2024年天津市南開(kāi)區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},貝1]（CuA）U

B=（）

A.{0,2,4}B.[2,3,4}C.{1,2,4}D.{0,2,3,4}

2.（5分）若bWO,則“a,b,c成等比數(shù)列”是“b二血”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

3.（5分）若則a+工的最小值是（）

2y[a

4

A.a<b〈cB.c<b〈aC.b<a<cD.b<c<a

6.（5分）已知隨機(jī)變量X?N（R,。2）,丫?B6p）,且P（X\4）=3，E（X）=E（Y）,

則p=（）

1112

A.-B."C.—D.-

6433

7.（5分）關(guān)于函數(shù)y=3cos（2%+5），則下列結(jié)論中：

①-IT為該函數(shù)的一個(gè)周期；

②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=髀稱；

71

③將該函數(shù)的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3cos2x的圖象;

6

④該函數(shù)在區(qū)間［-9由上單調(diào)遞減.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

8.（5分）在長(zhǎng)方體ABC。-A1B1C1D1中，AAi=2,ACi±BD,其外接球體積為36ir,則其

外接球被平面AB1O1截得圖形面積為（）

53256519

A.-71B.-71C.-71D.-71

6393

_x2y2

9.（5分）已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：---=l（a>0,b>0）的左、右焦點(diǎn)分別是

V6

Fi,Fi,離心率為三，點(diǎn)尸是C的右支上異于項(xiàng)點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)尸2作/為2尸2的平分線的

垂線，垂足是M,|M0|=&,則點(diǎn)尸到C的兩條漸近線距離之積為（）

42

A.-B.-C.2D.4

33

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。

10.（5分）i是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=與”，貝吃的虛部為

11.（5分）若（x+選）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為160,則實(shí)數(shù)。的值為.

12.（5分）直線如-廠2=0被圓/+（尹1）2=4截得的弦長(zhǎng)的最小值為

13.（5分）已知編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子，其中1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)

球和一個(gè)3號(hào)球;2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球;3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，

兩個(gè)2號(hào)球，若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的

盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1

號(hào)球的概率為,第二次抽到3號(hào)球的概率

為.

14.（5分）平面四邊形A2C。中，AB=2,4BC=1，ACLAB,E為BC的中點(diǎn)，用旗

—>—>—>—>

和4E表示4C=；若皮>=2,則的最小值為

15.（5分）已知函數(shù)/（x）,g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/Ge）+g（x）

="-■?,若函數(shù)h（x）=3^"20241-V（x-2024）-2入2有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)人的值

為

三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(14分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且6=3,c=l,a=6cosB.

(I)求a的值；

(II)求證：A=2B；

(III)cos2(B—倉(cāng)■)的值.

17.(15分)如圖，在四棱錐尸-ABCD中，CD_L平面B4D,AB||CD,CD=2AB=2PD=

24。=4,AP=2/，點(diǎn)E是棱尸C上靠近P端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)P是棱以上一點(diǎn).

(I)證明：E4〃平面BDE；

(II)求點(diǎn)F到平面BDE的距離；

(III)求平面與平面P3C夾角的余弦值.

18.(15分)已知橢圓C：=+三=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線/=?的焦點(diǎn)廠重

z

ab乙

合，拋物線的準(zhǔn)線被c截得的線段長(zhǎng)為VL

(I)求橢圓c的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)/作直線/交C于A,3兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使加?

薪為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

19.(15分)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛麗｝中,ai+a3=20,a2a4=324.

(I)求｛a〃｝的通項(xiàng)公式：

(II)已知函數(shù)/'(x)=x+2代+1,數(shù)列｛加｝滿足：瓦=1,%+i=f3n),nGN*.

(z)求證：數(shù)列｛限｝為等差數(shù)列，并求｛為｝的通項(xiàng)公式

n+1

—~x~yz---，九6N*

ckqzcn+l

Zk=l

20.(16分)已知a-2,。為函數(shù)/(x)=(/+mx+〃)/的極值點(diǎn)，直線/過(guò)點(diǎn)A(〃-2,

/((2-2)),B(a,f(?)),6lGR

(I)求/G)的解析式及單調(diào)區(qū)間;

(II)證明：直線/與曲線(x)交于另一點(diǎn)C；

(III)若71V母胃Vn+L71€N*f求九.

