2024年高考數(shù)學一輪復習

（新高考）L3復數(shù)（精講）

1.3復數(shù)（精講）

本節(jié)概要

知

識

點

復數(shù)

考法一復數(shù)的計算

考法二復數(shù)的實部與虛部

考法三復數(shù)的分類

考考法四復數(shù)的幾何意義

法

考法五在復數(shù)范圍內解方程

考法六復數(shù)模的相關軌跡問題

考法七復數(shù)的綜合運用

考點展現(xiàn)

復數(shù)的有關概念

1.復數(shù)的定義：形如a+6i（a,6GR）的數(shù)叫做復數(shù)，其中。是實部，6是虛部，i為虛數(shù)單位.（虛部不含i）

2.復數(shù)的分類：

復數(shù)z=a+歷(a,6GR)

:實數(shù)（6=0）,

純虛數(shù)。=0,

虛數(shù)（6=0）

非純虛數(shù)aWO.

3.復數(shù)相等：a+bi=c+diQQ=。且b=d(Q,b,c,d￡R).

4.共輾復數(shù)：a+bi與c+di互為共朝復數(shù)=a=c,b=—d(a,b,c,d￡R).(實同虛反)

5.復數(shù)的模：

向量旅的模叫做復數(shù)z=a+歷的?；蚪^對值，記作|a+6i|或團，即團=|a+歷尸夜行(a,6GR).

二.復數(shù)的幾何意義

~"一，對應

⑴復數(shù)z=a+歷(a,———復平面內的點Z(a,b).

(2)復數(shù)2=a+bi(〃，--------平面向量近.

三.復數(shù)的四則運算

1.復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：

設zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),貝！J

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+0i；

②減法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(〃-c)+(b—t/)i；

③乘法：zi-Z2=(a+bi),(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

④z^r除r人法、，：z丁i在a-\濟-bi=匕(a+b端i)(。二一di)京ac=-\中-bd+,b中c-a匕d+,泊,。)

2.幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即龍=次|+昆，ZT?2=(9?2-

ol\.

o\X

思路點撥

解決復數(shù)概念問題的方法

1.解題時一定要先看復數(shù)是否為。+歷(a,6dR)的形式，以確定實部和虛部.

2.復數(shù)絕大部分問題可以轉化為復數(shù)的實部與虛部，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程

(不等式)組即可.

二.復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略

在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，

復數(shù)的加減法

虛部與虛部相加減)計算即可

復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不

復數(shù)的乘法

含i的看作另一類同類項，分別合并即可

復數(shù)的除法除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共輾復數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形

式

三.復數(shù)的幾何意義

1.進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；

2.把復數(shù)問題轉化為復平面內的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)。+所與復平面上的點(a,b)一一對應.

四.常用結論

1+i1—i

1-(l±i)2=±2i;J—=i；幣=一上

2.—6+ai=i(a+bi)(a,b￡R).

3.i4n=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4,,+3=-i(?￡N).

4.i4,!+i4,,+1+i4"+2+i4n+3=0(〃￡N).

5.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形

(l)aW|z區(qū)6表示以原點O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(a+6i)|=R>0)表示以(a,6)為圓心，r為半徑的圓.

考法解讀

考點一復數(shù)的計算

【例1-1](2023?甘肅,統(tǒng)考二模)已知f=i,i為虛數(shù)單位，則2=()

1-21

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

【例1-2](2023?新疆?校聯(lián)考二模)復數(shù)匕=2+[2。23,則()

A.z=l+2iB.z=-l+2i

C.z=-l-2iD.z=l-2i

【例1-3](2023春?江西撫州?高三金溪一中?？茧A段練習)已知復數(shù)z滿足(z-2i)i=3+i,則2=()

A.1-iB.3-iC.l-5iD.-l+3i

1.(2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模)設復數(shù)z滿足l+i.z=2i,則2=()

A.2-iB.2+iC.l-2iD.l+2i

2.（2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模）已知復數(shù)4=1+2，z2=Z1i,則Z]+z?=（）

A.l+3iB.-l+3iC.3-iD.3-2i

3.（2023?吉林通化?梅河口市第五中學?？寄M預測）已知（l+2i）z=2-i,則三=（）

45.45.

