絕密★啟用前

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】

數(shù)學(xué)

（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡

皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)?；卮鸱沁x擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。

3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

第一部分（選擇題共40分）

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

1.設(shè)集合U={1,2,3,4},M={2,3},則用（）

A.{1,4}B.{1,3}C.{2,3}D.{354}

2.設(shè)xeR,則“x=0”是“爐=尤”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.拋物線V=2y的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）

(0,1)

4.已知復(fù)數(shù)2是純虛數(shù)，則在復(fù)平面中，復(fù)數(shù)z==a+i的共輾復(fù)數(shù)N對(duì)應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.（-3,-1）B.（-3,1）C.（1,-3）D.（1,3）

5.已知角。的終邊上有一點(diǎn)尸的坐標(biāo)是（3,4）,則cos（：--4的值為（）

433D.1

A.——B.--C.-

5555

6.在數(shù)列{4}中，％=1,%=9,氏+2=3凡+]—2%—1。，則{《9}的前"項(xiàng)和S”的最大值為（）

A.64B.53C.42D.25

7.已知直線ax+y-l=O與圓C：(x-l)2+(y+a)2=i相交于A,B兩點(diǎn)，且ABC為等腰直角三角形，則實(shí)

數(shù)。的值為()

A.一或一1B.—1C.1或一1D.1

7

8.設(shè)a=206,6=2%c=0.5%則()

A.a<b<cB.b<a<c

C.b<c<aD.c<b<a

22

9.雙曲線上-上=1的漸近線與圓f+丁—4x+3=0的位置關(guān)系為

124

A.相切B.相交但不經(jīng)過(guò)圓心C.相交且經(jīng)過(guò)圓心D.相離

10.已知/(X)是定義在(0,+8)上的增函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)/(元)滿足第R+V>1,則下列結(jié)論正確的是

/(x)

A.對(duì)于任意尤w(0,+s),f(x)<0B.對(duì)于任意尤e(0,+<?),f(x)>。，

C.當(dāng)且僅當(dāng)xe(l,+8)J(x)<0D.當(dāng)且僅當(dāng)xe(l,—)J(x)>0

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.二項(xiàng)式(X-1)6展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)是.

X

12.函數(shù)小)=｛露:1::則U=一.

13.如圖，在梯形A3CD中，AB//CD,AB=4,AD=3,CD=2,AM=2MD-如果AC-8M=-3，則

ABAD=.

14.在AABC中，角A,8,C的對(duì)邊分別為a,b,c,若2sinCcos3=2sinA+sin8,且AAFC的面積S=迫0,

4

則ab的最小值為

15.平面直角坐標(biāo)系中，A(-LO),8(1.0),若曲線C上存在一點(diǎn)尸，使尸4尸2<0，則稱曲線C為“合作曲

線“，有下列曲線①一+丁=；；②y=f+l；③2y2_/=1；④3x?+丁=1；⑤2x+y=4,

其中“合作曲線”是.(填寫(xiě)所有滿足條件的序號(hào))

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）

在如圖所示的直三棱柱ABC-A4G中，D,E分別是BC,4用的中點(diǎn).

⑴求證：上//平面4^弓4；

⑵若ABC為直角三角形，AB=BC=2,用=用，求直線OE與平面ABC所成角的大?。?/p>

（3）若ABC為正三角形，AB=AAl=4,問(wèn)：在線段A3上是否存在一點(diǎn)M,使得二面角A,-ME-。的

冗

大小為2胃？若存在，求出點(diǎn)M的位置；若不存在，說(shuō)明理由.

17.（13分）

已知函數(shù)〃x）=2cosx-cos（x+eWd<]|,從條件①、條件②、條件③這三個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已

知，使函數(shù)“X）存在.

條件①:嗚）=1;

JT

條件②：函數(shù)〃尤）在區(qū)間0,-上是增函數(shù)；

條件③：VxeR"（x）”用.

注：如果選擇的條件不符合要求，得。分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)

分.

⑴求。的值；

（2）求/（X）在區(qū)間-萬(wàn),0上的最大值和最小值.

