相似三角形的綜合應用

一、課標導航

課標內容課標要求目標層次

相似三角形的綜

利用相似三角形的知識解決問題★★

合應用

二、核心綱要

常見的相似模型如下：

(1)母子型(2)雙垂型(3)三垂直型

本節(jié)重點講解：模型的應用，相似三角形與其他知識的綜合.

三、全能突破

基礎演練

1.如圖2721所示,正方形ABCD的邊長為4,M、N分別是BC、CD上的兩個動點，且始終保持4M±MN.當BM=時，四邊形ABCN

的面積最大.

2.如圖2722所示,在等邊△4BC中,P為BC上一點,D為AC上一點且^APD=60°,BP=1,CD=抑△AB△ABC的周長為.

圖27-2-1

圖27-2-2

3.如圖2723所示，在AABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分別為BC、AB邊上一點,"DE=zC.

⑴求證:ABDEsACAD.

⑵若CD=2,求BE的長.

(3)設CD=x,AE=y，求y關于x的函數(shù)關系式，并寫出自變量x的取值范圍.

圖27-2-3

c

4.如圖27-2-4所示,C是以AB為直徑的。0上一點，過點0作OE_LAC于點E,過點A作。0的切線交0E

延長線于點F,連接CF并延長交BA的延長線于點P.B

⑴求證:PC是。0的切線.

⑵若AB=4,AP:PC=1:2,求CF的長.

圖27-2-4

5.如圖27-2-5所示.AB為。。的直徑.BC切。0于點B,AC交。0于點D.E為BC中點.

求證:(1)DE為。。的切線.

(2)延長ED交BA的延長線于F,若DF=4,AF=2,求BC的長.

圖27-2-5

能力提升

6.如圖2726所示，已知AB〃EF〃CD,AB=3O,CD=5O則EF的長為—.

7.如圖27-2-7所示.在RtAABC中,NABC是直角..AB=3,BC=4?P是BC邊上的動點，設.BP=x,若能在AC邊上找到一點Q,使乙BQP

=9?！?則x的取值范圍是____.

8.如圖27-2-8所示,正方形ABCD的邊長為10.內部有6個全等的正方形，小正方形的頂點E、F、G、H分別落在邊AD、AB、BC、CD

C

上，則DE的長為___.圖27-2-6圖27-2-7圖27-2-8

9.操作:如圖27-2-9所示,在正方形ABCD中,P是CD上一動點(與C、D不重合),使三角板的直角頂點與點P重合，并且一條直角邊始

終經過點B,另一直角邊與正方形的某一邊所在直線交于點E.

探究：①觀察操作結果，哪一個三角形與ABPC相似，寫出你的結論(找出兩對即可)；并選擇其中一組說明

理由.

②當點P位于CD的中點時，直接寫出①中找到的兩對相似三角形的相似比和面積比.

圖27-2-9

10操作如圖27210(a)所示，點O為線段MN的中點，直線PQ與MN相交于點O.請利用圖27-2-l(Xa)畫出一對以點O為對稱中心的全

等三角形.

根據(jù)上述操作得到的經驗完成下列探究活動：

探究一：如圖27210(b)所示，在四邊形ABCD中,AB〃DC,E為BC邊的中點,NBAE=NEAF,AF與DC的延長線相交于點F.試探究

線段AB與AF、CF之間的等量關系，并證明你的結論.

探究二:如圖27-2-10(c)所示,DE、BC相交于點E,BA交DE于點A,且BE:EC=1:2,NBAE=NEDF,CF〃AB.若AB=5,CF=1,求DF的

長度.

圖27-2-10

1L如圖27211(a)所示，在R3ABC中,/ACB=90o,CP平分NACB,CP與AB交于點D,且PA=PB.

(1)請你過點P分別向AC、BC作垂線，垂足分別為點E、F,并判斷四邊形PECF的形狀.

(2)求證:AP4B為等腰直角三角形.

(3)設PA=m,PC=n,,試用m、n的代數(shù)式表示△ABC的周長.

(4)試探索當邊AC、BC的長度變化時，*+9的值是否發(fā)生變化，若不變，請直接寫出這個不變的值,若變化，試說明理由(圖27-

2-11(b)為備用圖).

