|3々1},則4_的町=()

A.{x|x<0}B.{x|0^!k1}C.{x|-L,尤<0}D.{尤

4.設i為虛數(shù)單位，復數(shù)z=(a+z)(l—則實數(shù)。的值是()

A.1B.-1C.0D.2

5.若z=(3—i)(a+2z)(aeR)為純虛數(shù)，貝!Jz=()

16.20.

A.—IB.6iC.—iD.20

33

6.如圖是計算,+!+!+,+1值的一個程序框圖，其中判斷框內應填入的條件是（）

246810

A.k>5

B.k<5

C.k>5

D.k<6

7.設/(九)=&,點0(0,0),4(0,1),A(〃，/(〃))，neN*，設乙4。4=%對一切〃eN*都有不等式

sin26*sin2asin2ftsin2。,?m丁班皿，山日.在二,、

——+—~+—1+……+—產(chǎn)</—2/—2成立，則正整數(shù)f的最小值為()

I22232rr

A.3B.4C.5D.6

8.木匠師傅對一個圓錐形木件進行加工后得到一個三視圖如圖所示的新木件，則該木件的體積（）

俯視圖

A.24萬+96B.48萬+9石C.48萬+18百D.144萬+180

9.已知函數(shù)/（%）=；”.下列命題：①函數(shù)Ax）的圖象關于原點對稱；②函數(shù)Ax）是周期函數(shù)；③當x=g時,

X+12

函數(shù)/（X）取最大值；④函數(shù)“X）的圖象與函數(shù)y=」的圖象沒有公共點，其中正確命題的序號是（）

X

A.①④B.②③C.①③④D.①②④

10.若（x—a）（l+3x）6的展開式中V的系數(shù)為-45,則實數(shù)。的值為（)

211

A.—B.2C.—D.一

343

11.已知命題。：“加=1”是“直線》-加y=0和直線》+切=0互相垂直”的充要條件；命題4：對任意

aeH"（x）=Y+a都有零點；則下列命題為真命題的是（）

A.（一）A（R4）B.C.PvqD.P^Q

12.已知定義在[l,+8）上的函數(shù)〃x）滿足〃3x）=3/（x）,且當時，/（x）=l-|x-2|,則方程

〃x）=/（2019）的最小實根的值為（）

A.168B.249C.411D.561

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13.在[也的二項展開式中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，則該二項展開式中的常數(shù)項等于.

1<%+y<3

14.已知實數(shù)x,y滿足，，，則2x+y的最大值為___________.

-l<x-y<l

x-y>Q

15.已知實數(shù)X,y滿足約束條件卜+y-4W0,則z=2-3x+v的最大值是.

16.已知集合人={%|%=2左一1,左eZ},B=[x]x=2k,k&Z],則AB=.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17.（12分）已知關于x的不等式lx+川—2x<0解集為[1,+8）（m>0）.

（1）求正數(shù)優(yōu)的值；

2h22

（2）設。，仇ceR+,S.a+b+c=m,求證：-a--1H——c>1.

bca

22

18.（12分）如圖,設點工（1,0）為橢圓E:=+==l（a〉6〉0）的右焦點，圓C:（x—。）2+/=",過心且斜率為

ab

左（左>。）的直線/交圓。于A,8兩點，交橢圓E于點P,Q兩點，已知當左=6時，AB=2底

(1)求橢圓E的方程.

(2)當P￡=當時，求APQC的面積.

19.(12分)在AABC中，角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且滿足bcosA-逝asinB=1.

(1)求A；

(2)已知a=2j^,B=y,求△ABC的面積.

20.(12分)第十三屆全國人大常委會第十一次會議審議的《固體廢物污染環(huán)境防治法(修訂草案)》中，提出推行生

活垃圾分類制度，這是生活垃圾分類首次被納入國家立法中.為了解某城市居民的垃圾分類意識與政府相關法規(guī)宣傳

普及的關系，對某試點社區(qū)抽取50戶居民進行調查，得到如下的2x2列聯(lián)表.

分類意識強分類意識弱合計

試點后5

試點前9

合計50

已知在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，抽到分類意識強的概率為0.58.

(1)請將上面的2X2列聯(lián)表補充完整，并判斷是否有99.5%的把握認為居民分類意識的強弱與政府宣傳普及工作有

關？說明你的理由；

(2)已知在試點前分類意識強的9戶居民中，有3戶自覺垃圾分類在12年以上，現(xiàn)在從試點前分類意識強的9戶居民

中，隨機選出3戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在12年以上的戶數(shù)為X,求X分布列及

數(shù)學期望.

