小學奧數（知識點梳理）

前言

小學奧數知識點梳理，對于學而思的小學奧數大綱建設尤其必要，不過，對于知識點的概括很

可能出現以偏概全掛一漏萬的現象，為此，本人參考了單尊主編的《小學數學奧林匹克》中國少年

報社主編的《華杯賽教材》、《華杯賽集訓指南》以及學而思的《寒假班系列教材》和華羅庚學校的

教材共五套教材，力圖打破原有體系，重新整合劃分，構建十七塊體系（其第十七為解題方法匯集,

可補充相應雜題），原則上簡明扼要，努力刻畫小學奧數知識的主樹干。

概述

一、計算

1.四則混合運算繁分數

⑴運算順序

⑵分數、小數混合運算技巧

一般而言：

①加減運算中，能化成有限小數的統一以小數形式；

②乘除運算中，統一以分數形式。

⑶帶分數與假分數的互化

⑷繁分數的化簡

2.簡便計算

⑴湊整思想

⑵基準數思想

⑶裂項與拆分

⑷提取公因數

⑸商不變性質

⑹改變運算順序

①運算定律的綜合運用

②連減的性質

（3）連除的性質

④同級運算移項的性質

⑤增減括號的性質

⑥變式提取公因數

形如：a^b±a4-/?±±a=（a±a±±a）+b

12n12n

3.估算

求某式的整數部分：擴縮法

4.比較大小

①通分

a.通分母

b.通分子

②跟“中介”比

③利用倒數性質

111

---mmmnnn

a1C則c>b>a.o形如：一*■>―>一,則一*-<—s-<―o

nnnmmm

123123

5.定義新運算

6.特殊數列求和

運用相關公式:

nm+1)

①1+2+3An=

2

〃Ci+D6〃+l)

②12+22+A+〃2=

6

③〃=n(n+l)=〃2+〃

n

?CAACAT

(4)13+23+A+〃3=U+2+AnJ2=-----------

⑤)abcabc-abcxlQQl=abcxlxllx13

⑥Q2-/?2=(a+b)G-b)

⑦1+2+3+4…（n-l）+n+（n-l）+…4+3+2+l=n2

二、數論

1.奇偶性問題

奇士奇二偶奇X奇二奇

奇士偶二奇奇X偶二偶

偶±偶=偶偶x偶二偶

2.位值原則

形如：tzbc=i00a+10b+c

3.數的整除特征:

整除數特征

2末尾是0、2、4、6、8

3各數位上數字的和是3的倍數

5末尾是0或5

9各數位上數字的和是9的倍數

11奇數位上數字的和與偶數位上數字的和，兩者之差是11的倍數

4和25末兩位數是4（或25）的倍數

8和125末三位數是8（或125）的倍數

7、11、13末三位數與前幾位數的差是7（或11或13）的倍數

4.整除性質

①

如果c|a、c|b,那么c|（a±b）。

②

如果bc|a,那么b|a,c|a。

③

如果b|a,c|a,且（b,c）=1,那么bc|a。

④

如果c|b,b|a,那么c|a.

⑤

a個連續(xù)自然數中必恰有一個數能被a整除。

余咻

5.帶

一般地，如果a是整數，b是整數（bWO），那么一定有另外兩個整數q和r,OWr<b,使得a=b

Xq+r

當r=0時，我們稱a能被b整除。

當rWO時，我們稱a不能被b整除，r為a除以b的余數，q為a除以b的不完全商（亦簡

稱為商）。用帶余數除式又可以表示為a+b=q...r,O^r<ba=bXq+r

6.唯一分解定理

任何一個大于1的自然數n都可以寫成質數的連乘積，即

n=pl。1Xp2?2X...Xpkflt

7.約數個數與約數和定理

設自然數n的質因子分解式如n=pl。】X「2。2x...Xpk成那么：

n的約數個數:d(n)=(al+l)(a2+l)....(ak+1)

n的所有約數和：(1+P1+P12+--,plal)(1+P2+P22+…p2。2)...(l+Pk+Pk2+…pk誠)

8.同余定理

①同余定義：若兩個整數a,b被自然數m除有相同的余數，那么稱a,b對于模m同余,

用式子表示為a三b(modm)

②若兩個數a,b除以同一個數c得到的余數相同，則a,b的差一定能被c整除。

③兩數的和除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數和。

④兩數的差除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數差。

⑤兩數的積除以m的余數等于這兩個數分別除以m的余數積。

9.完全平方數性質

①平方差：A2-B2=(A+B)(A-B),其中我們還得注意A+B,A-B同奇偶性。

②約數：約數個數為奇數個的是完全平方數。

約數個數為3的是質數的平方。

③質因數分解：把數字分解，使他滿足積是平方數。

④平方和。

10.孫子定理(中國剩余定理)