18.（13分）

某校高一年級(jí)學(xué)生全部參加了體育科目的達(dá)標(biāo)測(cè)試，現(xiàn)從中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的測(cè)試成績(jī)，整理數(shù)據(jù)

并按分?jǐn)?shù)段[40,50）,[50,60）,[60,70）,[70,80）,[80,90）,[90,100]進(jìn)行分組,假設(shè)同一組中的每個(gè)

數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替，則得到體育成績(jī)的折線圖（如下）.

本各分?jǐn)?shù)段人數(shù)

O455565758595體育成績(jī)

（1）體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生常被稱為“體育良好”.已知該校高一年級(jí)有1000名學(xué)生，試估計(jì)

高一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；

（2）為分析學(xué)生平時(shí)的體育活動(dòng)情況，現(xiàn)從體有成績(jī)?cè)冢?0,50）和［60,70）的樣本學(xué)生中隨機(jī)抽取2人，求

在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的概率；

（3）假設(shè)甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為a,b,c,且分別在［70,80）,［80,90）,［90,100］三組中,其

中a,b,ceN.當(dāng)數(shù)據(jù)a,b,c的方差/最小時(shí)，寫(xiě)出a,b,c的值（結(jié)論不要求證明）

19.（15分）

fdL_113e

設(shè)橢圓二+1=1（a＞若）的右焦點(diǎn)為尸，右頂點(diǎn)為A,已知j西+同可=忻外，其中。為原點(diǎn)，《為

橢圓的離心率.

（I）求橢圓的方程；

（II）設(shè)過(guò)點(diǎn)A的直線/與橢圓交于點(diǎn)B（3不在x軸上），垂直于/的直線與1交于點(diǎn)與y軸交于

點(diǎn)H,若BFLHF,且/加。4=/他40,求直線的/斜率.

20.（15分）

已知函數(shù)/（尤）=6,11尤+3尤2+1

（1）求曲線y=f（x）在點(diǎn)（0,7（0））處的切線方程；

（2）若函數(shù)g（x）=a（ln尤-x）+/（尤）-e*sinx-l有兩個(gè)極值點(diǎn)耳，x2（X）^x2）,且不等式

g（Xi）+g（%2）＜“七+馬）恒成立，求實(shí)數(shù)2的取值范圍.

21.（15分）

設(shè)有數(shù)列數(shù)“｝,若存在唯一的正整數(shù)人（入2）,使得則稱｛4｝為“左墜點(diǎn)數(shù)列記｛“"｝的前”項(xiàng)

和為S“.

2〃+1,62*

⑴判斷：4=（-2）"抱,=：是否為"左墜點(diǎn)數(shù)列，，，并說(shuō)明理由;

2,n＞2

c

⑵已知｛4｝滿足4=1,|%+1-㈤=4+1,且是“5墜點(diǎn)數(shù)列"，若lim笠=3,求”的值；

zoon

⑶設(shè)數(shù)列｛凡｝共有2022項(xiàng)且可＞。.已知G-4T+/T=S,a2+a3++a2022=t.若｛%｝為“P墜點(diǎn)數(shù)

列”且｛SJ為F墜點(diǎn)數(shù)列”,試用小f表示次必.

2024年高考押題預(yù)測(cè)卷01【北京卷】

數(shù)學(xué)?全解全析

第一部分(選擇題共40分)

一、選擇題：本題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目

要求的。

910

12345678

AB

AAAADBCD

1.【答案】A

【分析】根據(jù)補(bǔ)集的定義可得出集合自〃.

【詳解】集合U=｛L2,3,4｝,M=｛2,3｝,則&M=｛1,4｝.

故選：A.

2.【答案】A

【分析】對(duì)方程爐=無(wú)進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化，即可進(jìn)行判斷.

【詳解】因?yàn)闊o(wú)2=無(wú)，故可得x=0或x=l,

貝廣x=0”是"爐=無(wú)”的充分不必要條件.

故選：A.

3.【答案】A

【分析】根據(jù)題意，結(jié)合拋物線的幾何性質(zhì)，即可求解.

【詳解】由拋物線V=2y,可得拋物線的開(kāi)口向上，且2。=2,所以。=1,

所以拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為F(0,1).

故選：A.

