專題圓的綜合應(yīng)用題題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練中考圓的命題趨勢主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)接四邊形、切線等知識(shí)點(diǎn)。這些知識(shí)點(diǎn)常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，也考察學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會(huì)直接考查學(xué)生對(duì)圓心角與圓周角及圓的切線等知識(shí)的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會(huì)涉及到圓的對(duì)稱性、圓與三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算。此外，還可能會(huì)涉及到與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問題等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合。模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問基本上考查的為圓的性質(zhì)，主要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時(shí)，需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，尤其是菱形、矩形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。圓的綜合問題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類，也是難度較大的一類，所以，對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練很有必要。模型03情景與應(yīng)用題型情景與應(yīng)用題型是圓知識(shí)點(diǎn)的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算考｜向｜預(yù)｜測與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；第二步：碰到直徑想直角，直徑所對(duì)的圓周角為90°；第三步：看到切線——連半徑——90°，證明切線時(shí)注意證明90°；第四步：圓內(nèi)接四邊形——對(duì)角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對(duì)角；例1．（2023·河南）如圖，在中，，．以為圓心，為半徑的圓O交于點(diǎn)．點(diǎn)在上，連接，，若，則圓O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．例2.（2023·安徽）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接、、，則的最小值是（

）A． B． C． D．例3．（2023·湖北）如圖，是的直徑，，是延長線上一點(diǎn)，在上，連接，，，．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究考｜向｜預(yù)｜測特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要考查對(duì)圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識(shí)的應(yīng)用。實(shí)際題型中對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多問題的討論中需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)。答｜題｜技｜巧第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；第三步：四邊形的存在性問題注意假設(shè)、反推；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2023·湖北）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在的延長線上．若，則度．例2．（2023·江西）課本改編（1）如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，則度，度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線不是的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．知識(shí)運(yùn)用（3）如圖3，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，連接，求證：是的切線．模型03情景與應(yīng)用題型考｜向｜預(yù)｜測圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。答｜題｜技｜巧第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題；例1．（2022·河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．(1)求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時(shí)AD的長．例2．（2022·江蘇）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．1．（2022·四川?。┤鐖D，為的直徑，弦，垂足為，，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定2．（2023·廣東）如圖，為⊙O的直徑，，，則的長度為（）A． B． C． D．3．（2023·福建）的半徑為，弦．若，則和的距離為（）A． B． C．或 D．或4．（2023·北京）如圖，為的直徑，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．5．（2023·浙江）如圖，在中，，以為直徑作圓，交于點(diǎn)D，延長交圓于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F．若，則的值為（

）A． B． C． D．6．（2023?陜西）如圖，是的外接圓，．過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．7．（2023?上海）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于，那么這個(gè)正多邊形的中心角為度．8．（2022?上海）如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)．如果，，那么的長是．9．（2023?長寧）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)，已知，，，那么的值為．10．（2023·湖南）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．若的半徑為．(1)若，求證：平分；(2)試用含的式子表示的值；(3)記，，，的面積分別為，，，，當(dāng)時(shí)，求證：．11．（2022·浙江）如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件．管片的橫截面（陰影部分）如圖2所示，是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，甲、乙、丙三個(gè)小組分別采用三種不同的方法，測算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑．

(1)如圖2，，的延長線交于圓心，若甲組測得，，，求的長．(2)如圖3，，的延長線交于圓心，若乙組測得，，，直接寫出的長．(3)如圖4，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接觸點(diǎn)L為的中點(diǎn)，若丙組測得，，求該管片的外圓弧半徑．1．（2024·陜西西安·一模）如圖，點(diǎn)A，B在以為直徑的半圓上，B是的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．2．（2024·安徽池州·一模）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，半徑，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．3．（2024·安徽·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．C．D．若的半徑為5，，則4．在中，，點(diǎn)O是斜邊邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點(diǎn)D，連接，若，的半徑為4，則的長度為（）A． B．4 C．3 D．55．如圖，半徑長，點(diǎn)A、B、C是三等分點(diǎn)，D為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)E，則（）