A.一一+-1B.——--1C.-iD.i

3333

4.（2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模）復數(shù)(1+y=()

A.2048iB.2048C.-2048iD.-2048

5.（2023?河南安陽?安陽一中?？寄M預測）若i為虛數(shù)單位，則計算i+2，+3?+…+2021浮2|=

考法二復數(shù)的實部與虛部

【例2-1]（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）已知復數(shù)2=±二C,則z的虛部為（）

2-i

1.1

A.-1B.-C.1D.i

55

【例2-2]（2023?江西九江?校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)z=—（i是虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)是彳，貝l]z-彳的

2-1

虛部是（）

2-5i

1.（2023春?河南商丘）已知復數(shù)z=^,則z的虛部為（）

1

A.2B.-2C.5D.-5

5-i

2.（2。23春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習）復數(shù).的實部與虛部之和為一.

3.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預測）設i為虛數(shù)單位，且J—=l+2i,貝IJl-ai的虛部為（）

1+（21

A.-2B.2C.2iD.-2i

考法三復數(shù)的分類

【例3-1］（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知aeR,㈡y為純虛數(shù)，則〃=（）

2-41

A.1B.2C.3D.4

【例3-2］（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)（1-2i）（a-i）（aeR）是實數(shù)，則。的

值是（）

11

A.2B.—2C.-D.—

22

1.（2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測）若復數(shù)*是純虛數(shù)，則實數(shù)4=（）

2+1

3322

A.—B.—C.—D.—

2233

2.（2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測）設z是純虛數(shù)，若34+1z￡是實數(shù)，貝Ijz的虛部為（）

1+1

A.-3B.-1C.1D.3

3.（2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末）已知z是純虛數(shù)，F(xiàn)于+是2實數(shù)，那么z=（）

1-1

A.2iB.iC.-iD.-2i

考點四復數(shù)的幾何意義

【例4-1］（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级＃┤魪蛿?shù)z=則目=（）

1-1

24

【例4-2］（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）設復數(shù)z在復平面內對應的點為（2,5）,則1+］在復平面內對應的點為

（）

A.（3,—5）B.（3,5）C.（—3,—5）D.（—3,5）

【例4-3】（2023,全國?校聯(lián)考二模）已知復數(shù)z滿足。-2i）z=|20+i卜i,則1在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【例4-4］.（2023?陜西西安?西安一中校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足z="（acR）,若忖=而，貝。

復數(shù)z為（）.

A.3-iB.-l-3i

C.3—i或—1—3iD.3—i或3+i

1.（2023?北京通州?統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z=l+i,則|彳-萬|=（）

A.MB.75C.2D.V2

2.（2023?四川巴中?南江中學?？寄M預測）已知z-3彳=-4+8i,則復數(shù)z在復平面上對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.（2023?廣西柳州?高學校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)z滿足（l+2i）z=l+i,則復數(shù)z的共軌復數(shù)

在復平面內對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

4.（2023春,河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）已知復數(shù)z=g二①（aeR）,因=巫，若z在復平