4.【答案】A

【分析】利用復(fù)數(shù)除法計(jì)算出"■="+3+"-3")1,從而得到。=_3,求出答案.

l+3i10

Q+i+—3i)a—3a\+i—3i2a+3+(l—3a)i

【詳解】=T\=--------77--------=--------------------，

l+3i(1+31)(1-31)1010

則a+3=o,解得[=—3,則z=—3+i,z=-3—i

故共物復(fù)數(shù)5對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)為(-3,-1).

故選：A

5.【答案】D

【分析】利用任意角的三角函數(shù)的定義求出sina,再用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)即可求得結(jié)果.

【詳解】因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,4),|。尸|=廠=出f=5,貝i]sina=g,

所以cosI--aI=cosI--aI=sma=—.

故選：D.

6.【答案】B

【分析】令??+1-??=bn,則由an+2=3a用-2a“-10可得bn+l-10=2電-10)，所以數(shù)列也-10｝是以—2為首

項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,可得到a“=10-2",然后用累加法得到%=102-7,通過(guò)｛%｝的單調(diào)性即

可求出S”的最大值

【詳解】由—34+「2。“-10,得an+2—an+l=2(%-10,

令an+l-an=bn，所以%=26,-10，則bn+1-10=2(Z??-10),

所以數(shù)列出TO｝是以4T。=的-4T。=-2為首項(xiàng),2為公比的等比數(shù)列,

n

所以2-10=-2x2片=一2"，即2=-2"+10,即an+1-an=10-2,

由％—G—10—21,%—%=1?！?之,%—%=10—2,,,a〃—。/一］=10—2”1N2),

將以上n—1個(gè)等式兩邊相力口得乙一卬=10(〃一1)一=10〃一2"-8，

所以%=10/一2"—7222,

經(jīng)檢驗(yàn)〃1=1滿足上式，故〃〃=10〃-2〃-7,

當(dāng)〃W3時(shí),-%=10-2">0,即｛4｝單調(diào)遞增，當(dāng)n>4時(shí)，氏+1-%=10-2"<0,即｛《,｝單調(diào)遞減，

因?yàn)?/p>

3456

%=10x3-2-7=15>0,a4=10X4-2-7=17>0,a5=10x5-2-7=11>0,a6=10x6-2-7=-11<0,

所以｛叫的前〃項(xiàng)和S”的最大值為$5=1+9+15+17+11=53,

故選：B

7.【答案】C

【分析】由題意可得，圓C的圓心為C（l,-a）,半徑為1,結(jié)合ASC是等腰直角三角形，可得圓心C（l,-a

到直線辦+>-1=0的距離等于r-sin45。，再利用點(diǎn)到直線的距離公式，從而可求得。的值.

【詳解】解：由題意得，圓C：（無(wú)-iy+（y+a）2=l的圓心為C（l,-a）,半徑為1,

由于直線以+y-1=0與圓C相交于A,B兩點(diǎn)，且ABC為等腰直角三角形，

可知ZACB=90,\AB\=\AC\=r=l,

所以=NCSA=45。，

圓心C（l,-a）到直線"+y-1=0的距離等于r?sin45°瀉,

再利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：

圓心C（l,-a）到直線ax+y-1=0的距離d=〒二=（,

y/a2+12

解得：a=±l,所以實(shí)數(shù)。的值為1或一1.

故選：C.

8.【答案】D

【分析】先將c=0.5a6改寫(xiě)為“=246,再利用函數(shù)y=2*的單調(diào)性判斷即可

【詳解】由題，c=0.5°6=g『=2?6,對(duì)于指數(shù)函數(shù)y=2*可知在R上單調(diào)遞增，

因?yàn)?0.6<0.5<0.6,所以2~°，6<2°5<2°6,即c<b<a

故選：D

9.【答案】A

【分析】求出漸近線方程，由點(diǎn)到直線的距離公式求出圓心到漸近線的距離，將此距離和半徑作比較，得

出結(jié)論.

22

【詳解】雙曲線土一匕=1的漸近線為JIx±3y=0,

124

圓月+丁―4X+3=0,即(％—2產(chǎn)+>2=1,

圓心(-2,0)到直線氐±3y=0的距離為=1(半徑),

故漸近線與圓相切，故選A.

10.【答案】B

【解析】由題意可得曰魯+/>1，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，從而可以判斷［(f-l)/(x)］，>0,即

g(x)=(x2-l)/(%)在(0,y)上單調(diào)遞增,從而判斷出結(jié)果.

