高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE3湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期四月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，所以.故選：B.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗如圖所示對(duì)于A，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯(cuò)；對(duì)于C，過(guò)作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面為平面,為，為，則，則，故D錯(cuò).故選：C.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.－50 B.－10 C.10 D.50〖答案〗A〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A5.記，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，冪函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，又對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D.6.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等比數(shù)列，則，即，解得或.設(shè)等比數(shù)列公比為，則，，則，得.故選：B7.點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗分別取，中點(diǎn)Q，R，連接，，則由題，，即，所以，作圖如下，由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大，所以，所以的最大值為3.故選：C8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，其左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)且與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若直線與直線的交點(diǎn)在軸上，則雙曲線的離心率為（）A2 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可得：，，，，，，所以，直線的方程為：，令，解得：，所以直線與軸交點(diǎn)為，由于，則直線的方程為：，令，解得：，所以直線與軸交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)在軸上，所以，解得：，所以雙曲線的離心率，故選：B二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是偶函數(shù)C.的最大值是 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗BD〖解析〗由，對(duì)于A，，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由，最大值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故D正確.故選：BD.10.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A.圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B.圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C.圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D.圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ACD.11.定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和,若，，且，則下列說(shuō)法中一定正確的是（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：由，故為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，與條件不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，則，又，即，即，又定義在上，故為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)C：由，則，即，又，則，，故，又，則，即，則，故函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，則函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故C正確；對(duì)D：由，即，又函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故是周期函數(shù)的周期函數(shù)，由，令，則，即，令，則，即，由，，則，則關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，又為奇函數(shù)，即關(guān)于中心對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，則，則，故D正確.故選：BCD.三?填空題12.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由橢圓定義可得，則有，即，，又，由，故，故.故〖答案〗為：.13.已知圓臺(tái)的體積為，其上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為4，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，設(shè)圓臺(tái)的高為h，則該圓臺(tái)的體積為，則，作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，上底面圓心為，下底面圓心為，，，過(guò)作，則，又，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．故〖答案〗為：.14.設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗，令，所以，要想有最小值，顯然為鈍角，即，于是有，設(shè)，因?yàn)?，所以令，即，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以的最小值為，此時(shí)，，即存在，顯然存在，使得，即的最小值為，故〖答案〗為：.四?解答題15.已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積，且，求的周長(zhǎng).解：（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.聯(lián)立得：..所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）時(shí)，，，所求切線方程為，整理得：；（2），因?yàn)?，故時(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，令，得，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；綜上所述：時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，，，，，由余弦定理可得滿足，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫?，且交線為，由，平面，得平面.由平面，得，因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.設(shè)，，有，解得：，即.所以，滿足，即.又因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.（1）證明：點(diǎn)在定直線上；（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).（1）證明：由，得，設(shè).所以方程為：，整理得：.同理可得，方程為：.聯(lián)立方程，解得.因?yàn)辄c(diǎn)在拋物線內(nèi)部，可知直線的斜率存在，且與拋物線必相交，設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，故，所以，可知.所以點(diǎn)在定直線上..（2）解：在的方程中，令，得，所以面積.故，代入可得：.整理得，解得：或.所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.（3）解：拋物線焦點(diǎn)，由得直線斜率，可知，同理，所以是外接圓的直徑.若點(diǎn)也在該圓上，則.由，得直線的方程為：.又點(diǎn)在定直線上，聯(lián)立兩直線方程，解得，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為.19.已知常數(shù)，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記為首次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)，的取值為所有正整數(shù)，此時(shí)稱離散型隨機(jī)變量的概率分布為幾何分布.（1）對(duì)于正整數(shù),求,并根據(jù)，求；（2）對(duì)于幾何分布的拓展問(wèn)題，在成功的概率為的伯努利試驗(yàn)中，記首次出現(xiàn)連續(xù)兩次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，現(xiàn)提供一種求的方式：先進(jìn)行第一次試驗(yàn)，若第一次試驗(yàn)失敗，因?yàn)槌霈F(xiàn)試驗(yàn)失敗對(duì)出現(xiàn)連續(xù)兩次成功毫無(wú)幫助，可以認(rèn)為后續(xù)期望仍是，即總的試驗(yàn)次數(shù)為；若第一次試驗(yàn)成功，則進(jìn)行第二次試驗(yàn)，當(dāng)?shù)诙卧囼?yàn)成功時(shí)，試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為2，若第二次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.（i）求；（ii）記首次出現(xiàn)連續(xù)次成功時(shí)所需的試驗(yàn)次數(shù)的期望為，求.解：（1）由題可知，記，則，相減得：；由題意：（2）（i）.解得：.