11.輾轉相除法

12.數論解題的常用方法：

枚舉、歸納、反證、構造、配對、估計

三、幾何圖形

1.平面圖形

⑴多邊形的內角和

N邊形的內角和=(N-2)X180°

⑵等積變形(位移、害I補)

①②三角形內等底等高的三角形

③平行線內等底等高的三角形

④公共部分的傳遞性

極值原理(變與不變)

⑶三角形面積與底的正比關系

S]：S?=a：b；S]：S2=S4：S3或者5^53=5^$4

⑷相似三角形性質(份數、比例)一

a

①：T

⑸燕尾定理

A

SAABG：SAAGC=SABGE：SAGEC=BE：EC；

SABGA：SABGC=SAAGF：SAGFC=AF：FC；

SAAGC：SABCG=SAADG：SADGB=AD：DB；

⑹差不變原理

知5-2=3,則圓點比方點多3。

⑺隱含條件的等價代換

例如弦圖中長短邊長的關系。

⑻組合圖形的思考方法

①化整為零

②先補后去

③正反結合

2.立體圖形

⑴規(guī)則立體圖形的表面積和體積公式

⑵不規(guī)則立體圖形的表面積

整體觀照法

⑶體積的等積變形

①水中浸放物體：V郵

升水物

②測啤酒瓶容積：V=V"+V-

空氣水

⑷三視圖與展開圖

最短線路與展開圖形狀問題

⑸染色問題

幾面染色的塊數與“芯”、棱長、頂點、面數的關系。

四'典型應用題

1.植樹問題

①開放型與封閉型

②間隔與株數的關系

2.方陣問題

外層邊長數-2=內層邊長數

（外層邊長數-1）義4=外周長數

外層邊長數2-中空邊長數2=實面積數

3.列車過橋問題

①車長+橋長=速度X時間

②車長+車長=速度和X相遇時間

甲乙

③車長+車長=速度差X追及時間

甲乙

列車與人或騎車人或另一列車上的司機的相遇及追及問題

車長=速度和X相遇時間

車長=速度差X追及時間

4.年齡問題

差不變原理

5.雞兔同籠

假設法的解題思想

6.牛吃草問題

原有草量=（牛吃速度-草長速度）X時間

7.平均數問題

8.盈虧問題

分析差量關系

9.和差問題

10.和倍問題

11.差倍問題

12.逆推問題

還原法，從結果入手

13.代換問題

列表消元法

等價條件代換

五、行程問題

1.相遇問題

路程和=速度和X相遇時間

2.追及問題

路程差=速度差X追及時間

3.流水行船

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

船速=（順水速度+逆水速度）4-2

水速=（順水速度-逆水速度）4-2

4.多次相遇

線型路程：甲乙共行全程數=相遇次數x2-1

環(huán)型路程：甲乙共行全程數=相遇次數

其中甲共行路程=單在單個全程所行路程X共行全程數

5.環(huán)形跑道

6.行程問題中正反比例關系的應用

路程一定，速度和時間成反比。

速度一定，路程和時間成正比。

時間一定，路程和速度成正比。

7.鐘面上的追及問題。

①時針和分針成直線；

②時針和分針成直角。

8.結合分數、工程、和差問題的一些類型。

9.行程問題時常運用“時光倒流”和“假定看成”的思考方法。

六'計數問題

1.加法原理：分類枚舉

2.乘法原理：排列組合

3.容斥原理：

①總數量=A+B+C-(AB+AC+BC)+ABC

②常用：總數量=A+B-AB

4.抽屜原理：

至多至少問題

5.握手問題

在圖形計數中應用廣泛

①角、線段、三角形，

②長方形、梯形、平行四邊形

③正方形

七'分數問題

1.量率對應

2.以不變量為“1”

3.利潤問題

4.濃度問題

倒三角原理

95%60%

15%/20?