2對(duì)1⑴

2是定義在(。,田)上的增函數(shù)，/'(%)>0,

【詳解】因?yàn)?W+x>1,

所以2獷(耳+丁/⑺>尸(力，即2^(%)+(%2-1)/'(%)>0,

所以［(無(wú)2—1)〃臼，>0,

所以函數(shù)g(x)=，一1)〃尤)在(0,轉(zhuǎn))上單調(diào)遞增,且g(l)=0,

所以當(dāng)xe(0,l)時(shí)，g(尤)<g⑴=0,而％2_1<0,所以此時(shí)/(X)>0,

當(dāng)xe(L+co)時(shí)，g(%)>g(l)=0,Mx2-l>o,所以此時(shí)/(無(wú))>o,

結(jié)合選項(xiàng)，可知對(duì)于任意x?0,+oo),/(x)>0,

故選B.

第二部分(非選擇題共110分)

二、填空題：本題共5小題，每小題5分，共25分。

11.【答案】15

【詳解】試題分析：(X-二,的展開(kāi)式的通項(xiàng)加=C646T(_之)，=(_1)，C#63,

X"X

令6-3r=Q可得r=2,

則常數(shù)項(xiàng)為7M=(-1)乜2=5

Q

12.【答案】|

【分析】先計(jì)算出=然后再求解/?（-2）從而求解.

【詳解】由題意得/（。=1鳴］=-2,

所以皿>〃一2）=1一3-2=|.

Q

故答案為：—.

13.【答案】34

2

1?23

【詳解】試題分析：因?yàn)锳C,9=（AD+5A5）.（—A5+§AD）=—2—=—3,所以=

14.【答案】3

【分析】利用角的關(guān)系以及三角恒等變換相關(guān)公式將條件中的恒等式化簡(jiǎn)，即可求出角C,然后利用面積

公式得到必=c,結(jié)合余弦定理以及基本不等式，即可求出他的最小值.

【詳解】因?yàn)?sinCcos3=2sinA+sinB,

而sinA=sin［%-（B+C）］=sinBcosC+sinCcosB,

代入上式化簡(jiǎn)得：2sinBcosC+sinB=0

127r

所以cosC=-=，因?yàn)?<C（萬(wàn)，所以C=：-；

23

因?yàn)镾=1qbsinC=趙^<?,所以得〃b=c；

24

因?yàn)椋╝6）？=c2=a2+b2-2abcosC=a2+b2+ab>3ab,

所以必23,當(dāng)且僅當(dāng)“=匕時(shí)取等號(hào)，

所以而的最小值為3.

15.【答案】①③④

【分析】設(shè)點(diǎn)尸（羽田，曲線c為“合作曲線存在點(diǎn)（羽丫）使得/+解出即可判斷出結(jié)論.

【詳解】解：設(shè)點(diǎn)尸（羽丁），曲線C上存在一點(diǎn)P,使PAJBvO，

合作曲線O存在點(diǎn)（x，y）使得Y+y2<1.

①由一+/=；,則滿足存在點(diǎn)（工丫）使得d+y2<1,曲線C上存在一點(diǎn)尸滿足V+yZ<1,故.1為合作曲線;

②令P（x,/+1）,則/+（/+1）2<1,化為丁+3/<0,此時(shí)無(wú)解，即不滿足/+故*2不為合作曲線;

③由2y2一/=i,可得a=，2,b=l,則曲線C上存在一點(diǎn)P滿足V+y2<i,故*3為合作曲線；

2

④由3/+3；2=1,可得：a=1,b=叵,則曲線C上存在一點(diǎn)P滿足V+y2<i,故《4為合作曲線；

3

4

⑤因?yàn)橹本€圓心到直線2x+y=4的距離”=忑>1,故曲線C上不存在一點(diǎn)尸滿足x2+y2<i,故*5不為合

作曲線；

綜上可得：“合作曲線”是①③④.