圖27-2-11

12.數(shù)學課上，張老師給出圖27-2-12(a)和下面框中條件：

如圖27-2-12(a)所示，兩塊等腰直角三角板ABC和DEF有一條邊在同一條直線1±,,乙48c=DEF=9(T,AB=1,DE=2.將直線

EB繞點E逆時針旋轉445。,.交直線AD于點M.將圖27-2-|12(a)中的三角板ABC沿直線1向右平移,逡色、B質點間的距離

為X.

請你和艾思軻同學一起嘗試探究下列問題：

⑴①當點C與點F重合時，如圖27212(b)所示，可得黑的值為—；

②在平移過程中，黑的值為_(用含x的代數(shù)式表示).

⑵艾思軻同學將圖27212(b)中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉，原題中的其他條件保持不變.當點A落在線段DF上時，如

圖27-2-12(0所示，請你幫他補全圖形，并計算黑的值.

(3)艾思軻同學又將圖27-2-12(a)中的三角板ABC繞點C逆時針旋轉m(0<m<90)度，原題中的其他條件保持不變.請你計算黑

的值(用含x的代數(shù)式表示).

中考鏈接

13如圖27213所示，在A4BC'中,AB=AC,D為BC的中點，以D為頂點作NMDN=NB.

圖27-2-13

(1)如圖27213(a)所示,當射線DN經過點A時,DM交AC邊于點E,不添加輔助線,寫出圖中所有與AADE相似的三角形.

(2)如圖27-2-13(b)所示，將NMDN繞點D沿逆時針方向旋轉,DM、DN分別交線段AC、AB于E、F點(點E與點A不重合)，不添

加輔助線，寫出圖中所有的相似三角形，并證明你的結論.

⑶在圖27213(b)所示中.若AB=AC=10,BC=12,當ADEF的面積等于AABC的面積的泄，求線段EF的長.

14.(山東臨沂)在矩形ABCD中,/ACB=30。,將一塊直角三角板的直角頂點P放在兩對角線AC、BD的交點處，以點P為旋轉中心轉

動三角板，并保證三角板的兩直角邊分別于邊AB、BC所在的直線相交，交點分別為E、F.

⑴當PE±AB,PF±BC時，如圖27214(a)所示，則徐的值為____.

PF

(2)現(xiàn)將三角板繞點P逆時針旋轉a((F<a<60。)角.如圖27214(b)所示,求票的值

(3)在⑵的基礎上繼續(xù)旋轉，當(60°<a<90。,,且使AP:PC=1:2時,如圖27-2-14(c)所示器的值是否變化？證明你的結論.

圖27-2-14

巔峰突破

15.在平面內，先將一個多邊形以點0為位似中心放大或縮小，使所得多邊形與原多邊形對應線段的比為k,并且原多邊形上的任一

點P,它的對應點P'在線段OP或其延長線上；接著將所得多邊形以點o為旋轉中心，逆時針旋轉一個角度e,這種經過縮放和

旋轉的圖形變換叫做旋轉相似變換，記為O(k,0),其中點o叫做旋轉相似中心，k叫做相似比，e叫做旋轉角.

(1)填空

①如圖27-2-巴.所示將445。以點A為旋轉相似中心放大為原來的2倍，再逆時針旋轉60。,得至U△4DE,,這個旋轉相似

變換記為A(,_)；

②如圖27215(b)所示,.△是邊長為1cm的等邊三角形，將它作旋轉相似變換力(遮,90)彳導到△4DE,,則線段BD的長為_

___cm.

⑵如圖27215(c)所示，分別以銳角三角形ABC的三邊AB、BC、CA為邊向外作正方形ADEB、BF-GC、CHIA,點。h0,3分別

是這三個正方形的對角線交點，試分別利用，A4。1。3與△ABIACIB與△8。2之間的關系，運用旋轉相似變換的知識說明

線段(。1。3與之間的關系.

圖27-2-15

16.⑴如圖27216(a)所示，在四邊形ABDC中“AB=AC,ABAC=90。,猜想聲40與DB+DC的大小關系(直接寫出結論)?

⑵如圖27216(b)所示,在四邊形ABDC中,.4BAC=90。,乙48。=30。,猜想2AD與BD+gDC的大小關系并證明.