80S

20：15

例：4：3

5.工程問題

①合作問題

②水池進出水問題

6.按比例分配

八'方程解題

1-等量關系

①相關聯量的表示法

例：甲+乙=100甲+乙=3

x100-x3xx

②解方程技巧

恒等變形

2.二元一次方程組的求解

代入法、消元法

3.不定方程的分析求解

以系數大者為試值角度

4.不等方程的分析求解

九、找規(guī)律

⑴周期性問題

①年月日、星期幾問題

②余數的應用

⑵數歹響題

①等差數列

通項公式a^a^fn-ljd

a-a,

求項數：n=?i+l

a

(a+a")n

求和：S=i——

②等比數列

a-1)

求和:S=T-----------

q—l

③裴波那契數列

⑶策略問題

①搶報30

②放硬幣

⑷最值問題

①最短線路

a.一個字符陣組的分線讀法

b.在格子路線上的最短走法數

②最優(yōu)化問題

a.統籌方法

b.烙餅問題

十、導式避

1.填充型

2.替代型

3.填運算符號

4.橫式變豎式

5.結合數論知識點

十一、數陣問題

1.相等和值問題

2.數列分組

⑴知行列數，求某數

⑵知某數，求行列數

3.幻方

⑴奇階幻方問題：

楊輝法羅伯法

⑵偶階幻方問題：

雙偶階：對稱交換法

單偶階：同心方陣法

十二、二進制

1.二進制計數法

①二進制位值原則

②二進制數與十進制數的互相轉化

③二進制的運算

2.其它進制（十六進制）

十三、一筆畫

1.一筆畫定理：

⑴一筆畫圖形中只能有0個或兩個奇點；

⑵兩個奇點進必須從一個奇點進，另一個奇點出;

2.哈密爾頓圈與哈密爾頓鏈

3.多筆畫定理

村一曲奇點數

筆回數=---

十四、邏輯推理

1.等價條件的轉換

2.列表法

3.對陣圖

競賽問題，涉及體育比賽常識

十五、火柴棒問題

1.移動火柴棒改變圖形個數

2.移動火柴棒改變算式，使之成立

十六'智力問題

1.突破思維定勢

2.某些特殊情境問題

十七、解題方法

（結合雜題的處理）

1.代換法

2.消元法

3.倒推法

4.假設法

5.反證法

6.極值法

7.設數法

8.整體法

9.畫圖法

10.列表法

11.排除法

12.染色法

13.構造法

14.配對法

15.列方程

⑴方程

⑵不定方程

⑶不等方程

另外補充說明：

在華校課本六年級中有“棋盤上的數學”三講，其實是找規(guī)律類型，知識點涉及棋盤格，幾何,

數論等，屬于綜合性問題。

匯總小學階段奧數知識點，包括小升初中常考的題目類型等。有工程問題、行程問題、質數合數問

題等等。

1.、小升初奧數知識點（年齡問題的三大特征）

①兩個人的年齡差是不變的；

②兩個人的年齡是同時增加或者同時減少的；

③兩個人的年齡的倍數是發(fā)生變化的；

和差倍問題:

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范圍已知兩個數的和，差，倍數關系

①（和一差）?2二較小數

較小數十差二較大數

和+（倍數+1）=小數差?（倍數-1）二小數

和一較小數二較大數

公式小數X倍數二大數小數X倍數二大數

②（和+差）+2二較大數

和一小數二大數小數十差二大數

較大數一差二較小數

和一較大數二較小數

求出同一條件下的

關鍵問題

和與差和與倍數差與倍數

和差倍問題

和差問題和倍問題差倍問題

已知條件幾個數的和與差幾個數的和與倍數幾個數的差與倍數

公式適用范圍已知兩個數的和，差，倍數關系

公式①（和一差）+2=較小數

較小數十差=較大數

和一較小數=較大數

②（和+差）+2=較大數

較大數一差=較小數

和一較大數=較小數

和+（倍數+1）=小數

小數x倍數=大數

和一小數=大數

差+（倍數-1）=小數

小數x倍數=大數

小數+差=大數

關鍵問題求出同一條件下的

和與差和與倍數差與倍數

2、小升初奧數知識點（植樹問題總結）：

基本類型：

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，兩端都不植樹

在直線或者不封閉的曲線上植樹，只有一端植樹

基本公式棵數=段數+1

棵距X段數=總長棵數=段數一1

棵距X段數=總長棵數=段數

棵距X段數=總長

關鍵問題確定所屬類型，從而確定棵數與段數的關系

3、雞兔同籠問題

基本概念：雞兔同籠問題又稱為置換問題、假設問題，就是把假設錯的那部分置換出來；

基本思路：

①假設，即假設某種現象存在（甲和乙一樣或者乙和甲一樣）：

②假設后，發(fā)生了和題目條件不同的差，找出這個差是多少；

③每個事物造成的差是固定的，從而找出出現這個差的原因；

④再根據這兩個差作適當的調整，消去出現的差。

基本公式：

①把所有雞假設成兔子：雞數=（兔腳數X總頭數一總腳數）小（兔腳數一雞腳數）

②把所有兔子假設成雞：兔數=（總腳數一雞腳數X總頭數）?。ㄍ媚_數一雞腳數）

關鍵問題：找出總量的差與單位量的差。

4、奧數知識點（盈虧問題）

盈虧問題

基本概念：一定量的對象，按照某種標準分組，產生一種結果：按照另一種標準分組，又產生

一種結果，由于

分組的標準不同，造成結果的差異，由它們的關系求對象分組的組數或對象的總量.