故答案為：①③④

三、解答題：本題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步聚。

16.（14分）【答案】⑴證明見(jiàn)解析⑵arctan逅（3）存在，且/為A3中點(diǎn)

2

【分析】（1）取AG中點(diǎn)尸，連接砂,c尸，證明四邊形ERCD是平行四邊形可得C尸〃DE,結(jié)合線面平行

的判定定理可完成證明；

（2）取AB中點(diǎn)G,連接EG,OG,先證明EG，平面ABC,然后判斷出線面角為/EDG,最后結(jié)合線段

長(zhǎng)度求解出結(jié)果；

（3）先證明EG，平面443月，然后建立合適空間直角坐標(biāo)系，分別求解出平面MED和平面的一個(gè)

法向量，根據(jù)法向量夾角的余弦值的絕對(duì)值的結(jié)果求解出4的值，則結(jié)果可知.

【詳解】（1）取AG中點(diǎn)/，連接

因?yàn)镋為A用的中點(diǎn)，所以EF//B]G，EF=1BG，

又因?yàn)镈為8c的中點(diǎn)，所以a>〃3C,CD=gBC=gBG,

所以EF//CD,EF=CD,

所以四邊形EFCD是平行四邊形，

所以CF//DE,

又CFu平面ACC0,DE.平面ACGA，

所以DE〃平面ACGA；

（2）取AB中點(diǎn)G,連接EG,OG,

因?yàn)樗倪呅蜛AB耳為矩形，且瓦G為A為AB的中點(diǎn),

所以B[E〃BG,BiE=BG,

所以四邊形與EG8為平行四邊形，所以BB"/EG

因?yàn)閹缀误w為直三棱柱，

所以平面ABC,所以EG,平面ABC,

所以直線OE與平面ABC所成角即為ZEDG,

因?yàn)?G為中點(diǎn)，

所以左號(hào)/:/樹(shù)+叱=枝,且BB]=EG=6,

所以tanNEDG=^=4=也,

DG&.2

所以ZEDG=arctan,

2

所以直線DE與平面ABC所成角的大小為arctan

2

（3）設(shè)存在M滿足條件，

連接EG，因?yàn)椋珹BC為正三角形，所以△A4C也是正三角形，

因?yàn)镋為A與中點(diǎn)，所以

因?yàn)閹缀误w為直三棱柱，所以84，平面A耳G,

因?yàn)镋GU平面44G，所以5EQ,

因?yàn)锽ByAB,=B},BBX,AB,u平面\ABBX,

所以EG，平面AA8四，

以￡為原點(diǎn)，以￡A，EC1方向?yàn)閄,z軸正方向，在平面442片內(nèi)過(guò)點(diǎn)￡1垂直于44方向?yàn)閥軸，建立如圖所

則E（0,0,0）,￡>（-1,4,,A（2,4,0）,B（-2,4,0），設(shè)=ABA（2e[0,1]）,

所以（2-稅,4一%,-ZM）="4,0,0）,所以“（2—444,0）,

所以￡^=（2-444,0）,石。=卜1,4,白），

設(shè)平面MED的一個(gè)法向量為〃=（x,y,z）,

n-EM=（2-42）x+4y=0（6—84、

所以I）「，令x=2,貝IJ〃=2,24—1,-^,

n-ED=-x+4y+y/3z=0I<3J

取平面AME的一個(gè)法向量加=（o,o,i）,

,\m-n\1

所以F°s九川

mn25

\\-\\lx4+（2A-l）2+6-82

*

131

解得2=]或幾=玲(舍去)，

此時(shí)由圖可知，二面角A-ME-。的平面角為鈍角，

所以當(dāng)M為中點(diǎn)時(shí)，二面角的大小為莖.

17.(13分)【答案】(1)選擇見(jiàn)解析；答案見(jiàn)解析(2)答案見(jiàn)解析

【分析】(1)根據(jù)題意先把函數(shù)/'(X)進(jìn)行化簡(jiǎn)，然后根據(jù)所選的條件，去利用三角函數(shù)輔助角公式，三角

函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間而分別計(jì)算并判斷是否使函數(shù)/(x)存在，從而求解；

JT

(2)根據(jù)(1)中選的不同條件下得出不同的函數(shù)/(%)的解析式，然后求出在區(qū)間-,,0上的最大值和

最小值.