(參考數(shù)據(jù)：加5=1.609…)

2024年天津市南開(kāi)區(qū)高考數(shù)學(xué)一模試卷

參考答案與試題解析

一、選擇題：在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。

1.（5分）已知全集。={0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B=[2,4},貝（CuA）U

B=（）

A.{0,2,4}B.{2,3,4}C.{1,2,4}D.[0,2,3,4}

【答案】A

【分析】利用集合的補(bǔ)集與并集的定義求解即可.

【解答】解：因?yàn)槿?{0,1,2,3,4},集合A={1,2,3},B={2,4},

貝iJCuA={0,4）,

所以（CuA）UB={0,2,4）.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了集合的運(yùn)算，主要考查了集合的補(bǔ)集與并集的定義的理解與應(yīng)用，

屬于基礎(chǔ)題.

2.（5分）若6W0,則“a,b,c成等比數(shù)列”是“6=底”的（）

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充分必要條件

D.既不充分也不必要條件

【答案】B

【分析】可得“a,b,c成等比數(shù)列"ob=±疝.即可判斷出結(jié)論.

【解答】解：6W0,則“a,b,c成等比數(shù)列"Qb=士疵.

因此》羊0,則“a,b,c成等比數(shù)列”是“b=W的必要不充分條件.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等比數(shù)列的性質(zhì)、充要條件的判定方法，考查了推理能力與計(jì)算能

力，屬于基礎(chǔ)題.

3.（5分）若。＞1,則a+■的最小值是（）

CL—1

A.2B.aC.3D.---

Q—1

【答案】C

【分析】將a+富丁變形，然后利用基本不等式求出函數(shù)的最值，檢驗(yàn)等號(hào)能否取得.

CL—1

【解答】解：因?yàn)椤?gt;1,

所以1>0,

所以。+含=。-1+6+122j(a—l)白+1=3

當(dāng)且僅當(dāng)a-1=白即a=2時(shí)取“=”

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】利用基本不等式求函數(shù)的最值，一定注意使用的條件：一正、二定、三相等.

【分析】利用函數(shù)的奇偶性排除選項(xiàng)，通過(guò)特殊值判斷即可.

1

【解答】解：函數(shù)y=sin2爐加(—+2)是奇函數(shù)，排除選項(xiàng)C、D.

xz

711

當(dāng)炬(0,-)時(shí)，y=sin2x?例(—+2)>0,函數(shù)的圖象在x軸上方，排除8.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了函數(shù)圖象變換，解析式與函數(shù)的圖象的對(duì)應(yīng)關(guān)系，是基礎(chǔ)題.

5.(5分)已知。=2一1,，b=log：,c=log23,則()

A.a<b〈cB.c<b<aC.b<a<cD.b<c<a

【答案】A

【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【解答】解：Si'?「】?,."G，

Vlog23>log22=1,

111_

3=log43=2lo92^>2,又〈log43VlOg44=l,

1

A-VbVI,

2

:?a〈b〈c.

故選：A.

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.

6.(5分)已知隨機(jī)變量X?N(K，。2),Y?B(6,p),且P(X24)=±,E(X)=E(Y),

則p=()

1112

A.—B.-C.一D.一

6433

【答案】D

【分析】根據(jù)正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)可解.

【解答】解：因?yàn)殡S機(jī)變量X?Ng,。2),丫?B(6,p),且P(X24)=]E(X)=E(J),

則E1(K)=6p,R=4,

根據(jù)正態(tài)分布性質(zhì)可知石(X)=|1,

貝!J6P=4,

則p=|.

故選：D.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查正態(tài)分布以及二項(xiàng)分布相關(guān)知識(shí)，屬于中檔題.

7.(5分)關(guān)于函數(shù)y=3cos(2x+專)，則下列結(jié)論中：

①-IT為該函數(shù)的一個(gè)周期；

②該函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=5對(duì)稱；

77

③將該函數(shù)的圖象向左平移二個(gè)單位長(zhǎng)度得到y(tǒng)=3cos2x的圖象；

④該函數(shù)在區(qū)間[-看，勺上單調(diào)遞減.