基本思路：先將兩種分配方案進行比較，分析由于標準的差異造成結果的變化，根據這個關系

求出參加分配的總份數，然后根據題意求出對象的總量.

基本題型：

①一次有余數，另一次不足；

基本公式：總份數=（余數+不足數）小兩次每份數的差

②當兩次都有余數；

基本公式：總份數=（較大余數一較小余數）小兩次每份數的差

③當兩次都不足：

基本公式：總份數=（較大不足數一較小不足數）小兩次每份數的差

基本特點：對象總量和總的組數是不變的。

關鍵問題：確定對象總量和總的組數。

5、小升初奧數知識點（牛吃草問題）

牛吃草問題

基本思路：假設每頭牛吃草的速度為“1”份，根據兩次不同的吃法，求出其中的總草量的差；

再找出造成這種差異的原因，即可確定草的生長速度和總草量。

基本特點：原草量和新草生長速度是不變的；

關鍵問題：確定兩個不變的量。

基本公式：

1）生長量=（較長時間X長時間牛頭數-較短時間X短時間牛頭數）+（長時間-短時間）；

2）總草量=較長時間X長時間牛頭數-較長時間X生長量；

3）吃的天數=原有草量+（牛頭數一草的生長速度）；

4）牛頭數=原有草量+吃的天數+草的生長速度。

6、小升初奧數知識點（平均數問題）

平均數

基本公式：①平均數=總數量+總份數

總數量=平均數X總份數

總份數=總數量+平均數

②平均數=基準數+每一個數與基準數差的和個總份數

基本算法：

②出總數量以及總份數，利用基本公式①進行計算.

②基準數法：根據給出的數之間的關系，確定一個基準數；一般選與所有數比較接近的數或者

中間數為基準數；以基準數為標準，求所有給出數與基準數的差；再求出所有差的和；再求出這些

差的平均數；最后求這個差的平均數和基準數的和，就是所求的平均數，具體關系見基本公式②

7、小升初奧數知識點（周期循環(huán)數）

周期循環(huán)與數表規(guī)律

周期現象：事物在運動變化的過程中，某些特征有規(guī)律循環(huán)出現。

周期：我們把連續(xù)兩次出現所經過的時間叫周期。

關鍵問題：確定循環(huán)周期。

閏年：一年有366天；

①年份能被4整除；②如果年份能被100整除，則年份必須能被400整除；

平年：一年有365天。

①年份不能被4整除；②如果年份能被100整除，但不能被400整除；

8、小升初奧數知識點（抽屜原理）

抽屜原理

抽屜原則一：如果把（n+1）個物體放在n個抽屜里，那么必有一個抽屜中至少放有2個物體。

例：把4個物體放在3個抽屜里，也就是把4分解成三個整數的和，那么就有以下四種情況：

①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1

觀察上面四種放物體的方式，我們會發(fā)現一個共同特點：總有那么一個抽屜里有2個或多于2

個物體，也就是說必有一個抽屜中至少放有2個物體。

抽屜原則二：如果把n個物體放在m個抽屜里，其中n>m,那么必有一個抽屜至少有：

①卜?!'!/!!!]+1個物體：當n不能被m整除時。

②卜二”!!!個物體：當n能被m整除時。

理解知識點：兇表示不超過X的最大整數。

例[4.351]=4；[0.321]=0：[2.9999]=2；

關鍵問題：構造物體和抽屜。也就是找到代表物體和抽屜的量，而后依據抽屜原則進行運算。

9、奧數知識點（定義新運算）

基本概念：定義一種新的運算符號，這個新的運算符號包含有多種基本（混合）運算。

基本思路：嚴格按照新定義的運算規(guī)則，把已知的數代入，轉化為加減乘除的運算，然后按照基本

運算過程、規(guī)律進行運算。

關鍵問題：正確理解定義的運算符號的意義。

注意事項：①新的運算不一定符合運算規(guī)律，特別注意運算順序。

②每個新定義的運算符號只能在本題中使用。

小升初奧數知識點（數列求和）

數列求和

等差數列：在一列數中，任意相鄰兩個數的差是一定的，這樣的一列數，就叫做等差數列。

基本概念：首項：等差數列的第一個數，一般用al表示；

項數：等差數列的所有數的個數，一般用n表示；

公差：數列中任意相鄰兩個數的差，一般用d表示；

通項：表示數列中每一個數的公式，一般用an表示；

數列的和：這一數列全部數字的和，一般用Sn表示.

