第第頁(yè)§2.1直線的傾斜角與斜率2．1.1傾斜角與斜率學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解直線的斜率和傾斜角的概念.2.理解直線傾斜角的唯一性及直線斜率的存在性.3.了解斜率公式的推導(dǎo)過程，會(huì)應(yīng)用斜率公式求直線的斜率．知識(shí)點(diǎn)一直線的傾斜角1．傾斜角的定義(1)當(dāng)直線l與x軸相交時(shí)，我們以x軸為基準(zhǔn)，x軸正向與直線l向上的方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角．(2)當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0°.2．直線的傾斜角α的取值范圍為0°≤α<180°.知識(shí)點(diǎn)二直線的斜率1．直線的斜率把一條直線的傾斜角α的正切值叫做這條直線的斜率，斜率常用小寫字母k表示，即k＝tanα.2．斜率與傾斜角的對(duì)應(yīng)關(guān)系圖示傾斜角(范圍)α＝0°0°<α<90°α＝90°90°<α<180°斜率(范圍)k＝0k>0不存在k<03．過兩點(diǎn)的直線的斜率公式過兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1≠x2)的直線的斜率公式為k＝eq\f(y2－y1,x2－x1).思考任何一條直線都有傾斜角嗎？不同的直線其傾斜角一定不相同嗎？答案由傾斜角的定義可以知道，任何一條直線都有傾斜角；不同的直線其傾斜角有可能相同，如平行的直線其傾斜角是相同的．1．任一直線都有傾斜角，都存在斜率．(×)2．任何一條直線有且只有一個(gè)斜率和它對(duì)應(yīng)．(×)3．若直線的傾斜角為α，則0°≤α≤180°.(×)4．經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率公式適用于任何直線．(×)一、直線的傾斜角例1(1)已知直線l經(jīng)過第二、四象限，則直線l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α<90° B．90°≤α<180°C．90°<α<180° D．0°<α<180°(2)(多選)設(shè)直線l過坐標(biāo)原點(diǎn)，它的傾斜角為α，如果將l繞坐標(biāo)原點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)45°，得到直線l1，那么l1的傾斜角可能為()A．α＋45°B．α－135°C．135°－αD．α－45°反思感悟直線傾斜角的概念和范圍(1)求直線的傾斜角主要根據(jù)定義來求，其關(guān)鍵是根據(jù)題意畫出圖形，找準(zhǔn)傾斜角，有時(shí)要根據(jù)情況分類討論．(2)注意傾斜角的范圍．跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l向上方向與y軸正向所成的角為30°，則直線l的傾斜角為________．(2)已知直線l1的傾斜角α1＝15°，直線l1與l2的交點(diǎn)為A，直線l1和l2向上的方向所成的角為120°，如圖，則直線l2的傾斜角為________．二、直線的斜率例2經(jīng)過下列兩點(diǎn)的直線的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并確定直線的傾斜角α.(1)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(2,3)，B(4,5)的直線的斜率，并確定直線的傾斜角α；(2)求經(jīng)過兩點(diǎn)A(a，2)，B(3,6)的直線的斜率．反思感悟求直線的斜率(1)運(yùn)用公式的前提條件是“x1≠x2”，當(dāng)直線與x軸垂直時(shí)，斜率是不存在的．(2)斜率公式與兩點(diǎn)P1，P2的先后順序無關(guān)．跟蹤訓(xùn)練2(1)若直線的傾斜角為135°，則直線的斜率為________．(2)過點(diǎn)P(－2，m)，Q(m，4)的直線的斜率為1，則m的值為________．三、傾斜角和斜率的應(yīng)用例3已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(1,0)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)．(1)求直線l的斜率k的取值范圍；(2)求直線l的傾斜角α的取值范圍．反思感悟傾斜角和斜率的應(yīng)用(1)傾斜角和斜率都可以表示直線的傾斜程度，二者相互聯(lián)系．(2)涉及直線與線段有交點(diǎn)問題常數(shù)形結(jié)合利用公式求解．跟蹤訓(xùn)練3已知A(3,3)，B(－4,2)，C(0，－2)．(1)求直線AB和AC的斜率；(2)若點(diǎn)D在線段BC(包括端點(diǎn))上移動(dòng)時(shí)，求直線AD的斜率的變化范圍．1．(多選)下列說法正確的是()A．若α是直線l的傾斜角，則0°≤α<180°B．若k是直線的斜率，則k∈RC．任一條直線都有傾斜角，但不一定有斜率D．任一條直線都有斜率，但不一定有傾斜角2．下面選項(xiàng)中，兩點(diǎn)確定的直線的斜率不存在的是()A．(4,2)與(－4,1) B．(0,3)與(3,0)C．(3，－1)與(2，－1) D．(－2,2)與(－2,5)3．若經(jīng)過A(m，3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角為45°，則m等于()A．2B．1C．－1D．－24.若A(2,3)，B(3,2)，C(eq\f(1,2)，m)三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)m的值為________．