A． B． C． D．6．（2023·浙江金華·三模）如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以，為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．則面積的最小值是()A． B．6 C．8 D．7．（2024·河南漯河·一模）如圖圓的半徑是4，是弦，且A是弧的中點(diǎn)，則弦的長為（

）A． B． C．4 D．68．（2024·重慶·一模）如圖，是的直徑且，點(diǎn)在圓上且，的平分線交于點(diǎn)，連接并過點(diǎn)作，垂足為，則弦的長度為（

）A． B． C．4 D．9．如圖，半徑長，點(diǎn)、、是三等分點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．10．如圖，有圓O，內(nèi)部有四邊形，連接和，已知是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．11．如圖，是的直徑，與⊙O相切于點(diǎn)，的延長線交直線于點(diǎn)，連接，．若，，則的長度是．12.（2023?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝3．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長為．13．如圖，AB是O的直徑，AC是弦，且OD⊥AC于點(diǎn)E，OD交⊙O于點(diǎn)F，連接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．(1)求證：AD是⊙O的切線：(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的長．14．如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)．

(1)求證：是的切線；(2)若，，求的長．15.（2024·福建福州·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線是的直徑，平分，交于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作,交的延長線于點(diǎn)F．(1)求證：；(2)過點(diǎn)F作交延長線于點(diǎn)G，求證：．16．【感知】如圖①，點(diǎn)A、B、P均在⊙O上，∠AOB＝90°，則銳角∠APB的大小為度．【探究】小明遇到這樣一個(gè)問題：如圖②，⊙O是等邊三角形ABC的外接圓，點(diǎn)P在弧AC上（點(diǎn)P不與點(diǎn)A、C重合），連接PA、PB、PC．求證：PB＝PA+PC．小明發(fā)現(xiàn)，延長PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連接BE，通過證明△PBC≌△EBA．可推得△PBE是等邊三角形，進(jìn)而得證．下面是小明的部分證明過程：證明：延長PA至點(diǎn)E，使AE＝PC，連接BE．∵四邊形ABCP是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BAP+∠BCP＝180°，∵∠BAP+∠BAE＝180°，∴∠BCP＝∠BAE，∵△ABC是等邊三角形，∴BA＝BC，∴△PBC≌△EBA（SAS）．請(qǐng)你補(bǔ)全余下的證明過程．【應(yīng)用】如圖③，⊙O是△ABC的外接圓，∠ABC＝90°，AB＝BC，點(diǎn)P在⊙O上，且點(diǎn)P與點(diǎn)B在AC的兩側(cè)，連接PA、PB、PC，若，則的值為．專題圓的綜合應(yīng)用題解析題型解讀｜模型構(gòu)建｜通關(guān)試練中考圓的命題趨勢主要圍繞圓的有關(guān)概念和性質(zhì)進(jìn)行考查，包括弦弧角的關(guān)系、圓周角與圓心角、圓內(nèi)接四邊形、切線等知識(shí)點(diǎn)。這些知識(shí)點(diǎn)常以選擇題、填空題和解答題的形式出現(xiàn)，既考察學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握程度，也考察學(xué)生運(yùn)用這些知識(shí)解決實(shí)際問題的能力。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算近兩年主要以選擇、填空的形式出現(xiàn)。在選擇題和填空題中，通常會(huì)直接考查學(xué)生對(duì)圓心角與圓周角及圓的切線等知識(shí)的理解和應(yīng)用。在解答題中，可能會(huì)涉及到圓的對(duì)稱性、圓與三角形或四邊形的綜合應(yīng)用，需要學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行推理和計(jì)算。此外，還可能會(huì)涉及到與其他知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用，如與三角形的相似和全等、四邊形的存在性問題等知識(shí)點(diǎn)的結(jié)合。模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)研究，該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，第一問基本上考查的為圓的性質(zhì)，主要以求解和證明的形式出現(xiàn)。圓與四邊形結(jié)合時(shí)，需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)，尤其是菱形、矩形的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)。圓的綜合問題是中考數(shù)學(xué)中的壓軸題中的一類，也是難度較大的一類，所以，對(duì)應(yīng)的訓(xùn)練很有必要。模型03情景與應(yīng)用題型情景與應(yīng)用題型是圓知識(shí)點(diǎn)的綜合考查應(yīng)用，通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。模型01與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算考｜向｜預(yù)｜測與圓的性質(zhì)有關(guān)的證明與計(jì)算該題型近年主要以選擇、填空形式出現(xiàn)，在綜合性大題考試中，難度系數(shù)不大，在各類考試中都以中檔題為主。解這類問題的關(guān)鍵是結(jié)合圓的性質(zhì)及相關(guān)判定定理與推論并結(jié)合圓和其它幾何的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行解題。