基本思路：等差數列中涉及五個量：al7an,d,n,sn,,通項公式中涉及四個量，如果己知其中三個,

就可求出第四個；求和公式中涉及四個量，如果己知其中三個，就可以求這第四個。

基本公式：通項公式：an=al+(n—1)d；

通項=首項+(項數一1)X公差；

數列和公式：sn,=(al+an)Xn4-2；

數列和=(首項+末項)X項數+2；

項數公式：n=(an-al)-^d+l；

項數=(末項-首項)+公差+1；

公差公式：d=(an—al))4-(n—1)；

公差=(末項一首項)+(項數-1)；

關鍵問題：確定已知量和未知量，確定使用的公式

10、加法乘法原理和幾何計數

加法原理：如果完成一件任務有n類方法，在第一類方法中有ml種不同方法，在第二類方法

中有m2種不同方法……,在第n類方法中有mn種不同方法，那么完成這件任務共有：ml+m2.……

+mn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的分類方法。

基本特征：每一種方法都可完成任務。

乘法原理：如果完成一件任務需要分成n個步驟進行，做第1步有ml種方法，不管第1步用

哪一種方法，第2步總有m2種方法……不管前面n-1步用哪種方法，第n步總有mn種方法，那么

完成這件任務共有：mixm2Xmn種不同的方法。

關鍵問題：確定工作的完成步驟。

基本特征：每一步只能完成任務的一部分。

直線：一點在直線或空間沿一定方向或相反方向運動，形成的軌跡。

直線特點：沒有端點，沒有長度。

線段：直線上任意兩點間的距離。這兩點叫端點。

線段特點：有兩個端點，有長度。

射線：把直線的一端無限延長。

射線特點：只有一個端點；沒有長度。

①數線段規(guī)律：總數=1+2+3+…+(點數一1)；

②數角規(guī)律=1+2+3+…+(射線數一1)；

③數長方形規(guī)律：個數=長的線段數義寬的線段數：

④數長方形規(guī)律：個數=1X1+2X2+3X3+…+行數義列數

11、小升初奧數知識點(質數與合數)

質數：一個數除了1和它本身之外，沒有別的約數，這個數叫做質數，也叫做素數。

合數：一個數除了1和它本身之外，還有別的約數，這個數叫做合數。

質因數：如果某個質數是某個數的約數，那么這個質數叫做這個數的質因數。

分解質因數：把一個數用質數相乘的形式表示出來，叫做分解質因數。通常用短除法分解質因

數。任何一個合數分解質因數的結果是唯一的。

分解質因數的標準表示形式：N=，其中al、a2、a3.....an都是合數N的質因數，且al<a2<a3<.......

<an0

求約數個數的公式：P=(rl+1)X(r2+l)X(r3+l)X......X(rn+1)

互質數：如果兩個數的最大公約數是1,這兩個數叫做互質數。

12、小升初奧數知識點(約數與倍數)

約數和倍數：若整數a能夠被b整除，a叫做b的倍數，b就叫做a的約數。

公約數：幾個數公有的約數，叫做這幾個數的公約數；其中最大的一個，叫做這幾個數的最大

公約數。

最大公約數的性質：

1、幾個數都除以它們的最大公約數，所得的幾個商是互質數。

2、幾個數的最大公約數都是這幾個數的約數。

3、幾個數的公約數，都是這幾個數的最大公約數的約數。

4、幾個數都乘以一個自然數m,所得的積的最大公約數等于這幾個數的最大公約數乘以m。

例如：12的約數有1、2、3、4、6、12；

18的約數有：1、2、3、6、9、18；

那么12和18的公約數有：1、2、3、6；

那么12和18最大的公約數是：6,記作(12,18)=6；

求最大公約數基本方法：

1、分解質因數法：先分解質因數，然后把相同的因數連乘起來。

2、短除法：先找公有的約數，然后相乘。

3、輾轉相除法：每一次都用除數和余數相除，能夠整除的那個余數，就是所求的最大公約數。

公倍數：幾個數公有的倍數，叫做這幾個數的公倍數；其中最小的一個，叫做這幾個數的最小

公倍數。

12的倍數有：12、24、36、48.........；

18的倍數有：18、36、54、72.........；

那么12和18的公倍數有：36、72、108……；

那么12和18最小的公倍數是36,記作口2,18]=36；

最小公倍數的性質：

1、兩個數的任意公倍數都是它們最小公倍數的倍數。

2、兩個數最大公約數與最小公倍數的乘積等于這兩個數的乘積。

求最小公倍數基本方法：1、短除法求最小公倍數；2、分解質因數的方法

13、小升初奧數知識點(數的整除)