5．經(jīng)過A(m，3)，B(1,2)兩點(diǎn)的直線的傾斜角α的取值范圍是________．(其中m≥1)1．知識(shí)清單：(1)直線的傾斜角及其范圍．(2)直線斜率的定義和斜率公式．2．方法歸納：數(shù)形結(jié)合思想．3．常見誤區(qū)：忽視傾斜角范圍，圖形理解不清．1．若直線過坐標(biāo)平面內(nèi)兩點(diǎn)(4,2)，(1,2＋eq\r(3))，則此直線的傾斜角是()A．30°B．150°C．60°D．120°2．已知經(jīng)過點(diǎn)P(3，m)和點(diǎn)Q(m，－2)的直線的斜率為2，則m的值為()A．－1B．1C．2D.eq\f(4,3)3．(多選)下列說法中，錯(cuò)誤的是()A．任何一條直線都有唯一的斜率B．直線的傾斜角越大，它的斜率就越大C．任何一條直線都有唯一的傾斜角D．若兩直線的傾斜角相等，則它們的斜率也一定相等4．若某直線的斜率k∈(－∞，eq\r(3)]，則該直線的傾斜角α的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))B.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))D.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，π))5．直線l過原點(diǎn)(0,0)，且不過第三象限，那么l的傾斜角α的取值范圍是()A．0°≤α≤90°B．90°≤α<180°C．90°≤α<180°或α＝0°D．90°≤α≤135°6．已知三點(diǎn)A(a，2)，B(3,7)，C(－2，－9a)在同一條直線上，實(shí)數(shù)a的值為________．7.如圖，已知直線l1的傾斜角是150°，l2⊥l1，垂足為B.l1，l2與x軸分別相交于點(diǎn)C，A，l3平分∠BAC，則l3的傾斜角為________．8．已知點(diǎn)A(2，－1)，若在坐標(biāo)軸上存在一點(diǎn)P，使直線PA的傾斜角為45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．9．過兩點(diǎn)A(3－m－m2，－2m)，B(m2＋2,3－m2)的直線的傾斜角為135°，求m的值．10．若A(2,2)，B(a，0)，C(0，b)(ab≠0)三點(diǎn)共線，求證：eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(1,2).11．已知直線l過點(diǎn)A(1,2)，且不過第四象限，則直線l的斜率k的最大值是()A．2 B．1C.eq\f(1,2) D．012．若三點(diǎn)A(3,1)，B(－2，k)，C(8,1)能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為________．13．若圖中直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則k1，k2，k3的大小關(guān)系是________．14．已知O(O為坐標(biāo)原點(diǎn))是等腰直角三角形OAB的直角頂點(diǎn)，點(diǎn)A在第一象限，∠AOy＝15°，則斜邊AB所在直線的斜率為________．15．已知兩點(diǎn)A(－3,4)，B(3,2)，過點(diǎn)P(2，－1)的直線l與線段AB有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍是________．16．點(diǎn)M(x，y)在函數(shù)y＝－2x＋8的圖象上，當(dāng)x∈[2,5]時(shí)，求eq\f(y＋1,x＋1)的取值范圍．2．1.2兩條直線平行和垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解并掌握兩條直線平行的條件及兩條直線垂直的條件.2.會(huì)運(yùn)用條件判定兩直線是否平行或垂直3.運(yùn)用兩直線平行和垂直時(shí)的斜率關(guān)系解決相應(yīng)的幾何問題．知識(shí)點(diǎn)一兩條直線(不重合)平行的判定類型斜率存在斜率不存在前提條件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°對(duì)應(yīng)關(guān)系l1∥l2?k1＝k2l1∥l2?兩直線的斜率都不存在圖示知識(shí)點(diǎn)二兩條直線垂直的判定圖示對(duì)應(yīng)關(guān)系l1⊥l2(兩直線的斜率都存在)?k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率為0?l1⊥l2思考兩直線的斜率相等是兩直線平行的充要條件嗎？答案不是，垂直于x軸的兩條直線，雖然平行，但斜率不存在．1．若l1∥l2，則k1＝k2.(×)2．若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．(×)3．若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．(√)一、兩條直線平行的判定例1已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,0)，B(2，－1)，C(4,2)，D(2,3)，試判斷四邊形ABCD是否為平行四邊形，并給出證明．反思感悟判斷兩條不重合的直線是否平行的方法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知l1經(jīng)過點(diǎn)A(－3,2)，B(－3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(5，－2)，N(5,5)，判斷直線l1與l2是否平行．