圖27-2-16

基礎演練

1.22.9

3.(1)VAB=AC,/.ZB=ZC.VZADE+ZBDE=ZADB=ZC+ZCAD,ZADE=ZC,

AZBDE=ZCAD.AABDE^ACAD.

(2)由(1)得DB=△口.??,AB=AO5,BO8,CD=2,

ADB=BC-CD=6.

「廠

???BE=-D-B--C-D-

AC等=24

(3)由已知BE=5-y;BD=8-x.VABDE^ACAD.

BDBE日口8—X5-y

,*左=F?即T1

???y=|x2—+5(0<%<8).

4.⑴連接OC,如下圖所示.???OE_LAC,???AE=CE.

???FA=FC.

:.ZFAC=ZFCA.*/OA=OC,:.ZOAC=ZOCA.

:.ZOAC+ZFAC=ZOCA+ZFCA.即NFAO=NFCO.

VFA與。O相切，且AB是。O的直徑,JFA±AB.

???ZFCO=ZFAO=90°.PC是。O的切線.

(2)VNPCO90。,即NACO+ZACP=90°.

又???ZBCO+ZACO=90°,Z.NACP=NBCO.

VBO=CO./.ZBCO=ZB.AZACP=ZB.

■:ZP公共角,:.APCA^APBC.

PCPA

—.\AP\PC=1:2.竺

,?~PBPC..BC

■:FA與。O相切,:.ZFAO=90°.Z.OF〃BC.

:.ZAOF=ZABC.AAABC^AFOA.

AC_BCAF_ACi

AF-AO1''AO-BC-.:AB=4,.-,AO=2.

???AF=L???CF=1.

5.(1)如下圖所示，連接OD、BD.

:在。O中,OD=OB,?'.Z1=Z2.

VAB是。O的直徑,，ZADB=ZCDB=90°.

<E為BC中點,ED=1BC=EB.

：.Z3=Z4.VBC切。O于點B,.\ZEBA=90°.

???Nl+/3=/2+N4=90。，

即ZODE=90°.AOD±DE.V點D在。O上,DE是。O的切線.

(2)VOD±DE,ZFDO=90°.

設(0/=。。=r.vOF2=FD2+OD2,DF=4,/F=2,

(r+2)2=42+產.解得r=3.

???OA=OD=3,FB=8.

?/ZF=ZF,ZFDO=ZFBE=90°.

FDOFBE.\—FB=BEBE=6.

?；E為BC中點，.??BC=2BE=12.

能力提升

75

6.^7.3<X<48.2

9.分兩種情況：

①如圖(a)所示，

ZBPE=90°.

/.ZBPC+ZDPE=90°,

又NBPC+NPBO90。，

ZPBC=ZDPE,

又NC=ND=90。.

AABPC^APED.

如圖(b)所示，同理可證△BPCs/^BEPsaPEC.

②如圖(a)所示，

VABPC^APED,

???APED與"PC的周長比等于對應邊的比，即PD與BC的比，

?，點P位于CD的中點，

.PD_1

,,BC—2，

...PD與BC的比為1:2,

二APED與ABPC的周長比1:2,面積比1:4.

如圖(b)所示，

^.^△BPCs△BEP,...△BEP與△BPC的周長比等于j^寸應邊的比，即BP與BC的比.

,.1點P位于CD的中點設BC=2k,則PC=k,BP=/5k,

.?.BP與BC的比為V5:2,

△BEP與ABPC的周長比為V5:2.

△BEP與ABPC的面積比為5:4.

同理APCEs^BPC,周長比1:2,面積比1:4.

10.圖略；

探究一：

結論:AB=AF+CF.

證明:分別延長AE、DF交于點M,：E為BC的中點，

BE=CE.TAB//CD.二ZBAE=ZM.

ZAEB=ZMEC,，△ABE學△MCE；.AB=MC.

又?/NBAE=NEAF,ZM=ZEAF./.MF=AF.

又?/MC=MF+CF,AB=AF+CF.

探究二：

分別延長DE、CF交于點G,

：AB〃CF,，NB=NC,NBAE=NG.

AABE^AGCE.-.AC=BC.

BE1AB1.「nin

v——=-------=-.vABn=5,:，GC=10.

EC2GC2

VFC=1,AGF=9.

又：NBAE=NEDF.???ZG=ZEDF.AGF=DF.

ADF=9.