一、基本概念和符號：

1、整除：如果一個整數a,除以一個自然數b,得到一個整數商c,而且沒有余數，那么叫做a

能被b整除或b能整除a,記作b|a。

2、常用符號：整除符號“|"，不能整除符號"”；因為符號"?1'，所以的符號

二、整除判斷方法：

1.能被2、5整除：末位上的數字能被2、5整除。

2.能被4、25整除：末兩位的數字所組成的數能被4、25整除。

3.能被8、125整除：末三位的數字所組成的數能被8、125整除。

4.能被3、9整除：各個數位上數字的和能被3、9整除。

5,能被7整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成數之差能被7整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的2倍后能被7整除。

6,能被11整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被11整除。

②奇數位上的數字和與偶數位數的數字和的差能被11整除。

③逐次去掉最后一位數字并減去末位數字后能被11整除。

7,能被13整除：

①末三位上數字所組成的數與末三位以前的數字所組成的數之差能被13整除。

②逐次去掉最后一位數字并減去末位數字的9倍后能被13整除。

三、整除的性質：

1.如果a、b能被c整除，那么（a+b）與（a-b）也能被c整除。

2.如果a能被b整除，c是整數，那么a乘以c也能被b整除。

3.如果a能被b整除，b又能被c整除，那么a也能被c整除。

4.如果a能被b、c整除，那么a也能被b和c的最小公倍數整除。

14、小升初奧數知識點（余數及其應用）

小升初奧數知識點（余數問題）

余數的性質：

①余數小于除數。

②若a、b除以c的余數相同，則c|a-b或c|b-a。

③a與b的和除以c的余數等于a除以c的余數加上b除以c的余數的和除以c的余數。

@a與b的積除以c的余數等于a除以c的余數與b除以c的余數的積除以c的余數

余數、同余與周期

一、同余的定義：

①若兩個整數a、b除以m的余數相同，則稱a、b對于模m同余。

②已知三個整數a、b、m,如果m|a-b,就稱a、b對于模m同余，記作a三b（modm）,讀作

a同余于b模m。

二、同余的性質：

①自身性：a=a(modm)；

②對稱性：若a三b(modm),則b三a(modm)；

③傳遞性：若a三b(modm),b=c(modm),則a三c(modm)；

④和差性：若a三b(modm),c=d(modm),貝！Ja+c三b+d(modm),a-c=b-d(modm)；

⑤相乘性：若a三b(modm),c三d(modm),貝!]aXc三bXd(modm)；

⑥乘方性：若a三b(modm),則an三bn(modm)；

⑦同倍性:若a三b(modm),整數c,貝!JaXc三bXc(modmXc)；

三、關于乘方的預備知識：

①若A=aXb,則MA=MaXb=(Ma)b

②若B=c+d貝MB=Mc+d=McXMd

四、被3、9、11除后的余數特征：

①一個自然數M,n表示M的各個數位上數字的和，則M三n(mod9)或(mod3)；

②一個自然數M,X表示M的各個奇數位上數字的和，Y表示M的各個偶數數位上數字的和，

則M三Y-X或M三11-(X-Y)(mod11)；

五、費爾馬小定理：如果p是質數(素數)，a是自然數，且a不能被p整除，則ap-1三l(modp)。

15、小升初奧數知識點(分數與百分數的應用)