(2)試確定m的值，使過點(diǎn)A(m＋1,0)，B(－5，m)的直線與過點(diǎn)C(－4,3)，D(0,5)的直線平行．二、兩條直線垂直的判定例2已知△ABC的頂點(diǎn)為A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC為直角三角形，求m的值．反思感悟判斷兩條直線是否垂直在這兩條直線都有斜率的前提下，只需看它們的斜率之積是否等于－1即可，但應(yīng)注意有一條直線與x軸垂直，另一條直線與x軸平行或重合時(shí)，這兩條直線也垂直．跟蹤訓(xùn)練2判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．(1)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點(diǎn)A(10,2)，B(20,3)；(2)l1經(jīng)過點(diǎn)A(3,4)，B(3,10)，l2經(jīng)過點(diǎn)M(－10,40)，N(10,40)．垂直與平行的綜合應(yīng)用典例已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點(diǎn)，若順次連接A，B，C，D四點(diǎn)，試判定圖形ABCD的形狀．[素養(yǎng)提升]用代數(shù)運(yùn)算解決幾何圖形問題(1)利用直線的斜率判定平面圖形的形狀一般要運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，先由圖形作出猜測(cè)，然后利用直線的斜率關(guān)系進(jìn)行判定．(2)明確運(yùn)算對(duì)象，探究運(yùn)算思路，是對(duì)邏輯推理與數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)的考查．1．若過點(diǎn)P(3,2m)和點(diǎn)Q(－m，2)的直線與過點(diǎn)M(2，－1)和點(diǎn)N(－3,4)的直線平行，則m的值是()A.eq\f(1,3)B．－eq\f(1,3)C．2D．－22．已知直線l1的斜率為a，l2⊥l1，則l2的斜率為()A.eq\f(1,a)B．－eq\f(1,a)C．a(chǎn)D．－eq\f(1,a)或不存在3．已知兩條直線l1，l2的斜率是方程3x2＋mx－3＝0(m∈R)的兩個(gè)根，則l1與l2的位置關(guān)系是()A．平行 B．垂直C．可能重合 D．無法確定4．(多選)若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是α1，α2，斜率分別為k1，k2，則下列命題正確的是()A．若l1∥l2，則斜率k1＝k2B．若k1＝k2，則l1∥l2C．若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2D．若α1＝α2，則l1∥l25．若不同兩點(diǎn)P，Q的坐標(biāo)分別為(a，b)，(3－b，3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．1．知識(shí)清單：兩直線平行或垂直的條件．2．方法歸納：分類討論，數(shù)形結(jié)合．3．常見誤區(qū)：研究?jī)芍本€平行、垂直關(guān)系時(shí)忽略直線斜率為0或斜率不存在的情況．1．過點(diǎn)A(2,5)和點(diǎn)B(－4,5)的直線與直線y＝3的位置關(guān)系是()A．相交B．平行C．重合D．以上都不對(duì)2．已知過A(－2，m)和B(m，4)的直線與斜率為－2的直線平行，則m的值是()A．－8B．0C．2D．103．直線l1的斜率為2，l1∥l2，直線l2過點(diǎn)(－1,1)且與y軸交于點(diǎn)P，則P點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3,0) B．(－3,0)C．(0，－3) D．(0,3)4．若直線l經(jīng)過點(diǎn)(a－2，－1)和(－a－2,1)，且與斜率為－eq\f(2,3)的直線垂直，則實(shí)數(shù)a的值為()A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(3,2)C.eq\f(2,3)D.eq\f(3,2)5．(多選)設(shè)點(diǎn)P(－4,2)，Q(6，－4)，R(12,6)，S(2,12)，下面四個(gè)結(jié)論正確的是()A．PQ∥SR B．PQ⊥PSC．PS∥QS D．PR⊥QS6．若經(jīng)過點(diǎn)(m，3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．7．直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－4k＋m＝0的兩根，若l1⊥l2，則m＝________，若l1∥l2，則m＝________.8．已知點(diǎn)A(－3，－2)，B(6,1)，點(diǎn)P在y軸上，且∠BAP＝90°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)是________．9．當(dāng)m為何值時(shí)，過兩點(diǎn)A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直線：(1)傾斜角為135°；(2)與過兩點(diǎn)(3,2)，(0，－7)的直線垂直；(3)與過兩點(diǎn)(2，－3)，(－4,9)的直線平行．10．已知?ABCD中，A(1,2)，B(5,0)，C(3,4)．(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)；(2)試判定?ABCD是否為菱形？11．(多選)已知點(diǎn)A(m，