第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年山東省青島五十八中高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若復(fù)數(shù)z滿足z(2?i)A.5 B.3 C.5 D.2.如圖所示，△ABC中，BD=2DC，點(diǎn)EA.34AD+12BE

3.紫砂壺是中國(guó)特有的手工陶土工藝品，經(jīng)典的有西施壺、石瓢壺、潘壺，其中石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)(其他因素忽略不計(jì))，如圖給出了一個(gè)石瓢壺的相關(guān)數(shù)據(jù)(單位：cm)，那么該壺裝滿水的體積約為(

)

A.0.182升 B.0.205升 C.0.218升 D.0.235升4.嵩岳寺塔位于河南鄭州登封市嵩岳寺內(nèi)，歷經(jīng)1400多年風(fēng)雨侵蝕，仍巍然屹立，是中國(guó)現(xiàn)存最早的磚塔.如圖，為測(cè)量塔的總高度AB，選取與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量基點(diǎn)C與D，現(xiàn)測(cè)得∠BCD=30°，∠BDC=45°A.12?42

B.12?45.在△ABC中，角A、B、C的對(duì)邊分別為a、b、c，若5cosB?8coA.64 B.84 C.?69 D.6.由斜二測(cè)畫(huà)法得到的一個(gè)水平放置的三角形的直觀圖是等腰三角形，底角為30°，腰長(zhǎng)為2，如圖，那么它在原平面圖形中，頂點(diǎn)B′到x軸的距離是(

)A.1

B.2

C.2

D.7.在△ABC中，角ABC的對(duì)邊分別為a、b、c，若b=a(cosC+33sA.473 B.73 C.8.△ABC中，AB=2,A.3 B.22 C.2 二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.下列命題正確的是(

)A.棱錐是由一個(gè)底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體

B.球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面

C.有兩個(gè)面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體為棱臺(tái)

D.10.對(duì)于△ABC，有如下判斷，其中正確的判斷是A.若a=2，A=30°，則b+2csinB+2sinC=2b+c2sinB+sinC=4

B.若a=11.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且taA.A=π6

B.若a=2，則該三角形周長(zhǎng)的最大值為6

C.若△ABC的面積為2，則a有最小值

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知復(fù)數(shù)z=(a?1)?2ai(13.如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個(gè)底面圓周和圓錐的頂點(diǎn)均在體積為36π的球面上，若圓柱的高為2，則圓錐的側(cè)面積為_(kāi)_____．

14.已知a，b，e是同一平面的向量，其中e是單位向量.非零向量a與e的夾角為π3，向量b滿足|b?2e|=四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。15.(本小題13分)

學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型．如圖，該模型為長(zhǎng)方體ABCD?A1B1C1D1挖去四棱錐O?EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，AB=BC=616.(本小題15分)

在直角梯形ABCD中，已知AB/?/CD，∠DAB=90°，AB=2AD=2CD=4，點(diǎn)F是BC邊上的中點(diǎn)，點(diǎn)E是CD邊上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．17.(本小題15分)

如圖，已知△ABC與△ADC關(guān)于直線AC對(duì)稱(chēng)，把△ADC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)π3，得到△AFE，若B，C，E，F(xiàn)四點(diǎn)共線，且AC18.(本小題17分)

在①sinAsinBsinC=32(sin2A+sin2C?sin2B)；②1tanA+1tanB=sinC19.(本小題17分)

“費(fèi)馬點(diǎn)”是由十七世紀(jì)法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬提出并征解的一個(gè)問(wèn)題.該問(wèn)題是：“在一個(gè)三角形內(nèi)求作一點(diǎn)，使其與此三角形的三個(gè)頂點(diǎn)的距離之和最小.”意大利數(shù)學(xué)家托里拆利給出了解答，當(dāng)△ABC的三個(gè)內(nèi)角均小于120°時(shí)，使得∠AOB=∠BOC=∠COA=120°的點(diǎn)O即為費(fèi)馬點(diǎn)；當(dāng)△ABC有一個(gè)內(nèi)角大于或等于120°時(shí)，最大內(nèi)角的頂點(diǎn)為費(fèi)馬點(diǎn).試用以上知識(shí)解決下面問(wèn)題：已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且cos2B答案和解析1.【答案】C

【解析】解：由z(2?i)=(2+i)(3?4i)，2.【答案】C

【解析】解：因?yàn)锽D=2DC，點(diǎn)E是線段AD的中點(diǎn)，所以DC=12BD，E3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意可知：石瓢壺的壺體可以近似看成一個(gè)圓臺(tái)，

其中圓臺(tái)的上底面半徑為3cm，下底面半徑為5cm，高為4cm，

所以該壺裝滿水的體積約為13×44.【答案】B

【解析】解：設(shè)AB=h，則BC=htan60°=h3，

在△BCD中，sin∠CBD=sin[180°?(30°+45°)]