（ii）期待在次試驗(yàn)后，首次出現(xiàn)連續(xù)次成功，若下一次試驗(yàn)成功，則試驗(yàn)停止，此時(shí)試驗(yàn)次數(shù)為；若下一次試驗(yàn)失敗，相當(dāng)于重新試驗(yàn)，后續(xù)期望仍是，此時(shí)總的試驗(yàn)次數(shù)為.即.整理得：，即，是公比為的等比數(shù)列，所以.由（1）知，代入得：.湖北省武漢市2024屆高三下學(xué)期四月調(diào)考數(shù)學(xué)試卷一?選擇題1.復(fù)數(shù)，則（）A.1 B. C. D.〖答案〗D〖解析〗，則.故選：D.2.已知集合，則（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，，所以.故選：B.3.設(shè)是兩條不同的直線，是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是（）A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則〖答案〗C〖解析〗如圖所示對(duì)于A，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故A錯(cuò)；對(duì)于B，設(shè)平面為平面,平面為平面,為，則，則，故B錯(cuò)；對(duì)于C，過(guò)作平面與平面交于直線，，則，，可得，則，故C正確；對(duì)于D，設(shè)平面為平面,為，為，則，則，故D錯(cuò).故選：C.4.的展開(kāi)式中的系數(shù)為（）A.－50 B.－10 C.10 D.50〖答案〗A〖解析〗展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，，故展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A5.記，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因?yàn)?，冪函?shù)在上單調(diào)遞增，又，所以，所以，又對(duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，故.故選：D.6.記等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗B〖解析〗因?yàn)閿?shù)列為等比數(shù)列，且等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，所以成等比數(shù)列，則，即，解得或.設(shè)等比數(shù)列公比為，則，，則，得.故選：B7.點(diǎn)是邊長(zhǎng)為1的正六邊形邊上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為（）A.2 B. C.3 D.〖答案〗C〖解析〗分別取，中點(diǎn)Q，R，連接，，則由題，，即，所以，作圖如下，由圖可知當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到D或E時(shí)PQ最大，所以，所以的最大值為3.故選：C8.已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，其左右頂點(diǎn)分別為，過(guò)且與軸垂直的直線交雙曲線于兩點(diǎn)，設(shè)線段的中點(diǎn)為，若直線與直線的交點(diǎn)在軸上，則雙曲線的離心率為（）A2 B.3 C. D.〖答案〗B〖解析〗由題可得：，，，，，，所以，直線的方程為：，令，解得：，所以直線與軸交點(diǎn)為，由于，則直線的方程為：，令，解得：，所以直線與軸交點(diǎn)為，因?yàn)橹本€與直線的交點(diǎn)在軸上，所以，解得：，所以雙曲線的離心率，故選：B二?多選題9.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)是奇函數(shù) B.函數(shù)是偶函數(shù)C.的最大值是 D.在區(qū)間上單調(diào)遞減〖答案〗BD〖解析〗由，對(duì)于A，，因?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，是偶函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，由，最大值為1，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，則，由正弦函數(shù)的單調(diào)性知，函數(shù)在上單調(diào)遞減.故D正確.故選：BD.10.如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對(duì)稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（）A.圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B.圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C.圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D.圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)〖答案〗ACD〖解析〗圖（1）的分布直方圖是對(duì)稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯(cuò)誤，C正確；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ACD.11.定義在上的函數(shù)與的導(dǎo)函數(shù)分別為和,若，，且，則下列說(shuō)法中一定正確的是（）A.為偶函數(shù) B.為奇函數(shù)C.函數(shù)是周期函數(shù) D.〖答案〗BCD〖解析〗對(duì)A：由，故為奇函數(shù)，若為偶函數(shù)，則，與條件不符，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由，則，又，即，即，又定義在上，故為奇函數(shù)，故B正確；對(duì)C：由，則，即，又，則，，故，又，則，即，則，故函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，則函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故C正確；對(duì)D：由，即，又函數(shù)是周期函數(shù)的周期函數(shù)，故是周期函數(shù)的周期函數(shù)，由，令，則，即，令，則，即，由，，則，則關(guān)于對(duì)稱，則關(guān)于對(duì)稱，又為奇函數(shù)，即關(guān)于中心對(duì)稱，故關(guān)于對(duì)稱，則，則，故D正確.故選：BCD.三?填空題12.設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)為，橢圓上點(diǎn)滿足，則的面積為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗由橢圓定義可得，則有，即，，又，由，故，故.故〖答案〗為：.13.已知圓臺(tái)的體積為，其上底面圓半徑為1，下底面圓半徑為4，則該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗圓臺(tái)的上底面半徑為1，下底面半徑為4，設(shè)圓臺(tái)的高為h，則該圓臺(tái)的體積為，則，作出圓臺(tái)的軸截面如圖所示，上底面圓心為，下底面圓心為，，，過(guò)作，則，又，所以圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為．故〖答案〗為：.14.設(shè)是一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，則的最小值為_(kāi)_________.〖答案〗〖解析〗，令，所以，要想有最小值，顯然為鈍角，即，于是有，設(shè)，因?yàn)椋粤睿?，?dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，因此當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，所以的最小值為，此時(shí)，，即存在，顯然存在，使得，即的最小值為，故〖答案〗為：.四?解答題15.已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且.（1）求的值；（2）若的面積，且，求的周長(zhǎng).解：（1）由正弦定理可得，，得：.所以.又，且，所以.由，故.（2），所以.由余弦定理，.又.聯(lián)立得：..所以的周長(zhǎng)為.16.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性.解：（1）時(shí)，，，所求切線方程為，整理得：；（2），因?yàn)椋蕰r(shí)，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，對(duì)于，若，則，此時(shí)在上單調(diào)遞增，若，令，得，時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞增；時(shí)，單調(diào)遞減；綜上所述：時(shí)，在上單調(diào)遞增；時(shí)，在、上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.17.如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，，，，點(diǎn)是棱的中點(diǎn)，，.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.（1）證明：連接，，，，，由余弦定理可得滿足，所以，即.因?yàn)槠矫嫫矫妫医痪€為，由，平面，得平面.由平面，得，因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.設(shè)，，有，解得：，即.所以，滿足，即.又因?yàn)?，，且，平面，所以平?由平面，得.（2）解：以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別為軸的正方向建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.，，，，.設(shè)平面的法向量，由，即，取，得到平面的一個(gè)法向量.又，設(shè)直線與平面所成角的大小為，則.所以直線與平面所成角的正弦值為.18.已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，設(shè)拋物線在點(diǎn)處的切線分別為和，已知與軸交于點(diǎn)與軸交于點(diǎn)，設(shè)與的交點(diǎn)為.（1）證明：點(diǎn)在定直線上；（2）若面積為，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若四點(diǎn)共圓，求點(diǎn)的坐標(biāo).（1）證明：由，得，設(shè).所以方程為：，整理得：