所有正確結(jié)論的序號(hào)是()

A.①②B.③④C.①②④D.①③④

【答案】C

【分析】根據(jù)余弦函數(shù)的周期性，對(duì)稱性，單調(diào)性以及圖象的變換分別判斷即可.

【解答】解：設(shè)/(x)=3cos⑵+引，

V/(x-IT)=3cos[2(x-n)+芻=3cos(2x-2n+^)=3cos(2x+^)=f(x),-n

為該函數(shù)的一個(gè)周期，①正確；

27r27rTT57r萬(wàn)萬(wàn)

V/(——x)=3cos[2(—―x)+2]=3cos(——2x)=3cos[2n-(2x+w)]=3cos(2x+@)

=/G),?,?該函數(shù)的圖象關(guān)于直線X=5對(duì)稱，②正確；

將該函數(shù)的圖象向左平移，個(gè)單位長(zhǎng)度得到八x+看)=3cos[2(x+看)+芻=3cos⑵+鄂

Wy=3cos2%,③錯(cuò)誤；

2

'/x6[-,>'.2x+[0,w]，而_y=cosx在[0,n]上單調(diào)遞減，所以④正確.

故選：C.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查余弦函數(shù)的性質(zhì)，屬于中檔題.

8.(5分)在長(zhǎng)方體ABC。-AiBCiD中，AAi=2,ACi±BD,其外接球體積為36ir,則其

外接球被平面AB\D\截得圖形面積為()

53256519

A.—7rB.—兀C.—nD.-71

6393

【答案】B

【分析】外接球被平面AB1D截得圖形為截面圓，建立空間直角坐標(biāo)系，求出。到平面

AB\D\的距離即可.

【解答】解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)DC=b(a,b>0),

則B(a,b,0),A(a,0,0),Ci(0,b,2),

D(0,0,0),所以品=(a,b,0),ACA=(—a,b,2),

->-?

因?yàn)锳Ci_LB。，所以AC1-DB=—a?+爐=0,所以。=匕，即ABC。為正方形,

又長(zhǎng)方體ABC。-A1B1C1D1的外接球的直徑為長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)|ACi|,

外接球的球心為體對(duì)角線的中點(diǎn)，不妨設(shè)為0,由外接球體積為36n,

所以3兀(’2])3=36兀，解得|ACi|=6,又|力句=Va2+a2+22=6,

解得a=4(負(fù)值舍去)，所以A(4,0,0),Di(0,0,2),

Bi(4,4,2),O(2,2,1),所以=(-4,0,2),

—>—?

幽=(0,4,2),4。=(-2,2,1),

設(shè)平面A51D1的法向量為品=(x,y,z),貝也,絲1=-4x+2z=0,

rt-ABX=4y+2z=0

T—廠

mn=(1,-1,2),所以點(diǎn)。到平面AB1D1的距離公也剪=芻=絡(luò)

|n|3

所以外接球被平面AB1D1截得的截面圓的半徑r=舊-(堯=后,

or25

所以截面圓的面積S=兀產(chǎn)-即外接球被平面A8IZ)I截得圖形面積為二兀.

D3

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間向量的應(yīng)用，考查點(diǎn)到面的距離，屬于中檔題.

%?y2

9.(5分)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，雙曲線C：—--=l(a>0,b>0)的左、右焦點(diǎn)分別是

azoz

V6

Fl,F2,離心率為I■，點(diǎn)P是C的右支上異于項(xiàng)點(diǎn)的一點(diǎn)，過(guò)尸2作/為尸/2的平分線的

垂線，垂足是M,|“。|=魚(yú)，則點(diǎn)尸到C的兩條漸近線距離之積為()

42

A.-B.-C.2D.4

33

【答案】B

【分析】由雙曲線的定義，結(jié)合雙曲線的離心率，得雙曲線的方程及漸近線的方程，再

設(shè)P(a,v),由雙曲線的方程求點(diǎn)到兩條漸近線的距離之積.

