第二章2.3.2兩點間的距離公式2.3.3點到直線的距離公式2.3.4兩條平行直線間的距離學(xué)習(xí)目標1.掌握平面上兩點間的距離公式.(數(shù)學(xué)運算)2.掌握點到直線的距離公式.(數(shù)學(xué)運算)3.會求兩條平行直線間的距離.(數(shù)學(xué)運算)4.會運用坐標法證明簡單的平面幾何問題.(邏輯推理)基礎(chǔ)落實·必備知識一遍過知識點1

兩點間的距離公式1.已知平面內(nèi)兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2),那么這兩點間的距離為

當P1P2∥x軸(y1=y2)時,|P1P2|=|x2-x1|,當P1P2∥y軸(x1=x2)時,|P1P2|=|y2-y1|2.特別地,原點O(0,0)與任一點P(x,y)間的距離3.已知平面內(nèi)的兩點A(x1,y1),B(x2,y2),直線AB的斜率為k,則直線上A,B兩點間的距離

微思考兩點P1(x1,y1),P2(x2,y2)間的距離公式能否表示為知識點2

點到直線的距離1.已知點P(x0,y0),直線l:Ax+By+C=0,點P到直線l的距離,就是從點P到直線l的

的長度,其中Q是垂足.

2.公式:點P(x0,y0)到直線l:Ax+By+C=0(A,B不同時為0)的距離d=

.

名師點睛1.運用公式前首先應(yīng)把直線方程化為一般式.2.注意公式特征,分子絕對值符號里面是把坐標(x0,y0)代入直線方程的左邊得到的.當A=0或B=0時,上述公式仍然成立.垂線段PQ微思考點P(x0,y0)到x軸,y軸,直線y=a,x=b的距離分別是什么?提示

到x軸的距離d=|y0|,到y(tǒng)軸的距離d=|x0|,到直線y=a的距離d=|y0-a|,到直線x=b的距離d=|x0-b|.知識點3

兩條平行直線間的距離1.概念:兩條平行直線間的距離是夾在兩條平行直線間的

的長.

2.求兩條平行直線間的距離就轉(zhuǎn)化為求點到直線的距離.3.公式:兩條平行直線l1:Ax+By+C1=0與l2:Ax+By+C2=0之間的距離

此公式的應(yīng)用前提是l1與l2方程中x,y分別對應(yīng)的系數(shù)相等

公垂線段

微思考直線l1:x+y-1=0上有A(1,0),B(0,1),C(-1,2)三點,直線l2:x+y+1=0與直線l1平行,那么點A,B,C到直線l2的距離分別為多少?有什么規(guī)律嗎?提示

點A,B,C到直線l2的距離分別為

.規(guī)律是當兩直線平行時,一條直線上任一點到另一條直線的距離都相等.重難探究·能力素養(yǎng)速提升問題1線段由兩個端點確定,其長度也是最基本的幾何量.在平面直角坐標系中,如何用兩個端點的坐標來表示線段的長度,即兩端點間的距離呢?問題2兩點間的距離,可以類似于向量的什么?據(jù)此,可否思考如何求出兩點間的距離?探究點一兩點間距離公式的應(yīng)用問題3如何通過對幾何問題的定量研究來判斷三角形的形狀?【例1】

已知△ABC三個頂點的坐標分別為A(-3,1),B(3,-3),C(1,7),試判斷△ABC的形狀.思路分析可求出三條邊的長,根據(jù)所求長度判斷三角形的形狀.規(guī)律方法

兩點間距離公式的應(yīng)用兩點間的距離公式是解析幾何的重要公式之一,它主要解決線段的長度問題,體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.探究點二求點到直線的距離問題4借助向量,我們得到了兩點間的距離公式.類比于此,可否再次借助向量來求點到直線的距離公式?問題5回顧投影向量的意義,可否與求點P到直線l的距離建立聯(lián)系?問題6點到直線的距離中,對于直線方程應(yīng)該化為什么形式?為什么?【例2】

已知坐標平面內(nèi)兩點A(3,2)和B(-1,4)到直線mx+y+3=0的距離相等,則實數(shù)m的值為

.