【詳解】(1)由題意得：/(x)=2cosx-cos(x+^)=2cosx-[cosxcos-sinxsin(p\

=2cos^z?cos2x一2sin夕cosxsinx=cos(p(cos2尤+1)—sin夕sin2x

=cos夕cos2x-sin(psin2尤+cos。=cos(2%一0)+cos夕

當(dāng)選條件①：/[m]=cose[cosg+l]-sin9sin/=gcos°-^^sin9=cos[9+g]=l,

又因?yàn)樗浴浴?<°+芻〈鄧，

222636

所以儂(9+今]=1時(shí)，即得：夕+]=0,即0=-].

當(dāng)選條件②:

/(x)=2cos%?cos(x+cp)=cos(2%-何+coscp

從而得：當(dāng)2E-兀＜2]-。＜2阮,左wZ時(shí)，/（%）單調(diào)遞增,

化簡(jiǎn)得：當(dāng)祈-萬(wàn)+與VxVE+稱,％￡Z時(shí)，＞/*（%）單調(diào)遞增，

TT

又因?yàn)楹瘮?shù)“X）在區(qū)間0,-上是增函數(shù)，

kit--+—＜0

7?TT

所以得：《eZ,解之得：一2祈+14?！兑?析+無(wú)次eZ,

E+92

I24

當(dāng)％=o時(shí)，得5＜°＜無(wú)，與已知條件閘矛盾，故條件②不能使函數(shù)〃無(wú)）存在.

故：若選條件②，夕不存在.

當(dāng)選條件③:

(g),/(x)=2cosx-cos(x+夕)=cos(2x-<p)+cos(p

得當(dāng)X=專時(shí),又因?yàn)?

所以得兀，得夕=5.

（2）當(dāng)選條件①：

由（1）知：夕=-三，則得：/（-^）=cos^2x+y^+1,

又因?yàn)閤e-1-,0,所以2x+[e-y,|-,

所以當(dāng)x=_g時(shí)，〃彳）有最大值//一,]=＜：0$（_1+《+〈=8$0+1=3；

所以當(dāng)x=q時(shí)，“X）有最小值一"||=??（一無(wú)+3+!=85（-5]+）=0；

當(dāng)選條件③：

由（1）知：9=方，則得：/（無(wú)）=cos[2x-1]+g,

又因?yàn)閤e-pO,所以2x—|e-y,-1,

所以當(dāng)x=0時(shí)，〃x）有最大值〃0）=cos（一|J+g=g+g=l；

所以當(dāng)x=_1時(shí)，〃x）有最小/[-T]=COS（_?_1]+；=COS（_71）+；=一；；

7

18.（13分）【答案】（1）750（2）-（3）79,84,90或79,85,90

【分析】（1）根據(jù)折線圖求出樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生數(shù)，從而得到相應(yīng)的比例，估計(jì)出高

一全年級(jí)中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)；

（2）利用列舉法求出古典概型的概率；

（3）先分析出。=79,c=90,再列出方差1=6^-1014力+43386,由二次函數(shù)的對(duì)稱軸得到當(dāng)6=84或85

時(shí)，s?取得最小值.

【詳解】（1）由折線圖，樣本中體育成績(jī)大于或等于70分的學(xué)生有40-2-6-2=30人，

30

所以該校高一年級(jí)學(xué)生中“體育良好”的學(xué)生人數(shù)大約為1000XR=750人；

40

（2）成績(jī)?cè)冢?0,50）有2名學(xué)生，設(shè)為1,2；［60,70）有2名學(xué)生，設(shè)為

故抽取2名學(xué)生的情況有：（1,2）,（1,A）,（1,B）,（2,A）,（2,B）,（AB）,共6種情況,

其中恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的情況有：（LA）,（1,B）,（2,A）,（2,3）,共4種情況,

49

故在抽取的2名學(xué)生中，恰有1人體育成績(jī)?cè)冢?0,70）的概率為P=:

63

（3）甲、乙、丙三人的體育成績(jī)分別為。，瓦c,且分別在［70,80）,［80,90）,［90,100］三組中，其中a,瓦ceN,

要想數(shù)據(jù)a,6,c的方差d最小，貝ija,b,c三個(gè)數(shù)據(jù)的差的絕對(duì)值越小越好，故a=79,c=90,

79+6+90169+b

則甲、乙、丙三人的體育成績(jī)平均值為

33

故方差

=g（6〃-10146+43386）,

-1014

對(duì)稱軸為6=-——=84.5,

故當(dāng)6=84或85時(shí)，$2取得最小值，

a,6,c的值為79,84,90或79,85,90.