3+1112

面上對應的點在第三象限，則（）

A.4B.-4C.回D.-Vio

考法五復數(shù)范圍內解方程

【例5】（2023?福建?統(tǒng)考模擬預測）已知z是方程Pa+2=0的一個根，則例|=（）

A.1B.y/2C.V3D.2

1.（2023?全國?高三專題練習）已知復數(shù)z是方程x2+4x+5=0的一個根，且復數(shù)z在復平面內對應的點位

于第三象限，則［=（）

A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i

2.（2023春?廣東韶關,高三南雄中學?？茧A段練習）已知復數(shù)z是一元二次方程2x2-2x+l=0的一個根，則

目的值為（）

A.1B.-C.0D.V2

2

考法六復數(shù)模的相關軌跡問題

【例6-1］（2023?全國?校聯(lián)考三模）已知復數(shù)z,z。滿足|z-z0|=后,聞=也，貝!J|z|的最大值為（）

A.-^2B.2^2C.4D.3A/2

【例6-2］（2023?重慶,統(tǒng)考二模）復平面內復數(shù)z滿足|z-2|-|z+2|=2,則|z-R的最小值為（）

A.—B.@C.73D.75

22

1.（2023?河南?校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)4=手，其中i為虛數(shù)單位，且|z-z°|=l,則復數(shù)z的模的最

大值為（）

A.1B.2C.3D.4

2.（2023?山西太原?太原五中?？家荒＃推矫鎯葟蛿?shù)z滿足|z-2|=l,則|z-i|的最小值為（）

A.1B.V5-1C.V5+1D.3

3.（2023?廣東?統(tǒng)考一模）在復平面內，已知復數(shù)z滿足|z-U=|z+i]（i為虛數(shù)單位），記z°=2+i對應的點

為點Z°,z對應的點為點Z,則點Z。與點Z之間距離的最小值為（）

A.在B.V2C.逑D.2及

22

考法七復數(shù)的綜合運用

【例7】（2023?重慶?統(tǒng)考二模）（多選）已知復數(shù)句，z2,則下列結論中正確的是（）

A.若z^eR,則Z2=ZjB.若ZR：。，則4=0或Z2=0

C.若空2=Z4且Z]/0,則Zz=符D.若z；=z；,則㈤三㈤

1.（2023?廣東佛山?統(tǒng)考二模）（多選）設z,4,z?為復數(shù)，且ZWZ2,下列命題中正確的是（）

A.若Z]=Z2，則Z]=Z2

B.若歸―2卜k+Z21，則乎2=0

C.若ZZ]=ZZ2，則z=0

D.若|z-zj=|z-zj,則z在復平面對應的點在一條直線上

2.（2023?山西運城?統(tǒng)考二模）（多選）設4/2為復數(shù)，則下列命題中一定成立的是（）

A.如果Z]-Z2>0,那么Z]>Zz

B.如果㈤=閭，那么Z[Z]=Z2Z2

C.如果五>1,那么㈤>七|

D.如果Z；+Z；=0,那么Z]=Z2=。

3.（2023?遼寧沈陽,高三校聯(lián)考學業(yè)考試）（多選）對于Vz—z2eC,下列說法正確的有（）

A.若4=馬，則Z]WRB.若Z2+^=0,則z?是純虛數(shù)

C.Z1%=㈤-D.（Z[+z2）"=|z1+z2|'

1.3復數(shù)（精講）

本節(jié)概要

知

識

點

復數(shù)

考法一復數(shù)的計算

考法二復數(shù)的實部與虛部

考法三復數(shù)的分類

考考法四復數(shù)的幾何意義

法

考法五在復數(shù)范圍內解方程

考法六復數(shù)模的相關軌跡問題

考法七復數(shù)的綜合運用

考點展現(xiàn)

復數(shù)的有關概念

1.復數(shù)的定義：形如。+6i（a,6￡R）的數(shù)叫做復數(shù)，其中。是實部，6是虛部，i為虛數(shù)單位.（虛部不含i）

2.復數(shù)的分類：

復數(shù)z=a+歷(a,6CR)

:實數(shù)（6=0）,

純虛數(shù)。=0,

虛數(shù)（6=0）

非純虛數(shù)aWO.

3.復數(shù)相等：a+bi=c+diQQ=。且b=d(Q,b,c,d￡R).

4.共輾復數(shù)：a+bi與c+di互為共朝復數(shù)=a=c,b=—d(a,b,c,d￡R).(實同虛反)

5.復數(shù)的模：

向量旅的模叫做復數(shù)z=a+歷的?；蚪^對值，記作|a+6i|或團，即團=|a+歷尸夜行(a,6GR).