規(guī)律方法

點到直線的距離的求解方法(1)求點到直線的距離時,只需把直線方程化為一般式,直接利用點到直線的距離公式即可.(2)若已知點到直線的距離求參數(shù)值時,只需根據(jù)點到直線的距離公式列出關(guān)于參數(shù)的方程即可.探究點三兩平行直線間的距離問題7兩平行直線間的距離有怎樣的幾何性質(zhì)?利用此性質(zhì)如何求兩平行直線間的距離?問題8既然兩平行直線間的距離轉(zhuǎn)化成點到直線間的距離來計算,那如何取點可使計算簡單?【例3】

(1)已知直線3x+2y-3=0和6x+my+1=0互相平行,則它們之間的距離是(

)D(2)若兩條平行線l1:x-y+1=0與l2:3x+ay-c=0(c>0)之間的距離為

等于(

)A.-2 B.-6 C.2 D.0A規(guī)律方法

兩條平行直線間的距離的求法(1)化為一般式,且兩條平行直線方程中x,y的系數(shù)化為相同的,代入兩條平行直線的距離公式.(2)在一條直線上任取一點,求該點到另一條直線的距離.探究點四坐標法及其應(yīng)用問題9如何利用幾何問題的代數(shù)運算來解決幾何問題?與初中平面幾何的定性研究相比,是否能對解析幾何的基本方法有體會?【例4】

如圖,在△ABC中,|AB|=|AC|,D是BC邊上異于B,C的任意一點,求證:|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.證明

如圖,以BC的中點為原點O,BC所在的直線為x軸,建立直角坐標系.設(shè)A(0,a),B(-b,0),C(b,0),D(m,0)(-b<m<b),則|AB|2=(-b-0)2+(0-a)2=a2+b2,|AD|2=(m-0)2+(0-a)2=m2+a2,|BD|·|DC|=|m+b|·|b-m|=(b+m)(b-m)=b2-m2,∴|AD|2+|BD|·|DC|=a2+b2,∴|AB|2=|AD|2+|BD|·|DC|.規(guī)律方法

坐標法及其應(yīng)用(1)坐標法解決幾何問題時,關(guān)鍵要結(jié)合圖形的特征,建立平面直角坐標系.坐標系建立的是否合適,會直接影響問題能否方便解決.建系的原則主要有兩點:①讓盡可能多的點落在坐標軸上,這樣便于運算.②如果條件中有互相垂直的兩條線,要考慮將它們作為坐標軸;如果圖形為中心對稱圖形,可考慮將中心作為原點;如果有軸對稱性,可考慮將對稱軸作為坐標軸.(2)利用坐標法解平面幾何問題常見的步驟:①建立坐標系,盡可能將有關(guān)元素放在坐標軸上;②用坐標表示有關(guān)的量;③將幾何關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標運算;④把代數(shù)運算結(jié)果“翻譯”成幾何關(guān)系.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)兩點間的距離公式;(2)點到直線的距離公式的推導(dǎo)過程及點到直線的距離公式(3)兩條平行直線間的距離公式及兩平行直線間的最值問題;(4)距離公式的應(yīng)用.2.方法歸納:待定系數(shù)法、坐標法、公式法、解方程(組)法、數(shù)形結(jié)合法.3.常見誤區(qū):(1)已知距離求參數(shù)問題易漏解;(2)設(shè)直線方程易忽略斜率是否存在;(3)運用兩平行直線間的距離公式時,未能保證兩直線方程中x,y的系數(shù)分別對應(yīng)相同.學(xué)以致用·隨堂檢測促達標12341.(例1對點題)已知△ABC三個頂點坐標分別為A(1,1),B(2,3),C(4,2).試判斷△ABC的形狀.12342.(例2對點題)已知點A(a,2)(a>0)到直線l:x-y+3=0的距離為1,則a的值為

.

12343.(例3對點題)已知直線l1與l2:x+y-1=0平行,且l1與l2的距離是