答｜題｜技｜巧第一步：靈活應(yīng)用弦弧角之間的關(guān)系，弦和弧最終轉(zhuǎn)化為角，一般情況下是圓周角；第二步：碰到直徑想直角，直徑所對(duì)的圓周角為90°；第三步：看到切線——連半徑——90°，證明切線時(shí)注意證明90°；第四步：圓內(nèi)接四邊形——對(duì)角互補(bǔ)，外交等于內(nèi)對(duì)角；例1．（2023·河南）如圖，在中，，．以為圓心，為半徑的圓O交于點(diǎn)．點(diǎn)在上，連接，，若，則圓O的半徑為（）A．1 B． C．2 D．【答案】B【詳解】解：，，，，，，，故選：B．例2.（2023·安徽）如圖，在中，，，以點(diǎn)為圓心、為半徑的圓上有一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．連接、、，則的最小值是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，在上取一點(diǎn)，使得，∵，，，∴，，則，∵，∴，∴，∴，當(dāng)共線時(shí)，的值最小，最小值為，∴，在中，，∴的最小值為．故選：B．例3．（2023·湖北）如圖，是的直徑，，是延長線上一點(diǎn)，在上，連接，，，．(1)求證：是的切線；(2)若，求的長．【答案】(1)詳見解析(2)【詳解】（1）證明：連接，如圖，∵為的直徑，∴，∴．∵，∴．∵，∴，即，∴．∵是的半徑，∴是的切線；（2）解：∵為的直徑，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，設(shè)，，∵，∴，∵，∴，∴，解得或(不合題意舍去)，∴．模型02特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究考｜向｜預(yù)｜測特殊四邊形與圓結(jié)合的動(dòng)態(tài)探究模型該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，綜合性較強(qiáng)，有一定難度，主要考查對(duì)圓性質(zhì)的理解與三角形或四邊形綜合知識(shí)的應(yīng)用。實(shí)際題型中對(duì)數(shù)形結(jié)合的討論是解題的關(guān)鍵。許多問題的討論中需要我們對(duì)四邊形的判定和性質(zhì)有清晰認(rèn)識(shí)。答｜題｜技｜巧第一步：圓的性質(zhì)應(yīng)用，根據(jù)專題1的解題思路進(jìn)行求解；第二步：注意結(jié)合的四邊形的形狀，特殊平行四邊形的性質(zhì)與判定熟練應(yīng)用；第三步：四邊形的存在性問題注意假設(shè)、反推；第四步：數(shù)形結(jié)合進(jìn)行分析、解答例1．（2023·湖北）如圖，四邊形內(nèi)接于，點(diǎn)在的延長線上．若，則度．【答案】140【詳解】解：∵四邊形內(nèi)接于，，∴，又∵，∴，∴°．故答案為：140．例2．（2023·江西）課本改編（1）如圖1，四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，則度，度．（2）如果的內(nèi)接四邊形的對(duì)角線不是的直徑，如圖2，求證：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)．知識(shí)運(yùn)用（3）如圖3，等腰三角形的腰是的直徑，底邊和另一條腰分別與交于點(diǎn)D，E，F(xiàn)是線段的中點(diǎn)，連接，求證：是的切線．【答案】（1）90，180；（2）見解析；（3）見解析【詳解】（1）∵四邊形為的內(nèi)接四邊形，為的直徑，∴度，∵∴故答案為：90，180(2)證明：如圖，連接并延長，交于點(diǎn)E，連接由(1)可知，，，，，即圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)（3）證明:連接，如圖所示.，，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，是線段的中點(diǎn)，是的半徑，是的切線模型03情景與應(yīng)用題型考｜向｜預(yù)｜測圓結(jié)合的情景與應(yīng)用模型近年在中考數(shù)學(xué)和各地的模擬考中常以壓軸題的形式考查，學(xué)生不易得滿分。該題型主要以解答題的形式出現(xiàn)，一般較為靠后，有一定難度。該題型通常和我們的日常生活中所接觸的事物或者生活現(xiàn)象緊密結(jié)合，需要同學(xué)們有較強(qiáng)的閱讀和理解題意的能力，同時(shí)還要有一定的知識(shí)儲(chǔ)備。在解題時(shí)要根據(jù)題意把轉(zhuǎn)化為我們所學(xué)習(xí)的圓的相關(guān)知識(shí)應(yīng)用。答｜題｜技｜巧第一步：理解題意，聯(lián)系圓的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)；第二步：圓的相關(guān)證明與判定依據(jù)模型1的思路總結(jié)；第三步：利用四邊形、圓、直角三角形或相似的相關(guān)知識(shí)點(diǎn)解題；例1．（2022·河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動(dòng)會(huì)的比賽項(xiàng)目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對(duì)滾鐵環(huán)的啟動(dòng)階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時(shí)，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時(shí)，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會(huì)有較好的啟動(dòng)效果．(1)求證：∠BOC＋∠BAD＝90°．(2)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時(shí)，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動(dòng)．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時(shí)點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測得．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時(shí)AD的長．