1L⑴過點P分別作PE_LAC、PF_LCB,垂足分別為E、F,VZACB=90°,PE±AC,PF±CB,，四邊形PECF是矩形.

又丁點P在NACB的角平分線上，且PE_LAC、PF_LCB,「?PE=PF.

???四邊形PECF是正方形.

⑵在RtAAEP和RtABFP中，

,.*PE=PF,PA=PB,

.,.RtAAEP^RtABFP..*.ZAPE=ZBPF.

?/ZEPF=90。,，ZAPB=90°.VPA=PB.

.??△PAB是等腰直角三角形.

⑶如下圖在RtAPAB中,NAPB=9(T,PA=PB,PZ=m,:.AB=^2PA=V2m.

由(2)可知,R3AEPZR3BFP,可得AE二BF,CE=CF,

:.CA+CB=CE+EA+CB=CE+CF=2CE.

又PC=n,/.CE=^-PC=號n,

:.CA+CB=2CE=V2n,:.ABC的周長為:AB+BC+CA=V2m+V2n

⑷不變野行企?

如下圖所示.：N1=N2=N3=N4=45。,且NADC=NPDB.

：.AADC^APDB.，gD—FB.(即竺二吧circle!

vACPB

同理可得ACDBS/XADR得到黑=魯,…-??circle!

又PA=PB,則①+②得:華+岸=案+*=

/1C￡>CIDIPA

12.⑴①1.②|.

(2)連接AE,補全圖形如下圖所示.

??,AABC和3EF是等腰直角三角形,AB=1.DE

=2.

ABC=1,EF=2,ZDFE=ZACB=45°.

.AC=V2,DF=2V2.ZEFB=90°.

???AD=DF-AOV2.A點A為DF的中點.

:.EA_LDF.EA平分ZDEE

???ZMAE=90°.ZAEF=45°.AE=/2.

ZMEB=/AEF=45°./.ZMEA=ZBEF.

：?MAEBFE.：.—=AM=—.

BFEF2

r，..?.../xy/2V2AMt

DMn=AD-AM=V2-----=—,—=1.

22DM

(3)如下圖所示，過點B作BE的垂線交直線EM于點G.連接AG,BG.

?/ZEBG=90°,ZBEM=45°,

:.ZBGE=ZBEM=45°.

.*.BE=BG.

ZABC=ZEBG=90。,，ZABG=ZCBE.

又BA=BC,:.△ABGgACBE.

AAG=CE=x,ZAGB=ZCEB.

???ZAGB+ZAGM=ZCEB+ZDEM=45°.

ZAGM=/DEM,AG〃DE.???DN=DE=TI/2.

中考鏈接

13.(1)圖(a)中與4ADE相似的有△ABDqACDqDCE.

QDBDFsaCEDs/iDEF,證明如下：

?.*ZB+ZBDF+ZBFD=180°,ZEDF+ZBDF+ZCDE=180°,XVZEDF=ZB,ANBFD=NCDE.

TAB=AC,,ZB=ZC.AABDF^ACED.

BDDFj-.—.——.CDDF口門CDCE

???——=——.:BD=CD,???——=——，即——=——.

CEEDCEEDDFED

又「ZC=ZEDF,ACED^ADEF.

:.ABDF^ACED^ADEF.

(3)如下圖所示.連接AD過D點作DG_LEF,DH_LBF,垂足分另(]為G、H.

,；AB=AC,D是BC的中點，

1

:.AD^\BC,BD=：BC=6.

在RtAABD中,AD?=AB2-BD4即.AD2=102-62,

???AD=8.

SABC=泗,ZD=1x12x8=48,

*0-SDEF=:SABC=；x48=12.

X--AD-BD=-AB-DH,

22

ADBD8X624

???DH=-------=——=—.

AB105

VABDF^ADEF,.*.NDFB=NEFD.

、:DH±BF,DG±EF,:.ZDHF=ZDGF.

又DF=DF,:.ADHF^ADGF,DH=DG=g.

II24

-SDEF=--EF-DG=--EF--=12.

AEF=5.

14.(l)/3

(2)如下圖所示，過點P作PH,AB,PG，BC,垂足分別為H.G.

;在矩形ABCD中,NABC=90°,，PH〃BC.

又；ZACB=30°,AZAPH=ZPCG=30°.

P