高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE2湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.已知，向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因?yàn)椋?，，解得：，所以，所?故選：B．3.下面關(guān)于函數(shù)敘述中正確的是（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的零點(diǎn)是〖答案〗B〖解析〗由，所以A錯(cuò)，B對(duì)；由，所以，又不是子集，故C錯(cuò)；由，故D錯(cuò).故選：B.4.在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，解得，又，所以，解得，注意到，從而，所以，所以.故選：B.6.函數(shù)的最大值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，根據(jù)輔助角公式，，由，于是，故，當(dāng)，取得最大值.故選：A.7.在中，若，且，則（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗由，得，，，，由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故選：D．8.設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因，，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在中，，則角的可能取值是（）A B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由正弦定理有，即，解得，注意到從而，所以角的可能取值是，.故選：BC.10.下面四個(gè)命題中的真命題為（）A.若復(fù)數(shù)滿足，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.已知，若，則D.已知，若，則〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由于，而是實(shí)數(shù)的倒數(shù)，所以，故A正確；對(duì)于B，若，，則有，則，故B正確；對(duì)于C，取，顯然滿足，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，顯然有，但不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，而由C選項(xiàng)分析可知，，由A選項(xiàng)分析可知，且注意到，所以在上投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量滿足，則______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：1.13.已知為銳角，，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗由題意，所以在單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，其中，解得，從而等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，又，所以只能或，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）已知，求的值.解：（1）依題意得，.（2）依題意得，，得到，于是.16.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且選擇條件______.（1）求角；（2）若為的平分線，且與交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）若選①，，則，又因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解得；若選②，，則，由正弦定理可得，故，又，故；若選擇③，；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，，綜上所述，無論選①②③任何一個(gè)，都有.（2），，，因?yàn)椋?，又平分，所以，所以，則，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（負(fù)值舍去），故的周長(zhǎng)為.17.如圖所示，在中，是邊的中點(diǎn)，在邊上，與交于點(diǎn)．（1）以為基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．解：（1）．（2）連接，則，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，解得．（3）設(shè)，，則，，所以，解得，所以，，又因?yàn)?，所以，即，所以?8.某大型商場(chǎng)為迎接新年的到來，在自動(dòng)扶梯（米）的點(diǎn)的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌.如圖所示，廣告牌底部點(diǎn)正好為的中點(diǎn)，電梯的坡度.某人在扶梯上點(diǎn)處（異于點(diǎn)）觀察廣告牌的視角，當(dāng)人在點(diǎn)時(shí)，觀測(cè)到視角的正切值為.（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，用表示；（2）求扶梯的長(zhǎng)；（3）當(dāng)某人在扶梯上觀察廣告牌的視角最大時(shí)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)樵谥苯侨切沃校?，，，所以，因?yàn)椋c(diǎn)是的中點(diǎn)，從而，所以.（2）由（1）有，其中，而在直角三角形中，，又因?yàn)?，，所以，即，解得或，注意到，所以，（否則時(shí)，有，矛盾），所以扶梯的長(zhǎng)度為10米.（3）作于點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則，，由（2）可知，，，當(dāng)取最大值時(shí)，即取最大值，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以此時(shí).19.我們把（其中）稱為一元次多項(xiàng)式方程.代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程（即為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.即，其中，為方程的根.進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即為實(shí)數(shù)），方程有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因式.例如：觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，由待定系數(shù)法可知，.（1）在復(fù)數(shù)集內(nèi)解方程：；（2）設(shè)，其中，且.（i）分解因式：；（ii）記點(diǎn)是的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn).求證：當(dāng)時(shí)，.解：（1）觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，即有，解得，即，令，則，即該方程的根為：、.（2）（i）觀察可知，是方程的一個(gè)根，則一定是多項(xiàng)式的一個(gè)因式，即，則有，即，即.（ii）令，即，即，設(shè)，由，有，故函數(shù)必有兩個(gè)不同零點(diǎn)，設(shè)，且，則，故，又，故，則方程的根有、、，且，故的圖象與直線在第一象限內(nèi)離原點(diǎn)最近的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，即.湖北省武漢市部分重點(diǎn)中學(xué)2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題所給的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.）1.