19.（15分）【答案】⑴二+亡=1;（2）k=--^k=—.

4344

113c113c

【分析】（I）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程，只需確定〃，由西+西二兩，得展+力二*二3，再利用，=廿=3,

可解得，=1,a2=4;

（II）先化簡(jiǎn)條件：ZMOA^ZMAOo|A例=|MO|,即M再OA中垂線上，人=1.設(shè)直線/方程為

y=k（x-2）,點(diǎn)B可求；根據(jù)求點(diǎn)H,由點(diǎn)斜式得到直線MH方程，聯(lián)立直線/和直線MH方

程，求得知表達(dá)式，列等量關(guān)系解出直線斜率.

/、113c113c

【詳解】解：（I）設(shè)“c,。），由網(wǎng)+網(wǎng)=網(wǎng)，即]+廠而彳

可得"一0?=3c之,又/一/==3,

22

所以‘2=1,因此〃=4,所以橢圓的方程為土+匕=1.

43

（II）設(shè)3小，力），直線的斜率為M左10），則直線/的方程為y='（x—2）,

'一+-=1

由方程組彳43'消去，，整理得（43+3）/—163X+163-12=。，

y=k（x-2）,

解得x=2或x=

4抬+3

由題意得/=在|，從而力=3，

（9一4廿12"

設(shè)”（0,%）,由（1）知尸（1,0）,有切=（一1,為），-^―，-7―

14K十J4K十J

由卸FHF,得BF-HF=。，

4%2.912ky9-4/

所以H=0，解得y=

4左2+34k2+3H12k

1Q-4^2

因此直線MH的方程為j=-市+彳”

戶一%+*‘消去九得知=器左，

設(shè)”（%,%），由方程組，

y=k（x-2）,1平+1）

在AMA0中，ZMOA^ZMAOo\MA\^\MO\,

20k2+9

即（與一2）2+yj=€+y；,化簡(jiǎn)得刈=1,即12儼+1）=1，

解得左=_逅或％=逅，

44

所以直線/的斜率為左=-逅或6=逅

44

20.（15分）【答案】（1）無(wú)一y+l=0（2）[21n2-3,心）

【分析】（1）對(duì)Ax）進(jìn)行求導(dǎo)，得廣（x）=e，sinx+/cosx+x,利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線斜率，最后根

據(jù)點(diǎn)斜式求出切線方程;

（2）根據(jù)題意，化簡(jiǎn)得g（無(wú)）=a（lnx-x）+g/,求出導(dǎo)函數(shù)g'（x）,通過(guò)g'（x）=0有兩個(gè)不同的正根，即

gCXl)+g(>2)_g(無(wú)i)+g(%)

/—以+a=0有兩個(gè)不同的正根，列出不等式組，由恒成立條件轉(zhuǎn)化為幾>恒成

玉+巧a

立，構(gòu)造新函數(shù)y=lna-；a-l（“>4）,利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性和最值，進(jìn)而可求得2的取值范圍.

【詳解】解：（1）因?yàn)閒（x）="sinx+；尤2+i,

所以f\x)=exsinx+excosx+x,

所以切線斜率左=尸（。）=1,又以切=1,

故曲線y=/（%）在點(diǎn)（o,/（o））處的切線方程為:

y-l=lx(x-0),即％_y+l=0.

(2)因?yàn)間(x)=a(ln%-x)+/(%)-e"sinx-l=a(lnx-x)+-^x2,

所以g，(x)=l-"X+"(無(wú)>0),

X

因?yàn)楹瘮?shù)且（%）=。（山%-%）+/（%）-，5111%-1有兩個(gè)極值點(diǎn)不，巧（再。犬2），

則g，Cx）=O有兩個(gè)不同的正根，即爐一6a+〃=。有兩個(gè)不同的正根,

A=〃一4q〉0

則x1+x2=a>0=>〃〉4,

x{x2=a>0

不等式g&）+g（/）<〃石+/）恒成立等價(jià)于

7,g（±）+g（X2）=g（%）+g（W）

恒成立,

%+%2a

1212

+X

又g(再)+g(%2)=—玉)+/玉+a(ln%2—X2)~2

=a(ln%1+l