【解答】解：設(shè)半焦距為c,延長(zhǎng)尸2M交尸為于點(diǎn)N,

由于尸M是/尸山/2的平分線，F(xiàn)1MLPM,所以△NP/2是等腰三角形,

所以|PZ=|PP2|,且M是N尸2的中點(diǎn)，

根據(jù)雙曲線的定義可知I尸為1Tpp2|=2°,即W尸i|=2a,

由于0是/近2的中點(diǎn)，所以是尸由2的中位線，所以|M0|=2囚&|=a=魚(yú),

V6LX2n

又雙曲線的離心率為三，所以c=b=1,所以雙曲線。的方程為萬(wàn)一y=1,

所以FI（—B,0）,F2（V3,0）,雙曲線。的漸近線方程為％±/y=0,

設(shè)P（〃，v）,P到兩漸近線的距離之積為S,則S=』+學(xué)」式-羅=^

V3V3、

“2

又點(diǎn)尸在雙曲線的右支上，所以一一一=1,即/-2^=2,

2

則點(diǎn)P到C的兩條漸近線距離之積為|.

故選：B.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了雙曲線的性質(zhì)，屬于中檔題.

二、填空題：本大題共6個(gè)小題，每小題5分，共30分。

10.（5分），是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)2=4割，則2的虛部為二.

J十41□

【答案】丁

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合共輾復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，即可求解.

［解生］解.尸_|4-3i|_）4+（_3）―5（3_4i）―33.苴聲叫為一2

【解口］解,z—百可—―3+41--（3+4i）（3-4i）-551'八虛琲力5-

故答案為：-

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，以及復(fù)數(shù)的概念，屬于基礎(chǔ)題.

11.（5分）若（x+養(yǎng)）6的展開(kāi)式中/的系數(shù)為160,則實(shí)數(shù)a的值為2

【答案】2.

【分析】寫(xiě)出（X+卷）6的展開(kāi)式中含一項(xiàng)，然后可解決此題.

CL、6的展開(kāi)式中含f項(xiàng)為盤(pán)?（號(hào)）3=/黨/,

【解答】解:(x+北）

根據(jù)題意得//=160,解得。=2.

故答案為：2.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查二項(xiàng)式定理應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.

12.（5分）直線〃比-y-2=0被圓一+（尹1）2=4截得的弦長(zhǎng)的最小值為2V3.

【答案】2聲.

【分析】求得圓的圓心C和半徑，求得直線恒過(guò)的定點(diǎn)P,可得經(jīng)過(guò)點(diǎn)P與線段CP垂

直的弦的長(zhǎng)度最短，由勾股定理計(jì)算即可.

【解答】解：直線m-V-2=0恒過(guò)定點(diǎn)P(0,-2),

而圓/+(y+1)2=4的圓心為C(0,-1),半徑r為2,

可得尸在圓C內(nèi)，經(jīng)過(guò)點(diǎn)尸與線段CP垂直的弦的長(zhǎng)度最短，

此時(shí)弦長(zhǎng)為2〃2_=2也;I=2遮.

故答案為：2%.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查圓的方程和性質(zhì)，以及直線和圓的位置關(guān)系，考查方程思想和運(yùn)算能

力，屬于中檔題.

13.(5分)已知編號(hào)為1,2,3的三個(gè)盒子，其中I號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)

球和一個(gè)3號(hào)球；2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球,一個(gè)3號(hào)球；3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，

兩個(gè)2號(hào)球，若第一次先從1號(hào)盒子內(nèi)隨機(jī)抽取1個(gè)球，將取出的球放入與球同編號(hào)的

盒子中，第二次從該盒子中任取一個(gè)球，則在第一次抽到2號(hào)球的條件下，第二次抽到1

111

號(hào)球的概率為第二次抽到3號(hào)球的概率為—.

Z

111

【答案】.

248

【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合古典概型的概率公式，以及互斥事件的概率和公式，即可

求解.

【解答】解：在第一次抽到2號(hào)球的條件下,

則2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)I號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球,

故第二次抽到1號(hào)球的概率為3=

42

在第一次抽到2號(hào)球的條件下，

則2號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球,

在第一次抽到1號(hào)球的條件下，

則1號(hào)盒子內(nèi)裝有兩個(gè)1號(hào)球，一個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球,

在第一次抽到3號(hào)球的條件下，

則3號(hào)盒子內(nèi)裝有三個(gè)1號(hào)球，兩個(gè)2號(hào)球，一個(gè)3號(hào)球,

11111111

故第二次抽到3號(hào)球的概率為:-X-+-X-+-X-

24444648

、111

故答案為：2；

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查條件概率，屬于基礎(chǔ)題.