二.復數(shù)的幾何意義

~"一，對應

⑴復數(shù)z=a+歷(a,———復平面內的點Z(a,b).

(2)復數(shù)2=a+bi(〃，--------平面向量近.

三.復數(shù)的四則運算

1.復數(shù)的加、減、乘、除運算法則：

設zi=a+bi,Z2=c+di(a,b,c,d￡R),貝！J

①力口法：zi+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+0i；

②減法：zi-Z2=(a+bi)—(c+di)=(〃-c)+(b—t/)i；

③乘法：zi-Z2=(a+bi),(c+di)=(ac—bd)+(ad+bc)i；

④z^r除r人法、，：z丁i在a-\濟-bi=匕(a+b端i)(。二一di)京ac=-\中-bd+,b中c-a匕d+,泊,。)

2.幾何意義：復數(shù)加、減法可按向量的平行四邊形或三角形法則進行.

如圖給出的平行四邊形OZ1ZZ2可以直觀地反映出復數(shù)加、減法的幾何意義，即龍=次|+昆，ZT?2=(9?2-

ol\.

o\X

思路點撥

解決復數(shù)概念問題的方法

1.解題時一定要先看復數(shù)是否為。+歷(a,6dR)的形式，以確定實部和虛部.

2.復數(shù)絕大部分問題可以轉化為復數(shù)的實部與虛部，只需把復數(shù)化為代數(shù)形式，列出實部和虛部滿足的方程

(不等式)組即可.

二.復數(shù)代數(shù)形式運算問題的解題策略

在進行復數(shù)的加減法運算時，可類比合并同類項，運用法則(實部與實部相加減，

復數(shù)的加減法

虛部與虛部相加減)計算即可

復數(shù)的乘法類似于多項式的四則運算，可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項，不

復數(shù)的乘法

含i的看作另一類同類項，分別合并即可

復數(shù)的除法除法的關鍵是分子分母同乘以分母的共輾復數(shù)，解題中要注意把i的幕寫成最簡形

式

三.復數(shù)的幾何意義

1.進行簡單的復數(shù)運算，將復數(shù)化為標準的代數(shù)形式；

2.把復數(shù)問題轉化為復平面內的點之間的關系，依據(jù)是復數(shù)。+所與復平面上的點(a,b)一一對應.

四.常用結論

1+i1—i

1-(l±i)2=±2i;J—=i；幣=一上

2.—6+ai=i(a+bi)(a,b￡R).

3.i4n=l,i4,,+1=i,i4n+2=-l,i4,,+3=-i(?￡N).

4.i4,!+i4,,+1+i4"+2+i4n+3=0(〃￡N).

5.復數(shù)z的方程在復平面上表示的圖形

(l)aW|z區(qū)6表示以原點O為圓心，以。和6為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)；

(2)|z—(a+6i)|=R>0)表示以(a,6)為圓心，r為半徑的圓.

考法解讀

考點一復數(shù)的計算

【例1-1](2023?甘肅,統(tǒng)考二模)已知f=i,i為虛數(shù)單位，則2=()

1-21

A.-2+iB.2-iC.2+iD.-2-i

【答案】C

【解析】因為f=i,則Z=i(l-2i)=2+i.故選：c.

【例1-2](2023?新疆?校聯(lián)考二模)復數(shù)X+iZ%則()

A.z=l+2iB.z=-l+2i

C.z=-l-2iD.z=l-萬

【答案】C

2-i

【解析】因為iz=2+i2°23=2-i,所以Z=——，解得z=-l-2i,故選：C.

1

【例1-3](2023春?江西撫州?高三金溪一中校考階段練習)已知復數(shù)z滿足(z-2i)i=3+i,則2=()

A.1—iB.3—iC.1—5iD.—1+3i

【答案】A

【解析】因為(z-2i)i=3+i,所以z=2+2i=C要D+2i=l-3i+2i=l-i.故選：A.

1i(-i)

【例1-4](2023?廣東深圳?統(tǒng)考二模)已知復數(shù)z滿足z2+z+l=0,則z；=.