已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.2 B. C. D.〖答案〗C〖解析〗復(fù)數(shù)的虛部為.故選：C.2.已知，向量，且，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗由，可得，因?yàn)?，所以，，解得：，所以，所?故選：B．3.下面關(guān)于函數(shù)敘述中正確的是（）A.關(guān)于直線對(duì)稱 B.關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.在區(qū)間上單調(diào)遞減 D.函數(shù)的零點(diǎn)是〖答案〗B〖解析〗由，所以A錯(cuò)，B對(duì)；由，所以，又不是子集，故C錯(cuò)；由，故D錯(cuò).故選：B.4.在中，角的對(duì)邊分別為，若，，則等于（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，所以，所以，即，解得，由余弦定理有，而，所以.故選：C.5.函數(shù)的部分圖象如圖，則（）A. B. C.1 D.〖答案〗B〖解析〗由圖可知，解得，又，所以，解得，注意到，從而，所以，所以.故選：B.6.函數(shù)的最大值為（）A. B.2 C. D.〖答案〗A〖解析〗設(shè)，根據(jù)輔助角公式，，由，于是，故，當(dāng)，取得最大值.故選：A.7.在中，若，且，則（）A. B. C.3 D.2〖答案〗D〖解析〗由，得，，，，由題，由正弦定理有，故，即，故，即，由正弦定理有，故．故選：D．8.設(shè)是的外心，點(diǎn)為的中點(diǎn)，滿足，若，則面積的最大值為（）A.2 B.4 C. D.8〖答案〗B〖解析〗因，，所以，從而，即，所以，所以，所以的面積為，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，綜上所述，面積的最大值為4.故選：B.二、多項(xiàng)選擇題（本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.）9.在中，，則角的可能取值是（）A B. C. D.〖答案〗BC〖解析〗由正弦定理有，即，解得，注意到從而，所以角的可能取值是，.故選：BC.10.下面四個(gè)命題中的真命題為（）A.若復(fù)數(shù)滿足，則B.若復(fù)數(shù)滿足，則C.已知，若，則D.已知，若，則〖答案〗AB〖解析〗對(duì)于A，由于，而是實(shí)數(shù)的倒數(shù)，所以，故A正確；對(duì)于B，若，，則有，則，故B正確；對(duì)于C，取，顯然滿足，但不成立，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，顯然有，但不成立，故D錯(cuò)誤.故選：AB.11.如圖所示，設(shè)是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，分別是與軸正方向同向的單位向量，則稱平面坐標(biāo)系為斜坐標(biāo)系，若，則把有序數(shù)對(duì)叫做向量的斜坐標(biāo)，記為.在的斜坐標(biāo)系中，，則下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是（）A. B.C. D.在上的投影向量為〖答案〗ACD〖解析〗對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，故B正確；對(duì)于C，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，在上的投影向量為，而由C選項(xiàng)分析可知，，由A選項(xiàng)分析可知，且注意到，所以在上投影向量為，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.三、填空題（本大題共3小題，每小題5分，共15分.）12.已知向量滿足，則______.〖答案〗1〖解析〗因?yàn)?，所以，解?故〖答案〗為：1.13.已知為銳角，，則________.〖答案〗〖解析〗因?yàn)闉殇J角，所以，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所?故〖答案〗為：.14.已知函數(shù)其中．若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則取值范圍是___________．〖答案〗〖解析〗由題意，所以在單調(diào)遞增，若在區(qū)間上單調(diào)遞增，則在上單調(diào)遞增，所以，其中，解得，從而等號(hào)不能同時(shí)成立，解得，又，所以只能或，即的取值范圍是.故〖答案〗為：.四、解答題（本大題共6小題，共77分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.）15.已知.（1）化簡(jiǎn)；（2）已知，求的值.解：（1）依題意得，.（2）依題意得，，得到，于是.16.在①，②，③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，并作答.問題：在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知，且選擇條件______.（1）求角；（2）若為的平分線，且與交于點(diǎn)，求的周長(zhǎng).解：（1）若選①，，則，又因?yàn)?，所以，即，所以，又因?yàn)?，所以，所以，解得；若選②，，則，由正弦定理可得，故，又，故；若選擇③，；由正弦定理可得，再由余弦定理得，即，，，綜上所述，無論選①②③任何一個(gè)，都有.（2），，，因?yàn)?，所以，又平分，所以，所以，則，即，由余弦定理得，即，所以，解得或（負(fù)值舍去），故的周長(zhǎng)為.17.如圖所示，在中，是邊的中點(diǎn)，在邊上，與交于點(diǎn)．（1）以為基底表示；（2）若，求的值；（3）若，求的值．解：（1）．（2）連接，則，因?yàn)?，，所以，，因?yàn)槿c(diǎn)共線，三點(diǎn)共線，所以，解得．（3）設(shè)，，則，，所以，解得，所以，，又因?yàn)?，所以，即，所以?8.某大型商場(chǎng)為迎接新年的到來，在自動(dòng)扶梯（米）的點(diǎn)的上方懸掛豎直高度為5米的廣告牌.如圖所示，廣告牌底部點(diǎn)正好為的中點(diǎn)，電梯的坡度.某人在扶梯上點(diǎn)處（異于點(diǎn)）觀察廣告牌的視角，當(dāng)人在點(diǎn)時(shí)，觀測(cè)到視角的正切值為.（1）設(shè)的長(zhǎng)為米，用表示；（2）求扶梯的長(zhǎng)；（3）當(dāng)某人在扶梯上觀察廣告牌的視角最大時(shí)，求的長(zhǎng).解：（1）因?yàn)樵谥苯侨切沃?，，，，所以，因?yàn)?，點(diǎn)是的中點(diǎn)，從而，所以.（2）由（1）有，其中，而在直角三角形中，，又因?yàn)?，，所以，即，解得或，注意到，所以，（否則時(shí)，有，矛盾），所以扶梯的長(zhǎng)度為10米.（3）作于點(diǎn)，如圖所示，設(shè)，則，，由（2）可知，，，當(dāng)取最大值時(shí)，即取最大值，，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，所以此時(shí).19.我們把（其中）稱為一元次多項(xiàng)式方程.代數(shù)基本定理：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程（即為實(shí)數(shù)）在復(fù)數(shù)集內(nèi)至少有一個(gè)復(fù)數(shù)根；由此推得，任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式方程在復(fù)數(shù)集內(nèi)有且僅有個(gè)復(fù)數(shù)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）.那么我們由代數(shù)基本定理可知：任何一元次復(fù)系數(shù)多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)集內(nèi)一定可以分解因式，轉(zhuǎn)化為個(gè)一元一次多項(xiàng)式的積.即，其中，為方程的根.進(jìn)一步可以推出：在實(shí)系數(shù)范圍內(nèi)（即為實(shí)數(shù)），方程有實(shí)數(shù)根，則多項(xiàng)式必可分解因