參考公式：K2=---------k)--------------,其中〃=a+?+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

下面的臨界值表僅供參考

2

P(K>k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001

k。2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

2L（12分）已知凸〃邊形4444的面積為1，邊長44+1=6。=12,n-D,AA=q，其內部一點尸到邊

++2

A4+1=q（i=l,2,，〃-1）的距離分別為4，4,4,&.求證：~^~^+2（闋a1a2~o7）.

221

22.（10分）已知橢圓。：.+方=1（。＞》＞0）的焦距為24，斜率為5的直線與橢圓交于A,3兩點，若線段

的中點為。，且直線8的斜率為-

2

（1）求橢圓C的方程；

11

（2）若過左焦點歹斜率為左的直線/與橢圓交于點M,N,P為橢圓上一點，且滿足腦V,問：麗+西T是

否為定值？若是，求出此定值，若不是，說明理由.

參考答案

一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。

1、C

【解析】

根據(jù)線面平行或垂直的有關定理逐一判斷即可.

【詳解】

解：①：M、〃也可能相交或異面，故①錯

②：因為。_L〃，m±j3,所以加ua或m//1,

因為W2,所以〃z//cz,故②對

③：〃//，或“＜=/,故③錯

④：如圖

m

因為a，=/,在內c過點E作直線/的垂線。，

則直線a，，，a±Z

又因為/〃//1,設經(jīng)過7〃和夕相交的平面與a交于直線b,則m//Z?

又m工/,所以/?_!_/

因為a_U,b±l,bua,aua

所以6//。//機，所以〃z_L，，故④對.

故選：C

【點睛】

考查線面平行或垂直的判斷，基礎題.

2、A

【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出4、3兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結果.

【詳解】

(兀兀、乃乃

由圖象得，令y=tan|—%--|=0,即一x——=kn,keZ

142)42

fc=0時解得x=2,

☆y=tan(fx—g]=i,即—t=工，解得x=3,

H2)424

A(2,0),3(3,l),

AOA=(2,0),OB=(3,1),AB=(1,1),

.,.(<9A+OB)AB=(5,1)(1,1)=5+1=6.

故選：A.

【點睛】

本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖

象求出坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結果，屬于簡單題.

3、D

【解析】

先求出集合A,B,再求集合3的補集，然后求A(a5)

【詳解】

A={x|-1Ml},B={x|x<0},所以AL(^B)={x|x..-1}.

故選：D

【點睛】

此題考查的是集合的并集、補集運算，屬于基礎題.

4、A

【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算化簡，由復數(shù)的意義即可求得。的值.

【詳解】

復數(shù)z=(a+i)(l—

由復數(shù)乘法運算化簡可得z=a+l+(l-a)"

所以由復數(shù)定義可知1-a=0，

解得a=l,

故選：A.

【點睛】

本題考查了復數(shù)的乘法運算，復數(shù)的意義，屬于基礎題.

5、C

【解析】

根據(jù)復數(shù)的乘法運算以及純虛數(shù)的概念，可得結果.

【詳解】

z=(3-z)(a+2z)=3a+2+(6-a)z

Vz=(3—z)(a+2z)(aeH)為純虛數(shù)，

，3a+2=0且6—a20

2320.

得。=—,此時z=—I

33

故選：C

【點睛】

本題考查復數(shù)的概念與運算，屬基礎題.

6、B

【解析】

根據(jù)計算結果，可知該循環(huán)結構循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,進而可得判斷框內的不等

式.

【詳解】

因為該程序圖是計算-+-+I+-+工值的一個程序框圈

246810

所以共循環(huán)了5次

所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12,k的值為6,

即判斷框內的不等式應為左之6或左＞5

所以選C

【點睛】

本題考查了程序框圖的簡單應用，根據(jù)結果填寫判斷框，屬于基礎題.

7、A

【解析】

先求得1%=^^=工-——,再求得左邊的范圍，只需產(chǎn)―2f-221,利用單調性解得t的范圍.

nn+nnn+1

【詳解】

n.sin2^_1_11

由題意知sin2??----------------------

dn2+nn2n2+nnn+1

22

.sin2asin6*,sin2asin6>?.1111111.1.*.-UK.-U

------+—+—+……+---；—=1---1-------1-------1-...H---------=1------>隨n的1V增T大而增大,

I22232n~22334nn+1n+1

1,1,

??一?1------<1,

2n+1

A即/=2/-120,又f(t)=/—2"1在叱1上單增，f(2)=-l<0,f(3)=2>0,

正整數(shù)/的最小值為3.