【答案】1

【解析】因為z2+z+l=[z+g+j=0,即"+=[=土當

所以，z=T一亭或z=—+*

則一卷I,131

則Z?Z=烏=-+-=1,

2244

若z=t+^i，則建一(1

—i,則z.z=—一+

2244

綜上所述，Z-z=1-

故答案為：i.

1.(2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模)設復數(shù)z滿足l+i-z=2i,則2=()

A.2-iB.2+iC.l-2iD.l+2i

【答案】B

2i-11

【解析】由l+i?z=2i,得z=q=2'=2+i.故選B

ii

2.(2023?西藏拉薩?統(tǒng)考一模)已知復數(shù)?i=l+2i,Z2=zJ,則馬+22=()

A.l+3iB.-l+3iC.3-iD.3-2i

【答案】B

[解析]因為22=zJ=(l+2i)i=i_2,所以Z1+z2=l+2i+i_2=_l+3i.故選：B.

3.(2023?吉林通化?梅河口市第五中學?？寄M預測)已知(l+2i)z=2-i,貝匹=()

45.45.

A.——+-1B.---------1C.-1D.1

3333

【答案】D

/、2-i-5i.

【解析】由l+2iz=2-i,有2=r=<=.T,所以I=i.故選：D

1+211(1+21)(1—21)5

4.(2023?山西臨汾?統(tǒng)考二模)復數(shù)(1+1=()

A.2048iB.2048C.-2048iD.-2048

【答案】C

[解析](1+i)22=[(1+i)2]n=(l+i2+2i)u=(2i)11=211xi11=2048x(-i)=-2048i.故選:C.

5.（2023?河南安陽?安陽一中?？寄M預測）若i為虛數(shù)單位，則計算1+2，+3/+...+2021浮如=

【答案】1010+1011i

【解析】iSS'=i+2i2+3i3+...+2021i2(,21,

i5=i2+2i3+3i4+...+202li2022，

上面兩式相減可得,

（l-i）S=i+i2+i3+...+i2021-202li2022

_i（l-i20U）,2O22_i（l-i）-2022_.-907

-2?Un幺9]11-?n9]11-]十+幺U21,

1-i1-i

則S=3=（2⑼可可）=2。2。+2。22.0]0+]0]]]

人」1-i（l-i）（l+i）2

故答案為：1010+lOlli.

考法二復數(shù)的實部與虛部

3-i3

【例2-1]（2023?廣西南寧?統(tǒng)考二模）已知復數(shù)2=」，貝”的虛部為（）

2-i

1.1

A.-iB.—C.1D.i

55

【答案】C

3-i3（3+i）（2+i）5+5i

【解析】因為z=v—=。.<=-^-=1+.貝”的虛部為1,故A,B,D錯誤.故選：C.

2-1+5

【例2-2]（2023?江西九江?校聯(lián)考模擬預測）若復數(shù)2=白（i是虛數(shù)單位）的共軌復數(shù)是7,則z-彳的

2-1

虛部是（）

4.124

A.-1B.一一C.——D.

5555

【答案】D

【解析】復數(shù)z=A（i是虛數(shù)單位）的共輾復數(shù)是7,

i(2+i)12.,12.

----F—1.二z=------1,

(2-i)(2+i)5555

12.12.4.

4

則z-亍的虛部是彳.故選：D

2-5i

1.（2023春?河南商丘）已知復數(shù)？=,則z的虛部為（）

A.2B.-2C.5D.-5

【答案】B

【解析】“*二一1（2_51）__5_方,

則z的虛部為-2.故選：B.

i1

5-i

2.（2023春?湖南?高三校聯(lián)考階段練習）復數(shù)的實部與虛部之和為.