【答案】(1)見解析(2)50cm【詳解】（1）證明：⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，，，，AB與⊙O相切于點(diǎn)B，，，過點(diǎn)作，，，，即∠BOC＋∠BAD＝90°．（2）如圖，過點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，則四邊形是矩形，，，，在中，，，（cm)，在中，，cm，(cm)，(cm)，(cm)，cm，(cm)．例2．（2022·江蘇）（現(xiàn)有若干張相同的半圓形紙片，點(diǎn)是圓心，直徑的長是，是半圓弧上的一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)、不重合），連接、．(1)沿、剪下，則是______三角形（填“銳角”、“直角”或“鈍角”）；(2)分別取半圓弧上的點(diǎn)、和直徑上的點(diǎn)、．已知剪下的由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為的菱形．請(qǐng)用直尺和圓規(guī)在圖中作出一個(gè)符合條件的菱形（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；(3)經(jīng)過數(shù)次探索，小明猜想，對(duì)于半圓弧上的任意一點(diǎn)，一定存在線段上的點(diǎn)、線段上的點(diǎn)和直徑上的點(diǎn)、，使得由這四個(gè)點(diǎn)順次連接構(gòu)成的四邊形是一個(gè)邊長為的菱形．小明的猜想是否正確？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)直角(2)見詳解(3)小明的猜想正確，理由見詳解【詳解】（1）解：如圖，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°，∴∠ACB是直角，即△ABC是直角三角形，故答案為：直角；（2）解：以A為圓心，AO為半徑畫弧交⊙O于點(diǎn)E，再以E為圓心，EO為半徑畫弧交于⊙O點(diǎn)F連接EF、FO、EA，G、H點(diǎn)分別與A、O點(diǎn)重合，即可，作圖如下：由作圖可知AE=EF=FH=HG=OA=AB=6，即四邊形EFHG是邊長為6cm的菱形；（3）解：小明的猜想正確，理由如下：如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)A時(shí)，設(shè)，，∴,∴,∴,∴．分別以M，N為圓心，MN為半徑作弧交AB于點(diǎn)P，Q，作于點(diǎn)D，于點(diǎn)E，∴．∵,，，∴，在和中，，∴，∴，∴，又∵，∴四邊形MNQP是平行四邊形，又∵，∴四邊形MNQP是菱形；同理，如圖，當(dāng)點(diǎn)C靠近點(diǎn)B時(shí)，采樣相同方法可以得到四邊形MNQP是菱形，故小明的猜想正確．1．（2022·四川?。┤鐖D，為的直徑，弦，垂足為，，，則的半徑為（）A．3 B．4 C．5 D．無法確定【答案】C【詳解】連接OA，∵為的直徑，弦，∴AE=AB=3，設(shè)OA=OC=x，則OE=x-1，∴，解得：x=5，∴的半徑為5．故選C．2．（2023·廣東）如圖，為⊙O的直徑，，，則的長度為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：連接，是的直徑，，，，，，，又，，，，故選：．3．（2023·福建）的半徑為，弦．若，則和的距離為（）A． B． C．或 D．或【答案】C【詳解】當(dāng)弦AB和CD在圓心異側(cè)時(shí)，如圖1，過點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，反向延長OE交CD于點(diǎn)F，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OF⊥CD，∵AB=12cm，CD=16cm，∴AE=6cm，CF=8cm，∵OA=OC=10cm，∴在Rt△AOE中，由勾股定理可得；cm，在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，∴EF=OF+OE=8+6=14cm．當(dāng)弦AB和CD在圓心同側(cè)時(shí)，如圖2，過點(diǎn)O作OF⊥CD，垂足為F，交AB于點(diǎn)E，連接OA，OC，∵AB∥CD，∴OE⊥AB，∵AB=12cm，CD=16cm，∴AE=6cm，CF=8cm，∵OA=OC=5cm，在Rt△AOE中，由勾股定理可得：cm，在Rt△COF中，由勾股定理可得：cm，∴EF=OE﹣OF=8﹣6=2cm；故選C．4．（2023·北京）如圖，為的直徑，點(diǎn)在圓上，若，則的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，為的直徑，，．故選：C．5．（2023·浙江）如圖，在中，，以為直徑作圓，交于點(diǎn)D，延長交圓于點(diǎn)E，連接，交于點(diǎn)F．若，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：連接，∵為直徑，∴，即：，∵，∴點(diǎn)為的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，則：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴；故選B．6．（2023?陜西）如圖，是的外接圓，．過點(diǎn)作的垂線交于點(diǎn)，連接，則的度數(shù)為A． B． C． D．【答案】【詳解】解：連接，四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，，是邊的中點(diǎn)，，．故選：．7．（2023?上海）若一個(gè)正多邊形的每一個(gè)外角都等于，那么這個(gè)正多邊形的中心角為度．【答案】36【詳解】解：正多邊形的每一個(gè)外角都等于，正多邊形的邊數(shù)，這個(gè)正多邊形的中心角，故答案為：36．8．（2022?上海）如圖，是的外接圓，交于點(diǎn)，垂足為點(diǎn)，，的延長線交于點(diǎn)．如果，，那么的長是．【答案】10．【詳解】解：，，，，，，，，是的中位線，，在中，，，故答案為：10．9．（2023?長寧）如圖，的直徑與弦交于點(diǎn)，已知，，，那么的值為．【答案】．【詳解】解：作于，連接，，，，，，，，，，作于，為等腰直角三角形，，，，．故答案為：．10．（2023·湖南）如圖，四邊形內(nèi)接于，對(duì)角線交于點(diǎn)，連接．若的半徑為．(1)若，求證：平分；(2)試用含的式子表示的值；(3)記，，，的面積分別為，，，，當(dāng)時(shí)，求證：．【答案】(1)見解析；(2)；(3)證明見解析．【詳解】（1）解：連接、，由，得：，又∵，∴，即，∴，∵，