【點睛】

本題考查了數(shù)列的通項及求和問題，考查了數(shù)列的單調性及不等式的解法，考查了轉化思想，屬于中檔題.

8、C

【解析】

由三視圖知幾何體是一個從圓錐中截出來的錐體，圓錐底面半徑為r=J32+（竽了，圓錐的高〃=J（3石）2—3?，截去

的底面劣弧的圓心角為與，底面剩余部分的面積為5=---^r2+-r2sin—，利用錐體的體積公式即可求得.

32323

【詳解】

由已知中的三視圖知圓錐底面半徑為r=/32+（罕）2=6,圓錐的高〃=5（3百）2—32=6,圓錐母線

/"G+G=6底，截去的底面弧的圓心角為120。，底面剩余部分的面積為

S=—兀$+—r2sin-=—^x62+—x62xsin」=24?+9由，故幾何體的體積為：

323323

V=gs/z=gx（24〃+9^）x6=48%+18/.

故選C.

【點睛】

本題考查了三視圖還原幾何體及體積求解問題，考查了學生空間想象,數(shù)學運算能力，難度一般.

9、A

【解析】

根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確；由周期函數(shù)特點知②錯誤；函數(shù)定義域為R,最值點即為極值點，由廣

知③錯誤；令g（x）=〃x）-L在x>0和x<0兩種情況下知g（x）均無零點，知④正確.

【詳解】

由題意得：/（九）定義域為E,

/（-x）=^M=

=7T=-/（x）,.?./（力為奇函數(shù)，圖象關于原點對稱，①正確;

十1

y=sinx為周期函數(shù)，y=必+1不是周期函數(shù)，.?./（九）不是周期函數(shù)，②錯誤;

71n

/（力=2*0,不是最值，③錯誤;

X2+1

1

1.1sinx—x—

令Ag（x）=/（x）—L*—

XX+1XX+1

當%>0時，sinx<x>—>0,/.g(x)<0,此時/(x)與y無交點；

x光

當％<0時,sinx>xf—<0,.\g(x)>0,此時/(%)與y=」無交點;

X%

綜上所述：/(九)與y=：無交點，④正確.

故選：A.

【點睛】

本題考查函數(shù)與導數(shù)知識的綜合應用，涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點個數(shù)問題的

求解；本題綜合性較強，對于學生的分析和推理能力有較高要求.

10、D

【解析】

將多項式的乘法式展開，結合二項式定理展開式通項，即可求得。的值.

【詳解】

V(x-fl)(l+3x)6=x(l+3x)6-A(1+3X)6

所以展開式中x3的系數(shù)為C；乎-心3=135—540。=-45,

二解得a=-.

3

故選：D.

【點睛】

本題考查了二項式定理展開式通項的簡單應用，指定項系數(shù)的求法，屬于基礎題.

11、A

【解析】

先分別判斷每一個命題的真假，再利用復合命題的真假判斷確定答案即可.

【詳解】

當m=］時，直線=0和直線x+切=0,即直線為x—y=0和直線x+y=0互相垂直，

所以=1”是直線x-my=0和直線x+my=0互相垂直”的充分條件，

當直線x—my=0和直線x+切=?；ハ啻怪睍r，=1,解得加=±1.

所以“m=1”是直線x-my=0和直線x+my=0互相垂直”的不必要條件.

P：=1”是直線％-沖=。和直線x+切=0互相垂直”的充分不必要條件，故，是假命題.

當。=1時，沒有零點,

所以命題q是假命題.

所以(一)△(-！。)是真命題，。人(「q)是假命題，?vq是假命題，?入4是假命題.

故選：A.

【點睛】

本題主要考查充要條件的判斷和兩直線的位置關系，考查二次函數(shù)的圖象，考查學生對這些知識的理解掌握水平.

12、C

【解析】

先確定解析式求出7(2019)的函數(shù)值，然后判斷出方程/(x)=/(2019)的最小實根的范圍結合此時的

7(x)=x-35,通過計算即可得到答案.