基本概念與性質：

分數：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣的一份或幾份的數。

分數的性質：分數的分子和分母同時乘以或除以相同的數(0除外)，分數的大小不變。

分數單位：把單位“1”平均分成幾份，表示這樣一份的數。

百分數：表示一個數是另一個數百分之幾的數。

常用方法：

①逆向思維方法：從題目提供條件的反方向(或結果)進行思考。

②對應思維方法：找出題目中具體的量與它所占的率的直接對應關系。

③轉化思維方法：把一類應用題轉化成另一類應用題進行解答。最常見的是轉換成比例和轉換

成倍數關系；把不同的標準（在分數中一般指的是一倍量）下的分率轉化成同一條件下的分率。常

見的處理方法是確定不同的標準為一倍量。

④假設思維方法：為了解題的方便，可以把題目中不相等的量假設成相等或者假設某種情況成

立，計算出相應的結果，然后再進行調整，求出最后結果。

⑤量不變思維方法：在變化的各個量當中，總有一個量是不變的，不論其他量如何變化，而這

個量是始終固定不變的。有以下三種情況：A、分量發(fā)生變化，總量不變。B、總量發(fā)生變化，但其

中有的分量不變。C、總量和分量都發(fā)生變化，但分量之間的差量不變化。

⑥替換思維方法：用一種量代替另一種量，從而使數量關系單一化、量率關系明朗化。

⑦同倍率法：總量和分量之間按照同分率變化的規(guī)律進行處理。

⑧濃度配比法：一般應用于總量和分量都發(fā)生變化的狀況。

16、小升初奧數知識點（分數大小的比較）

基本方法：

①通分分子法：使所有分數的分子相同，根據同分子分數大小和分母的關系比較。

②通分分母法：使所有分數的分母相同，根據同分母分數大小和分子的關系比較。

③基準數法：確定一個標準，使所有的分數都和它進行比較。

④分子和分母大小比較法：當分子和分母的差一定時，分子或分母越大的分數值越大。

⑤倍率比較法：當比較兩個分子或分母同時變化時分數的大小，除了運用以上方法外，可以用

同倍率的變化關系比較分數的大小。（具體運用見同倍率變化規(guī)律）

⑥轉化比較方法：把所有分數轉化成小數（求出分數的值）后進行比較。

⑦倍數比較法：用一個數除以另一個數，結果得數和工進行比較。

⑧大小比較法：用一個分數減去另一個分數，得出的數和0比較。

⑨倒數比較法：利用倒數比較大小，然后確定原數的大小。

⑩基準數比較法：確定一個基準數，每一個數與基準數比較

17、小升初奧數知識點（比和比例）

比：兩個數相除又叫兩個數的比。比號前面的數叫比的前項，比號后面的數叫比的后項。

比值：比的前項除以后項的商，叫做比值。

比的性質：比的前項和后項同時乘以或除以相同的數（零除外），比值不變。

比例：表示兩個比相等的式子叫做比例。a:b=c:d或

比例的性質：兩個外項積等于兩個內項積（交叉相乘），ad=bc。

正比例：若A擴大或縮小幾倍，B也擴大或縮小幾倍（AB的商不變時），則A與B成正比。

反比例：若A擴大或縮小幾倍，B也縮小或擴大幾倍（AB的積不變時），則A與B成反比。

比例尺：圖上距離與實際距離的比叫做比例尺。

按比例分配：把幾個數按一定比例分成幾份，叫按比例分配

18、小升初奧數知識點（綜合行程問題）

基本概念：行程問題是研究物體運動的，它研究的是物體速度、時間、路程三者之間的關系

基本公式：路程=速度X時間；路程+時間=速度；路程小速度=時間

關鍵問題：確定運動過程中的位置和方向。

相遇問題：速度和義相遇時間=相遇路程（請寫出其他公式）

追及問題：追及時間=路程差+速度差（寫出其他公式）

流水問題：順水行程=（船速+水速）X順水時間

逆水行程=（船速一水速）X逆水時間

順水速度=船速+水速

逆水速度=船速-水速

靜水速度=（順水速度+逆水速度）+2

水速=（順水速度-逆水速度）+2

流水問題：關鍵是確定物體所運動的速度，參照以上公式。

過橋問題：關鍵是確定物體所運動的路程，參照以上公式。

主要方法：畫線段圖法

基本題型：已知路程（相遇路程、追及路程）、時間（相遇時間、追及時間）、速度（速度和、

速度差）中任意兩個量，求第三個量。

19、小升初奧數知識點（工程問題）

基本公式：

①工作總量=工作效率X工作時間

②工作效率=工作總量+工作時間

③工作時間=工作總量+工作效率

基本思路：

①假設工作總量為“1”（和總工作量無關）；

②假設一個方便的數為工作總量（一般是它們完成工作總量所用時間的最小公倍數），利用上述

三個基本關系，可以簡單地表示出工作效率及工作時間.