∴∴，即：平分．（2）解：如圖，作，，，連接、，得四邊形為矩形，，根據(jù)垂徑定理得則即：（3）由兩邊同時(shí)平方化簡得：∵（等高，面積之比等于底之比）∴∴∴，，即因?yàn)楹凸驳?，則它們的高相等，由平行線之間的距離處處相等，∴，∴，，∴．11．（2022·浙江）如圖1所示的圓弧形混凝上管片是構(gòu)成圓形隧道的重要部件．管片的橫截面（陰影部分）如圖2所示，是同心圓環(huán)的一部分，左右兩邊沿的延長線交于圓心，甲、乙、丙三個(gè)小組分別采用三種不同的方法，測算三片不同大小的混凝土管片的外圓弧半徑．

(1)如圖2，，的延長線交于圓心，若甲組測得，，，求的長．(2)如圖3，，的延長線交于圓心，若乙組測得，，，直接寫出的長．(3)如圖4，有一混凝土管片放置在水平地面上，底部用兩個(gè)完全相同的長方體木塊固定，管片與地面的接觸點(diǎn)L為的中點(diǎn)，若丙組測得，，求該管片的外圓弧半徑．【答案】(1)(2)(3)該管片的外圓弧半徑為【詳解】（1）解：∵∴∴∴設(shè)，則∴解得：，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解，即（2）解：∵，設(shè)，則∴解得：，經(jīng)經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解∴；（3）解：如圖所示，設(shè)圓心為，連接與交于點(diǎn)，則，