【詳解】

當轉1時,/(3x)=3/(x),所以/(x)=3嗎)=32〃言==3"(妥)，故當

3YV向時，4[1,3],所以/"(xm，一2卜『；而

2019

677

2019e[3,3],所以/(2019)=36(1-甘一-2)=3-2109=168，又當時，

/(%)的極大值為1,所以當3〃<x<3"+i時，/⑺的極大值為3"，設方程〃x)=168

的最小實根為乙168G[34,35],貝he(35,￡1^),即。e(243,468),此時/'(x)=x—

令/(x)=x—35=168,得r=243+168=411,所以最小實根為411.

故選：C.

【點睛】

本題考查函數(shù)與方程的根的最小值問題，涉及函數(shù)極大值、函數(shù)解析式的求法等知識，本題有一定的難度及高度，是

一道有較好區(qū)分度的壓軸選這題.

二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。

13、1

【解析】

由題意可得〃=8,再利用二項展開式的通項公式，求得二項展開式常數(shù)項的值.

【詳解】

(近-2)”的二項展開式的中，只有第5項的二項式系數(shù)最大，.'.n=8,

x

通項公式為Tr+i=C；?(-2廠?尤―=(-2廠.6.彳手，令=0，求得r=2,

可得二項展開式常數(shù)項等于4xC；=112,

故答案為1.

【點睛】

本題主要考查二項式定理的應用，二項展開式的通項公式，二項式系數(shù)的性質，屬于基礎題.

14、1

【解析】

直接用表示出2x+y,然后由不等式性質得出結論.

【詳解】

31

由題意2x+y=—(x+y)+—(%—y),

3131

又1〈尤+y<3,——.-.-+-x(-l)<2x+y<3x-+lx-,即l<2x+y<5,

/.2x+y的最大值為1.

故答案為：L

【點睛】

本題考查不等式的性質，掌握不等式的性質是解題關鍵.

1

15、一

4

【解析】

令-3x+y=f,所求問題的最大值為2=,只需求出仆x即可，作出可行域，利用幾何意義即可解決.

【詳解】

作出可行域，如圖

令—3x+y=/,則y=3x+f,顯然當直線經(jīng)過8(1,1)時，f最大，且fmax=-2,

,1

故z=2-3冷的最大值為2一2=—.

4

故答案為：一.

4

【點睛】

本題考查線性規(guī)劃中非線性目標函數(shù)的最值問題，要做好此類題，前提是正確畫出可行域，本題是一道基礎題.

16、0

【解析】

利用交集定義直接求解.

【詳解】

解：集合A={x|x=2"l,左eZ}={奇數(shù)},

5={x|x=24次eZ}={偶數(shù)},

:.Ar>B=0.

故答案為：0.

【點睛】

本題考查交集的求法，考查交集定義等基礎知識，考查運算求解能力，屬于基礎題.

三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

17、(1)1；(2)證明見解析.

【解析】

(1)將不等式1%+加1-2%<?；癁椤?1<1+加42彳，求解得出x'm,根據(jù)解集確定正數(shù)機的值;

2z22

(2)利用基本不等式以及不等式的性質，得出二22a->，->2b-c,->2c-a,三式相加，即可得證.

ba

【詳解】

(1)解：不等式|%+根|一2]?。，即不等式|x+6區(qū)2xo-2xKx+m<2x

x>m

m，而m>0,于是％之相

x>----

I3

依題意得加=1

(2)證明：由(1)知，+人+。=1,原不等式可化為

bca

,:a,b,ceR+,a2+b2>lab

2J22

**.—>2a-Z?>同理2226-c,—>2c-tz

2722

三式相力口得幺+幺+J^a+b+c,當且僅當。=匕=。時取等號

bca

【點睛】

本題主要考查了求絕對值不等式中參數(shù)的范圍以及基本不等式的應用，屬于中檔題.

【解析】

(1)先求出圓心。(。,0)到直線/的距離為d=2后得到6+3(°—1)=/，解之即得a

I,L、2,再根據(jù)A3=

再根據(jù)c=l求出b的值得到橢圓的方程.(2)先求出Pkl,-|716

的值,,Q,再求得APQC的面積

40

~9

【詳解】

⑴因為直線/過點鳥(1,0),且斜率左=石.

所以直線/的方程為y=6(尤—1),即瓜一丁—百=0,

所以圓心C（a,O）到直線/的距離為d=

又因為A3=2?,圓。的半徑為。，

所以（三）+儲=/，即6+3（°/）=/,

解之得，〃=3或Q=—9（舍去）.

所以方2=〃2_02=8,

22

所以所示橢圓E的方程為土+匕=1.