77"—>

14.(5分)平面四邊形"CD中，AB=2,/4BC=京，ACLAB,E為BC的中點(diǎn)，用AB

—>—>—>—>—>—>

和4E表示4c=24E-48；若ED=2,則的最小值為-2.

—?—?

【答案】—-2.

【分析】根據(jù)中線的向量表示，寫(xiě)出=*(4B+力C),即可求出AC；根據(jù)AB=2,

—>—>—>—>

AC±AB,ED=2,計(jì)算即可求出4D?力B的最小值.

【解答】解：平面四邊形48C。中，E為BC的中點(diǎn)，所以4E=*(AB+4C),所以

—>—>—>

AC=2AE-AB；

—>—?

因?yàn)锳B=2,AC±AB,所以/B?4C=0,

—>—?TTT

若即=2,貝！1AD?AB=(AE+EDyAB

TT->—>

=AE9AB+ED*AB

>TT

=j(4B+4C)?AB+|E01aBlcos<ED,AB>

=^AB2+^AB*AC+2X2cos<E￡),AB>

1

/x4+0-4=-2,

當(dāng)前、旗共線反向時(shí)取“=

所以的最小值為-2.

E

【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平面向量的線性表示與數(shù)量積運(yùn)算問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.

15.（5分）已知函數(shù)/（X）,g（x）分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/（無(wú)）+g（x）

=/-;?,若函數(shù)/z（x）=3￡20241_"（x-2024）-2入2有唯一零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)入的值為-

1

【答案】-1或5

【分析】由已知可知〃(%)=3^20241_"(X-2024)-2人2的圖象關(guān)于x=2024對(duì)稱,

若//(無(wú))有唯一零點(diǎn)，則必有/z(2024)=0,f(2024)=1,代入即可求解.

【解答】解：函數(shù)/(X),g(x)分別是定義在R上的偶函數(shù)和奇函數(shù)，且/(x)+g(x)

=/-%3,

所以/(-x)+g(-x)—ex+^,

1

所以/(尤)=W(/+/專，

因?yàn)榱?X)為偶函數(shù)，圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，

所以/(x-2024)的圖象關(guān)于龍=2024對(duì)稱，

又丫=3'-2024|_圖象也關(guān)于2024對(duì)稱，

所以〃(x)=3^20241_v(X-2024)-2#的圖象關(guān)于x=2024對(duì)稱，

若h(x)有唯一零點(diǎn)，則必有，(2024)=0,

h(2024)=1-入-2入2=0,

解得入=-1或入=發(fā)

故答案為：-1或

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性及對(duì)稱性的應(yīng)用，屬于中檔題.

三、解答題：本大題共5題，共75分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。

16.(14分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且b=3,c=l,a=6cosB.

(I)求。的值；

(II)求證：A=2B；

(III)cos2(B-務(wù))的值.

【答案】(I)2代；(II)證明過(guò)程見(jiàn)解答；(III)28’.

6

【分析】(I)由余弦定理結(jié)合條件計(jì)算即可求得；

(II)由正弦定理結(jié)合條件式化簡(jiǎn)即可證明；

(III)由二倍角與和差角公式計(jì)算即可.

【解答】解：(I)由a=6cosB及余弦定理得：a=6?幺聯(lián)旦，

因?yàn)閎=3,c=l,所以a2=12,a=2?

(II)證明：由〃=6cos5及。=3得：a=2bcosB,

由正弦定理得：sinA=2sinBcosB=sin2B,

因?yàn)镺VAVm所以A=25或4+25=n.

若A+23=n,則3=C,與題設(shè)矛盾，因此A=28.

(Ill)由(I)得cosB=^==卓，

663

因?yàn)?<B<n,所以sinB=71—COS2B=卜—普=等,

所以sin2B=2sinBcosB=，cos2B=2cos2B—1=—

所以cos2(B—y2)=cos(2B—d)=cos2Bcos石+sin2,Bsin石=——々

2.2-..,,3

-6--

【點(diǎn)評(píng)】本題考查利用正余弦定理和三角恒等變換知識(shí)解三角形，屬于中檔題.