設(shè)外圓弧的半徑為，則，在中，勾股定理可得，即解得：∴該管片的外圓弧半徑為1．（2024·陜西西安·一模）如圖，點(diǎn)A，B在以為直徑的半圓上，B是的中點(diǎn)，連結(jié)交于點(diǎn)E，若，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：連接，

是直徑，，，，是的中點(diǎn)，．故選：D．2．（2024·安徽池州·一模）如圖，已知內(nèi)接于，為直徑，半徑，連接，．若，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵，，∴，，∵，∴，∴．∵，∴，故選：C．3．（2024·安徽·一模）如圖，四邊形內(nèi)接于，為的直徑，，連接，過點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)，過點(diǎn)作的切線交的延長線于點(diǎn)，則下列結(jié)論中不正確的是（

）A．B．C．D．若的半徑為5，，則【答案】B【詳解】，，，，，四邊形內(nèi)接于，，，故A選項(xiàng)正確；，，，為的直徑，，，是的切線，，，，，在和中，，故C選項(xiàng)正確；的半徑為5，，，，，，，，，所以，D選項(xiàng)正確，，，，無已知條件證明，但不一定等于，故選項(xiàng)B不成立，該選項(xiàng)符合題意；故選：B．4．在中，，點(diǎn)O是斜邊邊上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，為半徑作圓，恰好與邊相切于點(diǎn)D，連接，若，的半徑為4，則的長度為（）A． B．4 C．3 D．5【答案】A【詳解】解：∵恰好與邊相切于點(diǎn)D，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴，故選：A．5．如圖，半徑長，點(diǎn)A、B、C是三等分點(diǎn)，D為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)E，則（）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：如圖所示，連接，∵半徑長，∴，∵，∴，∴是直角三角形，且，∴，∵點(diǎn)A、B、C是三等分點(diǎn)，∴，∴，故選：A．

6．（2023·浙江金華·三模）如圖，已知直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，是以，為圓心，為半徑的圓上一動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)、．則面積的最小值是()A． B．6 C．8 D．【答案】A【詳解】解：過作于，連接，直線與軸、軸分別交于、兩點(diǎn)，令，則；令，則；點(diǎn)為，，點(diǎn)為，，；，，則由三角形面積公式得，，，，圓上點(diǎn)到直線的最小距離是，面積的最小值是；故選：A．7．（2024·河南漯河·一模）如圖圓的半徑是4，是弦，且A是弧的中點(diǎn)，則弦的長為（