5+2i

【答案】:

【解析】因為二匚也誓皆知所以5-i的實部與虛部之和為23總15”8

5+2i5+2i292929

故答案為：,

5

3.（2023?山東濰坊?統(tǒng)考模擬預測）設i為虛數(shù)單位，且=l+2i,則1—ai的虛部為()

1+qi

A.-2B.2C.2iD.-2i

【答案】B

［解析】由±=l+2i可得：5=（l+2i）（l+ai）=g+2）i-2a+l,

1+（21

］。+2=0

則＜_［=＞。=-2,所以l-ai=l+2i的虛部為2.故選：B.

［-2a+1=5

考法三復數(shù)的分類

【例3-1］（2023?遼寧?校聯(lián)考二模）已知aeR,9二為純虛數(shù)，則”（）

2-41

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】因為三a+Ti苗（a+i）姿（2+4得i）=2"一4+胃（4a+’2）i為純虛數(shù)，所以21=。，且40+2"

所以。=2.故選：B.

【例3-2］（2023春?江西?高三校聯(lián)考階段練習）已知i為虛數(shù)單位，復數(shù)（1-2）（4-。（4€1＜）是實數(shù)，則。的

值是（）

11

A.2B.—2C.—D.—

22

【答案】c

【解析】(l-2i)(a-i)=a-2-(2a+l)i,

復數(shù)(1一2i)(a-i)(aeR)是實數(shù)，.一(2a+l)=0,解得.=_(故選：C.

1.(2023?湖北武漢?統(tǒng)考模擬預測)若復數(shù)一是純虛數(shù)，則實數(shù)。=()

2+1

3322

A.——B.-C.—D.-

2233

【答案】A

【解析】分(q+3i)(2—i)2Q+3+(6—a)i,3,,

=----------=------------貝n⑵+3=0,有。=——.故選：A

2+1552

2.(2023?廣東深圳?深圳中學校聯(lián)考模擬預測)設z是純虛數(shù)，若34+1z￡是實數(shù)，貝Ijz的虛部為()

1+1

A.-3B.-1C.1D.3

【答案】D

【解析】設z=6i(6w0),

3+z_3+歷_(3+6i)(I-i)_3-3i+bi-bi2_(3+b)+(b-3)i

貝U7+T-i+i-(i+i)(i-i)-N-2，

因為辛是實數(shù)，

所以6-3=0,即6=3,

所以z=3i,故z的虛部為3.

故選：D.

3.(2023秋?遼寧?高三校聯(lián)考期末)已知z是純虛數(shù)，言是實數(shù)，那么z=()

1-1

A.2iB.iC.-iD.—2i

【答案】A

【解析】因為z是純虛數(shù)，故可設z=6i(6w0),

i產+2_2-歷(2-歷+2+b+(2-b)\

町以1-i1-i-(l-i)(l+i)=2'

因為下一是實數(shù)，所以2-6=0,即6=2,

1-1

所以z=2i.

故選：A

考點四復數(shù)的幾何意義

【例4-1］（2023?黑龍江哈爾濱?哈爾濱三中?？级＃┤魪蛿?shù)2=若，則目=（）

1-1

A.1B.—C.D.710

24

【答案】B

【解析】由目=譚=2=半?故選：B

【例4-2］（2023?廣東湛江?統(tǒng)考二模）設復數(shù)z在復平面內對應的點為（2,5）,則1+1在復平面內對應的點為

()

A.（3,-5）B.(3,5)C.(-3,-5)D.(-3,5)

【答案】A

【解析】由題意得z=2+5i,則l+W=l+（2-5i）=3-5i,所以1+1在復平面內對應的點為（3,-5）,故選：A

【例4-3】（2023?全國?校聯(lián)考二模）已知復數(shù)2滿足（1-2①=|20+47,則1在復平面內對應的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

|2逝+i/i3-i(3-i)(l+2i)”

［解析］即+.?。?旬+F=3

l-2il-2i(l-2i)(l+2i)

.-.Z=l-i,實部為1，虛部為：，所以I在第四象限;

故選：D.

【例4-4］.（2023?陜西西安?西安一中校聯(lián)考模擬預測）已知復數(shù)z滿足z=\?geR）,若目=則

復數(shù)z為（）.