關鍵問題：確定工作量、工作時間、工作效率間的兩兩對應關系。

經驗簡評：合久必分，分久必合。

20、小升初奧數知識點（邏輯推理問題）

基本方法簡介：

①條件分析一假設法：假設可能情況中的一種成立，然后按照這個假設去判斷，如果有與題設

條件矛盾的情況，說明該假設情況是不成立的，那么與他的相反情況是成立的。例如，假設a是偶

數成立，在判斷過程中出現了矛盾，那么a一定是奇數。

②條件分析一列表法：當題設條件比較多，需要多次假設才能完成時，就需要進行列表來輔助

分析。列表法就是把題設的條件全部表示在一個長方形表格中，表格的行、列分別表示不同的對象

與情況，觀察表格內的題設情況，運用邏輯規(guī)律進行判斷。

③條件分析一一圖表法：當兩個對象之間只有兩種關系時，就可用連線表示兩個對象之間的關

系，有連線則表示“是，有”等肯定的狀態(tài)，沒有連線則表示否定的狀態(tài)。例如A和B兩人之間有

認識或不認識兩種狀態(tài)，有連線表示認識，沒有表示不認識。

④邏輯計算：在推理的過程中除了要進行條件分析的推理之外，還要進行相應的計算，根據計

算的結果為推理提供一個新的判斷篩選條件。

⑤簡單歸納與推理：根據題目提供的特征和數據，分析其中存在的規(guī)律和方法，并從特殊情況

推廣到一般情況，并遞推出相關的關系式，從而得到問題的解決。

21、小升初奧數知識點（幾何面積）

基本思路：

在一些面積的計算上，不能直接運用公式的情況下，一般需要對圖形進行割補，平移、旋轉、

翻折、分解、變形、重疊等，使不規(guī)則的圖形變?yōu)橐?guī)則的圖形進行計算；另外需要掌握和記憶一些

常規(guī)的面積規(guī)律。

常用方法：

1,連輔助線方法

2,利用等底等高的兩個三角形面積相等。

3.大膽假設（有些點的設置題目中說的是任意點，解題時可把任意點設置在特殊位置上）。

4.利用特殊規(guī)律

①等腰直角三角形，已知任意一條邊都可求出面積。（斜邊的平方除以4等于等腰直角三角形的

面積）

②梯形對角線連線后，兩腰部分面積相等。

③圓的面積占外接正方形面積的78.5%。

22、小升初奧數知識點（時鐘問題一快慢表問題）

基本思路：

1、按照行程問題中的思維方法解題；

2、不同的表當成速度不同的運動物體；

3、路程的單位是分格（表一周為60分格）；

4、時間是標準表所經過的時間；

5、合理利用行程問題中的比例關系；

23、小升初奧數知識點（時鐘問題一鐘面追及）

時鐘問題一鐘面追及

基本思路：封閉曲線上的追及問題。

關鍵問題：①確定分針與時針的初始位置；

②確定分針與時針的路程差；

基本方法：

①分格方法：

時鐘的鐘面圓周被均勻分成60小格，每小格我們稱為工分格。分針每小時走60分格，即一周；

而時針只走5分格，故分針每分鐘走1分格，時針每分鐘走1/12分格。

②度數方法：

從角度觀點看，鐘面圓周一周是360°,分針每分鐘轉360/60度，即6°,時針每分鐘轉360/12*60

度，即］/2度。

24、小升初奧數知識點（濃度與配比）

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃度的

變化成反比。

溶質：溶解在其它物質里的物質（例如糖、鹽、酒精等）叫溶質。

溶劑：溶解其它物質的物質（例如水、汽油等）叫溶劑。

溶液：溶質和溶劑混合成的液體（例如鹽水、糖水等）叫溶液。

基本公式：溶液重量=溶質重量+溶劑重量；

溶質重量=溶液重量X濃度；

濃度=X100%=X100%

理論部分小練習：試推出溶質、溶液、溶劑三者的其它公式。

經驗總結：在配比的過程中存在這樣的一個反比例關系，進行混合的兩種溶液的重量和他們濃

度的變化成反比。

25、小升初奧數知識點（經濟問題）

利潤的百分數=（賣價-成本）?成本X100%；

賣價=成本義（1+利潤的百分數）；

成本=賣價+（1+利潤的百分數）；

商品的定價按照期望的利潤來確定；

定價=成本X（1+期望利潤的百分數）；

本金：儲蓄的金額；

利率：利息和本金的比；

利息=本金義利率X期數；

含稅價格=不含稅價格X（1+增值稅稅率）；

26、小升初奧數知識點（簡單方程）

代數式：用運算符號（加減乘除）連接起來的字母或者數字。

方程：含有未知數的等式叫方程。