）A． B． C．4 D．6【答案】C【詳解】解：連接，∵，∴，∵A是弧的中點(diǎn)，∴，∵，∴是等邊三角形，∴．故選：C．8．（2024·重慶·一模）如圖，是的直徑且，點(diǎn)在圓上且，的平分線交于點(diǎn)，連接并過點(diǎn)作，垂足為，則弦的長度為（

）A． B． C．4 D．【答案】C【詳解】解：是的直徑，，，，，平分，，，是等腰直角三角形，，，，，，，故選：C．9．如圖，半徑長，點(diǎn)、、是三等分點(diǎn)，點(diǎn)為圓上一點(diǎn)，連接，且，交于點(diǎn)，則=（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接，則，∵點(diǎn)、、是三等分點(diǎn)，∴，，∴，∵，∴，∴為等腰直角三角形，，，∵弧對(duì)應(yīng)和，∴∵，∴，，，，，，故選：A10．如圖，有圓O，內(nèi)部有四邊形，連接和，已知是的角平分線，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：四邊形是圓內(nèi)接四邊形，，，，平分，，，是等邊三角形，．故選：B．11．如圖，是的直徑，與⊙O相切于點(diǎn)，的延長線交直線于點(diǎn)，連接，．若，，則的長度是．【答案】1【詳解】解：連接，∵是的直徑，與⊙O相切于點(diǎn)，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，則，在中，，則，∴，在中，，∴，故答案為：1．12.（2023?寧波）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，E為AB邊上一點(diǎn)，以AE為直徑的半圓O與BC相切于點(diǎn)D，連結(jié)AD，BE＝3，BD＝3．P是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長為．【答案】6或2．【詳解】解：如圖1，連接OD，DE，∵半圓O與BC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，在Rt△OBD中，OB＝OE+BE＝OD+3，BD＝3．∴OB2＝BD2+OD2，∴（OD+3）2＝（3）2+OD2，解得OD＝6，∴AO＝EO＝OD＝6，①當(dāng)AP＝PD時(shí)，此時(shí)P與O重合，∴AP＝AO＝6；②如圖2，當(dāng)AP′＝AD時(shí)，在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，∴AC⊥BC，∴OD∥AC，∴△BOD∽△BAC，∴＝＝，∴＝＝，∴AC＝10，CD＝2，∴AD＝＝＝2，∴AP′＝AD＝2；③如圖3，當(dāng)DP′′＝AD時(shí)，∵AD＝2，∴DP′′＝AD＝2，∵OD＝OA，∴∠ODA＝∠BAD，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC，過點(diǎn)D作DH⊥AE于點(diǎn)H，∴AH＝P″H，DH＝DC＝2，∵AD＝AD，∴Rt△ADH≌Rt△ADC（HL），∴AH＝AC＝10，∴AH＝AC＝P″H＝10，∴AP″＝2AH＝20（P為AB邊上一點(diǎn)，不符合題意，舍去），綜上所述：當(dāng)△ADP為等腰三角形時(shí)，AP的長為6或2．故答案為：6或2．13．如圖，AB是O的直徑，AC是弦，且OD⊥AC于點(diǎn)E，OD交⊙O于點(diǎn)F，連接CF、BF，若∠BFC＝∠ODA．(1)求證：AD是⊙O的切線：(2)若AB＝10，AC＝8，求AD的長．【答案】(1)見解析(2)【詳解】（1）證明：∵∠BFC=∠ODA，∠BFC=∠BAC，∴∠D=∠BAC，∵OD⊥AC，∴∠AED=90°，∴∠DAO=∠BAC+∠DAC=∠D+∠DAC=90°，∵AD經(jīng)過⊙O的半徑OA的外端，且AD⊥OA∴AD是⊙O的切線；（2）解：∵OD⊥AC，AC=8，∴AE=CE=AC=×8=4，∵OA=OF=AB=5，∴