17.(15分)如圖，在四棱錐P-ABCD中，C￡)_L平面PAD,AB||CD,CD=2AB=2PD=

24。=4,ZP=2/，點(diǎn)E是棱PC上靠近尸端的三等分點(diǎn)，點(diǎn)尸是棱B4上一點(diǎn).

(I)證明：B4〃平面BDE-,

(II)求點(diǎn)F到平面BDE的距離；

(III)求平面與平面尸BC夾角的余弦值.

P

2A/3V2

【答案】(I)證明過(guò)程見(jiàn)解答；(II)—;(III)—.

33

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，(I)求出直線B4的方向向量和平面的法向量，由

兩向量垂直且B4c平面BDE即可證得；

(II)由點(diǎn)到平面的距離的向量求法計(jì)算即可；

(III)求出平面BDE與平面P2C的法向量，由向量法求夾角即可.

【解答】解：由題可得，DP^DA2=4+4=8=AP2,所以。尸_LD4,

又因?yàn)镃O_L平面以￡>,所以D4,DC,。尸兩兩互相垂直，

故以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。尸所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

A4

則A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,4,0),P(0,0,2),E(0,J).

IT>-4

為

蜂

7\證EB-2DE-

-，

(23

設(shè)平面BDE的一個(gè)法向量為租=(a,b,c),

/T「b

—D2+2o

j-a-

令

則

貝J

mT1T-

u-44-,-XP

)D-b+-oLC=1所以771=(1,-1,1).

\m.3-3c

TTTT

又

得

p/o可mo

=(22).PA=

因?yàn)镽1U平面所以R1〃平面3DE；

(II)因?yàn)楸亍ㄆ矫娉鲇茫?/p>

所以點(diǎn)F到平面BDE的距離等于點(diǎn)A到平面BDE的距離.

—?

因?yàn)?B=(0,2,0),

則點(diǎn)A到平面BDE的距離為四"=W=—?

\m\V33

(III)因?yàn)槭?(-2,2,0),PC=(0,4,-2),

設(shè)平面8DE的一個(gè)法向量為蔡=(%,y,z),

則:呼—2%+2y—0,令％=],則尸1,2=2,所以7=(1,1,2).

.n-PC=4y-2z=0

設(shè)平面BOE與平面PBC的夾角為a,

m-n2_V2

貝!Jcosa=\cos(m,n)\—>—>

\m\\n\A/3-763

V2

故平面BDE與平面PBC的夾角的余弦值為三.

【點(diǎn)評(píng)】本題考查線面平行的線面，點(diǎn)到平面距離的求法，平面與平面所成角的求法,

屬于中檔題.

18.(15分)已知橢圓C：==l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線尸=4元的焦點(diǎn)尸重

z

ab乙

合，拋物線的準(zhǔn)線被C截得的線段長(zhǎng)為夜.

(I)求橢圓C的方程；

(II)過(guò)點(diǎn)F作直線/交C于A,8兩點(diǎn)，試問(wèn)：在x軸上是否存在一個(gè)定點(diǎn)使易?

—>

MB為定值？若存在，求出M的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

工2

【答案】(I)萬(wàn)+/=1：

(II)存在，M4，0).

【分析】(I)根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)公式、準(zhǔn)線方程，結(jié)合橢圓中小b,c的關(guān)系進(jìn)行

求解即可；

(II)先討論直線斜率存在的情況，設(shè)直線方程，聯(lián)立之后寫(xiě)出韋達(dá)定理，代入數(shù)量積

—>—>

公式表示化簡(jiǎn)計(jì)算之后得分子分母的比值關(guān)系，求解出M的橫坐標(biāo)，再將點(diǎn)

M代入判斷直線斜率不存在的情況是否成立.

【解答】解：(I)拋物線的焦點(diǎn)F(1,0),準(zhǔn)線方程為x=-1,

%2y2

因?yàn)闄E圓C：—+—=l(a>b>0)的一個(gè)焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)B重合，

所以〃2-廬=1,

因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線被C截得的線段長(zhǎng)為近，

V2

所以點(diǎn)(-1,±-)在橢圓上，

11

所以=+=1，

a22b2

解得。2=2,b2=l,

x2

所以橢圓C的方程為萬(wàn)+y2=1.