A.3-iB.—1—3i

C.3-i或-1-3iD.3-i或3+i

【答案】C

【解析】由z=±M有,+i舊=|4+2i|,即+1曬=2生，解得a=±l,

a+i

當a=l時，z=^^=（4+2］（lT）=（2+i）（l_i）=3_i,

當°=一1時，2=^^=（4+21心_1_1）=（2+譏_1）=_］_31.故選:C

1.（2023?北京通州,統(tǒng)考模擬預測）已知復數(shù)z=l+i,則|Z—2i|=（）

A.MB.V5C.2D.72

【答案】A

【解析】z=l-i，百一2+”到=廂.故選：A

2.（2023?四川巴中?南江中學?？寄M預測）已知z-3〒=-4+8i,則復數(shù)z在復平面上對應的點在（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

［解析］設2=a+歷（a/eR）,則彳=._所，

...由z-3彳=-4+8i,得-2a+4歷=-4+8i,

解得。=2,6=2,

復數(shù)z在復平面上對應的點（2,2）在第一象限.

故選：A.

3.（2023?廣西柳州?高三校聯(lián)考階段練習）若復數(shù)z滿足（l+2i）z=l+i,則復數(shù)z的共軌復數(shù)

在復平面內對應的點所在的象限為（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】A

(l+i)(l-2i)_3-i；31.

【解析】由已知可得2

(l+2i)(l-2i)

-31

所以復數(shù)Z的共軌復數(shù)z=1+m,

所以，復數(shù)3在復平面內對應的點的坐標為該點在第一象限.

故選：A.

4.（2023春?河北衡水?高三河北衡水中學校考階段練習）已知復數(shù)2=三二包（°€1＜）,閏=亞，若z在復平

3+1112

面上對應的點在第三象限，則。=（）

A.4B.-4c.VioD.-Vio

【答案】B

a-3i_（?-3i）（3-i）_（3a-3）-（a+9）i3。一3a+9.

【解析】因為z=-----------i

3+i（3+i）（3-i）101010

則目二解得Q=±4,

3Q—3＜0

因為復數(shù)z在復平面上對應的點在第三象限，貝U(2C，解得-9＜。＜1,

因止匕，a=—4.

故選：B.

考法五復數(shù)范圍內解方程

【例5】(2023?福建?統(tǒng)考模擬預測)已知z是方程/-a+2=0的一個根，則［彳|=()

A.1B.72C.73D.2

【答案】B

【解析】因為方程7-2x+2=0是實系數(shù)方程，＞A=(-2)2-4X2=-4＜0,

所以該方程有兩個互為共朝復數(shù)的兩個虛數(shù)根，

即句,2=21a=1土i,即z=l土inl=l.目可="+(.1)2=血,

故選：B

1.(2023?全國?高三專題練習)已知復數(shù)z是方程/+4x+5=0的一個根，且復數(shù)z在復平面內對應的點位

于第三象限，則』=()

A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i

【答案】D

【解析】復數(shù)范圍內方程/+4x+5=0的根為x=-2土i,

因為復數(shù)z在復平面內對應的點位于第三象限，所以z=-2-i,則==_2+i.

故選：D.

2.(2023春?廣東韶關?高三南雄中學?？茧A段練習)已知復數(shù)z是一元二次方程2x2-2x+l=0的一個根，則

忖的值為()

A.1B.—C.0D.V2

2

【答案】B

【解析】「復數(shù)z是一元二次方程2/-2x+l=0的一個根，

XA=（-2）2-4X2=-4<0,

該方程的根為x=2±"41=l±li（

2x222

即z=：+!，或z=[-[i,則曰=".

2222112

故選：B.

考法六復數(shù)模的相關軌跡問題

【例6-1]（2023?全國?校聯(lián)考三模）已知復數(shù)z,z0滿足2-]="田=0，貝力z|的最大值為（

A.V2B.272C.4D.3也

【答案】B

【解析】因為0-閡引2-。|=亞，所以