第三章中值定理應(yīng)用研究函數(shù)性質(zhì)及曲線性態(tài)利用導(dǎo)數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題羅爾中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三節(jié))推廣中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束一、羅爾(Rolle)定理第一節(jié)二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章機(jī)動(dòng)

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）定理滿足:(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)(3)

f(a)=f(b)使證:故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=

m,則因此則在(a,b)內(nèi)至少存在一點(diǎn)設(shè)機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束若M>

m,則M和m

中至少有一個(gè)與端點(diǎn)值不等,不妨設(shè)則至少存在一點(diǎn)使注意:1)定理?xiàng)l件不全具備時(shí),結(jié)論不一定成立.例如,機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束2)定理?xiàng)l件只是充分性條件.abξ1ξ2ξ3xyo機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例1.證明方程有且僅有一個(gè)小于1的正實(shí)根.證:1)存在性.則在[0,1]連續(xù),且由零點(diǎn)定理知存在使即方程有小于1的正根2)唯一性.假設(shè)另有為端點(diǎn)的區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件,至少存在一點(diǎn)但矛盾,故假設(shè)不真!設(shè)機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束二、拉格朗日中值定理(1)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)設(shè)滿足:(2)在區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)則至少存在一點(diǎn)使作輔助函數(shù)證:問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束幾何意義作輔助函數(shù)顯然,在[a,b]上連續(xù),在(a,b)內(nèi)可導(dǎo),且證:由羅爾定理知至少存在一點(diǎn)即定理結(jié)論成立證畢機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束拉格朗日定理的常用形式稱為拉格朗日定理的有限增量形式推論:若函數(shù)在區(qū)間I

上滿足則在

I上必為常數(shù).證:

在

I

上任取兩點(diǎn)日中值公式,得由的任意性知,在

I

上為常數(shù).令則機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例2.函數(shù)解:

在區(qū)間[1,2]上滿足拉格朗日定理?xiàng)l件,求中值機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例3.證明等式證:

設(shè)由推論可知

(常數(shù))令,得故所證等式在定義域上成立.經(jīng)驗(yàn):欲證時(shí)只需證在

I

上機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束例4.證明不等式證:

設(shè)中值定理?xiàng)l件,即因?yàn)楣室虼藨?yīng)有機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束三、柯西(Cauchy)中值定理設(shè)及(1)在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)(2)在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)，且則至少存在一點(diǎn)使?jié)M足:機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柯西定理的幾何意義:注意:弦的斜率切線斜率機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)微分中值定理的條件、結(jié)論及關(guān)系羅爾定理拉格朗日定理柯西定理機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束作業(yè)P872，3（2）,4第二節(jié)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束拉格朗日(1736–1813)法國(guó)數(shù)學(xué)家.他在方程論,解析函數(shù)論,及數(shù)論方面都作出了重要的貢獻(xiàn),近百余年來(lái),數(shù)學(xué)中的許多成就都直接或間接地溯源于他的工作,他是對(duì)分析數(shù)學(xué)產(chǎn)生全面影響的數(shù)學(xué)家之一.機(jī)動(dòng)

目錄上頁(yè)下頁(yè)返回結(jié)束柯西(1789–1857)法國(guó)數(shù)學(xué)家,他對(duì)數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)主要集中在微積分學(xué),《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是為巴黎綜合學(xué)校編寫(xiě)的《分析教程》,《無(wú)窮小分析概論》,《微積分在幾何上的應(yīng)用》等,有思想有創(chuàng)建,響廣泛而深遠(yuǎn).對(duì)數(shù)學(xué)的影