=sin(30°+5.【答案】C

【解析】解：由5cosB?8cosC8c?5b=cosAa，得5cosB?8cosC8sinC?5sinB=cosAsinA，

則5sin(6.【答案】D

【解析】解：根據(jù)題意，

如圖，過(guò)點(diǎn)B′作B′C′//y′′軸，交x′′軸于點(diǎn)C′，

在△O′B′C′中，∠B′O′C′=30°，∠B′C′O′=135°，O′B7.【答案】A

【解析】解：因?yàn)閎=a(cosC+33sinC)，

所以由正弦定理化簡(jiǎn)可得：sinB=sinAcosC+33sinAsinC，

又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC，

所以33sin8.【答案】A

【解析】解：過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，OE⊥BC，垂足分別為D，E，

如圖所示：

因O是△ABC外接圓圓心，則D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，

CO?CB=12|CB|2=12|CA|2?12|CB9.【答案】AB【解析】解：根據(jù)空間幾何體的定義：

對(duì)于A，由棱錐的定義知由一個(gè)底面為多邊形，

其余各面為具有公共頂點(diǎn)的三角形圍成的幾何體是棱錐，故A正確；

對(duì)于B，球面可以看作一個(gè)圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，故B正確；

對(duì)于C，有兩面互相平行，其余四個(gè)面都是等腰梯形的六面體不一定是棱臺(tái)，

∵不能保證各側(cè)面的延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，用一個(gè)平面去截棱錐，棱錐底面與截面之間的部分不一定為棱臺(tái)，

因?yàn)椴荒鼙ＷC截面與底面平行，故D錯(cuò)誤．

故選：AB．

根據(jù)空間幾何體的定義，對(duì)選項(xiàng)中的命題判斷正誤即可，AB選項(xiàng)說(shuō)法正確，C選項(xiàng)必須還要保證各條側(cè)棱所在直線交于同一點(diǎn)，D10.【答案】AC【解析】解：A中，因?yàn)閍=2，A=30°，由正弦定理知asinA=bsinB=csinC=212=4，

所以b=4sinB，c=4sinC，

所以2b2sinB=csinC=4可得2b+c2sinB+sinC=4，

由bsinB=2c2sinC=4可得b+2c11.【答案】BC【解析】解：對(duì)于A：因?yàn)閠anA+tanB=3cacosB，由正弦定理可得sinAcosA+sinBcosB=3sinCsinAcosB，

而sinAcosA+sinBcosB=sinAcosB+cosAsinBcosAcosB=sin(A+B)cosAcosB=sinCcosAcosB，

故12.【答案】?2【解析】解：z=(a?1)?2ai(a∈R)，且|z|=5，

則(a?1)2+(13.【答案】4【解析】解：畫(huà)出該幾何體的軸截面，如圖，

其中，O是球心，E是圓錐的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，

由題意可知43πR3=36π，解得R=3，

由于圓柱的高為2，OD=1，DE=3?1=2，DC=32?12=14.【答案】3【解析】解：如圖，設(shè)OA=a，OB=b，OE=e，OF=2e，

則根據(jù)題意可知|OE|=1，|OF|=2，∠EOA=π3，

|b?2e|=|OB?OF|=|FB|=1，

∴B在以F為圓心，1為半徑的圓上，

A在射線OP上，且∠FOP=π15.【答案】解：(1)∵E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，∴四邊形EFGH為菱形，

由AB=BC=6cm，AA1=4cm，得EF=FG=GH=HE=13，

又∵O為長(zhǎng)方體的中心，∴四棱錐O?EFGH的高h(yuǎn)=3．

SEFGH=4×6?4×12×2×3=12，VO?EFGH【解析】(1)由已知可得四邊形EFGH為菱形，求出四棱錐O?EFGH的高與底面積，由棱錐體積公式求模型的體積，乘以原料密度得答案；

(2)記面ABCD的中心為O′，連接OO′、O′B、16.【答案】解：(1)若E是CD邊的中點(diǎn)，又F是BC邊上的中點(diǎn)，

①AB=AF+FB=AF+CF=AF+EF?EC

=AF+AF?AE?14AB，

∴54AB=?AE+2AF，

∴AB=?45AE+85AF；

②建系如圖：

則A(【解析】(1)②根據(jù)向量的線性運(yùn)算，即可求解；②建系，根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，即可求解；

(2)建系，設(shè)E17.【答案】解：(1)由題意可得∠CAE=π3，AC=AE=5，

所以△ACE為正三角形，(旋轉(zhuǎn)前后圖形的大小、形狀相同及旋轉(zhuǎn)角度得到△ACE為正三角形)，

則∠ACB=2π3，在△ABC中，AC=5，AB=7，設(shè)BC=x，

則由余弦定理可得AB2=AC【解析】(1)由題意可得△ACE為正三角形，則∠ACB=2π3，在△ABC中，AC=5，AB=18.【答案】解：(1)選①，因?yàn)閟inAsinBsinC=32(sin2A+sin2C?sin2B)，

由正弦定理得acsinB=32(a2+c2?b2)，

由余弦定理可得acsinB=32×2accosB，

可得sinB=3cosB，

所以tanB=3，

因?yàn)锽∈(0,π)，

故B=π3，

又b=23，a+c=6，

由余弦定理可得12=a2+c2?ac=(a+c)2?3ac=36?3ac，

解得ac=8，

所以△ABC的面積S=12acsinB=12×8×32=23；

選②，因?yàn)?tanA+1tanB=sinC3sinAcosB，

所以cosAsinA+cosBsinB

【解析】(1)選①，由正弦定理，余弦定理，三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可得tanB=3，結(jié)合B∈(0,π)，可求B=π3，由余弦定理得ac=8，進(jìn)而利用三角形的面積即可求解；

選②，利用三角函數(shù)恒等變換化簡(jiǎn)已知等式可求tanB=3，結(jié)合B∈(0,π)，可求B=π3，由余弦定理得ac=819.【答案】解：(1)由已知△