(II)假設(shè)存在符合條件的點(diǎn)M(m,0),設(shè)A(xi,yi),B(%2,”)，

—>—?

則MA=(%i—m,yi),MB=(%2—租，丫2)，

—?—>

MA-MB=(%i—m)(x2—m)+y1y2—x1x2—+x2)++y1y2，

①當(dāng)直線/的斜率不為0時(shí)，設(shè)直線/的方程為x=<y+l,

x2~+2y2=2'得(*+2)/+2沙-1=0,則為+y2=彳豆，為刈=區(qū)內(nèi)，

所以=(5+l)(ty2+1)=12yly2+t(71+丫2)+1=t2+2，％I+%2=t(Yl+

4

y)+2=-n—

‘2,t2+2

因此忌,痛B=52-2)葉2m2-4m+l,若對(duì)于任意的「值，上式為定值，

產(chǎn)+2

則2機(jī)2-4機(jī)+1=2(m2-2),解得巾=9，此時(shí)，忌?詁=-4為定值.

41O

->-?q7

②當(dāng)直線/的斜率為0時(shí),M2?MB=(-V2-m)(V2-m)=m2-2=Q)2-2=-

綜合①②知，符合條件的點(diǎn)M存在，其坐標(biāo)為4，0).

【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，直線與橢圓的綜合，考查運(yùn)算求解能力，屬于

難題.

19.(15分)在正項(xiàng)等比數(shù)列｛斯｝中,.1+43=20,42a4=324.

(I)求｛斯｝的通項(xiàng)公式:

(II)已知函數(shù)/(x)=x+2y+1,數(shù)列｛加｝滿足:瓦=1,bn+1=f(bn),nGN*.

(i)求證：數(shù)列｛瘋｝為等差數(shù)列，并求｛尻｝的通項(xiàng)公式

n+1

—〈彳-n------，nEN*

ck4zcn+l

Zk=l

【答案】(I)%=2?3九一1;

2

(II)(z)證明見(jiàn)解析，bn=n(nE?V*)；

(n)證明見(jiàn)解析.

【分析】(I)根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)列方程即可求解；

(II)(?)由題匕+1=f(g)=+1)2,即工一=1(九€N*)即可證明和求

解通項(xiàng)；

⑺由題可得瓦=加左=一一功;/"*然后通過(guò)通項(xiàng)放縮結(jié)合

裂項(xiàng)相消即可得證.

【解答】(I)解：因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列｛板｝中,

由題有『2a4=(。3)2—(aQ2)3=324

t又〃i>0,q>0,

+。3==18

解得。1=2,q=3,

所以a九=2-3n-1；

(II)證明：(力因?yàn)?(%)=%+2Vx+1=+l)2>0,

所以e+1=代阮)=(五+1產(chǎn)，即J/?n+l-/=1(nGN*),

所以數(shù)列｛歷｝是以亞=1為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列.

所以=n,即，i=層(?1eN*)；

n-12

(n)由題c九=an—bn=2-3—n,

左式右式=左式=右式,

當(dāng)n=l時(shí),=1=1,1=1,

n2

2.3n-(n+l)22.3-|(2n+l)-(n-n-|)3

當(dāng)時(shí),n1<,

4-3n-1-(2n+l)4-3--(2n+l)2

112-3k-(/c+l)2

nil—=---------------=----------------------------------------

kr2kr2k2

ck2-3--k(2-3--k'-y\2-3-(k+V)}

=2-3k(k+l)2__1_____________1______1<3._1____________1______]

fc1fc-12/c22fc-12k2

2.3--(2fc+l)2-3-fc2-3-(/c+l)2.3-fc2-3-(fc+l)

所以￡2=i

=1+5](7—77)+(----7----2-------5----2)+…+(----n~7----------2

22-3-222-32-32V2-32-322-33-422-3n-2-(n-l)2

111

2?3"Tf2)+(2-3n-lf22-3n-(n+l)2^

311731

=1+2[京H—2.3~什1)2]=廠2,時(shí)'

ccc

JkI