98

c1

（2）由（1）得，橢圓的右準線方程為m:x=9,離心率e=—=-，

a3

10

則點P到右準線的距離為d="=牛=10,

e,

3

22o

所以9—馬=10,即/=1,把/=-1代入橢圓方程、_+事=1得，孫=土§，

因為直線/的斜率左＞0,

所以匕）=一|,?,?。1一1,一|1

因為直線/經(jīng)過鳥（1,0）和PkL—|

4

所以直線/的方程為y=§（x—1）,

y=*T，

聯(lián)立方程組

22得3l—4x—7=0,

土+j,

I98

7

解得尤=—1或%=彳，

3

所以Q

所以APQC的面積S=—CF2-^yQ-=-x2xf-^-+-|j=—

【點睛】

本題主要考查直線和圓、橢圓的位置關系，考查橢圓的方程的求法，考查三角形面積的計算，意在考查學生對這些知

識的掌握水平和分析推理計算能力.

19、(1)—；(2)6A/3?

6

【解析】

(1)由正弦定理化簡已知等式可得sinHcosA-6sinAsinb=L結合sinb>l,可求tanA=——,結合范圍AW(1,

3

九)，可得A的值；(2)由已知可求。=工，可求方的值，根據(jù)三角形的面積公式即可計算得解.

2

【詳解】

(1)VbcosA-

?二由正弦定理可得：sinBcosA-J^sinAsin5=L

VsinB>l,

:.cosA=,

/.tanA=^-^,

3

VAG(1,7T),

(2)。：(1=2炳,A=千，

TTCLb

??.C=3,根據(jù)正弦定理得到一7二——

2smAsmB

.\b—6,

.,.SAABC=9b=^7X2V3x6=6石.

【點睛】

本題主要考查了正弦定理，三角形的面積公式在解三角形中的綜合應用，考查了計算能力和轉化思想，屬于基礎題.

20、(1)有99.5%的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系.見解析(2)分布列見解析，期望為1.

【解析】

(1)由在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，抽到分類意識強的概率為058可得列聯(lián)表，然后計算Kz后可得結論；

(2)由已知X的取值分別為0』,2,3,分別計算概率得分布列，由公式計算出期望.

【詳解】

解：(1)根據(jù)在抽取的50戶居民中隨機抽取1戶，到分類意識強的概率為0.58,可得分類意識強的有29戶，故可得2x2

列聯(lián)表如下：

分類意識強分類意識弱合計

試點后20525

試點前91625

合計292150

因為心的觀測值上=%^=鬻993427.879'

所以有99.5%的把握認為居民分類意識強與政府宣傳普及工作有很大關系.

(2)現(xiàn)在從試點前分類意識強的9戶居民中，選出3戶進行自覺垃圾分類年限的調查，記選出自覺垃圾分類年限在12

年以上的戶數(shù)為X,則X=0,1,2,3,

C35C2cl15

故p(x=o)=W=2,P(X=I)=-^=—

Cl2\C28

23

P(X=2)=-C*^C=3—,P(X=3)=CW=1—,

C；14C；84

則X的分布列為

X0123

51531

P

21281484

E(X)=0x—+lx—+2x—+3x—=1.

21281484

【點睛】

本題考查獨立性檢驗，考查隨機變量的概率分布列和數(shù)學期望.考查學生的數(shù)據(jù)處理能力和運算求解能力.

21、證明見解析

【解析】

由已知，易得+a2d2+…+=2,所以

也+也+…+也=2(色+&+…+組幺+&+

—+Cl2d2++%4)+會利用柯西不等式和基本不等式即

4d2dn(4d2dn,、d[d2

可證明.

【詳解】

因為凸"邊形的面積為1,所以％4+a2d2+…+4公=2,

2a,2&2a八

所以一^二十…+—=2+…+江

4d2dn、4〃2d?

=(。］4+a2d2+?+他）找++4

d?

亍++也&『（由柯西不等式得）

=（G]+〃2+…+凡）

..（岫徑%）2（由均值不等式得）

【點睛】

本題考查利用柯西不等式、基本不等式證明不等式的問題，考查學生對不等式靈活運用的能力，是一道容易題.

2

22、⑴?+y2=l.

11為定值;?過程見解析.

(2)---------+--------y

\MN\\0P|2

【解析】

b2小這樣可解得。也得橢圓方程;

分析：（1）焦距說明c=6,用點差法可得kAB-kOD=-

11

（2）若左=0,這種特殊情形可直接求得-----1-----,在左W0時，直線肱V方程為＞=左（》+6），設